Vectores

Vectores

¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

Vectores
Figura # 1

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Existen dos magnitudes, una llamada magnitudes escalares, determinadas mediante un número, por ejemplo la edad, la altura de un edificio, etc., y la otra es conocida como magnitudes vectoriales, este tipo de magnitud requieren una medida llamada norma y una dirección que indica una orientación y se representan por medio de vectores.

Vectores
Vectores

Existen muchas situaciones en la vida diaria que pueden representarse con vectores, como por ejemplo la figura llamada vectores, allí se aprecia un personaje subiendo una pendiente a una velocidad de 80 km/k, con dirección inclinada y sentido noreste.

Definición de vectores

Los vectores son segmentos orientados desde un punto hasta otro, tienen forma de flecha caracterizados por tener un sólo módulo, una sola dirección y un único sentido. Al primer punto se le llama origen y al segundo extremo.

¿Cómo se representan?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente con dos letras, veamos:

  • Cuando se representa un vector con una letra minúsculaen negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo:  a   se lee así: vector a.
  • Cuando se escribe una letra minúsculano negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo: , su norma se presenta entre dos barras .
  • La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo:   se lee así:  vector de origen A y extremo B

Características 

Figura # 2
Figura # 2

Observa la figura # 2, el vector está representado por letras mayúsculas A y B, el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido y se representa

Los vectores poseen 3 características llamados: módulo, dirección y sentido.

  • Figura # 3
    Características del vector

    El módulo o magnitud del vector es la distancia del vector o norma que se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener su valor:

         

  • La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x del plano cartesiano.
  • El sentido es la orientación por donde se dirige el vector mediante la punta de la flecha ubicado en el extremo del mismo.

Componentes

El ángulo α permite descomponer el vector  en dos elementos llamados componentes rectangulares. Entonces el vector  se representa como: 

Sus componentes se definen de la siguiente forma:

Un vector está determinado por la magnitud y la dirección.

Para calcular el ángulo de dirección α del vector , se logra a través de sus componentes rectangulares, la fórmula es la siguiente:

Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares representado en la figura cuya norma es   

Solución:

Componente “y” se aplica la razón del seno.

Componente “x” se aplica la razón del coseno .

Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden trabajar de 3 formas:

  1. Geométricamente (flechas).
  2. Teniendo las coordenadas del punto del origen y de su extremo.
  3. Conociendo sus componentes.

La suma de dos vectores y de orígenes coincidentes en el punto de coordenada (0,0) es definido como la suma o resta componente a componente, esto quiere decir que:

Para la suma:

Para la resta: , es decir se le suma al primer vector el opuesto del segundo vector.

Forma geométrica

Regla y cartabón
Regla y cartabón

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

  • Método del polígono.
  • Método del triángulo.
  • Método del paralelogramo.

El método del polígono se utiliza cuando se suman más de dos vectores y el método del triángulo y del paralelogramo cuando solo hay dos.

En necesario que tengas a la mano una regla y un cartabón para poner en practica ambos métodos.

Método del polígono: Consiste en dibujar uno a continuación del otro, nunca variando su dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del útimo para obtener el vector suma.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Procedimiento del método del triángulo

Sume los vectores y


Alinear el cartabón con el vector a trasladar apoyado con la regla, en este ejemplo con el vector

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud del vector .


Desplazar el cartabón hasta el extremo del otro vector y trazar la longitud del vector


Finalmente, se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para  obtener el vector suma .

Observa que al final se crea un triángulo.

Método del paralelogramo: Este método es usado cuando los vectores tiene el mismo punto de aplicación, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Procedimiento del método del paralelogramo

Sume los vectores y


Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Se alinea el cartabón con el vector


Desplazar el cartabón hasta el origen del otro vector y trazar la longitud del vector


Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada.


Alinear el cartabón con el vector


Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trazar una línea segmentada.

Marcar un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas.


Finalmente, trazar el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección.


