Vectores

Vectores

¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

Vectores
Figura # 1

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Existen dos magnitudes, una llamada magnitudes escalares, determinadas mediante un número, por ejemplo la edad, la altura de un edificio, etc., y la otra es conocida como magnitudes vectoriales, este tipo de magnitud requieren una medida llamada norma y una dirección que indica una orientación y se representan por medio de vectores.

Vectores
Vectores

Existen muchas situaciones en la vida diaria que pueden representarse con vectores, como por ejemplo la figura llamada vectores, allí se aprecia un personaje subiendo una pendiente a una velocidad de 80 km/k, con dirección inclinada y sentido noreste.

Definición de vectores

Los vectores son segmentos orientados desde un punto hasta otro, tienen forma de flecha caracterizados por tener un sólo módulo, una sola dirección y un único sentido. Al primer punto se le llama origen y al segundo extremo.

¿Cómo se representan?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente con dos letras, veamos:

  • Cuando se representa un vector con una letra minúsculaen negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo:  a   se lee así: vector a.
  • Cuando se escribe una letra minúsculano negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo: , su norma se presenta entre dos barras .
  • La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo:   se lee así:  vector de origen A y extremo B

Características 

Figura # 2
Figura # 2

Observa la figura # 2, el vector está representado por letras mayúsculas A y B, el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido y se representa

Los vectores poseen 3 características llamados: módulo, dirección y sentido.

Figura # 3

Características del vector

  • El módulo o magnitud del vector es la distancia del vector o norma que se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener su valor:

  • La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x del plano cartesiano.
  • El sentido es la orientación por donde se dirige el vector mediante la punta de la flecha ubicado en el extremo del mismo.

Componentes

El ángulo α permite descomponer el vector  en dos elementos llamados componentes rectangulares. Entonces el vector  se representa como: 

Sus componentes se definen de la siguiente forma:

Un vector está determinado por la magnitud y la dirección.

Para calcular el ángulo de dirección α del vector , se logra a través de sus componentes rectangulares, la fórmula es la siguiente:

Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares representado en la figura cuya norma es   

Solución:

Componente “y” se aplica la razón del seno.

Componente “x” se aplica la razón del coseno .

Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden trabajar de 3 formas:

  1. Geométricamente (flechas).
  2. Teniendo las coordenadas del punto del origen y de su extremo.
  3. Conociendo sus componentes.

La suma de dos vectores y de orígenes coincidentes en el punto de coordenada (0,0) es definido como la suma o resta componente a componente, esto quiere decir que:

Para la suma:

Para la resta: , es decir se le suma al primer vector el opuesto del segundo vector.

Forma geométrica

Regla y cartabón
Regla y cartabón

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

  • Método del polígono.
  • Método del triángulo.
  • Método del paralelogramo.

El método del polígono se utiliza cuando se suman más de dos vectores y el método del triángulo y del paralelogramo cuando solo hay dos.

En necesario que tengas a la mano una regla y un cartabón para poner en practica ambos métodos.

Método del polígono: Consiste en dibujar uno a continuación del otro, nunca variando su dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del útimo para obtener el vector suma.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Procedimiento del método del triángulo

Sume los vectores y


Alinear el cartabón con el vector a trasladar apoyado con la regla, en este ejemplo con el vector

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud del vector .


Desplazar el cartabón hasta el extremo del otro vector y trazar la longitud del vector


Finalmente, se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para  obtener el vector suma .

Observa que al final se crea un triángulo.

Método del paralelogramo: Este método es usado cuando los vectores tiene el mismo punto de aplicación, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Procedimiento del método del paralelogramo

Sume los vectores y


Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Alinear el cartabón con el vector


Desplazar el cartabón hasta el origen del otro vector y trazar la longitud del vector


Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada.


Alinear el cartabón con el vector


Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trazar una línea segmentada.

Marcar un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas.


Finalmente, trazar el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección.


Ejemplo de suma y resta de vectores

Ejemplo # 1: Dado los vectores y , calcula la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución:

Sustitur los valores para obtener el vector suma

La norma del vector es:

La dirección se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo # 2: Restar los vectores   y , calcula , la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución

La norma del vector es:

El calculo de la dirección se realiza de la siguiente forma:

Ejemplo # 3: Hallar la norma de la suma de los vectores y cuyas medidas son 5 y 6 respectivamente.

