Clasificación de las funciones

¿Qué puede provocar las relaciones en las funciones? Según el tipo de relación que puede tener los elementos del conjunto de partida con respecto a los elementos del conjunto de llegada puede generar tres tipos de clasificación de funciones, llamadas: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Clasificación de funciones

Función Inyectiva

La función inyectiva es llamada también «uno a uno» por que cada elemento del conjunto de partida le corresponde imágenes distintas, observe los siguiente diagramas sagitales:

Determinar si es o no inyectiva en diagramas sagitales

En la figura # 1 , los elementos «x» y «y» del conjunto de partida comparten la misma imagen «b«, por lo tanto no es una función inyectiva.

En la figura # 2 , todos los elementos del conjunto de partida (1,2,3,4) poseen distintas imágenes (b,c,d,a) por lo tanto es una función inyectiva.

Graficar una función en el plano cartesiano para determinar si es o no inyectiva

Es muy fácil, lo primero es realizar la representación gráfica y luego se aplica el criterio de la recta horizontal lo cual consiste en dibujar una serie de líneas paralelas al eje «x» , sí estas líneas interceptan a la curva de la función en un sólo punto entonces se concluye que la función es Inyectiva. Ejemplo:

Determine si la función \small f(x)=2x^{3} es inyectiva

  1. Crear la tabla de valores
  2. Graficar en el plano cartesiano
  3. Se trazan la líneas paralelas
    Observe que las líneas sólo corta a la curva en un punto, esto quiere decir que la función es Inyectiva.

Determinar analíticamente para conocer si es o no inyectiva

\small x_{1};x_{2}\in Dom (f)

\small f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}

Esta es la condición para saber si la expresión es una función afín

Ejemplo: Indique si las siguientes funciones son inyectivas

  1. \small f(x)=5x+3
      2. \small f(x)=x^{2}+4
\small f(x_{1})=f(x_{2})\small f(x_{1})=f(x_{2})
\small 5x_{1}+3=5x_{2}+3\small x_{1}^{2}+4=x_{2}^{2}+4
\small 5x_{1}=5x_{2}\small x_{1}^{2}=x_{2}^{2}
\small x_{1}=x_{2}Se iguala a cero:              x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0
Conclusión: como x1=x2  esta función Si es inyectivaSe factoriza por diferencia de cuadrados perfectos

\small \left ( x_{1}+x_{2} \right )\cdot \left ( x_{1}-x_{2} \right )=0

Se iguala cada factor a cero

\small \left ( x_{1}+x_{2} \right )=0        \small \left ( x_{1}-x_{2} \right )=0

Despejando

x1=-x2

x1=x2

Como son dos resultados distintos, entonces esta función No es inyectiva

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva cuando el rango es igual al conjunto de llegada, es decir que todos los elementos del conjunto de llegada sean imagen de por lo menos un elemento del conjunto de partida, observe los siguientes diagramas sagitales:

En la figura#3 es sobreyectiva, ya que el rango es el mismo conjunto de llegada, es decir todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes, observe que el elemento «b» del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del conjunto de partida

La figura#4 también es sobreyectiva, su rango es el mismo conjunto de llegada, aquí todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida.

La figura#5 no es sobreyectiva, por la simple razón que un elemento del conjunto de llegada no es imagen, este elemento es «g» del conjunto D

Función Biyectiva

Una función cumple con ser Biyectiva cuando es Inyectiva y Sobreyectiva, esto quiere decir que la funciones biyectivas se cumple cuando todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un sólo elemento del conjunto de partida. Observe el siguiente diagrama sagital:

 

En la figura#6 cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida entonces es una función Inyectiva, todo el rango es el mismo conjunto de llegada es decir es una función Sobreyectiva, entonces al ser Inyectiva y sobreyectiva es finalmente una función Biyectiva.

Ejercicios


Determina cuáles de las siguientes funciones f son inyectivas

  1. \small f(x)=x
  2. \small f(x)=3x
  3. \small f(x)=2x+4
  4. \small f(x)=\frac{4-x}{5}
  5. \small f(x)=\frac{1}{x}
  6. \small f(x)=x^{2}
  7. \small f(x)=x^{3}

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