enero 2021 - Laprofematematik "Dios es Bueno"

Vectores

13 enero, 202431 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Existen dos magnitudes, una llamada magnitudes escalares, determinadas mediante un número, por ejemplo la edad, la altura de un edificio, etc., y la otra es conocida como magnitudes vectoriales, este tipo de magnitud requieren una medida llamada norma y una dirección que indica una orientación y se representan por medio de vectores.

Existen muchas situaciones en la vida diaria que pueden representarse con vectores, como por ejemplo la figura llamada vectores, allí se aprecia un personaje subiendo una pendiente a una velocidad de 80 km/k, con dirección inclinada y sentido noreste.

Definición de vectores

Los vectores son segmentos orientados desde un punto hasta otro, tienen forma de flecha caracterizados por tener un sólo módulo, una sola dirección y un único sentido. Al primer punto se le llama origen y al segundo extremo.

¿Cómo se representan?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente con dos letras, veamos:

Cuando se representa un vector con una letra minúscula “en negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo: a se lee así: vector a.
Cuando se escribe una letra minúscula “no negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo: , su norma se presenta entre dos barras .
La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo: se lee así: vector de origen A y extremo B

Características

Observa la figura # 2, el vector está representado por letras mayúsculas A y B, el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido y se representa

Los vectores poseen 3 características llamados: módulo, dirección y sentido.

Características del vector
El módulo o magnitud del vector es la distancia del vector o norma que se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener su valor:

La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x” del plano cartesiano.
El sentido es la orientación por donde se dirige el vector mediante la punta de la flecha ubicado en el extremo del mismo.

Componentes

El ángulo α permite descomponer el vector en dos elementos llamados componentes rectangulares. Entonces el vector se representa como:

Sus componentes se definen de la siguiente forma:

Un vector está determinado por la magnitud y la dirección.

Para calcular el ángulo de dirección α del vector , se logra a través de sus componentes rectangulares, la fórmula es la siguiente:

Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares representado en la figura cuya norma es

Solución:

Componente “y” se aplica la razón del seno.

Componente “x” se aplica la razón del coseno .

Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden trabajar de 3 formas:

Geométricamente (flechas).
Teniendo las coordenadas del punto del origen y de su extremo.
Conociendo sus componentes.

La suma de dos vectores y de orígenes coincidentes en el punto de coordenada (0,0) es definido como la suma o resta componente a componente, esto quiere decir que:

Para la suma:

Para la resta: , es decir se le suma al primer vector el opuesto del segundo vector.

Forma geométrica

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

Método del polígono.
Método del triángulo.
Método del paralelogramo.

El método del polígono se utiliza cuando se suman más de dos vectores y el método del triángulo y del paralelogramo cuando solo hay dos.

En necesario que tengas a la mano una regla y un cartabón para poner en practica ambos métodos.

Método del polígono: Consiste en dibujar uno a continuación del otro, nunca variando su dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del útimo para obtener el vector suma.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Procedimiento del método del triángulo

Sume los vectores y

Alinear el cartabón con el vector a trasladar apoyado con la regla, en este ejemplo con el vector

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud del vector .

Desplazar el cartabón hasta el extremo del otro vector y trazar la longitud del vector

Finalmente, se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para obtener el vector suma .

Observa que al final se crea un triángulo.

Método del paralelogramo: Este método es usado cuando los vectores tiene el mismo punto de aplicación, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Procedimiento del método del paralelogramo

Sume los vectores y

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Se alinea el cartabón con el vector

Desplazar el cartabón hasta el origen del otro vector y trazar la longitud del vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada.

Alinear el cartabón con el vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trazar una línea segmentada.

Marcar un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas.

Finalmente, trazar el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección.

Ejemplo de suma y resta de vectores

Ejemplo # 1: Dado los vectores y , calcula la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución:

Sustitur los valores para obtener el vector suma

La norma del vector es:

La dirección se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo # 2: Restar los vectores y , calcula , la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución

La norma del vector es:

El calculo de la dirección se realiza de la siguiente forma:

Ejemplo # 3: Hallar la norma de la suma de los vectores y cuyas medidas son 5 y 6 respectivamente.

Realizando la suma geométrica, el paralelogramo queda de la siguiente manera:

Donde el ángulo agudo del cuadrilátero se determinó aplicando la propiedad de los paralelogramos, al sumar dos ángulos consecutivos su resultado es un ángulo suplementario, es decir 180°.

Entonces:

180° = 142 + x

x = 180° – 142°

x = 38°

Para hallar la norma del vector se aplica la ley del coseno

Multiplicación de un escalar por un vector

El producto de un número real k por un vector es otro vector cuyas componentes es la multiplicación del número real k por cada una de las componentes del vector dado.

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

Cuando k = 0 ⇒ k . = 0
Cuando k > 0 ⇒ k . es un vector de la misma dirección y sentido que y con un módulo k veces el módulo de
Cuando k < 0 ⇒ k . es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo k veces el módulo de

Ejemplo: Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular .

Solución

Sustituir valores:

Producto punto entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores

, lo cual se expresa como:

está definido como

El producto escalar es un resultado numérico que nos informa hacia donde apunta dos vectores, el resultado puede ser positivo, negativo o cero.

Producto escalar positivo, si el resultado es positivo es porque el ángulo entre los dos vectores está comprendido entre 0° y 90°.

Producto escalar negativo, si el resultado es negativo es porque el ángulo está comprendido entre 90° y 180°.

Producto escalar cero, es porque el ángulo entre los dos vectores es de 90°

Ángulos entre vectores

Si α es el ángulo formado entre dos vectores y no nulos, entonces:

Ejemplo: Determina el producto escalar y el ángulo formado entre los vectores y

Solución

Primero, calcular el producto escalar entre los vectores.

Segundo, calcular la norma de cada vector.

Tercero, se determina el ángulo entre los dos vectores.

Actividades

Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores

Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores

1.	u = (2,-4) ; v = (4,0)	2.	u = (0,3) ; v = (1,-6)
3.	u = (3,5) ; v = (-7,-2)	4.	u = (3,5) ; v = (5,-3)
5.	u = (1,-8) ; v = (-3,5)	6.	u = (5,-6) ; v = (0,2)
7.	u = (1,-6) ; v = (2,7)	8.	u = (3,-2) ; v = (-5,-7)

Profesora Militza

Números naturales (N)

12 diciembre, 202231 enero, 2021 por Profesora Militza

En nuestra vida diaria a veces sin darnos cuenta usamos con mucha frecuencia a los números naturales, pero sabes en realidad ¿Para qué se utilizan? Bueno, ante todo los números naturales conforman un conjunto el cual se simboliza con la letra N y este conjunto de números sirven para contar, ordenar, nombrar y también para medir.

