eje menor

La elipse: definición, elementos y ecuación explicada

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Gráfico cartesiano de una elipse con la relación entre semiejos a2 = b2 + c2 y la fórmula de excentricidad e = c/a

¿Cómo se dibuja una elipse con dos chinchetas (tachuelas), un hilo y un lápiz? Esta curva aparece en las órbitas de los planetas y en muchos problemas de geometría analítica. Aprenderás su definición, sus elementos y su ecuación.

Trazo de una elipse dibujada en cartón utilizando el método del jardinero con dos tornillos como focos y un hilo azul de fijación
Construcción geométrica de una elipse sobre cartón usando dos tornillos fijados a una distancia focal de 16 cm y un hilo azul (método del jardinero).

Qué es la elipse

La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante. Esa constante vale 2a.

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Elementos de la elipse

Sus elementos son el centro, los focos F₁ y F₂, el semieje mayor a, el semieje menor b, la distancia del semieje focal c del centro a un foco.

Se relacionan así:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

A continuación, su representación gráfica:

Gráfico cartesiano de una elipse que detalla sus elementos principales: eje mayor, eje menor, focos, centro y radios vectores
Representación gráfica de una elipse en el plano cartesiano con sus componentes geométricos esenciales (focos, ejes y radios vectores).

Su característica más importante es la excentricidad, e = c/a, que mide lo alargada que es la elipse.

Ecuación con centro en el origen

Si el eje mayor es horizontal, los focos están en (±c, 0) y la ecuación es:

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

Si el eje mayor es vertical, los focos están en (0, ±c) y se intercambian los denominadores. Siempre, a² es el denominador mayor.

Elipse y circunferencia

La circunferencia es el caso e = 0, con los dos focos en el centro:

 CircunferenciaElipse
Puntos fijosUn centroDos focos
CondiciónDistancia constante al centroSuma de distancias constante
Excentricidade = 00 < e < 1
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Ejemplos claros

  • Dos chinchetas y un hilo: las chinchetas son los focos. Con el hilo tenso, el lápiz marca puntos cuya suma de distancias a ellas es la longitud del hilo, constante.
  • Órbita de un planeta: según la primera ley de Kepler, describe una elipse con el Sol en un foco, por eso su distancia al Sol varía.

Ejemplo resuelto. Halla a, b, c, e y los focos de x²/25 + y²/9 = 1.

Paso 1. El denominador mayor, 25, está bajo x: el eje mayor es horizontal. Así, a² = 25 y b² = 9, luego a = 5 y b = 3.

Paso 2. Calcula c:

$$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$

Resultado: e = c/a = 4/5 = 0,8 y los focos son (±4, 0).

Error frecuente

Error: creer que a² es siempre el denominador de x². Es incorrecto: a² es el denominador mayor, esté bajo x o bajo y. En x²/9 + y²/25 = 1 el eje mayor es vertical, a = 5 y los focos están en (0, ±4).

Comprueba lo aprendido

  1. Una elipse tiene semieje mayor 5 y semieje menor 4. Calcula c y la excentricidad.
  1. Clasifica cada ecuación como «elipse con eje mayor horizontal», «elipse con eje mayor vertical» o «circunferencia»: a) x²/16 + y²/9 = 1. b) x²/4 + y²/49 = 1. c) x²/25 + y²/25 = 1.
  1. Sujetas un hilo de 20 cm a dos chinchetas separadas 12 cm y trazas una elipse. ¿Cuánto vale a y qué distancia hay entre los focos?

Respuestas

1.
Despejamos c de a² = b² + c²:
$$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$$
La excentricidad es e = c/a = 3/5 = 0,6.
2.
a) Elipse con eje mayor horizontal (16 > 9, bajo x).

b) Elipse con eje mayor vertical (49 > 4, bajo y).

c) Circunferencia de radio 5 (denominadores iguales).
3.
La longitud del hilo es la suma constante de distancias, 2a = 20 cm, luego a = 10 cm. Los focos están en las chinchetas, a 12 cm entre sí (2c = 12 cm).

Mini-quiz de autoevaluación

Elige una respuesta en cada pregunta y pulsa «Calificar». Cada acierto vale 20 puntos.

1. ¿Qué cumple todo punto de una elipse?

2. ¿Qué relación cumplen a, b y c en una elipse?

