Determinar el rango de una función

¿Sabes cómo determinar el rango de una función? Antes de la explicación de este tema, es necesario conocer su definición, también conocido con el nombre de recorrido, el cual se define como el conjunto de las imágenes de la función, el rango es el segundo valor de cada par ordenado, es decir, que gráficamente está localizado en el eje de las ordenadas o eje “y”. Se simboliza como Rgo f

Rango de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde está graficada la función

Para poder representar gráficamente la recta de la fig#1, en primer lugar se sustituyen los valores arbitrarios de “x” en la función , estos valores son pertenecientes al dominio o al conjunto de partida, luego se obtiene las imágenes o rango es decir los valores de “y”.

El rango de toda función es la proyección de la recta o la curva graficada sobre el eje “y”,  el rango de la función  proviene del – ∞ hacia el + ∞ esto quiere decir que el rango de esta función son todos los ℜ.

A continuación, la fig#2 muestra la siguiente relación:

El conjunto de pares ordenados:  definida del conjunto  en el conjunto  . Determine el rango.
Ten en cuenta que el rango es el conjunto de llegada, también es el segundo número de cada par ordenado. Por lo tanto, el  Rgo f =

Formas para determinar el rango

Forma analítica

Se trata de despejar la variable “x” y determinar si existen o no restricciones en “y”

Ejemplo # 1: determine el rango de la siguiente función

PASOS		PROCEDIMIENTO
1	Determinar el rango Despejar “x” f(x) = y
	Verificar si existe restricción en “y” Al despejar  “x”  se puede observar que: Existe una Restricción # 2
3	Entonces el rango es

Ejemplo # 2: determine el rango de la siguiente función

PASOS		PROCEDIMIENTO
1	Determinar el rango Despejar “x” f(x) = y
2	Verificar si existe restricción en “y” Entonces al despejar  “x”  se puede observar   que: No existe Restricciones
3	Finalmente el rango es:

Forma gráfica

Para determinar el rango,  sólo es realizar un análisis de la gráfica.

Ejemplo # 3: Analice las funciones representadas en las siguientes gráficas. Posteriormente determine dominio y rango.

La función

En el eje “x” está definida para todos los valores, es decir que el dominio es 

En el eje “y” está definida para valores mayores o iguales a: -4, es decir que el rango es

La función

En el eje “x”  No está definida para x = 1, es decir que el dominio es 

En el eje “y”  El 1 No es imagen de ningún elemento de x, es decir que el rango es

Ejercicio resuelto

Grafique y determine el dominio y rango de la siguiente función:

PASOS		PROCEDIMIENTO
1	Determinar el dominio Existe una: Restricción # 1: Cuando existen raíces pares de un número negativo
2	El dominio de esta función es:
4	Determinar el rango Despejar “x” f(x) = y
5	Según el resultado anterior Se puede observar que no existe restricciones
6	Como el signo de la raíz es positivo entonces el rango está comprendido en el semieje positivo del eje de las “y” Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio, determinado en el primer paso.
7	Entonces el rango es

8 Crear la tabla de valores

x		1	2	3	4	5	6
f(x)	0

El dominio inicia desde  es decir 0,4

Entonces se crea la tabla de valores iniciando con el primer valor de x = =0,4

9 Construir la gráfica

Dominio de la función :

Rango de la función:

Actividades

Hacer el estudio de cada una de las siguientes funciones determinando:

1. Dominio
2. Rango
3. Gráfico

Profesora Militza