Números naturales (N)

El conjunto de los números naturales (N) comienza con el cero (0) y se cuentan de uno en uno, los primeros de ellos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Cada número se pueden escribir de dos formas:

En cifras y
En letras

Cifras	Letras
465	Cuatrocientos sesenta y cinco
1.569.005	Un millón quinientos sesenta y nueve mil cinco
10.050	Diez mil cincuenta

Números pares

Los números pares son aquellos que terminan en 0, 2, 4, 6, y 8.

Números impares

Los números impares son aquellos que terminan en 1, 3, 5, 7, y 9.

Por ejemplo observa la siguiente tabla donde se muestran números pares e impares

Pares	Impares
230	891
2.005.090	907
456.896	6.789.345

Elementos de la adición

Los elementos de la adición son los sumandos y la suma

Los sumandos son los números que vas a sumar y
la suma es el resultado

Propiedades de la adición de números naturales

Las propiedades de la adición son 3 ellas son llamadas:

1. Propiedad conmutativa de la adición

La propiedad conmutativa dice: “El orden de los sumandos no altera la suma”, esto quiere decir que los sumandos se pueden colocar en cualquier posición y la suma siempre es la misma.

Ejemplo # 1

sume 36 y 15 y aplique la propiedad conmutativa

	Pasos	Operación
1.	El sumando 36 se ubica de primero y el sumando 15 de segundo	36 + 15
2.	Suma	51
3.	El sumando 15 se ubica de primero y el sumando 36 de segundo	15 + 36
4.	Suma	51
Observa que los sumandos estando en cualquier posición la suma a la final siempre dará igual, esto es lo que se conoce como la propiedad conmutativa

También puede escribirse y sumarse así:

	Pasos	Operación
1.	El sumando 36 se ubica de primero más el sumando 15 de segundo igual sumando 15 de primero más sumando 36 de segundo	36 + 15 = 15 + 36
2.	Suma los sumando del lado izquierdo igual a la suma de los sumandos del lado derecho	51 = 51
La suma del lado izquierdo es igual a la suma del lado derecho, esto es lo que se conoce como la propiedad conmutativa

Ejemplo # 2

Sume 6 más 8 pingüinos y aplique la propiedad conmutativa

2. Propiedad asociativa de adición

La propiedad asociativa establece que: “Se pueden asociar los sumandos de distintas formas y a la final se obtiene la misma suma”.

Ejemplo # 1

En la imagen se muestra una calle con una cantidad de vehículos, a estos vehículos se le aplicará la propiedad asociativa de la adición, observa que existen 3 grupos, el primer grupo es de 4 vehículos, el segundo grupo de 2 vehículos y el tercer grupo de 3 vehículos
1.
2.	Se asocia el grupo de 4 vehículos con el grupo de 2 vehículos más el otro grupo de 3 vehículos	( 4 + 2 ) + 3
3.	Al grupo de 4 vehículos se le suma la asociación del grupo de 2 vehículos con el grupo de 3	4 + ( 2 + 3 )
4.	Finalmente se igualan ambas expresiones y se opera la suma del lado izquierdo de la igualdad y la suma del lado derecho	( 4 + 2 ) + 3 = 4 + ( 2 + 3 ) 6 + 3 = 4 + 5 9 = 9
Observa que ambas asociaciones sus sumas siempre deben ser iguales, esto es lo que se conoce como la propiedad asociativa

Ejemplo # 2

Aplique la propiedad asociativa de los siguientes números 105, 456 y 245

Pasos

Operación

Se asocian y se igualan

( 105 + 456 ) + 245 = 105 + ( 456 + 245 )

561 + 245 = 105 + 701

806 = 806

3. Propiedad modulativa o elemento neutro de la adición

La propiedad modulativa dice que: “Al sumar cualquier número con el cero la suma es el mismo número». El elemento neutro de la adición es el cero.

Ejemplo

105 + 0 = 105

5.678 + 0 = 5678

1.009 + 0 = 1.009

0 + 432 = 432

La propiedad de estas sumas es llamada propiedad modulativa

Elementos de una multiplicación

Los elementos de la multiplicación son los factores y el producto

Los factores son los números que se multiplican y
El producto es el resultado

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Las propiedades de la multiplicación son 4, ellas son:

1. Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa de la multiplicación dice: “El orden de los factores no altera el producto»

Esto quiere decir que los factores los puedo colocar con distintas posiciones y a la final el producto es el mismo.

Ejemplo

Observa la imagen, existe 3 grupos de 4 pelotas, determina el total aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa establece que el orden de los factores no altera el producto

Existen 3 grupos y 4 pelotas

Los factores son: 3 y 4

Entonces queda así:

( 3 × 4 ) = ( 4 × 3 )

12 = 12

El producto es: 12

2. Propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad asociativa consiste en asociar dos veces factores distintos resultando los mismos productos

Ejemplo:

Multiplique 5, 8 y 9 aplicando la propiedad asociativa

	Pasos	Operación
1.	Primera asociación Se asocia los dos primeros factores multiplicado por el otro factor	( 5 × 8 ) × 9
2.	Segunda asociación Se escribe sólo el primer factor que anteriormente esta asociado multiplicado por la asociación de los otros dos factores	5 × ( 8 × 9 )
3.	Se asocian ambas expresiones	( 5 × 8 ) × 9 = 5 × ( 8 × 9 )
4.	Se resuelve y ambos productos deben ser iguales	40 × 9 = 5 × 72 360 = 360
Observa que ambas asociaciones sus productos siempre deben ser iguales.

3. Propiedad modulativa o del elemento neutro de la multiplicación

Esta propiedad consiste en que cualquier número se multiplica únicamente por el número 1 y el producto siempre es ese mismo número. El elemento neutro de la multiplicación es el número 1.

Ejemplo:

105 × 1 = 105

5.678 × 1 = 5678

1.009 × 1 = 1.009

1 × 432 = 432

4. Propiedad distributiva de la multiplicación

La propiedad distributiva consiste en distribuir por medio de la multiplicación un factor por cada sumando. La propiedad se aplica cuando existe una multiplicación por una suma.

