9ºGrado

Cálculo de área y volumen de un poliedro regular

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Cálculo de área y volumen de un poliedro regular

Diseñador de interioresSi estás buscando el cálculo de área y volumen de un poliedro regular estás en el lugar correcto. Comencemos con este ejemplo de la vida diaria: El señor Rafael es un diseñador de interiores, en su último contrato tuvo que remodelar un apartamento pequeño. El cliente le exigió un diseño moderno y funcional con la intención de aprovechar al máximo los espacios de las paredes, techos y rincones. Para ello, calculó con precisión las áreas y volúmenes de diferentes elementos decorativos, para así asegurarse que todos encajen sin desperdiciar espacios. Finalmente seleccionó los muebles, camas y comedor con una estética agradable y ajustada a la comodidad del paso en el lugar.

Los cálculos de las áreas y volúmenes son esenciales en la toma de decisiones de un diseñador, ya que permite conocer la distribución correcta de los muebles, la elección de los materiales y la optimización del espacio. Por medio del cálculo tú también puedes crear un ambiente armónico y funcional en tu habitación o en cualquier espacio de tu hogar.

Poliedros

Son figuras geométricas tridimensionales compuesto por polígonos.

Elementos

Es muy importante conocer y aprenderse todos los elementos del poliedro, ya que facilita una mejor interpretación y por ende una buena aplicación en el cálculo. A continuación, los elementos del poliedro:

Poliedro-cubo
Figura # 1

I. Vértices. Son puntos donde coinciden las caras de un poliedro.

Los puntos: A, B, C, D, E, F, G, H son los vértices de la figura # 1.

II. Aristas. Son los lados de las caras del poliedro.

El segmento $$ \overline{AB}$$ es una arista.

III. Caras. Es cada superficie o área del polígono que compone a ese poliedro.

BGFC es una cara o superficie del poliedro.

IV. Ángulo diedro. Es un ángulo formado con dos caras que comparten una arista en común.

Ejemplo

Caras:

AHGB y AHED

Arista en común: $$ \overline{AH}$$

Ángulo diedro:

90°

Caras:

GHEF y AHED

Arista en común: $$ \overline{HE}$$

Ángulo diedro:

90°

V. Ángulo triedro. Es un ángulo formado por tres caras o tres planos los cuales comparten un mismo vértice.

En el vértice E concurren 3 caras: EDCF, GHEF, AHED allí se forma un ángulo triedro.

VI. Ángulo poliedro. Es el ángulo formado a partir de tres o más caras siempre y cuando compartan un mismo vértice.

Para la figura # 1, en cualquier vértice concurren 3 planos, es decir, se forma un ángulo triedro que es lo mismo a un ángulo poliedro.

Diagonal. Es un segmento trazado desde un vértice de una cara a otro vértice de otra cara.

El segmento $$ \overline{FA}$$ es una diagonal del poliedro.

Área total. Es la sumatoria de todas las áreas o caras del poliedro, por medio de fórmulas.

Volumen total. Es todo el espacio tridimensional del poliedro, calculado por medio de fórmulas según el tipo de poliedro.

Poliedros regulares

Sabiendo que los poliedros es una composición de polígonos, un poliedro regular está formado por polígonos regulares de ángulos poliedros y diedros iguales.

Clasificación

Existen un total de 5 poliedros regulares los cuales desempeñan un papel fundamental. Estos cuerpos geométricos son esenciales tanto en el estudio matemático como en aplicaciones prácticas, como el diseño de estructuras arquitectónicas y la modelación de estructuras cristalinas y moleculares. Los cinco poliedros regulares son el tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro. Es un poliedro formado por cuatro triángulos equiláteros, 6 aristas y 4 vértices. No posee diagonales.

Tetrágono

 

Fórmulas

ÁreaVolumen
Fórmula 1Fórmula 2
Fórmula 3
Donde:

L = longitud de la cara

h = altura del poliedro

Hexaedro. Conocido también con el nombre de cubo, es un poliedro compuesto por 6 cuadrados de las mismas dimensiones, 12 aristas, 8 vértices y 4 diagonales.

Cubo

Fórmulas.

ÁreaVolumen
Fórmula 4Fórmula 5
Donde:

L = longitud de la cara

 

Octaedro. Es un poliedro formado por 8 triángulos equiláteros, 12 aristas, 6 vértices y 3 diagonales.

Octaedro

Fórmulas.

ÁreaVolumen
Fórmula 6Fórmula 7
Donde:

L = longitud de la cara

h = altura del poliedro

 

Dodecaedro. Es un poliedro formado por 12 pentágonos regulares, 30 aristas, 20 vértices y 15 diagonales.

Dodecaedro

Fórmulas.