Realizando la suma geométrica, el paralelogramo queda de la siguiente manera:

Donde el ángulo agudo del cuadrilátero se determinó aplicando la propiedad de los paralelogramos, al sumar dos ángulos consecutivos su resultado es un ángulo suplementario, es decir 180°.

Entonces:

180° = 142 + x

x = 180° – 142°

x = 38°

Para hallar la norma del vector se aplica la ley del coseno

Multiplicación de un escalar por un vector

El producto de un número real por un vector es otro vector cuyas componentes es la multiplicación del número real por cada una de las componentes del vector dado.

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

  • Cuando = 0 ⇒ k . = 0
  • Cuando k > 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección y sentido que  y con un módulo veces el módulo de 
  • Cuando k < 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo veces el módulo de 

Ejemplo: Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular  .

Solución

Sustituir valores:

Producto punto entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores   y , lo cual se expresa como: está definido como .

El producto escalar es un resultado numérico que nos informa hacia donde apunta dos vectores, el resultado puede ser positivo, negativo o cero.

Producto escalar positivo, si el resultado es positivo es porque el ángulo entre los dos vectores está comprendido entre 0° y 90°.

Producto escalar negativo, si el resultado es negativo es porque el ángulo está comprendido entre 90° y 180°.

Producto escalar cero, es porque el ángulo entre los dos vectores es de 90°

Ángulos entre vectores

Si α es el ángulo formado entre dos vectores y no nulos, entonces:

Ejemplo: Determina el producto escalar y el ángulo formado entre los vectores    y 

Solución

Primero, calcular el producto escalar entre los vectores.

Segundo, calcular la norma de cada vector.

Tercero, se determina el ángulo entre los dos vectores.


Actividades

Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores

Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores

1.= (2,-4) ; v = (4,0)2.= (0,3) ; v = (1,-6)
3.= (3,5) ; v = (-7,-2)4.= (3,5) ; v = (5,-3)
5.= (1,-8) ; v = (-3,5)6.= (5,-6) ; v = (0,2)
7.= (1,-6) ; v = (2,7)8.= (3,-2) ; v = (-5,-7)

Triángulos oblicuángulos

Triángulos-oblicuángulos

Triángulos oblicuángulos¿Conoces a los triángulos oblicuángulos? un radar puede mostrar las posiciones de los barcos con respecto a una torre de control formando diferentes tipos de triángulos, la resolución de triángulos permite determinar distancias y ángulos favoreciendo las indicaciones emitidas por parte de la torre de control garantizando desplazamientos seguros.

Triángulos oblicuángulos

Los triángulos según sus ángulos internos se clasifican en tres tipos y son:

  • Rectángulos
  • Acutángulos
  • Obtusángulos

El triangulo rectángulo posee un ángulo recto (ángulo igual a 90°) y dos ángulos agudos.

El triángulo acutángulo todos sus ángulos son agudos (ángulo menores de 90°)

El triángulo obtusángulo posee un ángulo obtuso (ángulo mayor de 90°) y dos ángulos agudos.

Los dos últimos triángulos mencionados es decir el acutángulo y el obtusángulo pertenecen a los triángulos oblicuángulos.

Resolución de triángulos oblicuángulos

Para la resolución de triángulos oblicuángulos se considera las medidas conocidas, por esta razón se hace posible identificar la resolución de este tipo de triángulos en los siguientes cuatro casos:

Caso # 1: Se conoce un lado y dos ángulos (A-L-A)

Caso # 2: Se conoce un lado y dos ángulos (A-L-A).

           

Caso # 3: Se conoce dos lados y un ángulo (L-L-A).

Caso # 4: Se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (L-A-L).

   

Caso # 5: Se conoce los tres lados del triángulo. (L-L-L).

Para resolver estos cuatro casos de triángulos oblicuángulos es necesario aplicar dos leyes, conocidas como la ley del seno y la ley del coseno.

Ley del seno 

La ley del seno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 1, # 2 y #3. Es decir (A-L-A)  (L-A-A) y (L-L-A)

Definición

La razón existente entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno de su ángulo opuesto a ese lado es proporcional a la misma razón con los otros lados y ángulos faltantes.

Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.

Datos del triángulo

Tipo de triángulo: Acutángulo.

Caso # 2: (L-L-A)

Tipo de ley: Ley del seno.

Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.

Lado a = ?         → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = 8cm. → Ángulo opuesto β = ?

Lado c = 6cm.  → Ángulo opuesto δ = 45°

Procedimiento:

Determinar el valor del ángulo β.

Con los ángulos , se determina el valor del ángulo α.

Se calcula el lado a

Problema:

Un estudiante diseñó un sistema biela-manivela para accionar un pistón. El largo de la manivela es de 2,2 in y 4,4 la longitud de la biela. Determine la distancia desde el centro (O) hasta el pistón (P). Ver la figura.

Sistema Biela Manivela

Solución:

Según la figura el triángulo formado es del tipo obtusángulo, los valores emitidos por el problema se ajusta a un tipo (L-A-L). Por lo tanto se aplica la ley del Seno.

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\delta }$$

Donde:

$$a=2,2in$$

$$b=4,4in$$

$$\alpha = 24^{\circ }$$

I. Se determina el ángulo del centro (O) \beta

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }$$

$$sen\beta=\frac{b\cdot sen\alpha}{a}=\frac{4,4in\cdot sen24^{\circ }}{2,2in}=0,813$$

$$\beta =sen^{-1}\, 0,813\approx 54,39^{\circ }$$

Según la figura el ángulo opuesto del lado 4,4 in es del tipo obtuso, y el resultado obtenido es un ángulo agudo. Para este tipo de situaciones se determina su suplementario, quedando de la siguiente manera:

$$180^{\circ }=\beta+x\Rightarrow x=180^{\circ }-\beta$$

$$x=180^{\circ }-54,39^{\circ }=125,61^{\circ }$$

Por lo tanto el ángulo en el centro (O) es de 125,61^{\circ }

II. Calculo de la distacia \overline{OP}

Aplicar la propiedad # 1 (suma de los ángulos internos) del triángulo para obtener el ángulo \delta

$$180^{\circ }=\alpha +\beta +\delta \Rightarrow \delta=180^{\circ }-\alpha -\beta$$

$$ \delta=180^{\circ }-24^{\circ } -125,61^{\circ }= 30,39^{\circ }$$

$$\frac{c}{sen\delta }=\frac{a}{sen\alpha }\Rightarrow c=\frac{a\cdot sen\delta }{sen\alpha }=\frac{2,2in\cdot sen30,39^{\circ }}{sen24^{\circ }}\approx 2,7in$$

La distancia del centro (O) hasta el pistón (P) es de 2,7 in

Ley del coseno

La ley del coseno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando únicamente los casos # 4 y # 5. Es decir (L-A-L) y (L-L-L).

Definición

El cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de esas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

A continuación, las fórmulas para determinar los lados y ángulos:

LadosÁngulos
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot cos\delta$$$$\alpha = cos^{-1}\cdot \left ( \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right )$$
$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot cos\beta $$$$\beta = cos^{-1}\cdot \left ( \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \right )$$
$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot cos\delta $$$$\delta = cos^{-1}\cdot \left ( \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \right )$$

Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.

Datos del triángulo

Tipo: Obtusángulo.

Caso # 3: (L-A-L).

Tipo de ley: Ley del coseno.

Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.

Lado a = 5cm   → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = ?  → Ángulo opuesto β = 120°

Lado c = 10cm. → Ángulo opuesto δ = ?

Procedimiento:

Determinar el valor del lado b

Sustituir todos los valores de los lados en la fórmula y luego se determina el ángulo α.

Determinar el ángulo δ 


Actividades

Determine

Determine los lados y ángulos faltantes

Calcule el valor del lado y los dos ángulos

¿Qué ley debes aplicar para solucionar el triángulo a continuación?

¿Cuál es el valor del ángulo opuesto del lado de 8 unidades?

Determine la longitud del lado opuesto al ángulo de 23°

¿Qué valor tiene la altura del siguiente triángulo?

Según el triángulo que se muestra a continuación, diga el número del caso para conocer qué ley debe ser aplicada.

El triángulo a continuación, es:

  • Acutángulo.
  • Rectángulo.
  • Oblicuángulo.
  • Obtusángulo.