3. Una elipse tiene excentricidad e = 0. ¿Qué curva es?

4. En la ecuación x²/36 + y²/16 = 1, ¿cuánto vale el semieje mayor a?

5. Si alejas los focos entre sí sin cambiar a, ¿qué ocurre con la elipse?

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Resumen final

  • La elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante, igual a 2a.
  • Sus elementos cumplen a² = b² + c², y la excentricidad e = c/a indica cuánto se alarga.
  • En x²/a² + y²/b² = 1, el denominador mayor es a² y marca la orientación del eje mayor.

📚 ¡Sigue aprendiendo!

Ahora que conoces la elipse, da el siguiente paso y aprende sobre la circunferencia, sus elementos, ecuación y propiedades. Descubre cómo se relacionan estas dos figuras geométricas y practica con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso. ¡Continúa fortaleciendo tus habilidades matemáticas!

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué diferencia hay entre una elipse y un óvalo?

«Óvalo» es un término general para cualquier curva cerrada alargada, como la forma de un huevo. La elipse, en cambio, es una curva precisa: la suma de distancias a sus dos focos es constante y tiene una ecuación concreta. Toda elipse es un óvalo, pero no todo óvalo es una elipse.

2. ¿Cómo se calcula el área de una elipse?

El área es A = π · a · b, donde a y b son los semiejes. Si a = b, obtienes la fórmula del círculo, π · r². El perímetro es más complicado: no existe una fórmula elemental exacta, así que se usan aproximaciones o métodos numéricos.

3. ¿Es la elipse una función?

No, porque algunas rectas verticales la cortan en dos puntos, así que a un valor de x le corresponden dos de y. Sí puedes describirla con dos funciones: la mitad superior y la mitad inferior, que se obtienen despejando y en su ecuación.

Actividades

  1. Define con tus palabras qué son los focos de una elipse.
  2. Identifica a, b y la orientación del eje mayor en x²/169 + y²/144 = 1.
  3. Calcula c, los focos y la excentricidad de la elipse anterior.
  4. Escribe la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos (±3, 0) y semieje mayor 5.
  5. Escribe la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos (0, ±5) y semieje menor 12.
  6. Compara dos elipses con e = 0,3 y e = 0,8: ¿cuál es más alargada y por qué?
  7. Justifica por qué una circunferencia es una elipse con e = 0.
  8. Un hilo de 30 cm se sujeta a dos chinchetas separadas 18 cm. Halla la ecuación de la elipse que traza, con el centro en el origen y las chinchetas sobre el eje x.
  9. Explica por qué la distancia de un planeta al Sol no es constante si su órbita es una elipse con el Sol en un foco.
  10. Corrige el error: Luis afirma que x²/4 + y²/9 = 1 tiene sus focos en (±√5, 0).

Respuestas

Ver

1. Los focos son dos puntos fijos cuya suma de distancias a cualquier punto de la elipse es constante.

2. El denominador mayor es 169, ubicado bajo x. El eje mayor es horizontal, con a = 13 y b = 12.

3. c = √(169 − 144) = √25 = 5. Los focos son (±5, 0) y la excentricidad es e = 5/13 ≈ 0,38.

4. Con a = 5 y c = 3:

b² = 25 − 9 = 16 ⇒ x²/25 + y²/16 = 1

5. Los focos están sobre el eje y, por lo que el eje mayor es vertical:

a² = 144 + 25 = 169 ⇒ x²/144 + y²/169 = 1

6. La elipse con e = 0,8 es más alargada, pues sus focos están más separados respecto al semieje mayor. Con e = 0,3 sería más redondeada.

7. Si e = 0, entonces c = 0 y a = b. Los focos coinciden en el centro y la elipse se convierte en una circunferencia.

8. Si 2a = 30 y 2c = 18, entonces a = 15 y c = 9:

b = √(15² − 9²) = √144 = 12 ⇒ x²/225 + y²/144 = 1

9. La distancia a un foco no es constante: varía entre a − c y a + c. Solo es constante cuando c = 0, como ocurre en una circunferencia.

10. El denominador mayor, 9, está bajo y, por lo que el eje mayor es vertical. Con a = 3 y b = 2:

c = √(9 − 4) = √5. Los focos son (0, ±√5).

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