ÁreaVolumen
Fórmula 9Fórmula 10
Donde:

L = longitud de la cara

 

Icosaedro. Es un poliedro formado por 20 triángulos equiláteros, 30 aristas, 12 vértices y 30 diagonales.

Icosaedro

Fórmula.

ÁreaVolumen
Fórmula 11Fórmula 12
Donde:

L = longitud de la cara

 

Ejemplos resueltos

I. El área neta de un octaedro es de seis raiz cuadrada de tres cm2, calcula su volumen.

Datos:

AT = seis raiz cuadrada de tres cm2

V = ?

Fórmulas:

Fórmula 6

Fórmula 8

Solución:

Solución del octaedro

II. Determinar el área y volumen de un tetraedro, donde la longitud de la arista es de 4cm.

Datos:

AT = ?

V = ?

L = 4 cm

Fórmulas:

Fórmula 1

Fórmula 3

Solución:

Solución del tetraedro

III. El volumen de un hexaedro es de 729cm3. Calcula la dimensión de la arista y su área total.

Datos:

V = 729cm3

a = ?

AT = ?

Fórmulas:

Fórmula 4 Fórmula 5

Solución:

Solución del hexaedro

IV. Determinar la altura de un tetraedro, donde la longitud de la arista es de raíz cuadrada de cinco cm y su volumen es 1/6 cm3

Datos:

h = ?

L = raíz cuadrada de cinco cm

VT = 1/6 cm3

Fórmulas: Se hace el despeje de la altura (h)

Fórmula del volumen del tetraedro con h

 

Solución: Se sustituye en la fórmula para determinar la altura. En la segunda línea del procedimiento se racionaliza el denominador.

Solución del tetraedro la altura

Actividades

A. Resolver los siguientes problemas

I. Calcular el área total de un tetraedro, si su altura es raíz cuadrada de seis cm y su volumen es nueve cuartos raíz cuadrada de dos .

II. ¿Cuál es la altura de un tetraedro si el valor de su volumen es de 5/3 cm3.

III. La altura de un octaedro es de 3cm y su área total es tres raíz cuadrada de seis cm2. ¿Cuál es su volumen?.

IV. Hallar el volumen de un hexaedro si su área total es 12cm2.

B. Trabaja con el software GeoGebra y construye un tetraedro de arista 4cm

a. Selecciona el botón de herramienta “Polígono regular” dale clic en el origen del plano cartesiano luego le das clic hasta llegar a 4, allí se forman automáticamente dos puntos con su nombre. (longitud de la arista).

b. Selecciona 3 vértices y cliquea «Ok».

c. Desplázate al menú Vista y selecciona «Vista gráfica 3D».

d. Dirígete a la barra de «Entrada» y escribe «Tetraedro».

e. Selecciona Tetraedro (<Punto>, <Punto>).

f. Les das el nombre de los puntos formados en el paso a.

g. Listo tienes el Tetraedro.

h. Selecciona el botón de herramienta “Volumen” y toca el Tetraedro.

De esta forma obtienes el volumen de este poliedro.

Ahora que conoces más acerca del cálculo de área y volumen de un poliedro regular no olvides poner en práctica lo aprendido. Recuerda compartir y comentar nuestro contenido, de esta manera nos ayudas a seguir creciendo.

Método de sustitución: paso a paso

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Método de sustitución

Feliz por el temaEl método de sustitución es otra manera de poder resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Así que, quédate en este post que te ayudará a resolver fácilmente este método.

Como su nombre lo indica se trata de sustituir para poder hallar la solución.

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de cualquier ecuación y luego sustituir su valor en la otra, obteniéndose una nueva ecuación de una sola incógnita.

Pasos para aplicar el método de sustitución

  1. Seleccionar una ecuación.
  2. Realizar el despeje de cualquier variable “x” e “y”
  3. Sustituir la expresión de esa variable en la otra ecuación.
  4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación dada.
  5. Comprobación.
  6. Tipo de sistema.

Ejercicios resueltos de método de sustitución

Para resolver tus habilidades en este tema, te invitamos a ver los siguientes ejemplos resueltos paso a paso:

Ejemplo # 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.

Ejemplo # 1 método de sustitución

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una ecuación.

En este caso se escoge la primera ecuación que es:

Ejemplo # 1 método de sustitución 1

Paso # 2. Despejar.

Para este ejemplo se despeja la “x”

Ejemplo # 1 método de sustitución 2

Paso # 3. Sustituir la expresión de esa variable en la otra ecuación.

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 3

Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación dada.

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 4

Paso # 5. Comprobación.

Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 5

Como el resultado es igual, los valores de “x” e “y” es correcto.

Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.

Punto de intersección de ambas rectas es:

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 6

Ejemplo # 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.

Ejemplo # 2 método de sustitución paso 1

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una ecuación.

