Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas?, ¿Conoces su origen?, en este artículo conocerás mucho sobre ellas y comprenderás que son muy fáciles de aplicar.

Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en la circunferencia trigonométrica, en donde forma un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente = x y la medida del cateto opuesto = y .

Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

A continuación, en el triángulo rectángulo se definen las 6 razones trigonométricas, tenga en cuenta que:

Cateto opuesto = y Cateto adyacente = x Hipotenusa = r

Ejemplo: Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

Solución:

Datos:

Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

Se cálcula las razones trigonométricas del ángulo α

Razones trigonométricas para ángulos complemetarios

Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.

En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:

sen α = cos β tan α = cot β sec α = csc β

sen β = cos α tan β = cot α sec β = csc α

Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.

El valor de la función trigonométrica de un ángulo, es igual al valor de la cofunción que le corresoponde de su ángulo complementario.

Como la relación de ángulos complementarios es: el valor de β queda de la siguiente forma:

Obseva:

co = cateto opuesto

ca = cateto adyacente

h = hipotenusa

Rt = razón trigonométrica

Rto = razón trigonométrica opuesta

El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Ejemplo # 1: Mira las siguientes relaciones.

1.			3.
2.			4.

Ejemplo # 2: Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.

El ángulo de α = 60° y el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de
También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que

Ejemplo # 3: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ del siguiente triángulo rectángulo.

Como los ángulos δ y α son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:

Sumando ambos ángulos para comprobar:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α y ð son complementarios.

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

Triángulos con dos lados conocidos

Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Resolver el triángulo cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.

Solución: Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.

Como α y β son complementarios se aplica:

Por razones trigonométricas

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:

Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios

Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Triángulos compuestos

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de cateto adyacente del triángulo

El valor del cateto adyacente del triángulo es

Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Cálculo del área de un triángulo

Para calcular el área de un triángulo es muy fácil, pero las situaciones para determinarlo puede darse de 3 maneras, mira la imagen a continuación:

Cuando se conoce el valor de la base y la altura del triángulo

Para determinar el área es muy sencillo sólo debes aplicar la fórmula y listo.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

= altura = h = 4 cm

= base = b =

Cuando se conoce los tres lados del triángulo

Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón.

Donde s = semiperímetro del triángulo

El perímetro del triángulo es:

Ejemplo: Determina el área y perímetro del siguiente triángulo.

Datos del triángulo

= altura = a = 4 cm

= base = b = ≈ 5,7 cm

= hipotenusa = c = 7 cm

Se calcula el semiperímetro

Por lo tanto el perímetro es:

Se aplica la fórmula de Herón para determinar el área:

Cuando se conoce dos lados y su ángulo intermedio

Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos, se aplica las siguientes fórmulas. Observa la figura.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo.

Datos del triángulo:

= a = 5 cm

= b = 5 cm

δ = 69°

La fórmula para calcular el área:

Actividades

Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas

Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β

Hallar el valor de las siguientes expresiones

Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo

Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.

Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

Determine aplicando el teorema de Pitágoras

Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa