¿Para qué sirven las sucesiones en la vida diaria? Cada vez que una persona ahorra 10 dólares más que el mes anterior, o que un cultivo de bacterias crece 20 % cada hora, aparecen en realidad las sucesiones aritméticas y geométricas: listas de números que siguen una regla fija y que permiten hallar cualquier término sin escribirlos todos.
En Matemáticas IB AA NM el tema aparece con frecuencia en el Paper 1 y en el Paper 2, casi siempre en apartados cortos que se resuelven en pocos pasos cuando se elige bien la fórmula y se cuentan bien los términos. Una pregunta tipo examen (no es una pregunta oficial del IB) ilustra el nivel que se espera:
🧮 Paper 1. Una sucesión aritmética tiene primer término u1 = 5 y cuarto término u4 = 17. Se pide: (a) la diferencia común d; (b) el término u20; (c) la suma de los primeros 20 términos. [6 puntos]
La resolución completa figura en la sección de ejemplos tipo examen. Antes, el post resume lo esencial, desarrolla cada fórmula con ejemplos resueltos y señala los errores que más puntos cuestan.
Ficha rápida del tema
| Asignatura y nivel | Matemáticas IB Análisis y Enfoques (AA), Nivel Medio (NM) |
| Tema | Números y álgebra |
| Dónde aparece | 🧮 Paper 1 y 💻 Paper 2, en preguntas cortas y largas. El IB no publica un peso oficial por subtema, de modo que esto es solo una orientación general. |
| Dificultad | Media: las fórmulas son directas; la dificultad está en elegir la correcta y contar bien los términos. |
| Tiempo de estudio estimado | 3 a 4 horas (estimación orientativa) |
| Prerrequisitos | Álgebra básica, despeje de ecuaciones, propiedades de las potencias y, para el Paper 2, logaritmos. |
| Insignias de este post | 🧮 Paper 1 · 💻 Paper 2 · 📘 Cuadernillo · ⚠️ Error común |
Lo esencial en 60 segundos
- Aritmética: se suma siempre la misma cantidad, la diferencia común d.
- Geométrica: se multiplica siempre por la misma cantidad, la razón común r.
- 📘 Término general aritmético:
- 📘 Suma de los primeros n términos (aritmética):
- 📘 Término general geométrico:
- 📘 Suma de los primeros n términos (geométrica), con r distinto de 1:
- 📘 Suma infinita (solo si el valor absoluto de r es menor que 1):
Todas estas fórmulas figuran en el cuadernillo de fórmulas del IB (conviene confirmar la edición de la convocatoria correspondiente). Lo que debe dominarse de memoria es cuándo se usa cada una.
Teoría paso a paso: sucesiones y series aritméticas y geométricas
Sucesión aritmética: diferencia común y término general
Una sucesión es aritmética cuando cada término resulta de sumar al anterior la misma cantidad d. Si d es positiva, la sucesión crece; si es negativa, decrece.
📘 Cuadernillo: un = u1 + (n − 1)d (en formato de fórmula, arriba). El factor (n − 1) es la clave: el primer término no lleva ninguna diferencia sumada.
Ejemplo resuelto 1 (🧮). Se pide el término u10 de la sucesión 7, 4, 1, …
Ejemplo resuelto 2 (🧮). ¿Qué término de la sucesión 4, 9, 14, … es igual a 124?
Es el término 25.
Serie aritmética: suma de los primeros n términos
Una sucesión es una lista de términos; una serie es la suma de esos términos. Cuando se conoce d, se emplea la primera forma de Sn; cuando se conoce el último término un, se emplea la segunda.
Ejemplo resuelto (🧮). Se pide la suma de los primeros 12 términos de 3, 7, 11, …
Comprobación con la otra forma: u12 = 3 + 11(4) = 47, y entonces:
Sucesión geométrica: razón común y término general
Una sucesión es geométrica cuando cada término resulta de multiplicar el anterior por la misma razón r. Si r es mayor que 1, crece; si está entre 0 y 1, decrece hacia 0; si es negativa, los signos se alternan.
📘 Cuadernillo: un = u1 · r^(n − 1) (en formato de fórmula, arriba).
Ejemplo resuelto 1 (🧮). Se pide u8 de la sucesión 2, 6, 18, …
Ejemplo resuelto 2 (🧮). En una sucesión geométrica, u3 = 12 y u6 = 96. Se piden r y u1.