En este caso se escoge la segunda ecuación.

Ejemplo # 2 método de sustitución paso 1.

Paso # 2. Despejar.

Para este ejemplo se despeja la variable “y”

Ejemplo # 2 método de sustitución paso 2.

Paso # 3. Sustituir la expresión en la otra ecuación.

Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación.

Para este caso se selecciona la segunda ecuación.

Paso # 5. Comprobación.

Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la primera ecuación.

Ejemplo # 2 método de sustitución p5

Como el resultado es igual, los valores de “x” e “y” es correcto.

Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.

Punto de intersección de ambas rectas es:

(-3,1)

Ejemplo # 3

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.

Ejemplo # 3 método de sustitución p1

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una ecuación.

En este caso se toma la primera ecuación.

Ejemplo # 3 método de sustitución paso1

Paso # 2. Despejar.

Para este ejemplo se despeja la variable “x”

Ejemplo # 3 método de sustitución paso2

Paso # 3. Sustituir la expresión en la otra ecuación.

Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación.

Para este caso se selecciona la primera ecuación.

Ejemplo # 3 método de sustitución paso4

Paso # 5. Comprobación.

Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.

Ejemplo # 3 método de sustitución paso5

Como el resultado es idéntico los valores de “x” e “y” es correcto.

Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.

Punto de intersección de ambas rectas es:

(-2,-2)

Actividades

Utiliza el método de sustitución para determinar las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones y diga el nombre del sistema.

Actividades 1

Determina los valores de los valores de los coeficientes A y B para que el sistema de ecuaciones tenga la solución indicada.

Actividades 2

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Método de reducción

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Método de reducción

pegatina

El método reducción es uno de cuatro métodos para solucionar un sistema de ecuaciones lineales, su procedimiento es muy sencillo y se basa en lo analítico. Es decir, en la manipulación de las ecuaciones dadas sin la necesidad de generar gráficos (Método gráfico).

El método de reducción consiste en igualar las bases o coeficientes de una de las incógnitas con signos diferentes.

Pasos para aplicar el método de reducción

  1. Seleccionar una variable que desees eliminar y tomar sus coeficientes.
  2. Generar nuevamente el sistema de ecuaciones y los coefiecientes encontrados posicionarlos fuera de la llave en forma cruzada.
  3. Multiplicar los coeficientes que están fuera de la llave por todos los términos de la ecuación, finalmente los términos de esa variable seleccionada deben ser iguales con diferentes signos.
  4. Sumar ambas ecuaciones transformadas con el objetivo de eliminar esa variable seleccionada.
  5. Despejar la variable que queda.
  6. Hallar el valor de la incógnita faltante sustituyendo el resultado del paso # 5 en cualquiera de las ecuaciones originales.
  7. Comprobar los valores encontrados. Seleccione cualquier ecuación original.

Tutorial Método de Reducción

Ejemplo # 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de reducción.

Ejemplo de sistema de ecuaciones reducción

Solución.

1.Selecciona la variable “y”

 Se selecciona la variable “y” para eliminarla. Sus coeficientes 4 y 3.

2. Generar nuevamente el sistema de ecuaciones

Generar nuevamente el sistema de ecuaciones con los coeficientes de la variable “y” fuera de la llave y de forma cruzada.

Generar un nuevo sistema de ecuaciones

3. Multiplicar los coeficientes 3 y 4

Multiplicar los coeficientes 3 y 4 por todos los términos de la ecuación.

Multiplicar todos los coeficientes

Resultado de la multiplicación de los coeficientes

4. Sumar ambas ecuaciones

 Sumar ambas ecuaciones (Aplicar la ley de signos de la suma algebraica).

Sumar ambas ecuaciones.

5. Despejar la «x»

Despejar la variable.

Despejar la variable.

6. Determina el valor de «y»

Hallar el valor de la otra incógnita, en este ejemplo se selecciona la primera ecuación.

3x – 4y = 2

Hallar el valor de la otra variable.

7. Comprobar los valores obtenidos

Comprobar los valores de x e y.

Para este ejercicio se selecciona la primera ecuación y se sustituye los valores de x e y.

3x – 4y = 2

Comprobación del resultado.

Finalmente el resultado es una solución, el punto de coordenada es:

Tiene una solución.

Quiere decir que tiene una solución y es compatible determinado.

Ejemplo # 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de reducción.

Ejemplo # 2 método de reducción

Solución.

1. Selecciona una variable para eliminarla

Se selecciona la variable “x” para eliminarla. Sus coeficientes son 1 y 3 y para que su resultado se anule se le agrega el signo negativo al número 3, es decir -3.

2. Genera un nuevo sistema de ecuaciones

Generar nuevamente el sistema de ecuaciones con los coeficientes de la variable “y” fuera de la llave y de forma cruzada.