Ejemplo:

Determine 10 × ( 5 + 2 )=

Observe el procedimiento, se distribuye el factor 10 multiplicándose por cada sumando, primero el factor 10 multiplica con el sumando 5, se escribe el signo más, luego el factor 10 multiplica con el otro sumando 2, se suman los productos obteniéndose la suma de 70.

Ejercicios de Números naturales (N)

I. Efectúa y complete la frase

4.567 + 2.345 = 2.345 + 4.567

Se aplica la propiedad: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

( 5.678 +6785 ) + 123 = 5.678 + ( 6785 + 123 )

Se aplica la propiedad: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

El elemento neutro de la adición es el ___ ___ ___ ___

II. Aplica la propiedad conmutativa de la adición y de la multiplicación

a. 6.547 + 3.241 =

b. 3.456 × 45 =

c. 90 × 145 =

d. 984 + 4.567 =

III. Aplica la propiedad asociativa de la adición y de la multiplicación

a. 4.567 + 3.421 + 895 =

b. 675 × 234 × 120 =

c. 100 × 2 × 854 =

d. 3.456 + 1234 + 10.345 =

IV. Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación

a. ( 3.123 + 234 ) × 4 =

b. 10 × ( 234 + 546 ) =

c. 34 × ( 2 +432 ) =

d. 100 × ( 345 + 256 ) =

V. Efectúa las operaciones de números naturales. Indica el nombre de la propiedad que se utiliza en cada caso y encuentre el valor escondido utilizando la letra asociada al resultado

Letra	Operación	Resultado	Propiedad
I	( 23 + 345 ) × 10 =
F	( 103 + 345 ) + 231 = 103 + ( 345 +231 )
N	56473 × 1 =
E	( 103 × 12 ) × 4 = 103 × (12 × 4)

Escriba la letra correspondiente en cada círculo

Profesora Militza

Criterios de divisibilidad y descomposición en factores primos

13 enero, 202430 enero, 2021 por Profesora Militza

Criterios de divisibilidad y descomposición en sus factores

¿Cómo aplicas los criterios de divisibilidad en la vida diaria? Si aún no los sabes te invito a leer este artículo, te aclarará muchas dudas. ¿A ti no te ha pasado alguna vez que necesitas dividir o partir algo en partes iguales y luego repartirlo para que todos queden contentos?.

Aquí verás un ejemplo, imagínate que compraste una bolsa de 27 caramelos y piensas en ese momento compartirla con tu mamá y tu papá en casa para ver una película, pero te surge la siguiente pregunta ¿Esta cantidad de caramelos dividida entre los 3 dará en cantidad exacta para cada uno? Entonces para resolver esta situación necesariamente debes tener conocimientos de los criterios de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad

Son métodos que nos ayudan a calcular un resultado numérico exacto es decir que los resultados sean siempre números enteros y nunca sean números decimales. Cuando se dice divisibilidad debes relacionarlo con la operación básica de la división el cual consiste simplemente en una división exacta.

Hay muchos criterios de divisibilidad, los que se mencionarán en este post son 7, ellos son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 11

Del número 2

Los números que son divisible entre 2 son aquellas cifras que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8 es decir los números pares.

En la figura # 1 te muestro algunos múltiplos del número 2. ¿Observaste que los múltiplos de 2 siempre terminan en 0, 2, 4, 6 y 8?

Ejemplo # 1: Diga si los números de la figura # 2 (conjunto B) son divisibles entre 2.

Respuesta: Sí, todos son divisibles entre 2 porque terminan en 0,2,4,6 y 8 es decir todos son números pares.

Ejemplo # 2: Diga si los números de la figura # 3 (conjunto A) son divisibles entre 2.

Respuesta:

El único número que es divisible entre 2 es el 540 ya que es un número par.

Los demás números no son divisibles entre 2 por que son números impares.

Del número 3

Los números divisibles entre 3, son aquellos que son múltiplos de 3. Observa la figura # 4 allí conocerás algunos de ellos.
Entonces, ya sabes que el número 21 es divisible entre 3 porque lo viste en la imagen, pero que pasa si tienes un número muy grande que no esté en la lista ¿Qué puedes hacer?.
Primero. Sumar los dígitos de la cantidad. Segundo. Si la suma es múltiplo de 3, entonces ese número es divisible entre 3.

Ejemplo # 1: Determine si el número 1050 es divisible entre 3.

Primero. Sumar cada dígito de la cantidad → 1 + 0 + 5 + 0 = 6

Segundo. Como la suma de los dígitos es 6 y 6 es multiplo de 3. Se concluye que el número 1050 es divisible entre 3.

Ejemplo # 2: Determine si el número 297.125.082 es divisible entre 3.

Primero. Sumar cada dígito de la cantidad → 2 + 9 + 7 + 1 + 2 + 5 + 0 +8 + 2 = 36

Segundo. Como la suma de los dígitos es 36 y 36 es multiplo de 3. Se concluye que el número 297.125.082 es divisible entre 3.

Del número 4

Los números que son divisibles entre 4 son aquellos números que son múltiplos de 4, mira la figura # 5 allí verás algunos múltiplos.
Para saber si un número es divisible entre 4 debes siempre trabajar con los dos últimos dígitos de la cifra. El procedimiento es el siguiente:

Si los dos últimos dígitos de la cifra termina con doble ceros (00) estos números son divisible entre 4. Ejemplo:
500
1.800
43.600
5.674.600
Si los dos últimos dígitos de la cifra son distintos a ceros, entonces esos dos últimos dígitos se dividen entre 4, si la división es exacta el número es divisible entre 4, ejemplo: determine si 60 y 3468 son divisibles entre 4.

El número 60 es divisible entre 4.

Ya que la división es exacta.

El número 3468 es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos, la divión es exacta.

Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles entre 4.
800
3.192
45.670

Solución:

El número 800 es divisible entre 4.

Porque los dos últimos dígitos son doble ceros.

El número 3.192 es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos la división es exacta.

El número 45.670 no es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos la división es inexacta.

Del número 5

Mucho más fácil es reconocer si un número es divisible entre 5, si ese número termina en 0 o en 5 es divisible entre 5. Observa la figura # 6.
Te fijaste que todos terminan en 0 y 5.

Ejemplo: Diga si los números 1.055 , 7.010.000 y 53 es divisible entre 5.

El número 1.055 es divisible entre 5 porque termina en 5.

El número 7.010.000 también es divisible entre 5 porque termina en 0.