Justifica tu respuesta.

¿Cual es el valor del ángulo opuesto al lado de 3 unidades?

Un avión partió de la ciudad «X» con destino a la ciudad «Z», que se encuentra a una distancia de 150 millas, y luego se dirige hacia la ciudad «Y», que está a 100 millas de distancia. Consulte la imagen adjunta.

Problema

  • ¿Cuál es la distancia entre la ciudad «X» y la ciudad «Y»?
  • ¿Qué dirección debe seguir el piloto del avión para volar de la ciudad «X» a la ciudad «Y»?

Respuestas:

235,5 millas.

15,8°.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

teorema de pitagoras¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas?, ¿Conoces su origen?, en este artículo conocerás mucho sobre  ellas y comprenderás que son muy fáciles de aplicar.

Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en la circunferencia trigonométrica, en donde forma un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo

Figura # 1
Figura # 1

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente y la medida del cateto opuesto .

Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Dibujo#2

Dibujo#3.1

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

A continuación, en el triángulo rectángulo se definen las 6 razones trigonométricas, tenga en cuenta que:

Cateto opuesto = y     Cateto adyacente = x     Hipotenusa = r

Ejemplo: Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

Solución:

Datos:

Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

Se cálcula las razones trigonométricas del ángulo α

Razones trigonométricas para ángulos complemetarios

Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.

En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:

sen α = cos β     tan α = cot β    sec α = csc β

sen β = cos α     tan β = cot α    sec β = csc α

Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.

El valor de la función trigonométrica de un ángulo, es igual al valor de la cofunción que le corresponde de su ángulo complementario.

Como la relación de ángulos complementarios es:  el valor de β queda de la siguiente forma:

             

Obseva:

co = cateto opuesto

ca = cateto adyacente

h = hipotenusa

Rt = razón trigonométrica

Rto = razón trigonométrica opuesta

RTTR 7

El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y  el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Ejemplo # 1: Mira las siguientes relaciones.

1.   3. 
2.   
4. 

Ejemplo # 2: Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.

  • El ángulo de α = 60° y  el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de
  • También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que

Ejemplo # 3: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ  del siguiente triángulo rectángulo.

Como los ángulos δ  y  α  son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:

Sumando ambos ángulos para comprobar:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α  ð son complementarios.

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

RTTR 8

Triángulos con dos lados conocidos

Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Resolver el triángulo cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.

Solución: Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.

Como α y β son complementarios se aplica:

Por razones trigonométricas

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:

Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios

Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Triángulos compuestos

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de  cateto adyacente del triángulo

    y 

El valor del cateto adyacente del triángulo es

Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Cálculo del área de un triángulo

Para calcular el área de un triángulo es muy fácil, pero las situaciones para determinarlo puede darse de 3 maneras, mira la imagen a continuación:

Cuando se conoce el valor de la base y la altura del triángulo

Para determinar el área es muy sencillo sólo debes aplicar la fórmula y listo.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

= altura = h = 4 cm

= base = b =

Cuando se conoce los tres lados del triángulo

Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón.

Donde s = semiperímetro del triángulo

El perímetro del triángulo es:

Ejemplo: Determina el área y perímetro del siguiente triángulo.

Datos del triángulo

= altura = a = 4 cm

= base = b = ≈ 5,7 cm

= hipotenusa = c = 7 cm

Se calcula el semiperímetro

Por lo tanto el perímetro es:

Se aplica la fórmula de Herón para determinar el área:

Cuando se conoce dos lados y su ángulo intermedio

Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos, se aplica las siguientes fórmulas. Observa la figura.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo.

Datos del triángulo:

=  a = 5 cm

=  b = 5 cm

δ = 69°

La fórmula para calcular el área:


Actividades

Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas

Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β

Hallar el valor de las siguientes expresiones

Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo

Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.

Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

Determine aplicando el teorema de Pitágoras

Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa

a = 6,4 cm y c = 11,7 cm

a = 4,5 cm y b = 4,5 cm

b = 7,3 cm y c = 13,6 cm

a = 12 cm y b = 10 cm

a = 2,5 cm y c = 5 cm

b = 9,6 cm y c = 14,5 cm

Determina los triángulos rectángulos 

Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros

Funciones trigonométricas inversas

Funciones trigonométricas inversas

¿Sabías que las funciones trigonométricas inversas están presentes en la vida diaria? En muchas situaciones de la vida se puede presentar casos donde requieres determinar la inclinación de algún objeto y si no tienes un instrumento para la medición de ángulos, debes aplicar las razones trigonométricas inversas para saber su valor.

