¿Conoces la potenciación de números reales (R)? En forma general podrás ver la expresión de una potencia de números R. Para ello, es importante conocer el conjunto de estos números que comprenden los racionales, irracionales, naturales, enteros y naturales. También es importante que conozcas el uso de los números en la vida cotidiana.
Potenciación de los números reales
A continuación, veamos la expresión de las potencias de los números enteros. Sea un número real a que multiplicado n veces por sí mismo se representa de la siguiente manera:
| $$a^{2}=a.a$$ | 2 veces a |
| $$a^{3}=a.a.a$$ | 3 veces a |
| $$a^{4}=a.a.a.a$$ | 4 veces a |
| $$a^{5}=a.a.a.a.a$$ | 5 veces a |
| $$a^{6}=a.a.a.a.a.a$$ | 6 veces a |
«n» es un número natural > 0
| $$a^{n}=a.a.a.a …a$$ | es decir n veces a | donde a ∈ ℜ, n ∈ Ν + |
Ejemplo # 1: Determine la potenciación de la siguiente expresión
$$\left (\sqrt{2.\pi } \right )^{4}$$
Para poder efectuar el cálculo lo primero es usar 3 decimales con aproximación por defecto y se efectúa de la siguiente manera:
$$\sqrt{2\cdot \pi }=\sqrt{2\cdot 3,141 }=2,506$$
$$\left (2,506 \right )^{4}=\left ( 2,506 \right )\cdot \left ( 2,506 \right )\cdot \left ( 2,506 \right )\cdot \left ( 2,506 \right )=39,438$$
Cuando la base es negativa con exponente par el resultado de la base es positivo
$$\left ( -a \right )^{n}=a^{n}$$
Donde n = par
a ∈ R, n ∈ ℕ+
Cuando la base es negativa con exponente impar el resultado de la base es negativo
$$\left ( -a \right )^{n}=-a^{n}$$
Donde n = impar
a ∈ R, n ∈ ℕ+
Ejemplo # 2: Determine la potenciación de las siguientes expresiones
Solución:
$$\left( -6 \right)^2 = \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) = 6^2 = 36$$
$$\left( -6 \right)^3 = \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) = \left( -6 \right)^3 = -216$$
Ejemplo # 3: Determine la potenciación de las siguientes expresiones:
| $$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} =$$ | Solución: Se resuelve cada término y luego se resta |
| $$\left( \sqrt{3} \right)^3 = 1.732 \cdot 1.732 \cdot 1.732 = 5.195$$ | |
| $$\frac{1}{e} = 0.367$$ | |
| $$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} = 5.195 – 0.367 = 4.828$$ | Resultado |
Ejemplo # 4: Determine la potenciación de las siguientes expresiones
| $$\left ( -\sqrt{6} \right )^{3}+\left ( \sqrt{5-2} \right ) =$$ | Solución: Resolver cada término y luego sumar |
| $$\left( -\sqrt{6} \right)^{3} = \left( -2.449 \right) \cdot \left( -2.449 \right) \cdot \left( -2.449 \right) = -14.688$$ | |
| $$\sqrt{5-2} = 1.732$$ | |
| $$\left( -\sqrt{6} \right)^{3} + \left( \sqrt{5-2} \right) = -14.688 + 1.732 = -12.956$$ | Resultado |
Ejercicios para trabajar potenciación de los números reales
Determina el resultado de las siguientes expresiones:
| $$13^3 =$$ | $$\left( \sqrt{11} \right)^{3} =$$ | $$e^{4} =$$ |
| $$\left( \sqrt{7} \right)^{4} – \pi^{3} =$$ | $$\left( 1-\sqrt{3} \right)^{3} \cdot \frac{1}{2} =$$ | $$\frac{3}{(\sqrt{e})^{2}} + 0.25 =$$ |
| $$(-4)^{5} =$$ | $$(-5)^{6} =$$ | $$(- \sqrt{5})^{3} – \pi^{4} =$$ |
| $$\left( -\sqrt{8} \right)^{3} \cdot \left( 3-\sqrt{6} \right) =$$ | $$\left( -0.25 \right)^{2} + \frac{1}{2\pi} =$$ | $$\left( \sqrt[3]{5} \right)^{3} + \left( 2\pi – 3 \right) =$$ |
Potenciación de números reales con exponente entero negativo
Antes de conocer la potenciación en R con exponente entero negativo, es muy importante que conozcas que éste es resultado de un número con exponente negativo, en la que el exponente cambia al denominador con exponente negativo, y el denominador pasa al denominador. A continuación, observa lo siguiente:
Dado un número real a y a ∈ R* elevado a un exponente n con signo negativo al principio donde n ∈ N+, se ve así:
$$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$$
a ∈ R* , n ∈ N+
Ejemplo:
| $$5^{-2} = \frac{1}{5^{2}}$$ |
| $$\left( \pi \right)^{-1} = \frac{1}{\pi}$$ |
| $$\left( \sqrt{3} \right)^{-4} = \frac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{4}}$$ |
| $$e^{-7} = \frac{1}{e^{7}}$$ |
Ejercicios:
Determina el resultado de las siguientes expresiones, la respuestas debe ser dadas con 5 cifras decimales
| $$\left( \frac{3}{4} \right)^{-2}$$ | $$\left( \sqrt{6} \right)^{-1}$$ | $$\left( \sqrt{e} – \sqrt{2} \right)^{-3}$$ |
Propiedades de la potenciación de números reales (R)
Potenciación con exponente cero
Dado un número real a y a ∈ R, diferente de cero, su escritura es:
$$a^{0} = 1$$ y $$a \neq 0$$
Ejemplo:
| $$\left( \sqrt{3} \right)^{0} = 1$$ |
| $$\left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \right)^{0} = 1$$ |
| $$\left( -\frac{1}{2000} \right)^{0} = 1$$ |
Multiplicación de potencias de igual base
Dado los exponentes m, n ∈ Z y la base a ∈ R, entonces se escribe de la siguiente manera:
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$
Para llevar a cabo la multiplicación de bases iguales debes escribir la misma base a y sumar los exponentes m y n.
Ejemplo:
| $$5^{4} \cdot 5^{2} = 5^{4+2} = 5^{6}$$ |
| $$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2+5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3}$$ |
Actividades
Efectúe las siguientes operaciones:
| $$ \left( \sqrt{13} \right)^{0} – \frac{1}{3}=$$ |
| $$e^{2} \cdot e^{3}=$$ |
| $$\left( \pi – \sqrt{3} \right)^{3} \cdot \left( \pi – \sqrt{3} \right)^{-5}=$$ |
JIJIJIJA Primer comentario
Gracias por el aporte me ayudo mucho con mi tarea de mates
Hola Asriel_D gracias por tu comentario. Nos alegra que te ayudó el contenido para tus clases de matemáticas. Saludos
Gracias por la ayuda 💪