Pero el número 53 no es divisible entre 5 por no termina ni en 0 ni en 5.

Del número 6

Para saber si un número es divisible entre 6 se debe cumplir con dos condiciones:

Primero. Debe ser divisibles entre 2.
Segundo. Debe ser divisible entre 3.
Cuando la cifra es divisible entre 2 y 3, entonces es divisible entre 6.
Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles entre 6.

Número 744. Es divisible entre 2 y 3. Por lo tanto es divisible entre 6.

Número 809. No es divisible entre 2 y 3. Entonces no es divisible entre 6.

Número 506. Es divisible entre 2 pero no es divisible entre 3. Si no es divible por 3 entonces el número 506 no es divisible entre 6.

Del número 7

Para que un número sea divisible entre 7 obviamente debe ser múltiplo de 7, mira la figura # 8 allí te muestro algunos multiplos de 7.
Pero surge una pregunta ¿Cómo puedes saber si una cifra fuera de la tabla es divisible entre 7?.
Muy fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

Separar la cifra del último dígito.
Siempre debes multiplicar el último dígito por dos.
Restar los primeros dígitos menos el producto del resultado anterior.
Si el resultado es divisible entre “7” o da como resultado cero (0) o siete (7) la cifra es divisible entre 7.

Ejemplo # 1: Determine si 420 es divisible entre 7

La cifra es: 420.

Separar la cifra del último dígito. Separados queda así: 42 y 0.
Multiplicar el último dígito por dos. 0 x 2 = 0.
Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 42 – 0 = 42.
El resultado (42) es divisible entre 7. Por lo tanto el número 420 es divisible entre 7.

Ejemplo # 2: Determine si 7.574 es divisible entre 7

La cifra es: 7574.

Separar la cifra del último dígito. Separados queda así: 757 y 4.
Multiplicar el último dígito por dos. 4 x 2 = 8.
Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 757 – 8 = 749. “El número es muy grande, continuar el mismo procedimiento”.
Separar la cifra (749) del último dígito. Separados queda así: 74 y 9.
Multiplicar el último dígito por dos. 9 x 2 = 18.
Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 74 – 18 = 56.
El resultado (56) es divisible entre 7. Por lo tanto el número 7574 es divisible entre 7.

Del número 8

Para conocer los números divisibles entre 8 sólo debes dividir la cantidad entre 8, si la división es exacta es divisible entre 8. A continuación te muestro en la figura # 9 algunos múltiplos de 8.
Pero, ¿Cómo puedes saber si una cifra fuera de la tabla es divisible entre 8?.
Es fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

Si es un número de dos o tres dígitos se dividen entre 8, si la división es exacta ese número es divisible por 8.
Si es un número de 4 dígitos en adelante, se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8, la división debe ser exacta.
Si es un número que termina con tres ceros (000) es un número divisible entre 8

Ejemplo: Verifica si los números a continuación son divisibles entre 8

96
880
2.032
562.000

Número 96.

Como es un número de dos dígitos se divide entre 8.

Como la división es exacta, entonces el número 96 es divisible entre 8.

Número 880.

Como es un número de tres dígitos se divide entre 8.

880 es divisible entre 8 porque la división es exacta.

Número 2032.

Este número posee cuatro dígitos se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8.

2.032 es divisible entre 8 porque la división es exacta.

Número 562000.

Este número termina con tres ceros.

562000 es divisible entre 8 porque sus últimos tres dígitos termina con tres ceros (000).

Criterios de divisibilidad del número 11

Para conocer si un número es divisible por 11 el número debe ser múltiplo de 11. A la derecha te muestro algunos múltiplos de 11.

Para saber que un número es divisible entre 11 debes cumplir los siguientes requisitos:

Primero. Separar los dígitos de la cifra.

Segundo. Según el orden posicional, la unidad es el puesto # 1 es decir impar, la decena es la posición # 2 perteneciente a par, la centena ocupa el tercer lugar que es impar y así sucesivamente.

Tercero. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Cuarto. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

Quinto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Observa la siguiente cifra, allí verás los lugares pares e impares que te mencioné anteriormente, los rojos son impares y los azules los pares

Ejemplos de criterios de divisibilidad

#1. Determine si el número 385 es divisible entre 11

Primero. Separar los dígitos y según su orden posicional clasificarlos en pares e impares.

Posición # 1 (impar) = 5
Posición # 2 (par) = 8
Posición # 3 (impar) =3

Segundo. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Impares: 5 + 3 = 8

Pares: 8

Tercero. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

8 – 8 = 0

Cuarto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Como el resultado es cero (0), la cifra 385 es divisible entre 11.

# 2: Determine si el número 11.638 es divisible entre 11.

Primero. Separar los dígitos y según su orden posicional clasificarlos en pares e impares.

Posición # 1 (impar) = 1
Posición # 2 (par) = 1
Posición # 3 (impar) =6
Posición # 4 (par) = 3
Posición # 5 (impar) = 8

Segundo. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Impares: 1 + 6 + 8 = 15

Pares: 1 + 3 = 4

Tercero. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

15 − 4 = 11

Cuarto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Como el resultado es cero (11), el número 11638 es divisible entre 11.

Números primos en los criterios de divisibilidad

Los números primos son aquellos que tienen únicamente 2 divisores que es el 1 y el mismo número.

La siguiente tabla muestra algunos números primos

2	3	5	7	11	13
17	19	23	29	31	37

Procedimiento para determinar números primos

Para saber si un número es primo debes dividirlo por los siguientes números primos : 2,3,5,7,11,13,… hasta lograr que el cociente sea menor que el divisor.

A continuación te muestro las partes de la división:

Ejemplo: Determina si el número 101 es primo.

Se evidencia que el residuo es uno(1) por lo tanto no es divisible entre dos.

Se observa que al dividir en 3 el resto es 2, por lo tanto no es divisible.

Al dividir entre 5 el resto es 1, esto significa que no es divisible entre 5

No es divisible entre siete, ya que el resto es 3

Observa que el cociente es menor que el divisor, por lo tanto se finaliza el procedimiento de las divisiones hasta el número 11.

Conclusión: El número 101 es primo, es decir que 101 solamente es divisible entre 1 y 101.

Descomposición en sus factores primos en los criterios de divisibilidad

En los criterios de divisibilidad la descomposición de un número se trata en reducir ese número en sus factores primos, para poder realizar esto es necesario aplicarlos y siempre empezar con los números primos de menor a mayor.