Comprobación: u3 = 3 · 2² = 12 y u6 = 3 · 2⁵ = 96.
Serie geométrica: suma de los primeros n términos
📘 Cuadernillo: las dos formas de Sn son equivalentes. Resulta cómodo emplear la primera cuando r es mayor que 1 y la segunda cuando |r| es menor que 1, porque así se evitan signos negativos.
Ejemplo resuelto (🧮). Se pide S8 de la serie 5 + 10 + 20 + …
Suma infinita de una serie geométrica convergente
Cuando |r| es menor que 1, los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma de infinitos términos converge a un número finito. Cuando |r| es mayor o igual que 1, la serie no converge y la fórmula no es aplicable. 📘
Ejemplo resuelto (🧮). Se pide la suma infinita de 12 + 4 + 4/3 + …
Notación sigma con sucesiones
El símbolo Σ significa «suma de». Para resolver una suma con sigma se identifican tres datos: el primer término, el último término y la cantidad de términos (de k = a hasta k = b hay b − a + 1 términos).
Ejemplo resuelto (🧮). Se pide el valor de:
Para k = 1 el término es 4 y para k = 20 es 61. La diferencia entre términos consecutivos es 3, de modo que se trata de una serie aritmética con 20 términos:
Modelización: cuándo se usa cada tipo en problemas reales
Cuando una cantidad cambia en un valor fijo en cada periodo (ahorrar 10 dólares más cada mes), el modelo es aritmético. Cuando cambia en un porcentaje (crecer 20 % por hora), el modelo es geométrico, con r = 1 + p/100 para un aumento de p % y r = 1 − p/100 para una disminución de p %.
Ejemplo 1 (🧮): ahorro. Una persona ahorra 50 dólares el primer mes y cada mes ahorra 10 dólares más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorra en total en 12 meses?
Ahorra 1260 dólares en total.
Ejemplo 2 (💻): bacterias. Un cultivo tiene 500 bacterias y crece 20 % cada hora. ¿Cuántas hay después de 6 horas?
Hay aproximadamente 1490 bacterias (3 cifras significativas). ⚠️ La hora 0 corresponde a u1; por eso la hora 6 corresponde a u7.
Ejemplos tipo examen con mark scheme
Los puntos que siguen son una ilustración de cómo suele asignarse la puntuación (M = método, A = respuesta, ft = follow through); no constituyen un mark scheme oficial del IB.
🧮 Paper 1: resolución de la pregunta del inicio
Una sucesión aritmética tiene u1 = 5 y u4 = 17. Se pide: (a) d; (b) u20; (c) S20. [6 puntos]
| Apartado | Dónde se ganan los puntos | Puntos |
| (a) | M1: se plantea u4 = u1 + 3d con los datos. A1: d = 4. | M1 A1 |
| (b) | M1: se sustituye en un con n = 20 (con el d de (a)). A1: u20 = 81. | M1 A1 |
| (c) | M1: se sustituye en Sn con n = 20, u1 = 5 y u20. A1ft: 860 (ft si el u20 de (b) era incorrecto pero el método es correcto). | M1 A1ft |
💻 Paper 2: primer n tal que la suma supera 1000
Una sucesión geométrica tiene u1 = 3 y r = 1.5. Se pide: (a) una expresión para Sn; (b) el menor valor de n para el cual Sn es mayor que 1000. [5 puntos]
Por tanto, n = 13. Comprobación con la calculadora: S12 ≈ 772 (menor que 1000) y S13 ≈ 1160 (mayor que 1000). También se puede graficar y = 6(1.5^x − 1) y y = 1000 y leer la intersección en x ≈ 12.6.
| Apartado | Dónde se ganan los puntos | Puntos |
| (a) | M1: se sustituye correctamente en la fórmula de Sn. A1: 6(1.5^n − 1) (se acepta sin simplificar). | M1 A1 |
| (b) | M1: se plantea la desigualdad (o la igualdad) con Sn. M1: se resuelve (logaritmos, gráfica o tabla): n ≈ 12.6. A1: n = 13. | M1 M1 A1 |
⚠️ Al dividir entre ln 1.5, la desigualdad no cambia de sentido porque ln 1.5 es positivo. Y como n debe ser entero, la respuesta es 13, no 12.6.