Ejemplo # 2 método de reducción

3. Multiplica los coeficientes -3 y 1

Multiplicar los coeficientes -3 y 1 por todos los términos de cada ecuación.

Ejemplo # 2 método de reducción 3

4. Realiza la suma de ambas ecuaciones

Sumar ambas ecuaciones (Aplicar la ley de signos de la suma algebraica).

Ejemplo # 2 método de reducción 4

5. Despejar la «y»

Despejar la variable para obtener el valor de “y”

Ejemplo # 2 método de reducción 5

6. Determina el valor de «X»

Hallar el valor de “x” , en este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.

Ejemplo # 2 método de reducción 6

7. Comprobar los resultados obtenidos

Comprobar los valores encontrados de x e y.

En este ejemplo se selecciona la segunda ecuación original y se sustituye los valores de x e y.

Ejemplo # 2 método de reducción 7

Como ambos números son iguales quiere decir que los valores encontrados de x e y son correctos.

Por lo tanto tiene una solución y es compatible determinado.

El punto de coordenada encontrado es:

Cooredenada segundo ejemplo

Actividades

Busque el número por el que se debe multiplicar cada ecuación para que se pueda eliminar la variable que se indica.

Ejercicio # 1 Método de eliminación

Determina si el punto (1,-2) es solución del sistema.

Ejercicio # 2 Método de eliminación

Calcula la solución del sistema de ecuaciones aplicando el método de reducción.

Ejercicio # 3 Método de reducción

Ayúdanos a seguir creando contenidos de valor como este método de reducción, comenta y comparte.

Sistema de ecuaciones: Método de igualación

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Sistema de ecuaciones: Método de igualación

Solución gráfica¿Estás estudiando sistema de ecuaciones y buscas una manera fácil de resolver el método de igualación? Sí es así, has llegado al lugar indicado. Antes de comenzar el método de igualación, reforcemos en qué consiste el método gráfico, ya que ayuda a ver el punto de intersección de las rectas.  Sin embargo, cuando el resultado son números reales el método en muchas ocasiones no admite ver el punto de coordenada con precisión.

Es aquí donde interviene el método de igualación que permite ver los valores con precisión. Por ejemplo, si la solución de un sistema de ecuaciones es x = -3 y y = 2,0002, gráficamente la solución sería x = -3 y   y = 2. Observa la figura. Para determinar con exactitud la solución de un sistema de ecuaciones se tienen varios métodos analíticos, como el método de igualación.

El método de igualación se trata en despejar la misma incógnita en cada ecuación, posteriormente se igualan los resultados y de esta manera se llega a obtener una ecuación con una sola variable.

Pasos para aplicar el método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 aplicando el método de igualación debes proceder de la siguiente manera:

  1. Seleccionar una variable “x” o “y” y despejarla en cada ecuación.
  2. Igualar los resultados para obtener una ecuación de una incógnita y determinar el valor de la incógnita.
  3. Sustituir el valor obtenido en cualquier ecuación del sistema dado, para hallar el valor de la otra variable.
  4. Comprobación.
  5. Nombre el tipo de sistema.

Aquí tienes un tutorial explicado paso a paso para que puedas aplicar el método de reducción

Ejemplo # 1

Resolver por el método de igualación el siguiente sistema.

Ejercicio # 1

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una variable. En este ejemplo se toma a la variable “y”. Despejada ambas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Ejercicio # 1 paso # 1

Paso # 2. Igualar los resultados y determinar el valor de la incógnita.

Paso # 2

Paso # 3. Sustituir el valor obtenido x = 1 en cualquier ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. Para este ejemplo se escoge a la primera ecuación.

Paso # 3

Entonces se tiene una solución, el punto es: (1,0)

Paso # 4. Comprobar el resultado.

Se sustituye ambos valores en cualquier ecuación, en este caso es seleccionado la segunda ecuación.

Paso # 4

Esto quiere decir que el resultado en el paso # 3 y # 2 es correcto, por lo tanto el sistema arroja una sola solución.

Paso # 5. El tipo de sistema es compatible determinado.

Ejemplo # 2

Aplicar el método analítico de igualación al siguiente sistema de ecuaciones.

Ejercicio # 2. Método de igualación

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una variable. En este ejercicio se considera a la variable “x”. Despejada ambas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #1

Paso # 2. Igualar los resultados y determinar el valor de la incógnita.

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #2

Paso # 3. Sustituir el valor obtenido y = 1 en cualquier ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. Para este ejemplo se escoge la segunda ecuación.

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #3

Paso # 4. Comprobar el resultado.

Se sustituye ambos valores en cualquier ecuación, en este caso es seleccionado la primera ecuación.