Observa el siguiente procedimiento de descomposición en sus factores primos del número 2520.

2520 es par, entonces es divisible entre 2.

1260 es par, por lo tanto es divisible entre 2.

630 es par divisible entre 2.

315 no es par por lo tanto el número primo 2 no califica, entonces verificamos que esa cifra sea divisible entre 3.

Se suma los dígitos de 315 y queda así 3 + 1 + 5 = 9.

9 es múltiplo de 3, esto quiere decir que la cifra 315 es divisible entre 3.

Se efectúa la división 315 entre 3.

105 es divisible entre 3.

35 no es divisible entre 3, pero si es divisible entre 5.

El número 7 no es divisible entre 5, es un número primo, por lo tanto se divide entre el mismo.

La descomposición del número 2520 es:

Actividades de criterios de divisibilidad y descomposición en factores primos

Según la cifra indica con una «X» sus números divisibles

Cifras	2	3	4	5	6	7	8	11
946
112.838
35.434
390.236
3.084
2.290
26.225
210
119
91
121
253
203

Calcule y marque con una «X» los números primos. Ten en cuenta que debes utilizar los criterios de divisibilidad. Justifique su respuesta.

Cifra	Primo	No primo
7
71
89
149
24
68
102
37
409
997
1005
995
1005
937
940

Profesora Militza

Mínimo Común Múltiplo

13 enero, 202430 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Sabes cómo se aplica el Mínimo Común Múltiplo en la vida diaria? Observa la figura, es una pista de dos carritos, el carro gris le lleva una ventaja al carro rojo, y Javier les mide el tiempo que tardan en dar una vuelta completa, la vuelta completa se cumple cuando llega a la valla llamada «START», el carro gris lo logró en 28 segundos y el carro rojo en 32 segundos, ¿Tú crees que estos carritos en cualquier instante llegan a empatarse en pleno movimiento? y si es así ¿En cuántos segundos?.

Definición del Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números.

Con dos cifras se escribe m.c.m. (a,b) y con tres de esta otra forma m.c.m. (a,b,c).

Obtener el mínimo común múltiplo por medio de una tabla

Observa como se obtiene el mínimo común múltiplo por medio de una tabla de múltiplos

Crear los múltiplos de ambos números
Seleccionar el mínimo común

Ejemplo

Determine el m.c.m.(12,18) por medio de una tabla de múltiplos

Crear la tabla de múltiplos de ambos números

Múltiplos
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162

Los comunes de ambos números son los que están sombreados

El que está sombreado en color rojo es mínimo común múltiplo m.c.m.(12,18) = 36

Obtener el mínimo común múltiplo de dos o mas números por medio de la descomposición en sus factores primos

Para determinar el mínimo común múltiplo por medio de la descomposición en sus factores primos se debe aplicar los siguientes pasos:

Descomponer el número dividiéndolos entre los números primos (2, 3,5,7,11,13,…).
Igualar el número en su factores primos.
Seleccionar a los números comunes con el mayor exponente.
Seleccionar a los números no comunes.
Calcular el m.c.m.

Ejemplo

Determinar el mínimo común múltiplo de los números 12 y 18

Pasos
Descomponer el 12
Descomponer el 18
Factores primos del 12
Factores primos del 18
Comunes con mayor exponente
No comunes	No existe
m.cm.(12,18)=	36

Explicación del mínimo común múltiplo por video YouTube

Aplicaciones del mínimo común múltiplo

Cuando se presenten problemas donde coincidan datos o resultados numéricos pueden resolverse aplicando el mínimo común múltiplo.

Ejemplo

La alarma del reloj de David suena cada 60 minutos y la alarma del reloj de Manuel suena cada 80 minutos. Si ambos relojes sonaron a las 4:00 pm., ¿A qué hora volverán a sonar simultáneamente?

Para determinar el tiempo donde ambas alarmas vuelvan a sonar simultáneamente es aplicar el mínimo común múltiplo

Pasos
Descomponer el 60
Descomponer el 80
Factores primos del 60
Factores primos del 80
Comunes con mayor exponente
No comunes	3
m.cm.(60,80)=	240

Entonces el mínimo común múltiplo de 60 y 80 es 240, es decir que en 240 minutos las alarmas de David y Manuel volverán a sonar al mismo tiempo

Ejercicios

Determine el mínimo común múltiplo aplicando la tabla de:

a.	24, 20 y 12	b.	10, 4, 5 y 2
c.	16, 18, y 6	d.	5, 10

Determine el mínimo común múltiplo por descomposición en sus factores primos de

a.	48 y 26	b.	54, 27 y 18
c.	6, 8, 10, 12 y 22	d.	4, 14, 28 y 34

Los abuelos maternos de Adrián lo visitan a su casa cada 7 días y tíos paternos cada 15 días. si hoy fueron sus abuelos y sus tíos, ¿En cuántos días deberán a volver a coincidir nuevamente toda su familia?.

En una librería trabajan cuatro personas: Juan, Nicoll, Leonardo y Felipe. Juan cobra cada 5 día, Nicoll cada 15 días, Leonardo cada 20 días y Felipe cada 25 días, precisamente hoy cobraron todos a la vez. ¿Cuántos días deberán transcurrir para que todos cobren el mismo día?

Dayana fue al doctor y el le mandó tres medicamentos uno que debe tomarse cada 10 horas, otro cada 8 horas y el tercero cada 24 horas.
a. ¿Cómo se puede saber qué día y a qué hora coincidirán los tres medicamentos?
b. Sí Dayana comenzó a tomarse sus medicamentos el martes a las 9:00am, ¿Qué día y a qué hora coincidirá nuevamente los tres medicamentos?

María y Adriana van al cine con frecuencia, maría va cada 12 días y Adriana cada 22 días, el día miércoles ambas se encontraron y se alegraron mucho. ¿Dentro de cuántos días volverán a estar juntas en el cine? y ¿Qué día?

Profesora Militza

Triángulos oblicuángulos

13 enero, 202421 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Conoces a los triángulos oblicuángulos? un radar puede mostrar las posiciones de los barcos con respecto a una torre de control formando diferentes tipos de triángulos, la resolución de triángulos permite determinar distancias y ángulos favoreciendo las indicaciones emitidas por parte de la torre de control garantizando desplazamientos seguros.

