Determinación de conjuntos

¿Sabes cómo se aplican los conjuntos en la vida cotidiana? Antes de comenzar la explicación de este interesante tema, es importante que conozcas su aplicación en la actualidad. Un conjunto es una colección de elementos que poseen características semejantes que se consideran en sí misma en un solo objeto. Puedes observar a tu alrededor colores, personas, letras, figuras, entre otros.

¿Qué tienes que saber de los conjuntos?

A los conjuntos se le asignan una letra mayúscula y se representan con llaves o también por medio del trazado de un circulo, elipse o rectángulo, por ejemplo:

Un conjunto está determinado por comprensión, cuando se nombra la característica común de esos elementos, y por extensión, cuando se nombra cada uno de sus elementos.

Conjunto por extensión

Ten en cuenta que en el conjunto por extensión se mencionan todos los elementos.

P={ hormiga, mariposa, saltamontes, mariquita, abeja}

Conjunto por compresión

En este conjunto se nombran la característica común de todos los elementos.

P={Insectos}

Pertenencia y contenencia en conjuntos

Se dice que un conjunto pertenece a un conjunto si posee una característica común de los elementos del conjunto. Esta relación se representa con el símbolo  ϵ. Por el contrario, si el elemento no tiene una característica común, entonces no pertenece al conjunto, se representa con el símbolo ∉

Ejemplo:

C={Deportes en el que se usa el casco}

A={Deportes que se practican en carros}

  • El béisbol es un deporte en el que se usa casco.

Béisbol ∈ al conjunto C

  • El béisbol no se practica en carros.

Béisbol no pertenece al conjunto A

Béisbol ∉ A

Un conjunto está contenido en otro conjunto, cuando los elementos del primer conjunto pertenecen al segundo conjunto. Esta relación se representa con el símbolo ⊂. Si el conjunto no está contenido en otro, se utiliza ⊄

Ejemplo:

C={Deportes en el que se usa el casco}

A={Deportes que se practican en carros}

Debido a que todos los deportes se practican en carros requiere el uso de casco, entonces todos los elementos de A pertenecen a C. Por tanto, se dice que el conjunto A está contenido en el conjunto C, el cual se simboliza A ⊂ C.

Como hay deportes que no necesitan el uso de cascos, pero no requiere el uso de carros, entonces no todos los elementos de C pertenecen a A. Esto indica que el conjunto C no está contenido en el conjunto A. Se simboliza de la siguiente forma: C ⊄ A

Unión de conjuntos

La unión de conjuntos es una operación que se trata de unificar todos los elementos de ambos conjuntos, y se expresa con el símbolo ∪

Ejemplo # 1: Vea la siguiente imagen y efectúe P ∪ L

Entonces la unión de ambos conjuntos es:

Ejemplo # 2: Dado los conjuntos M = { oro, bronce, aluminio, plomo, cobre} y N = { oxígeno, carbono}. Determine: M ∪ N

M ∪ N={oro, bronce, aluminio, plomo, cobre, oxígeno, carbono}

Ejemplo # 3: Determine A ∪ B

A = {1,2,3,4,5,6,7,8}

B = {2,4,6,8,10}

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,10}

Intersección de conjuntos

Es otra operación de los conjuntos, cuando se interceptan la solución son los elementos comunes de esos conjuntos. El símbolo de intersección es ∩

Ejemplo # 1: Determine X ∩ Y

X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Y = {2,4,6,8,10}

La intersección son los elementos comunes de ambos conjuntos

X ∪ Y = {2,4,6,8}

Ejemplo # 2: Determine A ∩ D

A = {5,10,15,20,25,30}

D = {7,14,21,28,35}

Para dar el resultado de la intersección debe existir elementos comunes, en este caso no existen por lo tanto la solución es un conjunto vacío

A ∪ D = {  }

Ejemplo # 3: Observa los conjuntos P y Q y determine la intersección  P ∩ Q. Expresa el resultado entre llaves y en diagrama

P = {0,2,4,6,8}

Q = {3,6,9,12,15}

Llaves Diagrama
P ∩ Q = {6}

Diferencia de conjuntos

Una diferencia de dos conjuntos A y B, en este orden, es otro conjunto C donde los elementos que pertenecen a A no a B y se representa con el signo −

Ejemplo: Determine la diferencia A − B. Realice el resultado entre llaves y en diagrama

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}  ∧  B={2,4,6,8,10}

Entonces seleccionamos los elementos (números) del conjunto A que no se encuentren en el conjunto B, observa cada círculo sobre los elementos

En llaves
A − B={1,3,5,7,9}

 

En diagrama

 

Ejercicios de conjuntos

1. Determina por extensión cada conjunto:

a) N={Los números naturales menores que 7}

N={0,1,2, 3, 4, 5, 6}

b) P={Las vocales de la palabra mariposa}

P={a, i, o}

c) Q={Los números pares menores que 15}

Q={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

2. Dados los conjuntos A= {3, 5, 7, 9, 11} y  B= {2, 4, 6, 8}, escribe ∈ y ∉:

3 ∈ A; 5 ∉ A; 4 ∈ A; 6 ∉ A;  9 ∈ A; 11 ∉ B

3. Sean F={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y G= {3,6, 9}

a. ¿Puedes asegurar que G está contenido en F? ¿Por qué?

Sí, porque todos los elementos de G pertenecen a F.

b. ¿F está contenido en G? ¿Por qué?

No, porque algunos elementos de F no pertenecen a G.

4. Dados los conjuntos:

M={los divisores de 12}

N={los 5 primeros múltiplos de 12}

Determina los conjuntos por extensión:

M={1, 2, 3, 4, 6, 12}

N={12, 24, 36, 48, 60}

5. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4} ; B = {2,4,6}  y  C = {3,4,5,6}. Determina
a.  A ∩ B
b.  A ∩ C
c.  B ∩ C

6. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4,5} ; B = {2,4,6}  y  C = {3,4,5,6}. Determina
a.  A ∪ B
b.  A ∪ C
c.  B ∪ C

7. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4,5} ; B = {2,4,8}  y  C = {1,3,7,9}. Determina
a.  A − B
b.  B − A
c.  B − C
d.  C − A

Ahora que conoces más acerca de los conjuntos puedes ver que es un tema muy sencillo, y fácil de trabajar. Es momento de poner manos a la obra.

 

 

 

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