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #4

Esto quiere decir que el resultado en el paso # 3 y # 2 es correcto, por lo tanto el sistema arroja una sola solución.

Paso # 5. El tipo de sistema es compatible determinado.

Ejemplo # 3

Aplicar el método analítico de igualación al siguiente sistema de ecuaciones.

Ejercicio # 3. Método de igualación

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una variable. En este ejercicio se toma a la variable “y”. Despejada ambas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 1

Paso # 2. Igualar los resultados y determinar el valor de la incógnita.

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 2

Paso # 3. Sustituir el valor obtenido x = 17/14 en cualquier ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. Para este ejemplo se escoge la primera ecuación despejada para mayor facilidad en el cálculo.

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 3

Paso # 4. Comprobar el resultado.

Se sustituye ambos valores en cualquier ecuación, en este caso es seleccionado la segunda ecuación.

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 4

Esto quiere decir que el resultado en el paso # 3 y # 2 es correcto, por lo tanto el sistema arroja una sola solución.

El punto solución es: (17/14,-18/7)

Paso # 5. El tipo de sistema es compatible determinado.

Gráficamente es visto de la siguiente manera:

Viendo la gráfica

Gráfica

Actividades del método de igualación

Responda si es verdadero o falso en cada expresión

Si existe un sistema de ecuaciones con una solución que posee números decimales, no se puede resolver por el método de igualación. ________________________________

El método gráfico es más exacto que el método de igualación. _________________________

Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de igualación.

Dado el siguiente sistema de ecuación

¿Qué valor tiene a para que el sistema tenga infinitas soluciones?

A. 2

B. 3

C. -3

D. -2

Solucione el siguiente problema:

El doble de un número más otro, es 25, y el triple del primer número menos el segundo es 0. Determina esos números.

Ahora que conoces un poco más acerca del método de igualación y tienes las herramientas necesarias para resolver los ejercicios planteados, no dejes de practicar lo aprendido.

Si te gustó este contenido, comparte con tus amigos  😉  seguramente será de gran ayuda para ellos. También nos encantaría leer tus comentarios acerca de este tema. No olvides que si necesitas refuerzo en este tema puedes contactarnos, con gusto te agendaremos una clase.

Sistema de ecuaciones: Método gráfico

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Sistema de ecuaciones método gráfico

Pegatina

El método gráfico es utilizado ampliamente en situaciones cotidianas que envuelven dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo, cuando sales de compra, al montar baldosas en un área específica. También es muy usado en la ingeniería, física, economía, salud, química, deporte, etc. Gracias a este método puedes ver los valores con mucha facilidad en un plano cartesiano.

Método gráfico

Permite representar de forma gráfica las rectas de cada ecuación lineal de un sistema de ecuaciones, con la finalidad de obtener la solución del sistema.

Se sorprende porque en un sistema de ecuaciones lineales siempre aparecen rectas al graficar

 

 

“Cuando se gráfica en el plano cartesiano el par de ecuaciones lineales siempre se obtiene dos rectas”

 

 

Pasos para aplicar el método gráfico

  1. Hallar los puntos de cortes de la primera recta con los ejes x e y.
  2. Determinar los puntos de cortes de la segunda recta con los ejes x e y.
  3. Graficar ambas rectas en el plano cartesiano.
  4. Mencionar el tipo de sistema.

Tipos de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Cuando se soluciona un sistema de ecuaciones lineales puede presentarse tres tipos de sistemas, ellos son:

  1. Sistema compatible determinado.
  2. Sistema incompatible.
  3. Sistema compatible indeterminado.

Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones

Gráfica
Rectas secantes con un punto de intersección

Compatible determinado.
Son rectas secantes.
m≠m´
Son dos ecuaciones idénticas y se genera dos rectas que coinciden

Compatible indeterminado.
Son rectas coincidentes.
m=m´
b=b´
Rectas paralelas

Incompatible.
Son rectas paralelas.
m=m´
b≠b´

Compatible determinado

Llamado también determinado o consistente. Es compatible determinado cuando se obtiene una sola solución es decir, un punto por donde ambas rectas se interceptan. Observa el siguiente ejemplo:

Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones e indica el tipo de sistema.

Sistema de ecuaciones

A continuación, los pasos para resolver gráficamente el sistema de ecuaciones:

1° Hallar los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3

 x y
Cuando x = 0Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0Se sustituye el valor de y = 0
-x + y = 3-x + y = 3
0 + y = 3-x + 0 = 3
y = 3
-x = 3
 x = -3
Coordenada del primer punto de corteCoordenada del segundo punto de corte
(0,3)(-3,0)

2° Hallar los puntos de corte de la segunda recta x + y = 1

 x y
Cuando x = 0Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0Se sustituye el valor de y = 0
x + y = 1x + y = 1
0 + y = 1x + 0 = 1
y = 1x = 1
Coordenada del primer punto de corteCoordenada del segundo punto de corte
(0,1)(1,0)

3° Graficar ambas rectas utilizando los puntos de cortes.