Triángulos oblicuángulos

Los triángulos según sus ángulos internos se clasifican en tres tipos y son:

Rectángulos
Acutángulos
Obtusángulos

El triangulo rectángulo posee un ángulo recto (ángulo igual a 90°) y dos ángulos agudos.

El triángulo acutángulo todos sus ángulos son agudos (ángulo menores de 90°)

El triángulo obtusángulo posee un ángulo obtuso (ángulo mayor de 90°) y dos ángulos agudos.

Los dos últimos triángulos mencionados es decir el acutángulo y el obtusángulo pertenecen a los triángulos oblicuángulos.

Para la resolución de triángulos oblicuángulos se considera las medidas conocidas, por esta razón se hace posible identificar la resolución de este tipo de triángulos en los siguientes cuatro casos:

Caso # 1: Se conoce un lado y dos ángulos (A-L-A) o (L-A-A).

Caso # 2: Se conoce dos lados y un ángulo (L-L-A).

Caso # 3: Se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (L-A-L).

Caso # 4: Se conoce los tres lados del triángulo. (L-L-L).

Para resolver estos cuatro casos de triángulos oblicuángulos es necesario aplicar dos leyes, conocidas como la ley del seno y la ley del coseno.

Ley del seno

La ley del seno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 1 y # 2.

Definición

La razón existente entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno de su ángulo opuesto a ese lado es proporcional a la misma razón con los otros lados y ángulos faltantes.

Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.

Datos del triángulo

Tipo: Acutángulo.

Caso: # 2 (L-L-A)

Tipo de ley: Ley del seno.

Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.

Lado a = ? → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = 8cm. → Ángulo opuesto β = ?

Lado c = 6cm. → Ángulo opuesto δ = 45°

Procedimiento:

Determinar el valor del ángulo β.

Con los ángulos y , se determina el valor del ángulo α.

Se calcula el lado a

Ley del coseno

La ley del coseno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 3 y # 4.

Definición

El cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de esas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Observa sus relaciones:

Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.

Datos del triángulo

Tipo: Obtusángulo.

Caso: # 3 (L-A-L).

Tipo de ley: Ley del coseno.

Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.

Lado a = 5cm → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = ? → Ángulo opuesto β = 120°

Lado c = 10cm. → Ángulo opuesto δ = ?

Procedimiento:

Determinar el valor del lado b

Sustituir todos los valores de los lados en la fórmula y luego se determina el ángulo α.

Determinar el ángulo δ

Actividades

Determine

Profesora Militza

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

13 enero, 20246 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas?, ¿Conoces su origen?, en este artículo conocerás mucho sobre ellas y comprenderás que son muy fáciles de aplicar.

Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en la circunferencia trigonométrica, en donde forma un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente = x y la medida del cateto opuesto = y .

Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

A continuación, en el triángulo rectángulo se definen las 6 razones trigonométricas, tenga en cuenta que:

Cateto opuesto = y Cateto adyacente = x Hipotenusa = r

Ejemplo: Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

Solución:

Datos:

Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

Se cálcula las razones trigonométricas del ángulo α

Razones trigonométricas para ángulos complemetarios

Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.

En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:

sen α = cos β tan α = cot β sec α = csc β

sen β = cos α tan β = cot α sec β = csc α

Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.

El valor de la función trigonométrica de un ángulo, es igual al valor de la cofunción que le corresoponde de su ángulo complementario.

Como la relación de ángulos complementarios es: el valor de β queda de la siguiente forma:

Obseva:

co = cateto opuesto

ca = cateto adyacente

h = hipotenusa

Rt = razón trigonométrica

Rto = razón trigonométrica opuesta

El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Ejemplo # 1: Mira las siguientes relaciones.

1.			3.
2.			4.

Ejemplo # 2: Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.

El ángulo de α = 60° y el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de
También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que

Ejemplo # 3: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ del siguiente triángulo rectángulo.

Como los ángulos δ y α son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:

Sumando ambos ángulos para comprobar:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α y ð son complementarios.

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

Triángulos con dos lados conocidos

Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Resolver el triángulo cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.

Solución: Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.

Como α y β son complementarios se aplica:

Por razones trigonométricas

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:

Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios

Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Triángulos compuestos

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de cateto adyacente del triángulo

El valor del cateto adyacente del triángulo es

Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Cálculo del área de un triángulo

Para calcular el área de un triángulo es muy fácil, pero las situaciones para determinarlo puede darse de 3 maneras, mira la imagen a continuación:

Cuando se conoce el valor de la base y la altura del triángulo

Para determinar el área es muy sencillo sólo debes aplicar la fórmula y listo.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

= altura = h = 4 cm

= base = b =

Cuando se conoce los tres lados del triángulo

Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón.

Donde s = semiperímetro del triángulo

El perímetro del triángulo es:

Ejemplo: Determina el área y perímetro del siguiente triángulo.

Datos del triángulo

= altura = a = 4 cm

= base = b = ≈ 5,7 cm

= hipotenusa = c = 7 cm

Se calcula el semiperímetro

Por lo tanto el perímetro es:

Se aplica la fórmula de Herón para determinar el área:

Cuando se conoce dos lados y su ángulo intermedio

Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos, se aplica las siguientes fórmulas. Observa la figura.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo.

Datos del triángulo:

= a = 5 cm

= b = 5 cm

δ = 69°

La fórmula para calcular el área:

Actividades

Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas

Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β

Hallar el valor de las siguientes expresiones

Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo

Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.

Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

Determine aplicando el teorema de Pitágoras

Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa

a = 6,4 cm y c = 11,7 cm

a = 4,5 cm y b = 4,5 cm

b = 7,3 cm y c = 13,6 cm

a = 12 cm y b = 10 cm

a = 2,5 cm y c = 5 cm

b = 9,6 cm y c = 14,5 cm

Determina los triángulos rectángulos

Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros

Profesora Militza

Cursos en Refuerzo Pedagógico Dios es Bueno

16 diciembre, 20224 enero, 2021 por Profesora Militza

Inicia tu año escolar en Refuerzo Pedagógico Dios es Bueno con una buena preparación en matemáticas y con apoyo en tus tareas, tenemos los siguientes cursos para ti:

Primaria y bachillerato

Curso online de fracciones

Curso online de fracciones (suma, resta, multiplicación y división) Dirigido a niños de 8 a 11 años de edad. Duración: 2 meses.

Objetivo: Brindar estrategias didácticas a los niños que le permitan comprender la fracciones en la vida diaria, reforzando suma, resta, multiplicación y división.

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Curso online de Polinomios (Suma, resta, multiplicación y división). Dirigido a jóvenes de 12 a 15 años de edad Duración: 2 meses.

