Convertir ángulos al I cuadrante

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¿Sabías que convertir ángulos al I cuadrante está muy relacionado con la vida diaria? Por ejemplo, cuando observamos una laptop que forma un ángulo convexo de 120°, y ésta se entre cierra para formar un ángulo agudo.

Determinar los valores de las funciones trigonométricas es muy fácil de calcular siempre y cuando los ángulos notables estén posicionados en el primer cuadrante. En este tema verás como calcular las funciones trigonométricas con ángulos mayores de 90°, reduciendo su valor y obtener así un ángulo coterminal, verás que es muy fácil de resolver aplicando fórmulas sencillas.

Signos de las funciones trigonométricas

Según donde se ubique el ángulo las funciones trigonométricas puede ser positivas o negativas, por ejemplo si el ángulo es 150° este está ubicado en el segundo cuadrante por lo tanto la función trigonométrica del seno de 150° es positivo y la función trigonométrica del coseno de 150° es negativo:

$\small sen150^{\circ }=+\frac{1}{2}$

$\small cos150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Debes tomar en cuenta los signos de cada función trigonométrica, observe la imagen:

Fig#1

Fórmulas para convertir ángulos del IV,III,II al I cuadrante

	Cuadrante	Fórmula
1	II al I	$\small \alpha =180^{\circ }-\beta$
2	III al I	$\small \alpha =\beta -180^{\circ }$
3	IV al I	$\small \alpha =360^{\circ }-\beta$

Tabla#1

Caso#1: Convertir ángulos del II cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#1: Convertir el ángulo 120° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas y sus inversas

Solución#1:

Identificar el cuadrante del ángulo, en este caso el ángulo 120° se encuentra en el cuadrante II
Seleccionar la fórmula, por estar el ángulo (120°) en el II cuadrante se aplica la primera fórmula $\small \alpha = 180^{\circ }-\beta$
Cálculo del ángulo en el primer cuadrante, se sustituye el valor del ángulo 120° en la fórmula: $\small \alpha = 180^{\circ }-120^{\circ } =60^{\circ }$
Ángulo coterminal = 60°

Solución#2:

Determinar todas las funciones trigonométricas. El ángulo de 120° es del II cuadrante por lo tanto el resultado de los signos de las funciones trigonométricas del seno es +, del coseno es -, y el de la tangente es -, y los signos de sus inversas son los mismos. Vea la figura#1.

$\small Sen120^{\circ }=Sen60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\small Cos120^{\circ }=-Cos60^{\circ }=-\frac{1}{2}$

$\small Tan120^{\circ }=-Tan60^{\circ }=-\sqrt{3}$

$\small Csc120^{\circ }=Csc60^{\circ }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Por estar el radical en el denominador se racionaliza y su procedimiento es el siguiente:

$\small Csc120^{\circ }=Csc60^{\circ }=\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\left ( \sqrt{3}\right )^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\small Sec120^{\circ }=-Sec60^{\circ }=-2$

$\small Ctg120^{\circ }=-Ctg60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Caso#2: Convertir ángulos del III cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#2: Convertir el ángulo 225° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas e inversas

Solución#1:

Identificar el cuadrante del ángulo, el ángulo 225° se encuentra en el III cuadrante
Seleccionar la fórmula, se aplica la segunda fórmula $\small \alpha = \beta-180^{\circ }$
Cálculo del ángulo, se sustituye el valor del ángulo 225° en la fórmula: $\small \alpha =225^{\circ } -180^{\circ }=45^{\circ }$
Ángulo coterminal = 45°

Solución#2:

Determinar todas las funciones trigonométricas tomando en cuenta sus signos en el III cuadrante

$\small Sen225^{\circ }=-Sen45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small Cos225^{\circ }=-Cos45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small Tan225^{\circ }=Tan45^{\circ }=1$

$\small Csc225^{\circ }=-Csc45^{\circ }=-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

$\small Sec225^{\circ }=-Sec45^{\circ }=-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

$\small Ctg225^{\circ }=Ctg45^{\circ }=1$

Caso#3: Convertir ángulos del IV cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#3: Convertir el ángulo 330° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas e inversas

Solución#1:

Identificar el cuadrante del ángulo, el ángulo 330° se encuentra en el IV cuadrante
Seleccionar la fórmula, se aplica la tercera fórmula $\small \alpha = 360^{\circ }-\beta$
Cálculo del ángulo, sustituir el valor del ángulo 330° en la fórmula: $\small \alpha =360^{\circ } -330^{\circ }=30^{\circ }$
Ángulo coterminal = 30°

Solución#2:

Determinar todas las funciones trigonométricas tomando en cuenta sus signos en el IV cuadrante

$\small Sen330^{\circ }=-Sen30^{\circ }=-\frac{{1}}{2}$

$\small Cos330^{\circ }=Cos30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\small Tan330^{\circ }=-Tan30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\small Csc330^{\circ }=-Csc30^{\circ }=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$

$\small Sec330^{\circ }=Sec30^{\circ }=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\small Ctg330^{\circ }=-Ctg30^{\circ }=-\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$

Caso#4: Convertir ángulos mayores de 360° al I cuadrante

Cuando son ángulos mayores de 360° se realiza una división de ese ángulo entre 360° y se escoge el residuo.

Ejemplo#4: Determine el valor del seno de 2025°

Para determinar la reducción de este ángulo al I cuadrante debes cumplir con los siguientes pasos:

Dividir el ángulo 2025° entre 360°, se toma el resto como ángulo reducido
El ángulo 225° está en el III cuadrante, se aplica todos los 4 pasos de los casos anteriores para obtener el ángulo coterminal en el I cuadrante
$\alpha =225^{\circ }-180^{\circ }=45^{\circ }$