Paper 1 vs. Paper 2: cómo cambia el enfoque en sucesiones y series
| 🧮 Paper 1 (sin calculadora) | 💻 Paper 2 (con calculadora) | |
| Datos típicos | Números pequeños y razones sencillas (2, 3, 1/2). | Razones decimales y porcentajes (1.5, 1.2, 0.95). |
| Cómo se responde | Forma exacta: fracciones y potencias sin evaluar cuando son muy grandes. | Decimales con 3 cifras significativas, salvo indicación contraria. |
| Cómo se halla n | Ecuaciones lineales o potencias reconocibles (2^n = 32). | Logaritmos, tabla de valores o intersección de gráficas. |
| Qué se muestra | La sustitución en la fórmula y cada paso algebraico. | La expresión o ecuación planteada antes de usar la calculadora. |
| Trampa frecuente | Errores de signo con r o d negativos. | Redondear valores intermedios y perder precisión. |
Errores comunes en sucesiones aritméticas y geométricas
- ⚠️ Usar n en lugar de n − 1. En una sucesión aritmética, un = u1 + (n − 1)d, no u1 + nd. En 4, 9, 14, … el término 3 es 4 + 2(5) = 14, no 4 + 3(5).
- ⚠️ Exponente equivocado en la geométrica. El término n lleva r elevado a n − 1, no a n.
- ⚠️ Perder el signo de r. En 3, −6, 12, … con r = −2, el quinto término es 3(−2)^4 = 48, no −48.
- ⚠️ Usar la suma infinita sin comprobar que |r| es menor que 1. Si r = 2 o r = −1.5, la serie no converge.
- ⚠️ Confundir sucesión y serie. u10 es un término; S10 es la suma de los 10 primeros términos.
- ⚠️ Contar mal los términos en sigma. De k = 3 a k = 10 hay 10 − 3 + 1 = 8 términos, no 7.
- ⚠️ Olvidar el indexado en problemas de porcentaje. Si el valor inicial es u1 (tiempo 0), después de t periodos se está en u(t + 1).
- ⚠️ Redondear antes de tiempo en el Paper 2. Los valores intermedios se conservan en la calculadora y solo se redondea la respuesta final.
Sigue aprendiendo
Las sucesiones aritméticas y geométricas se conectan con otros temas del curso y con contenidos de bachillerato que refuerzan la base algebraica. Los enlaces siguientes ordenan el recorrido: primero lo que prepara este tema, luego lo que continúa y, por último, los temas relacionados.
Lo que prepara este tema
- Potenciación y propiedades de los números reales: las potencias sostienen el término general geométrico, donde la razón r se eleva a n − 1.
- Ecuaciones exponenciales: se emplean para despejar n cuando aparece en el exponente, como en 2^n = 32.
Para continuar
- Interés compuesto: aplica las progresiones geométricas al dinero. (Sin enlace por ahora; se enlaza cuando se publique.)
- Matemáticas IB AA NM: reúne las guías de los cinco temas del curso, con ejemplos tipo examen y mini-quiz para Paper 1 y Paper 2.
Temas relacionados
- Ecuación de la recta: guía práctica con ejemplos y ejercicios: una sucesión aritmética se comporta como una función lineal de n, con la diferencia común d en el papel de la pendiente.
- Funciones elementales: lineales, cuadráticas, racionales y más: ofrece el marco para observar las sucesiones como funciones de n.
- Binomio de Newton: el teorema del binomio también trabaja con la notación sigma (Σ) y con términos generales.
Preguntas frecuentes sobre sucesiones aritméticas y geométricas
Se calcula la diferencia entre términos consecutivos y también el cociente. Si la diferencia es siempre la misma, la sucesión es aritmética; si el cociente es siempre el mismo, es geométrica. Si ninguna de las dos se mantiene, no es de ninguno de los dos tipos.
Las de este post (término general y suma de n términos para ambos tipos, y la suma infinita) figuran en el cuadernillo de fórmulas del IB. Conviene confirmar la edición de la convocatoria correspondiente, porque el cuadernillo puede actualizarse.
Solo cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1. Con |r| mayor o igual que 1, la serie no converge y la fórmula no es válida.
En el Paper 1 los datos suelen elegirse de modo que la potencia se reconozca directamente; por ejemplo, 2^n = 32 implica n = 5.