Gráfico de ambas rectas

a- Grafica los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3
Puntos: (0,3) y (-3,0)

b- Grafica los puntos de la segunda recta x + y = 1
Puntos: (0,1) y (1,0)

c- Traza la primera y la segunda recta utilizando sus puntos de cortes.

Como se obtuvo un punto entonces ambas rectas se interceptan en: (-1,2). Vea la gráfica

Tipo de sistema: Compatible determinado.

Incompatible

Llamado también inconsistente. Es incompatible cuando se forma dos rectas paralelas en este caso no existe soluciones. Observa el siguiente ejemplo:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones e indica su tipo de clasificación.

Ejemplo # 2

1° Hallar los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3

 x y
Cuando x = 0Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0Se sustituye el valor de y = 0
-x + y = 3-x + y = 3
0 + y = 3-x + 0 = 3
y = 3
-x = 3
 x = -3
Coordenada del primer punto de corteCoordenada del segundo punto de corte
(0,3)(-3,0)

2° Hallar los puntos de corte de la primera recta –x + y = 5

 x y
Cuando x = 0Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0Se sustituye el valor de y = 0
-x + y = 5-x + y = 5
0 + y = 5-x + 0 = 5
y = 5-x = 5
 x = -5
Coordenada del primer punto de corteCoordenada del segundo punto de corte
(0,5)(-5,0)

3° Graficar ambas rectas utilizando los puntos de cortes.

a- Grafica los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3 Puntos: (0,3) y (-3,0)

b- Grafica los puntos de la segunda recta x + y = 1 Puntos: (0,5) y (-5,0)

c- Traza la primera y la segunda recta por medio de sus puntos de cortes. Como ambas rectas son paralelas se le denomina: Incompatible

Rectas paralelas

Compatible indeterminado

Llamado también indeterminado. Es compatible indeterminado si las rectas son las mismas, por tanto se obtiene infinita soluciones. Ejemplo:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones e indica su tipo de clasificación.

Sistema de ecuaciones

1° Hallar los puntos de corte de la primera recta 2x – y = 4

 x y
Cuando x = 0Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0Se sustituye el valor de y = 0
2x – y = 42x – y = 4
2.0 – y = 42x – 0 = 4
-y = 4
2x = 4
y = -4x = 2
Coordenada del primer punto de corteCoordenada del segundo punto de corte
(0,-4)(2,0)

2° Hallar los puntos de corte de la primera recta Ecuación

 x y
Cuando x = 0Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0Se sustituye el valor de y = 0
EcuaciónSustitución de 0 en y
EcuaciónEcuación
y = -4Ecuación4
 x = 2
Coordenada del primer punto de corteCoordenada del segundo punto de corte
(0,-4)(2,0)

3° Graficar ambas rectas utilizando los puntos de cortes.

a- Grafica los puntos de corte de la primera recta 2x – y = 4  Puntos: (0,-4) y (2,0)

b- Grafica los puntos de la segunda recta Ecuación Puntos: (0,-4) y (2,0)

c- Traza la primera y la segunda recta por medio de sus puntos de cortes. Observa que ambas rectas son iguales, por lo tanto se le denomina Compatible indeterminado.

Compatible indeterminado

Actividades

Aplica el método gráfico de resolución a los siguientes sistemas de ecuaciones e indica la clasificación de cada uno.

Ejercicios 1

Observa las siguientes gráficas y responda:

  1. ¿Tienen solución? Responda: Si o No.
  2. Si la respuesta es afirmativa ¿Cuántas soluciones tienen?
  3. ¿Tipo de sistema?

Ejercicio 2Ejercicio 2.2

Resuelve el siguiente problema y aplica el método gráfico.

Dos números son tales que el doble del primero menos el segundo es 8 y la suma de los números es uno. ¿Cuáles son los números?

➡  Ahora que conoces más acerca del método gráfico, no dejes de profundizar en el tema y hacer ejercicios que te ayuden a reforzar. Si te gustó este contenido, comparte con tus amigos y compañeros de clases, será de gran ayuda.

Teorema de Pitágoras

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El Teorema de Pitágoras

¿Conoces el teorema de Pitágoras? ¿Sabías que aplicando una fórmula puedes determinar perímetros, áreas y longitudes de figuras geométricas? Imagínate que estás en un lugar y necesitas determinar la altura de una casa y no tienes un medidor de distancia, entonces con simplemente tener un lápiz y un papel puedes hallarla usando la fórmula creada por Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Teorema de Pitágoras

Pitágoras fue un gran sabio griego de la isla de Samos que vivió antes de Cristo.