Objetivo: Brindar estrategias didácticas a los estudiantes, enseñándoles polinomios de una forma divertida y su aplicación en la vida diaria.

Curso online de Operaciones algebraicas

Curso online de Operaciones algebraicas (Polinomios aritméticos). Dirigido a jóvenes de 11 a 15 años de edad Duración: 2 meses.

Objetivo: Ofrecer estrategias didácticas a los estudiantes, enseñándoles fundamentos del álgebra de una forma divertida y su aplicación en la vida diaria.

Curso online de funciones elementales

Curso online de funciones elementales y representación gráfica. Dirigido a jóvenes de 12 a 15 años de edad Duración: 2 meses.

Objetivo: Enseñar a los estudiantes la importancia de conocer muy bien las funciones elementales y su representación gráfica, enseñándoles de una forma divertida y su aplicación en la vida diaria.

Refuerzo Pedagógico Dios es Bueno

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Profesora Militza

Fracciones equivalentes

30 enero, 20244 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Sabes cómo resolver fracciones equivalentes? Ten en cuenta que una fracción es equivalente cuando representa la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador son diferentes. Este tipo de fracciones se pueden ver en la vida cotidiana, en la compra de alimentos, ropa, calzados, entre otras cosas.

¿Cómo sabes si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el primer numerador con el segundo denominador, y el primer denominador y el segundo numerador, se obtiene el mismo resultado. También se dicen dos fracciones son equivalentes si al dividir cada una resulta el mismo número decimal.

Ejemplo #1

1 . 4= 2 . 2

4 = 4 Si son equivalentes

Ejemplo #2

3 . 9 = 4 . 12

27 ≠ 48 No son equivalentes

Ejemplo #3

1 . 10 = 5 . 2

10 = 10 Si son equivalentes

Fracciones equivalentes en la vida cotidiana

Las fracciones equivalentes se pueden observar en la vida diaria, su aplicación se observa en todo lo que realizas, por ejemplo, al comparar una pizza de un doceavos y veinticuatro medios de pizza, al resolver su equivalencia encuentras que ambas partes son equivalentes.

Si quieres que todo esté bien cuando se trata de repartir fracciones en partes iguales lo ideal es que conozcas muy bien acerca de fracciones equivalentes, te ayudará en tu colegio, trabajo, familia y en todo lo que hagas, saber que cuando comparas dos o más fracciones y las divides, y obtienes el mismo resultado para demostrar la equivalencia es una buena experiencia que reforzarás tus conocimientos en esta hermosa asignatura, matemáticas.

También se puede evidenciar en las razones y proporciones, generalmente, cuando se trata de proporcionalidades directas. Observa la siguiente tabla de equivalencias:

Kilogramos	Agua
5	10
10	20

Si se realiza la operación de proporcionalidad directa, observas que son equivalentes, al aumentar los kilogramos aumenta la cantidad de agua. Observa la resolución:

5 . 20 = 10 . 10

100 = 100

Amplificación de fracciones

Para amplificar una fracción equivalente a la otra, solamente deberás amplificar la fracción, de esta manera obtendrás su equivalente.

Ejemplo #1

Al multiplicar por 3 el numerador y el denominador se amplifica la fracción, es decir, la amplificas, la fracción resultante es equivalente a la inicial.

Ejemplo #2

Como puedes observar amplificar por 2, tanto numerador como denominador, la fracción resultante es equivalente a la inicial.

Simplificación de fracciones

En la simplificación de fracciones se hace un proceso opuesto al anterior, es decir, se divide el numerador por el máximo común divisor entre el numerador y denominador.

Como puedes observar el Máximo Común Divisor entre 20 y 8 es 4. A continuación, observa como se resuelve:

Ten en cuenta que para hallar el Máximo Común Divisor (M.C.D) deberás seguir los siguientes pasos:

En primer lugar debes descomponer el numerador y denominador en sus factores primos.
Para sacar el M.C.D debes tomar los números descompuestos con su menor exponente, es decir: que es igual a 4, esto implica que el número máximo que divide al 20 y 8 es el 4.
Finalmente, para simplificar la fracción deberás dividir numerador y denominador entre el número máximo, quedando de la siguiente manera:

Ejercicios de fracciones equivalentes

1.Resuelve e indica si las siguientes fracciones son equivalentes:

2. Amplificar la siguientes fracciones

3. Simplifica las siguientes fracciones

Profesora Militza

Valor posicional y descomposición de números naturales

4 diciembre, 20224 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Sabías que estudiar el valor posicional es muy fácil? Ten en cuenta que para conocer más acerca de este tema es importante conocer la definición del valor posicional, y ésta se refiere al valor que toma un dígito según la posición que ocupa dentro de los números, es decir, unidad, decena, centena, etc.

Valor posicional en la vida cotidiana

A muchos estudiantes les cuesta ubicar el valor posicional de diferentes cantidades. Por ejemplo, al observar una competencia de atletismo, varios competidores quieren llegar al primer lugar, y en orden de llegada le otorgan los premios, el que llega en primer lugar, segundo lugar y tercer lugar. Algo parecido a esta situación ocurre con el valor posicional, los números tienen su lugar y así queda establecido. Observa la siguiente tabla, a continuación:

Ubicar las siguientes cantidades en la tabla:

a) 4356

b) 450

Unidad de Mil	Centena	Decena	Unidad
4	3	5	6
	4	5	0

Operaciones utilizando el valor posicional

Para resolver operaciones de adición o sumas utilizando el valor posicional, es muy importante comenzar con su definición, la cual es conocida como la operación aritmética que consiste unir diferentes cantidades en una sola, esta operación se representada con el signo (+). Además, la suma consiste en la unidad de dos colecciones con el fin de lograr una sola. También puedes evidenciar que existen dos casos de sumas, que es sin llevar y llevando.