Funciones inversas

Una función es una regla de correspondencia que relaciona los elementos de dos conjuntos M y N. Cada elemento del conjunto M se relaciona únicamento con un elemento del conjunto N.

Se escribe:  f: M → N    o también:   f(x) = y

Donde:

x” pertenece al conjunto M (dominio)

y” pertenece al conjunto N (codominio)

Ahora si la función está definida como:   g: NM es una función inversa de la función  f: M → N

Entonces  debe ser biyectiva.

Si f: M → es una función biyectiva, entonces es una función inversa de como -1: Ntal que -1 (x) = y   si y solo si f(-1 (x))=x.

Ejemplo

Paso # 1. A la derecha se muestra la representación gráfica de la función. Según su representación la función es biyectiva y al ser biyectiva entonces tiene inversa.

Paso # 2. Se despeja “x

Por último, se intercambia “x” por “y” y se obtiene la función inversa de f

Para determinar la expresión de la función inversa de f(x) debes:

  1. Despejar de la función f(x) = y
  2. Intercambiar por y en la expresión obtenida anteriormente. Quedando y=f -1(x)

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen función inversa.

Pero se le aplica restricciones en ciertos intervalos para que la función quede inyectiva, y en esos intervalos se define una función inversa.

Restingir significa considerar una parte del dominio, esa parte es la que se somete a análisis.

Ejemplo, en la imagen se muestra la función (x) = 2xrestringida en el dominio (0,∞) y su inversa -1=√x/2

La escritura y lectura de las funciones trigonométricas inversas puede realizarse de dos formas

Función trigonométrica Forma # 1
Forma # 2
 Función trigonométrica inversaSe leeFunción trigonométrica inversaSe lee
senoseno inverso de xarco seno
cosenocoseno inverso de xarco coseno
tangentetangente inversa de xarco tangente

Se debe tener en cuenta que:

                                                           

Las recomendaciones para graficar funciones trigonométricas inversas es la siguiente:

➡  Dibujar el plano cartesiano.

➡  Establecer en el eje “x” una escala 1:1.

➡  Establecer en el eje “y” los ángulos en radianes.

➡  Crear la tabla de valores.

➡  Graficar cada par ordenado y trazar la curva.

Inversa de la función seno

El dominio de la función del seno es el conjunto de los números reales y su rango está comprendido por el intervalo [-1,1].

Como se dijo anteriormente, las funciones trigonométricas son periódicas entonces no son inyectivas, pero quiero que veas que al aplicarle el criterio de la recta horizontal a la función seno se puede apreciar gráficamente que no es inyectiva ya que la recta toca en más de 1 punto.

Función del seno
Función del seno

Entonces no es biyectiva.

Al no ser biyectiva la función seno no permite inversa en todo el conjunto de los números reales.

Aquí es donde se aplica la restricción con la única intención que la función seno permita inversa, el intervalo a restringir es su nuevo dominio, y el rango se limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen de la gráfica de la función seno con la restricción.

Función del seno con dominio restringido
Función del seno con dominio restringido

La inversa de la función seno, es la función que asigna un valor al ángulo cuando se tiene el valor del seno.

sen x = y ⇒  arcsen y = x

Su dominio es [-1,1]

Su rango es:

Entonces la interpretación de la definición del arcoseno de un valor como el ángulo en el intervalo    tal que el seno del ángulo es x

Gráfica de la función arcoseno

Ha llegado el momento de graficar la función del arcoseno, allí tienes la tabla de valores, te recuerdo que el dominio está comprendido en el intervalo [-1,1]

Observa que para x = 1/2

El ángulo obtenido en radianes es y en grados sexagesimales es 30°

Al graficar cada par ordenado generado por la tabla de valores, se obtiene la curva de la función arcoseno.