Pitagoras

Él observó que un triángulo rectángulo el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, mira lo que hizo:

1.Triángulo rectánguloTriángulo rectángulo
2.

Lado más grande es la distancia:

El cuadrado del lado  es:Cuadrado del lado más largo
3.El cuadrado de lado  esCuadrado DC
4.El cuadrado del lado  Cuadrado CE
5.Se relaciona el cuadrado del lado más largo con la suma de los cuadrados de los otros lados

Por lo tanto el Teorema de Pitágoras establece que:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Nombre de los lados de un triángulo rectángulo

El lado más largo es llamado hipotenusa y los otros lados son llamados catetos

Fórmula del Teorema de Pitágoras

hipotenusa (a)Cateto (b)Cateto (c)

Ejemplo # 1 (Cálculo de la hipotenusa)

Resuelva el siguiente triángulo rectángulo, los catetos miden b = 20 cm y c = 15 cm. Determina la longitud de la hipotenusa a

1.Se aplica la fórmula

2.Se sustituyen los valores

3.El valor del lado (a) es:

Ejemplo # 2 (Cálculo de un cateto)

Determine el valor del cateto vertical

1.Se aplica la fórmula

2.Se sustituyen los valores

3.El valor del lado (b) es:
4.El valor del lado (b) aproximadamente es igual a:

Ejemplo # 3 (Cálculo de un cateto)

Determine el valor del lado del triángulo faltante

1.Datos

2.Fórmula

3.El valor del lado    es:
4.El valor del lado aproximadamente es igual a:

Ejemplo # 4 (Aplicación del Teorema de Pitágoras en la vida diaria)

El papá de Richard lo llamó para que midiera las dimensiones de la escalera de su casa también le dijo que fuera a su trabajo y le entregara esas medidas. Al llegar al lugar donde trabaja su papá nota que sólo midió la altura y el ancho de la escalera, faltándole el largo de la misma. Para solucionar ese problema Richard se acuerda del Teorema de Pitágoras y lo pone en práctica para determinar la longitud faltante y así quedar bien con su papá. Mira como lo hizo:

1.DatosAltura = b = 3m

Ancho = c = 4m

Longitud de la escalera = a = ?

2.Fórmula

3.La longitud de la escalera (a) es:

Actividades

I. Busca cinco hojas de diferentes tamaños. Toma la esquina superior derecha de cada hoja y dóblala hasta que coincida con el borde inferior de la hoja, formando así un triángulo rectángulo. Mide dos lados del triángulo con una regla y aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del tercer lado. Luego, mide el tercer lado con la regla y compara el resultado con tu cálculo.

II. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa a = 35 cm y el cateto b = 28 cm. Determina el cateto c.

III.Encuentra un objeto en tu casa al que puedas aplicarle el teorema de Pitágoras. Mide dos de sus dimensiones, calcula la tercera usando el teorema de Pitágoras y luego explica tu proceso y resultados en un video de TikTok.

Potenciación de números reales

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Potenciación de números reales

Conoces la potenciación de números reales¿Conoces la potenciación de números reales (R)? En forma general podrás ver la expresión de una potencia de números R. Para ello, es importante conocer el conjunto de estos números que comprenden los racionales, irracionales, naturales, enteros y naturales. También es importante que conozcas el uso de los números en la vida cotidiana.

Potenciación

Potenciación de los números reales

A continuación, veamos  la expresión de las potencias de los números enteros. Sea un número real a que multiplicado n veces por sí mismo se representa de la siguiente manera:

$$a^{2}=a.a$$2 veces a
$$a^{3}=a.a.a$$3 veces a
$$a^{4}=a.a.a.a$$4 veces a
$$a^{5}=a.a.a.a.a$$5 veces a
$$a^{6}=a.a.a.a.a.a$$6 veces a

«n» es un número natural > 0

$$a^{n}=a.a.a.a …a$$es decir n veces adonde  a ∈ ℜ,   n ∈ Ν + 

 Ejemplo # 1: Determine la potenciación de la siguiente expresión

$$\left (\sqrt{2.\pi } \right )^{4}$$

Para poder efectuar el cálculo lo primero es usar 3 decimales con aproximación por defecto y se efectúa de la siguiente manera:

$$\sqrt{2\cdot \pi }=\sqrt{2\cdot 3,141 }=2,506$$

$$\left (2,506 \right )^{4}=\left ( 2,506 \right )\cdot \left ( 2,506 \right )\cdot \left ( 2,506 \right )\cdot \left ( 2,506 \right )=39,438$$

