Te has preguntado ¿Qué utilidad tiene las inecuaciones en nuestra vida diaria? Las inecuaciones se hacen presentes en muchas situaciones, por ejemplo cuando sale una película en estreno «sólo en cines» lo primero que hacemos es ingresar a la página web, ver el tráiler, revisar el lugar donde será estrenada sus horarios y la clasificación, esta clasificación nos informa las edades permitidas para poder ver el estreno, imagínate que dice así: para mayores de 16 años, entonces esa expresión resulta una inecuación ya que también se puede expresar de la siguiente manera: clasificación > 16 años.

Inecuaciones

Las inecuaciones es una desigualdad de dos expresiones algebraicas, cada expresión algebraica es llamada lado o miembro. Por ejemplo:

Desigualdades

Una igualdad es una comparación de dos expresiones equivalentes, por ejemplo:

15 + 3 = 18

Una desigualdad también es una comparación entre cantidades pero no son equivalentes, sus signos son ( > ) mayor qué y menor qué ( < ), a continuación observa los siguientes ejemplos:

Principales propiedades de las desigualdades

Las propiedades de las desigualdades ayudan a trabajar con las inecuaciones e aquí algunas de ellas:

• Propiedad #1: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo:

En la multiplicación	En la división

• Propiedad #2: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad positiva, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo:

En la multiplicación	En la división

• Propiedad #3: Si ambas miembros de la desigualdad son positivos y se eleva a un exponente impar  positivo  no cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo:

• Propiedad #4: Si ambos miembros de la desigualdad son de distintos signos y al elevarse a un exponente par  positivo, cambia el sentido de la desigualdad o también puede convertirse en una igualdad. Ejemplo:

Otro ejemplo:

• Propiedad #5: Si ambos lados de la desigualdad son del mismo signo, los inversos producen una desigualdad de sentido opuesto. Ejemplo:

Signos de las inecuaciones

A parte de los signos ( > ) mayor qué y menor qué ( < ) , en las inecuaciones se utilizan dos más uno de ellos es el menor o igual qué y el otro es el . Por ejemplo:

Y se lee: “ x es menor o igual que 10”

Soluciones de una inecuación

Los valores que satisfacen una ecuación es llamado soluciones, raíces o ceros. En una inecuación los valores de la variable que satisface a dicha relación es llamado soluciones.

Formas de expresar las soluciones de una inecuación

Las maneras de expresar las soluciones de una inecuación es de forma analítica, gráfica y en intervalos, vea los siguientes ejemplos:

Forma # 1 Analítica

x < 2

Forma # 2 Gráfica

Forma # 3 Intervalos

( k , ∞ ) ; [ k , ∞ ) ; [ k , l ]

Observa la siguiente tabla donde se relaciona las tres formas de soluciones:

	Analítica	Gráfica	Intervalos
1.	x > k		( k , ∞ )
2.	x < k		( –∞ , k )
3.	x ≥ k		[ k , ∞ )
4.	x ≤ k		( –∞ , k ]

Entonces de la tabla anterior se deduce:

1. En la primera expresión la forma analítica se usa el signo ( > )  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar una circunferencia ( Ο ) y en la forma de intervalos es usar paréntesis (   ,   )
2. En la segunda expresión la forma analítica se usa el signo ( < )  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar una circunferencia ( Ο ) y en la forma de intervalos es usar paréntesis (   ,   )
3. En la tercera expresión la forma analítica se usa el signo ≥  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar un circulo y en la forma de intervalos es usar corchetes y como va hacia el infinito se cierra con paréntesis [  ,  )
4. En la cuarta expresión la forma analítica usa el signo ≤  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar un circulo   y en la forma de intervalos es usar corchetes y como va hacia el infinito negativo se cierra con paréntesis (  ,  ]

Es decir cuando la solución analítica queda expresada con los signos < menor o igual qué o  > mayor o  igual qué, en la gráfica se dibuja una pequeña circunferencia ( Ο ), y en intervalos con paréntesis (   ,   )

Y cuando la solución analítica queda expresada con los signos o , en la gráfica se dibuja un pequeño círculo , y en intervalos los corchetes por ejemplo: [  ,  ) ; (  ,  ] o [  ,  ]

Intervalos

Son dos extremos comprendidos por números reales ubicados en la recta real, también es un subconjunto del conjunto de los números reales y gráficamente corresponde con los puntos de un segmento o de una semirrecta, observa la siguiente tabla con intervalos en la recta real

Intervalo	Intervalo analítico	Nombre del intervalo	Representación gráfica del intervalo
I n f i n i t o s	[ k , +∞ )	Intervalo infinito a la derecha
	( k , +∞ )	Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo
	( -∞ , k ]	Intervalo infinito por la izquierda
	( -∞ , k )	Intervalo infinito por la izquierda sin incluir el extremo
	( -∞ , ∞ )	Intervalos infinitos por la izquierda y derecha llamado también: Para todo valor real ℜ
F i n i t o s	( k , l )	Intervalo abierto
	[ k , l )	Intervalo semiabierto por la derecha
	( k, l ]	Intervalo semiabierto por la izquierda
	[ k , l ]	Intervalo cerrado

Inecuaciones lineales

Al resolver las inecuaciones se debe determinar la solución de las tres formas: analítica, gráfica y en intervalos.

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación:

Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( -∞ , 1/2]

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación:

Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( 5 , ∞ )

Sistema de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más inecuaciones simultáneas la cual consiste en hallar el valor o los valores de “ x ” que satisface a cada una de la desigualdad. Para hallar la solución se resuelve por separado cada inecuación, y por último, se analiza (por medio de la gráfica), las soluciones son las intersecciones de los intervalos, dicho de otra forma soluciones comunes.

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación:

Solución
Solución analítica	1° Inecuación	2° Inecuación
Solución por intervalos	( 6 , ∞ ) Intervalo abierto	( -∞ , -1 ] Intervalo infinito a la izquierda
Representación gráfica
Solución	Solución común no existe, por lo tanto es: S = Ø

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación:

Solución
Solución analítica	1° Inecuación	2° Inecuación
Solución por intervalos	[ -81 , ∞ ) Intervalo infinito a la derecha	Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo
Representación gráfica
Solución	Si existe intersección es decir solución común: S =

Ejemplo # 3

Determine la siguiente inecuación:

Solución
1° Inecuación x > 0,87	2° Inecuación	3° Inecuación x ≤ 2,26
( 13/15 , ∞ ) Intervalo infinito a la derecha	( -∞ , 43 ] Intervalo infinito a la izquierda	( -∞ , 43/19 ] Intervalo infinito a la izquierda
Existe intersección: ( -∞ , 13/15 )

Inecuaciones con valor absoluto

“ k ” es un número real, el valor absoluto de “ k ” es el valor positivo del mismo, se escribe y se lee: valor absoluto de “ k ”. Observa la siguiente imagen:

FALTA LA IMAGEN

La distancia    y    poseen la misma distancia que es igual a dos, por lo tanto el valor absoluto puede definirse como la distancia    = 

El valor absoluto de una cantidad es calculado como se muestra:

Ejemplo:

Los valores que satisfacen la ecuación elemental    es

x = k     y    x = –k

Es lo mismo decir:  x = ± k

Mira el siguiente ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 

El resultado es:   x = ± 10

La ecuación elemental    también es aplicable a expresiones polinómicas, como por ejemplo la siguiente:

_{Forma de presentación de las inecuaciones con valor absoluto} 

Las inecuaciones con valor absoluto puede presentarse de dos formas.

• Forma # 1: Es cuando . Este tipo de forma su desigualdad es el signo <  o  ≤ , y representa un sistema. Por ser un sistema su solución pertenece a una intersección  de los conjuntos solución. Su expresión sería:
  
• Forma # 2: Es cuando . Este tipo de forma su desigualdad es el signo >  o  ≥ , y no representa un sistema es una agrupación. Por ser un agrupación su solución pertenece a una unión  de los conjuntos solución. Su expresión sería:
  

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación

Observa que pertenece a la forma # 1 y por lo tanto la solución será una intersección.

Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( -7 , 19 )

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación

Observa que pertenece a la forma # 2 y por lo tanto la solución será una unión

Analíticamente	Intervalo
	( -∞ , -69/4 ) ∪ ( 81/4 , ∞ )
	Representación gráfica

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones raciones son aquellas que poseen un polinomio en el numerador y otro en el denominador. La forma es la siguiente:

Ambos polinomios son de exponentes enteros y positivos

La solución pertenece a una intersección  de los conjuntos solución o parte en común entre ellos.

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación

Según la expresión, la fracción tiene que ser positiva el numerador también lo es, esto quiere decir que el denominador debe ser positivo para que la fracción lo sea.

Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( 8/3 , ∞ )

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación

Según la expresión, la fracción debe ser positiva, por lo tanto es necesario que el numerador y el denominador tengan el mismo signo, observa:

Numerador y denominador positivos
Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( 2 , ∞ )

Numerador y denominador negativos
Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( -∞ , 7/4 )
Solución: ( 2 , ∞ ) ∪ ( -∞ , 7/4 )

Ejemplo # 3

Determine la siguiente inecuación

La fracción debe ser negativa, por lo tanto es necesario que el numerador y el denominador tengan distintos signos, observa:

Numerador positivo y denominador negativo
Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		No existe parte en común S = Ø

Numerador negativo y denominador positivo
Analíticamente	Gráficamente	Intervalos
		( -2/3 , 3/5)
Solución: ( -2/3 , 3/5 )

Ejercicios

1. Señale el intervalo de solución de las siguientes inecuaciones
   

   a.		b.
   c.		d.
   e.		f.
   g.		h.
   i.		j.
   k.		l.
   m.		n.
   o.		p.
   q.		r.
   s.		t.
   u.		v.
   w.		x.
   y.		z.

2. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones:
   

   a.		b.
   c.		d.
   e.		f.

3. Resolver las siguientes inecuaciones:
   

   a.		b.
   c.		d.
   e.		f.
   g.		h.
   i.		j.
   k.		l.

4. Resuelva las siguientes inecuaciones:
   

   a.		b.
   c.		d.
   e.		f.