Ejemplo de suma y resta de vectores

Ejemplo # 1: Dado los vectores y , calcula la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución:

 

Sustitur los valores para obtener el vector suma

 

La norma del vector es:

La dirección se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo # 2: Restar los vectores   y , calcula , la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución

 

 

 

La norma del vector es:

 

 

 

 

 

El calculo de la dirección se realiza de la siguiente forma:

Ejemplo # 3: Hallar la norma de la suma de los vectores y cuyas medidas son 5 y 6 respectivamente.

Realizando la suma geométrica, el paralelogramo queda de la siguiente manera:

Donde el ángulo agudo del cuadrilátero se determinó aplicando la propiedad de los paralelogramos, al sumar dos ángulos consecutivos su resultado es un ángulo suplementario, es decir 180°.

Entonces:

180° = 142 + x

x = 180° – 142°

x = 38°

Para hallar la norma del vector se aplica la ley del coseno

 

 

 

Multiplicación de un escalar por un vector

El producto de un número real por un vector es otro vector cuyas componentes es la multiplicación del número real por cada una de las componentes del vector dado.

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

  • Cuando = 0 ⇒ k . = 0
  • Cuando k > 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección y sentido que  y con un módulo veces el módulo de 
  • Cuando k < 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo veces el módulo de 

Ejemplo: Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular  .

Solución

Sustituir valores:

 

Producto punto entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores   y , lo cual se expresa como: está definido como .

El producto escalar es un resultado numérico que nos informa hacia donde apunta dos vectores, el resultado puede ser positivo, negativo o cero.

Producto escalar positivo, si el resultado es positivo es porque el ángulo entre los dos vectores está comprendido entre 0° y 90°.

Producto escalar negativo, si el resultado es negativo es porque el ángulo está comprendido entre 90° y 180°.

Producto escalar cero, es porque el ángulo entre los dos vectores es de 90°

Ángulos entre vectores

Si α es el ángulo formado entre dos vectores y no nulos, entonces:

Ejemplo: Determina el producto escalar y el ángulo formado entre los vectores    y 

Solución

Primero, calcular el producto escalar entre los vectores.

 

Segundo, calcular la norma de cada vector.

 

 

 

 

 

Tercero, se determina el ángulo entre los dos vectores.

 

 

 

 

 


Actividades

Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores

 

 

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores

 

 

Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores

1.= (2,-4) ; v = (4,0)2.= (0,3) ; v = (1,-6)
3.= (3,5) ; v = (-7,-2)4.= (3,5) ; v = (5,-3)
5.= (1,-8) ; v = (-3,5)6.= (5,-6) ; v = (0,2)
7.= (1,-6) ; v = (2,7)8.= (3,-2) ; v = (-5,-7)

Triángulos oblicuángulos

Triángulos-oblicuángulos

Triángulos oblicuángulos¿Conoces a los triángulos oblicuángulos? un radar puede mostrar las posiciones de los barcos con respecto a una torre de control formando diferentes tipos de triángulos, la resolución de triángulos permite determinar distancias y ángulos favoreciendo las indicaciones emitidas por parte de la torre de control garantizando desplazamientos seguros.

Triángulos oblicuángulos

Los triángulos según sus ángulos internos se clasifican en tres tipos y son:

  • Rectángulos
  • Acutángulos
  • Obtusángulos

El triangulo rectángulo posee un ángulo recto (ángulo igual a 90°) y dos ángulos agudos.

El triángulo acutángulo todos sus ángulos son agudos (ángulo menores de 90°)

El triángulo obtusángulo posee un ángulo obtuso (ángulo mayor de 90°) y dos ángulos agudos.

Los dos últimos triángulos mencionados es decir el acutángulo y el obtusángulo pertenecen a los triángulos oblicuángulos.

Para la resolución de triángulos oblicuángulos se considera las medidas conocidas, por esta razón se hace posible identificar la resolución de este tipo de triángulos en los siguientes cuatro casos:

Caso # 1: Se conoce un lado y dos ángulos (A-L-A) o  (L-A-A).

           

 

Caso # 2: Se conoce dos lados y un ángulo (L-L-A).

Caso # 3: Se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (L-A-L).

   

Caso # 4: Se conoce los tres lados del triángulo. (L-L-L).