Se plantea la ecuación o la desigualdad y se resuelve con logaritmos, con una tabla de valores o graficando ambos lados y hallando la intersección. El valor de n debe ser un entero positivo.
Salvo indicación contraria en la pregunta, 3 cifras significativas. Los valores intermedios no se redondean.
Mini-quiz de sucesiones aritméticas y geométricas (Paper 1 y Paper 2)
Se elige una opción en cada pregunta. Cada respuesta correcta vale 10 puntos. Las preguntas de Paper 1 se resuelven sin calculadora y las de Paper 2 con calculadora gráfica.
Paper 1: sin calculadora
Paper 1 • Básico 1. Se tiene la sucesión aritmética 7, 11, 15, … ¿Cuál es el término u12?
Paper 1 • Básico 2. Se tiene la sucesión geométrica 3, 6, 12, … ¿Cuál es el término u7?
Paper 1 • Intermedio 3. En una sucesión aritmética u3 = 11 y u8 = 31. ¿Cuál es el primer término u1?
Paper 1 • Intermedio 4. La serie geométrica 18 + 6 + 2 + … es convergente. ¿Cuál es su suma infinita?
Paper 1 • Avanzado 5. Los números x − 2, x + 1 y 3x − 1 son tres términos consecutivos de una sucesión aritmética. ¿Cuál es la suma de los primeros 10 términos de esa sucesión?
Paper 2: con calculadora
Paper 2 • Básico 6. Un cultivo tiene 500 bacterias y crece 20 % cada hora. ¿Cuántas bacterias hay después de 6 horas? (3 cifras significativas)
Paper 2 • Básico 7. Una persona ahorra 40 dólares el primer mes y cada mes ahorra 10 dólares más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorra en total en 15 meses?
Paper 2 • Intermedio 8. Una sucesión geométrica tiene u1 = 3 y r = 1.5. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual Sn supera 1000?
Paper 2 • Intermedio 9. Se calcula la suma de 5(0.8)^(k − 1) desde k = 1 hasta k = 10. ¿Cuál es su valor, con 3 cifras significativas?
Paper 2 • Avanzado 10. Una pelota se deja caer desde 5 m y en cada rebote alcanza el 80 % de la altura anterior. Si se supone que rebota indefinidamente, ¿qué distancia vertical total recorre?
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Actividades de práctica sobre sucesiones y series (con respuestas)
Las seis actividades siguen el contenido del post. Las de 🧮 se resuelven sin calculadora y la de 💻 con calculadora.
1 (🧮). Se tiene la sucesión aritmética 12, 9, 6, 3, … Se pide: (a) la diferencia común d; (b) el término u15.
2 (🧮). Se tiene la sucesión geométrica 2, −6, 18, … Se pide: (a) la razón común r; (b) el término u6.
3 (🧮). Se tiene la serie 2 + 7 + 12 + … con 30 términos. Se pide su suma.
4 (🧮). Se tiene la serie 40 + 10 + 2.5 + … Se pide comprobar que converge y hallar su suma infinita en forma exacta.
5 (🧮). Se pide el valor de la suma de (4k − 3) desde k = 1 hasta k = 15.
6 (💻). Un auto nuevo vale 20 000 dólares y se deprecia 15 % cada año. Se pide: (a) su valor después de 5 años, con 3 cifras significativas; (b) el número mínimo de años completos después del cual su valor es menor que 10 000 dólares.
Respuestas de las actividades
Ver soluciones
ctividad 1. Es una serie aritmética con d negativa.
Actividad 2. Los signos se alternan, de modo que r es negativa.
Actividad 3. La diferencia entre términos es 5.
Actividad 4. La razón es 10/40 = 1/4 (y también 2.5/10 = 1/4). Como |r| es menor que 1, la serie converge.
Actividad 5. El primer término (k = 1) es 1, el último (k = 15) es 57, y la diferencia es 4.
Actividad 6. El valor después de t años es u(t + 1), con r = 1 − 15/100 = 0.85.
(a) El valor es aproximadamente 8870 dólares (3 cifras significativas). Para (b) se plantea la desigualdad:
(b) La desigualdad cambia de sentido porque ln 0.85 es negativo. El número mínimo es 5 años completos. Comprobación: después de 4 años el valor es 10 440 dólares (todavía mayor que 10 000) y después de 5 años es 8874 dólares.
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