Ejemplo:

Ordenar y sumar los siguientes ejercicios:

a) 2.345+123=

Para resolver estos ejercicios deberás seguir los siguientes pasos:

Paso#1 Selecciona la cantidad mayor, en este caso es 2.345, la debes dejar en la parte de arriba de la tabla

Paso #2 Ubica la cantidad menor debajo, teniendo en cuenta el valor posicional de cada cifra

Paso #3 Luego, procede a sumar

Cantidad	Unidad de mil	Centena	Decena	Unidad
2.345	2	3	4	5
123		1	2	3
Total	2	4	6	8

b) 34.556 +2.340=

Cantidad	Decena de mil	Unidad de mil	Centena	Decena	Unidad
34.556	3	4	5	5	6
2.340		2	3	4	0
Total	3	6	8	9	6

Operaciones de restas utilizando el valor posicional

Antes de comenzar a resolver operaciones de restas utilizando el valor posicional veamos la definición de resta. La resta también se conoce como sustracción y es una operación aritmética que consiste en eliminar objetos o elementos de un conjunto. Dentro de los tipos de restas se encuentran las restas simples o restas pidiendo prestado.

Ejemplo:

Ordenar y restar las siguientes operaciones:

a) 34.567-23.456=

b) 24.678-12.642=

Pasos para resolver restas

En primer lugar debes ordenar de mayor a menor la resta
Seguidamente, revisa si se trata de una resta pidiendo prestado
Finalmente, comienza a resolver la operación.

Solución;

a) 34.567-23.456=11.111

Cantidad	Decena de mil	Unidad de mil	Centena	Decena	Unidad
34.567	3	4	5	6	7
23.456	2	3	4	5	6
Total	1	1	1	1	1

b) 24.678-12.642=

Cantidad	Decena de mil	Unidad de mil	Centena	Decena	Unidad
24.678	2	4	6	7	8
12.642	1	2	6	4	2
Total	1	2	0	3	6

Descomposición de números de forma aditiva

Para descomponer un número natural se puede hacer de forma aditiva, para ello se escribe el valor posicional de cada una de las cifras. Además, es importante que sigas los siguientes pasos:

Paso #1 Escribe el valor posicional de cada cifra

Paso #2 Ten en cuenta que la forma aditiva no se tiene en cuenta aquellos valores que son cero (0)

Paso #3 Para lograr componer el número nuevamente, suma los valores posicionales de su cifra

Ejemplos:

a) 12.340= 10.00+ 2.000+ 300+40+0

b) 43.560= 40.000+3.000+ 500+60 +0

c) 58.842= 50.000+8.000+800+40+2

d) 4.562= 4.000+500+60+2

Actividades

1. Ordenar y sumar:

a) 3.990+2.340=

b) 5.840+24.677=

c) 98.456+34.239=

d) 56.980+234.450=

e) 34.576+23.345=

2. Ordenar y restar

a) 34.567+20.345=

b) 12.332+20.321=

c) 28.345+10.242=

d) 10.023+12.230=

3. Descomponer las siguientes cantidades de forma aditiva.

a) 23.345=

b) 12.450=

c) 12.006=

d) 20.346=

e) 2.578=

Profesora Militza

Lectura y escritura de un número

4 enero, 2021 por Profesora Militza

¿Te cuesta enseñar a tus hijos la lectura y escritura de un número? No te preocupes en este artículo verás que es muy fácil, los niños aprenderán de forma rápida y divertida. A muchos niños les cuesta la lectura de los números, aún más la escritura de los mismos. De allí la importancia que leas este artículo y utilices la herramienta que aquí te brindamos para que mejores su rendimiento académico en matemáticas.

Enseñar la lectura y escritura de un número correctamente

Para explicar cómo leer y escribir un número de forma adecuada, comencemos con la definición de número, el cual se define en ciencia como la abstracción que representa una magnitud o cantidad. Con respecto a matemáticas el número representa un sistema numérico o cantidad métrica.

Pasos para la lectura y escritura de un número

Aunque te cueste mucho leer y escribir un número, aquí tienes el paso a paso de cómo hacerlo:

En primer lugar comienza separando de derecha a izquierda de tres en tres.
Luego, nombra de derecha a izquierda, comienza por las centenas, decenas y unidades.
Seguidamente, colocas la de menor valor, y así sucesivamente hasta que termine el orden en unidades simples.

Escribir en letras una cifra

243.214= Doscientos cuarenta y tres mil doscientos catorce

469.023= Cuatrocientos sesenta y nueve mil veintitrés

328.245= Trescientos veintiocho mil doscientos cuarenta y cinco

15.234= Quince mil doscientos treinta y cuatro.

6.234= Seis mil doscientos treinta y cuatro

10.356= Diez mil trescientos cincuenta y seis.

Escribir en números cantidades en letras

Trescientos mil quinientos= 300.500

Doscientos ochenta mil seiscientos= 280.600

Veinticuatro mil trescientos= 24.300

Quinientos veinte mil= 520.000

Ochocientos cincuenta mil quinientos= 850.500

Treinta mil setecientos= 30.700

Sesenta y nueve mil= 69.000

Veinticuatro=24

Lectura y escritura de números con decimales

Ahora que ya sabes leer los números enteros también aprenderás a leer números con decimales. Para leer y escribirlos se puede hacer de dos maneras:

En primer lugar procede leyendo la parte entera, es decir, las unidades que son y luego la parte decimal, indicando el orden de la última cifra decimal.
Después lee la parte entera y parte decimal separadas por la coma

Ejemplo:

45,2 = Cuarenta y cinco unidades y dos décimas. También se lee: Cuarenta y cinco coma dos décimas

0,321= Cero unidades y trescientos veintiuno milésimas. También se lee: Cero coma trescientos veintiuno milésimas

10,083= Diez unidades y ochenta y tres milésimas. También se lee: Diez coma ochenta y tres milésimas.

28, 123= Veintiocho unidades y ciento veintitrés milésimas. También se lee: Veintiocho coma ciento veintitrés milésimas

100, 24= Cien unidades y veinticuatro unidades. También se lee: Cien coma veinticuatros centésimas

Actividades

1. Escribe en letra las siguientes cantidades:

a) 345.908

b) 124.023

c) 234.008

d) 12.345

e) 102.346

2. Escribe en número las siguientes cantidades

a) Doscientos treinta y cuatro mil

b) Trescientos cuarenta y dos mil

c) Ciento cuarenta y cuatro mil

d) Treinta y seis mil

e) Cuarenta y cuatro mil quinientos

3. Escribe los siguientes números decimales en letras

a) 234, 56

b) 124, 43

c) 432,09

d) 34, 009

e) 42,001

4) Escribe los siguientes números decimales en números

a) Tres unidades y treinta centésimas

b) Doce unidades y cuatrocientos veintidós milésimas

c) Cero unidades y cuatro décimas

d) Diez unidades y trescientos cuarenta milésimas

e) Veinticuatro unidades y cincuenta décimas

Profesora Militza