Para resolver estos cuatro casos de triángulos oblicuángulos es necesario aplicar dos leyes, conocidas como la ley del seno y la ley del coseno.

Ley del seno 

La ley del seno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 1 y # 2.

Definición

La razón existente entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno de su ángulo opuesto a ese lado es proporcional a la misma razón con los otros lados y ángulos faltantes.

Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.

Datos del triángulo

Tipo: Acutángulo.

Caso: # 2 (L-L-A)

Tipo de ley: Ley del seno.

Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.

Lado a = ?         → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = 8cm. → Ángulo opuesto β = ?

Lado c = 6cm.  → Ángulo opuesto δ = 45°

Procedimiento:

Determinar el valor del ángulo β.

 

 

 

 

 

 

Con los ángulos , se determina el valor del ángulo α.

 

 

 

 

Se calcula el lado a

 

 

 

 

 

Ley del coseno

La ley del coseno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 3 y # 4.

Definición

El cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de esas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Observa sus relaciones:

Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.

Datos del triángulo

Tipo: Obtusángulo.

Caso: # 3 (L-A-L).

Tipo de ley: Ley del coseno.

Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.

Lado a = 5cm   → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = ?  → Ángulo opuesto β = 120°

Lado c = 10cm. → Ángulo opuesto δ = ?

Procedimiento:

Determinar el valor del lado b

 

 

 

 

Sustituir todos los valores de los lados en la fórmula y luego se determina el ángulo α.

 

 

 

 

 

 

Determinar el ángulo δ 

 

 

 


Actividades

Determine

 

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

teorema de pitagoras¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas?, ¿Conoces su origen?, en este artículo conocerás mucho sobre  ellas y comprenderás que son muy fáciles de aplicar.

Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en la circunferencia trigonométrica, en donde forma un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo

Figura # 1
Figura # 1

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente y la medida del cateto opuesto .

Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Dibujo#2

Dibujo#3.1

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

A continuación, en el triángulo rectángulo se definen las 6 razones trigonométricas, tenga en cuenta que:

Cateto opuesto = y     Cateto adyacente = x     Hipotenusa = r

Ejemplo: Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

Solución:

Datos:

Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

 

 

Se cálcula las razones trigonométricas del ángulo α

 

 

 

 

 

Razones trigonométricas para ángulos complemetarios 

Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.

En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:

sen α = cos β     tan α = cot β    sec α = csc β

sen β = cos α     tan β = cot α    sec β = csc α

Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.

El valor de la función trigonométrica de un ángulo, es igual al valor de la cofunción que le corresoponde de su ángulo complementario.

Como la relación de ángulos complementarios es:  el valor de β queda de la siguiente forma:

             

Obseva:

co = cateto opuesto

ca = cateto adyacente

h = hipotenusa

Rt = razón trigonométrica

Rto = razón trigonométrica opuesta

RTTR 7

El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y  el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Ejemplo # 1: Mira las siguientes relaciones.

1.   3. 
2.   
4. 

Ejemplo # 2: Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.

  • El ángulo de α = 60° y  el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de
  • También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que

Ejemplo # 3: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ  del siguiente triángulo rectángulo.

Como los ángulos δ  y  α  son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:

Sumando ambos ángulos para comprobar:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α  ð son complementarios.

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

RTTR 8

Triángulos con dos lados conocidos

Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Resolver el triángulo cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.

Solución: Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

 

 

Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.

Como α y β son complementarios se aplica:

Por razones trigonométricas

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:

Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios

Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Triángulos compuestos

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de  cateto adyacente del triángulo

    y 

El valor del cateto adyacente del triángulo es

Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Cálculo del área de un triángulo

Para calcular el área de un triángulo es muy fácil, pero las situaciones para determinarlo puede darse de 3 maneras, mira la imagen a continuación:

Cuando se conoce el valor de la base y la altura del triángulo

Para determinar el área es muy sencillo sólo debes aplicar la fórmula y listo.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

= altura = h = 4 cm

= base = b =

Cuando se conoce los tres lados del triángulo

Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón.

