Si estás buscando clasificación de funciones has llegado al lugar correcto, podrás ver cada una de las funciones y sus características. ¿Qué puede provocar las relaciones en las funciones? Según el tipo de relación que puede tener los elementos del conjunto de partida con respecto a los elementos del conjunto de llegada puede generar tres tipos de clasificación de funciones, llamadas: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
Función Inyectiva
La función inyectiva es llamada también «uno a uno» por que cada elemento del conjunto de partida le corresponde imágenes distintas, observe los siguiente diagramas sagitales:
Determinar si es o no inyectiva en diagramas sagitales
En la figura # 1 , los elementos «x» y «y» del conjunto de partida comparten la misma imagen «b«, por lo tanto no es una función inyectiva.
En la figura # 2 , todos los elementos del conjunto de partida (1,2,3,4) poseen distintas imágenes (b,c,d,a) por lo tanto es una función inyectiva.
Graficar una función en el plano cartesiano para determinar si es o no inyectiva
Es muy fácil, lo primero es realizar la representación gráfica y luego se aplica el criterio de la recta horizontal lo cual consiste en dibujar una serie de líneas paralelas al eje “x” , sí estas líneas interceptan a la curva de la función en un sólo punto entonces se concluye que la función es Inyectiva.
Ejemplo # 1: Determine si la función es inyectiva
- Crear la tabla de valores
- Graficar en el plano cartesiano
- Se trazan la líneas paralelas
Observe que las líneas sólo corta a la curva en un punto, esto quiere decir que la función es Inyectiva.
Determinar analíticamente para conocer si es o no inyectiva
$$x_{1}; x_{2} \in \operatorname{Dom}(f)$$
$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$$
Esta es la condición para saber si la expresión es una función afín.
Ejemplo # 2: Indique si las siguientes funciones son inyectivas
$$f(x) = 5x + 3$$ | $$f(x) = x^{2} + 4$$ |
$$f(x_{1}) = f(x_{2})$$ | $$f(x_{1}) = f(x_{2})$$ |
$$5x_{1} + 3 = 5x_{2} + 3$$ | $$\left ( x_{1} \right )^{2}+4=\left ( x_{2} \right )^{2}+4$$ |
$$5x_{1} = 5x_{2}$$ | $$\left ( x_{1} \right )^{2}=\left ( x_{2} \right )^{2}$$ |
$$x_{1}=x_{2}$$ | Se iguala a cero: $$x_{1}^{2} – x_{2}^{2} = 0$$ |
Conclusión: como x1=x2 esta función Si es inyectiva | Se factoriza por diferencia de cuadrados perfectos $$(x_{1} + x_{2})(x_{1} – x_{2}) = 0$$ |
Se iguala cada factor a cero $$(x_{1} + x_{2}) = 0$$ $$(x_{1} – x_{2}) = 0$$ | |
Despejando x1=-x2 x1=x2 | |
Conclusión: como son dos resultados distintos, entonces esta función No es inyectiva |
Función Sobreyectiva
Una función es sobreyectiva cuando el rango es igual al conjunto de llegada. Es decir, que todos los elementos del conjunto de llegada sean imagen de por lo menos un elemento del conjunto de partida, observe los siguientes diagramas sagitales:
En la figura#3 es sobreyectiva, ya que el rango es el mismo conjunto de llegada, es decir todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes, observe que el elemento «b» del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del conjunto de partida
La figura#4 también es sobreyectiva, su rango es el mismo conjunto de llegada, aquí todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida.
La figura#5 no es sobreyectiva, por la simple razón que un elemento del conjunto de llegada no es imagen, este elemento es «g» del conjunto D
Función Biyectiva
Una función cumple con ser Biyectiva cuando es Inyectiva y Sobreyectiva, esto quiere decir que la funciones biyectivas se cumple cuando todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un sólo elemento del conjunto de partida. Observa el siguiente diagrama sagital:
En la figura#6 cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida entonces es una función Inyectiva. Todo el rango es el mismo conjunto de llegada es decir es una función Sobreyectiva, entonces al ser Inyectiva y sobreyectiva es finalmente una función Biyectiva.
Ejercicios de clasificaciones de funciones
Determina cuáles de las siguientes funciones f son inyectivas
1 | $$f(x)=x$$ |
2 | $$f(x)=3x$$ |
3 | $$f(x)=2x+4$$ |
4 | $$f(x) = \frac{4 – x}{5}$$ |
5 | $$f(x) = \frac{1}{x}$$ |
6 | $$f(x)=x^{2}$$ |
7 | $$f(x)=x^{3}$$ |
Ahora que conoces más acerca de la clasificación de funciones es momento que pongas en práctica los conocimientos aprendidos. No olvides compartir y suscribirte a nuestro sitio web.