Funciones trigonométricas inversas

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¿Sabías que las funciones trigonométricas inversas están presentes en la vida diaria? En muchas situaciones de la vida se puede presentar casos donde requieres determinar la inclinación de algún objeto y si no tienes un instrumento para la medición de ángulos, debes aplicar las razones trigonométricas inversas para saber su valor.

Funciones inversas

Una función es una regla de correspondencia que relaciona los elementos de dos conjuntos M y N. Cada elemento del conjunto M se relaciona únicamento con un elemento del conjunto N.

Se escribe:  f: M → N    o también:   f(x) = y

Donde:

x” pertenece al conjunto M (dominio)

y” pertenece al conjunto N (codominio)

Ahora si la función está definida como:   g: NM es una función inversa de la función  f: M → N

Entonces  debe ser biyectiva.

Si f: M → es una función biyectiva, entonces es una función inversa de como -1: Ntal que -1 (x) = y   si y solo si f(-1 (x))=x.

Ejemplo

Paso # 1. A la derecha se muestra la representación gráfica de la función. Según su representación la función es biyectiva y al ser biyectiva entonces tiene inversa.

Paso # 2. Se despeja “x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por último, se intercambia “x” por “y” y se obtiene la función inversa de f

 

 

Para determinar la expresión de la función inversa de f(x) debes:

  1. Despejar de la función f(x) = y
  2. Intercambiar por y en la expresión obtenida anteriormente. Quedando y=f -1(x)

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen función inversa.

Pero se le aplica restricciones en ciertos intervalos para que la función quede inyectiva, y en esos intervalos se define una función inversa.

Restingir significa considerar una parte del dominio, esa parte es la que se somete a análisis.

Ejemplo, en la imagen se muestra la función (x) = 2xrestringida en el dominio (0,∞) y su inversa -1=√x/2

 

 

 

La escritura y lectura de las funciones trigonométricas inversas puede realizarse de dos formas

Función trigonométrica Forma # 1
Forma # 2
 Función trigonométrica inversaSe leeFunción trigonométrica inversaSe lee
senoseno inverso de xarco seno
cosenocoseno inverso de xarco coseno
tangentetangente inversa de xarco tangente

Se debe tener en cuenta que:

                                                           

 

Las recomendaciones para graficar funciones trigonométricas inversas es la siguiente:

➡  Dibujar el plano cartesiano.

➡  Establecer en el eje “x” una escala 1:1.

➡  Establecer en el eje “y” los ángulos en radianes.

➡  Crear la tabla de valores.

➡  Graficar cada par ordenado y trazar la curva.

Inversa de la función seno

El dominio de la función del seno es el conjunto de los números reales y su rango está comprendido por el intervalo [-1,1].

Como se dijo anteriormente, las funciones trigonométricas son periódicas entonces no son inyectivas, pero quiero que veas que al aplicarle el criterio de la recta horizontal a la función seno se puede apreciar gráficamente que no es inyectiva ya que la recta toca en más de 1 punto.

Función del seno
Función del seno

Entonces no es biyectiva.

Al no ser biyectiva la función seno no permite inversa en todo el conjunto de los números reales.

Aquí es donde se aplica la restricción con la única intención que la función seno permita inversa, el intervalo a restringir es su nuevo dominio, y el rango se limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen de la gráfica de la función seno con la restricción.

Función del seno con dominio restringido
Función del seno con dominio restringido

La inversa de la función seno, es la función que asigna un valor al ángulo cuando se tiene el valor del seno.

sen x = y ⇒  arcsen y = x

Su dominio es [-1,1]

Su rango es:

Entonces la interpretación de la definición del arcoseno de un valor como el ángulo en el intervalo    tal que el seno del ángulo es x

Gráfica de la función arcoseno

Ha llegado el momento de graficar la función del arcoseno, allí tienes la tabla de valores, te recuerdo que el dominio está comprendido en el intervalo [-1,1]

Observa que para x = 1/2

El ángulo obtenido en radianes es y en grados sexagesimales es 30°

Al graficar cada par ordenado generado por la tabla de valores, se obtiene la curva de la función arcoseno.

Arcoseno
Arcoseno

Relación entre la función seno y la función arcoseno

 Función seno con restricciónFunción arcoseno
Intervalo en el dominio eje “x
Intervalo en el rango eje y

Características de la función arcoseno

  1. El dominio es el intervalo [ -1, 1]
  2. El rango es el intervalo  [π/2, -π/2]
  3. No es periódica
  4. Es una función impar

Inversa de la función coseno

La función del coseno su dominio es también el conjunto de los números reales   y el rango es el intervalo [-1,1].

La función coseno es periódica por lo tanto no es inyectiva y por ende  tampoco biyectiva.

Se aplica la restricción al dominio en el intervalo la cual le corresponde un rango de [-1,1], y el nombre de esta función inversa del coseno es llamada arcocoseno. Ver la gráfica de la función coseno con restricción en el dominio.

Función del coseno con dominio restringido
Función del coseno con dominio restringido

La inversa de la función coseno, permite determinar el ángulo conocido el valor del coseno.

cosx = y ⇒  arccos y = x

Su dominio es [-1,1]

Su rango es: [0,π].

Relación entre la función coseno y la función arcocoseno

 Función coseno con restricciónFunción arcocoseno
Intervalo en el dominio eje “x
Intervalo en el rango eje y

Gráfica de la función arcocoseno

Al igual que la función arcoseno se realiza la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el intervalo [-1,1]. Observa la gráfica de la función arcocoseno.

Gráfica del arcocoseno
Gráfica del arcocoseno

Características de la función arcocoseno

  1. El dominio es [ -1, 1]
  2. El rango es el intervalo
  3. No es periódica.
  4. No es una función par ni impar

Inversa de la función tangente

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el dominio de la función tangente al intervalo y su rango quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe la gráfica con restricción en el dominio.

Restricción de la función tangente
Restricción de la función tangente

La inversa de la función tangente, permite determinar el ángulo conocido el valor de la tangente.

tan x = y ⇒  arctan y = x

Su dominio es el conjunto de los números reales

Su rango es: 

Relación entre la función tangente y la función arcotangente

 Función tangente con restricciónFunción arcotangente
Intervalo del dominio eje “x
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcotangente

Para realizar el gráfico de la función arcotangente, lo primero es realizar la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el conjunto de los . Observe la gráfica

Características de la función arcotangente

  1. El dominio es .
  2. El rango es el intervalo
  3. No es periódica.
  4. Es una función impar

Ejercicios

I. Construye la gráfica de la función arcotangente, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Usa estos valores para la variable independiente

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

II. Construya la gráfica del arcocoseno, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Los valores que vas a utilizar para la variable independiente son:

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

III. Determina el valor exacto de cada ejercicio. Debes expresarlo en radianes y en grados sexagesimales

a. 

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

IV. Hallar el valor de de las siguientes expresiones

a.

b.

c.

d.

e.

f.

V. Investiga las siguientes características de las funciones inversas:
a. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcoseno? Si la respuesta es afirmativa indique las coordenadas?

b. ¿La función arcoseno es biyectiva? y ¿Porqué?

c. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcocoseno? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

d. ¿La función arcocoseno es sobreyectiva? y ¿Porqué?

e. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcotangente? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

f. ¿La función arcotangente es sobreyectiva? y ¿Porqué?

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