Donde s = semiperímetro del triángulo

El perímetro del triángulo es:

Ejemplo: Determina el área y perímetro del siguiente triángulo.

Datos del triángulo

= altura = a = 4 cm

= base = b = ≈ 5,7 cm

= hipotenusa = c = 7 cm

Se calcula el semiperímetro

 

 

Por lo tanto el perímetro es:

Se aplica la fórmula de Herón para determinar el área:

Cuando se conoce dos lados y su ángulo intermedio

Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos, se aplica las siguientes fórmulas. Observa la figura.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo.

Datos del triángulo:

=  a = 5 cm

=  b = 5 cm

δ = 69°

La fórmula para calcular el área:

 


Actividades

Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas

Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hallar el valor de las siguientes expresiones

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.

 

 

 

 

 

 

Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

 

 

 

 

 

Determine aplicando el teorema de Pitágoras

Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa

a = 6,4 cm y c = 11,7 cm

a = 4,5 cm y b = 4,5 cm

b = 7,3 cm y c = 13,6 cm

a = 12 cm y b = 10 cm

a = 2,5 cm y c = 5 cm

b = 9,6 cm y c = 14,5 cm

Determina los triángulos rectángulos 

Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros

Funciones trigonométricas inversas

Funciones trigonométricas inversas

¿Sabías que las funciones trigonométricas inversas están presentes en la vida diaria? En muchas situaciones de la vida se puede presentar casos donde requieres determinar la inclinación de algún objeto y si no tienes un instrumento para la medición de ángulos, debes aplicar las razones trigonométricas inversas para saber su valor.

Funciones inversas

Una función es una regla de correspondencia que relaciona los elementos de dos conjuntos M y N. Cada elemento del conjunto M se relaciona únicamento con un elemento del conjunto N.

Se escribe:  f: M → N    o también:   f(x) = y

Donde:

x” pertenece al conjunto M (dominio)

y” pertenece al conjunto N (codominio)

Ahora si la función está definida como:   g: NM es una función inversa de la función  f: M → N

Entonces  debe ser biyectiva.

Si f: M → es una función biyectiva, entonces es una función inversa de como -1: Ntal que -1 (x) = y   si y solo si f(-1 (x))=x.

Ejemplo

Paso # 1. A la derecha se muestra la representación gráfica de la función. Según su representación la función es biyectiva y al ser biyectiva entonces tiene inversa.

Paso # 2. Se despeja “x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por último, se intercambia “x” por “y” y se obtiene la función inversa de f

 

 

Para determinar la expresión de la función inversa de f(x) debes:

  1. Despejar de la función f(x) = y
  2. Intercambiar por y en la expresión obtenida anteriormente. Quedando y=f -1(x)

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen función inversa.

Pero se le aplica restricciones en ciertos intervalos para que la función quede inyectiva, y en esos intervalos se define una función inversa.

Restingir significa considerar una parte del dominio, esa parte es la que se somete a análisis.

Ejemplo, en la imagen se muestra la función (x) = 2xrestringida en el dominio (0,∞) y su inversa -1=√x/2

 

 

 

La escritura y lectura de las funciones trigonométricas inversas puede realizarse de dos formas

Función trigonométrica Forma # 1
Forma # 2
 Función trigonométrica inversaSe leeFunción trigonométrica inversaSe lee
senoseno inverso de xarco seno
cosenocoseno inverso de xarco coseno
tangentetangente inversa de xarco tangente

Se debe tener en cuenta que:

                                                           

 

Las recomendaciones para graficar funciones trigonométricas inversas es la siguiente:

➡  Dibujar el plano cartesiano.

➡  Establecer en el eje “x” una escala 1:1.

➡  Establecer en el eje “y” los ángulos en radianes.

➡  Crear la tabla de valores.

➡  Graficar cada par ordenado y trazar la curva.

Inversa de la función seno

El dominio de la función del seno es el conjunto de los números reales y su rango está comprendido por el intervalo [-1,1].

Como se dijo anteriormente, las funciones trigonométricas son periódicas entonces no son inyectivas, pero quiero que veas que al aplicarle el criterio de la recta horizontal a la función seno se puede apreciar gráficamente que no es inyectiva ya que la recta toca en más de 1 punto.