Cuando la base es negativa con exponente par el resultado de la base es positivo

$$\left ( -a \right )^{n}=a^{n}$$

Donde n = par

a ∈ R, n ∈ ℕ+

Cuando la base es negativa con exponente impar el resultado de la base es negativo

$$\left ( -a \right )^{n}=-a^{n}$$

Donde n = impar

a ∈ R, n ∈ ℕ+

Ejemplo # 2: Determine la potenciación de las siguientes expresiones

Solución:

$$\left( -6 \right)^2 = \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) = 6^2 = 36$$

$$\left( -6 \right)^3 = \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) = \left( -6 \right)^3 = -216$$

Ejemplo # 3: Determine la potenciación de las siguientes expresiones:

$$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} =$$Solución: Se resuelve cada término y luego se resta
$$\left( \sqrt{3} \right)^3 = 1.732 \cdot 1.732 \cdot 1.732 = 5.195$$
$$\frac{1}{e} = 0.367$$
$$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} = 5.195 – 0.367 = 4.828$$Resultado

Ejemplo # 4: Determine la potenciación de las siguientes expresiones

$$\left ( -\sqrt{6} \right )^{3}+\left ( \sqrt{5-2} \right ) =$$Solución: Resolver cada término y luego sumar
$$\left( -\sqrt{6} \right)^{3} = \left( -2.449 \right) \cdot \left( -2.449 \right) \cdot \left( -2.449 \right) = -14.688$$
$$\sqrt{5-2} = 1.732$$
$$\left( -\sqrt{6} \right)^{3} + \left( \sqrt{5-2} \right) = -14.688 + 1.732 = -12.956$$Resultado

Ejercicios para trabajar potenciación de los números reales

Determina el resultado de las siguientes expresiones:

   $$13^3 =$$  $$\left( \sqrt{11} \right)^{3} =$$  $$e^{4} =$$
  $$\left( \sqrt{7} \right)^{4} – \pi^{3} =$$  $$\left( 1-\sqrt{3} \right)^{3} \cdot \frac{1}{2} =$$  $$\frac{3}{(\sqrt{e})^{2}} + 0.25 =$$
  $$(-4)^{5} =$$  $$(-5)^{6} =$$  $$(- \sqrt{5})^{3} – \pi^{4} =$$
  $$\left( -\sqrt{8} \right)^{3} \cdot \left( 3-\sqrt{6} \right) =$$  $$\left( -0.25 \right)^{2} + \frac{1}{2\pi} =$$  $$\left( \sqrt[3]{5} \right)^{3} + \left( 2\pi – 3 \right) =$$

Potenciación de números reales con exponente entero negativo

Antes de conocer la potenciación en R con exponente entero negativo, es muy importante que conozcas que éste es resultado de un número con exponente negativo, en la que el exponente cambia al denominador con exponente negativo, y el denominador pasa al denominador. A continuación, observa lo siguiente:

Dado un número real a  y  a ∈  R*  elevado a un exponente n con signo negativo al principio donde n ∈ N+, se ve así:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$$

         a ∈  R* ,    n ∈ N+

Ejemplo:

$$5^{-2} = \frac{1}{5^{2}}$$
$$\left( \pi \right)^{-1} = \frac{1}{\pi}$$
$$\left( \sqrt{3} \right)^{-4} = \frac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{4}}$$
$$e^{-7} = \frac{1}{e^{7}}$$

Ejercicios:

Determina el resultado de las siguientes expresiones, la respuestas debe ser dadas con 5 cifras decimales

  $$\left( \frac{3}{4} \right)^{-2}$$  $$\left( \sqrt{6} \right)^{-1}$$  $$\left( \sqrt{e} – \sqrt{2} \right)^{-3}$$

Propiedades de la potenciación de números reales  (R)

Potenciación con exponente cero

Dado un número real a  y  a ∈  R, diferente de cero, su escritura es:

$$a^{0} = 1$$ y $$a \neq 0$$

Ejemplo:

$$\left( \sqrt{3} \right)^{0} = 1$$
$$\left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \right)^{0} = 1$$
$$\left( -\frac{1}{2000} \right)^{0} = 1$$

 

Multiplicación de potencias de igual base

Dado los exponentes m, n ∈ Z  y  la base a ∈  R, entonces se escribe de la siguiente manera:

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$

Para llevar a cabo la multiplicación de bases iguales debes escribir la misma base a  y sumar los exponentes m y n.

Ejemplo:

$$5^{4} \cdot 5^{2} = 5^{4+2} = 5^{6}$$
$$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2+5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3}$$

Actividades

Efectúe las siguientes operaciones:

$$ \left( \sqrt{13} \right)^{0} – \frac{1}{3}=$$
$$e^{2} \cdot e^{3}=$$
$$\left( \pi – \sqrt{3} \right)^{3} \cdot \left( \pi – \sqrt{3} \right)^{-5}=$$

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