Función del seno
Función del seno

Entonces no es biyectiva.

Al no ser biyectiva la función seno no permite inversa en todo el conjunto de los números reales.

Aquí es donde se aplica la restricción con la única intención que la función seno permita inversa, el intervalo a restringir es su nuevo dominio, y el rango se limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen de la gráfica de la función seno con la restricción.

Función del seno con dominio restringido
Función del seno con dominio restringido

La inversa de la función seno, es la función que asigna un valor al ángulo cuando se tiene el valor del seno.

sen x = y ⇒  arcsen y = x

Su dominio es [-1,1]

Su rango es:

Entonces la interpretación de la definición del arcoseno de un valor como el ángulo en el intervalo    tal que el seno del ángulo es x

Gráfica de la función arcoseno

Ha llegado el momento de graficar la función del arcoseno, allí tienes la tabla de valores, te recuerdo que el dominio está comprendido en el intervalo [-1,1]

Observa que para x = 1/2

El ángulo obtenido en radianes es y en grados sexagesimales es 30°

Al graficar cada par ordenado generado por la tabla de valores, se obtiene la curva de la función arcoseno.

Arcoseno
Arcoseno

Relación entre la función seno y la función arcoseno

 Función seno con restricciónFunción arcoseno
Intervalo en el dominio eje “x
Intervalo en el rango eje y

Características de la función arcoseno

  1. El dominio es el intervalo [ -1, 1]
  2. El rango es el intervalo  [π/2, -π/2]
  3. No es periódica
  4. Es una función impar

Inversa de la función coseno

La función del coseno su dominio es también el conjunto de los números reales   y el rango es el intervalo [-1,1].

La función coseno es periódica por lo tanto no es inyectiva y por ende  tampoco biyectiva.

Se aplica la restricción al dominio en el intervalo la cual le corresponde un rango de [-1,1], y el nombre de esta función inversa del coseno es llamada arcocoseno. Ver la gráfica de la función coseno con restricción en el dominio.

Función del coseno con dominio restringido
Función del coseno con dominio restringido

La inversa de la función coseno, permite determinar el ángulo conocido el valor del coseno.

cosx = y ⇒  arccos y = x

Su dominio es [-1,1]

Su rango es: [0,π].

Relación entre la función coseno y la función arcocoseno

 Función coseno con restricciónFunción arcocoseno
Intervalo en el dominio eje “x
Intervalo en el rango eje y

Gráfica de la función arcocoseno

Al igual que la función arcoseno se realiza la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el intervalo [-1,1]. Observa la gráfica de la función arcocoseno.

Gráfica del arcocoseno
Gráfica del arcocoseno

Características de la función arcocoseno

  1. El dominio es [ -1, 1]
  2. El rango es el intervalo
  3. No es periódica.
  4. No es una función par ni impar

Inversa de la función tangente

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el dominio de la función tangente al intervalo y su rango quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe la gráfica con restricción en el dominio.

Restricción de la función tangente
Restricción de la función tangente

La inversa de la función tangente, permite determinar el ángulo conocido el valor de la tangente.

tan x = y ⇒  arctan y = x

Su dominio es el conjunto de los números reales

Su rango es: 

Relación entre la función tangente y la función arcotangente

 Función tangente con restricciónFunción arcotangente
Intervalo del dominio eje “x
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcotangente

Para realizar el gráfico de la función arcotangente, lo primero es realizar la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el conjunto de los . Observe la gráfica

Características de la función arcotangente

  1. El dominio es .
  2. El rango es el intervalo
  3. No es periódica.
  4. Es una función impar

Ejercicios

I. Construye la gráfica de la función arcotangente, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Usa estos valores para la variable independiente

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

II. Construya la gráfica del arcocoseno, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Los valores que vas a utilizar para la variable independiente son:

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

III. Determina el valor exacto de cada ejercicio. Debes expresarlo en radianes y en grados sexagesimales

a. 

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

IV. Hallar el valor de de las siguientes expresiones

a.

b.

c.

d.