Arcoseno
Arcoseno

Relación entre la función seno y la función arcoseno

 Función seno con restricciónFunción arcoseno
Intervalo en el dominio eje “x
Intervalo en el rango eje y

Características de la función arcoseno

  1. El dominio es el intervalo [ -1, 1]
  2. El rango es el intervalo  [π/2, -π/2]
  3. No es periódica
  4. Es una función impar

Inversa de la función coseno

La función del coseno su dominio es también el conjunto de los números reales   y el rango es el intervalo [-1,1].

La función coseno es periódica por lo tanto no es inyectiva y por ende  tampoco biyectiva.

Se aplica la restricción al dominio en el intervalo la cual le corresponde un rango de [-1,1], y el nombre de esta función inversa del coseno es llamada arcocoseno. Ver la gráfica de la función coseno con restricción en el dominio.

Función del coseno con dominio restringido
Función del coseno con dominio restringido

La inversa de la función coseno, permite determinar el ángulo conocido el valor del coseno.

cosx = y ⇒  arccos y = x

Su dominio es [-1,1]

Su rango es: [0,π].

Relación entre la función coseno y la función arcocoseno

Función coseno con restricciónFunción arcocoseno
Intervalo en el dominio eje “x
Intervalo en el rango eje y

Gráfica de la función arcocoseno

Al igual que la función arcoseno se realiza la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el intervalo [-1,1]. Observa la gráfica de la función arcocoseno.

Gráfica del arcocoseno
Gráfica del arcocoseno

Características de la función arcocoseno

  1. El dominio es [ -1, 1]
  2. El rango es el intervalo
  3. No es periódica.
  4. No es una función par ni impar

Inversa de la función tangente

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el dominio de la función tangente al intervalo y su rango quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe la gráfica con restricción en el dominio.

Restricción de la función tangente
Restricción de la función tangente
La inversa de la función tangente, permite determinar el ángulo conocido el valor de la tangente.

tan x = y ⇒  arctan y = x

Su dominio es el conjunto de los números reales

Su rango es: 

Relación entre la función tangente y la función arcotangente

 Función tangente con restricciónFunción arcotangente
Intervalo del dominio eje “x
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcotangente

Para realizar el gráfico de la función arcotangente, lo primero es realizar la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el conjunto de los . Observe la gráfica

Características de la función arcotangente

  1. El dominio es .
  2. El rango es el intervalo
  3. No es periódica.
  4. Es una función impar

Ejercicios

I. Construye la gráfica de la función arcotangente, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Usa estos valores para la variable independiente

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

II. Construya la gráfica del arcocoseno, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Los valores que vas a utilizar para la variable independiente son:

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

III. Determina el valor exacto de cada ejercicio. Debes expresarlo en radianes y en grados sexagesimales

a. 

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

IV. Hallar el valor de de las siguientes expresiones

a.

b.

c.

d.

e.

f.

V. Investiga las siguientes características de las funciones inversas:
a. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcoseno? Si la respuesta es afirmativa indique las coordenadas?

b. ¿La función arcoseno es biyectiva? y ¿Porqué?

c. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcocoseno? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

d. ¿La función arcocoseno es sobreyectiva? y ¿Porqué?

e. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcotangente? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

f. ¿La función arcotangente es sobreyectiva? y ¿Porqué?

Funciones trigonométricas

Funciones-trigonométricas

¿Sabes qué son las funciones trigonométricas? Para conocer más la definición, imagínate que debes dibujar figuras en el plano cartesiano haciendo uso de funciones elementales tales como la función constante, afín, cuadrática, racional, entre otras. Es decir, dibujar objetos o cosas que tengas a tú alrededor como una casa, una rampla para vehículos, una estantería, etc, relacionándolas con estas funciones.

Al dibujar una casa ya sea cuadrada o rectangular debes usar la función constante, pero si dibujas una rampla la función afín es la idónea. Entonces, la pregunta sería ¿Cómo relacionar las funciones trigonométricas?, el péndulo es un fiel ejemplo ya que su movimiento genera una curva similar con la gráfica trigonométrica del coseno (x) = cos(x).

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son parte de las funciones trascendentes y son basadas en la circunferencia unitaria.

Lo que debes hacer para representar este tipo de funciones es seguir los siguientes pasos:

  • Dibujar el plano cartesiano
  • Crear la tabla de valores
  • Ubicar los ángulos expresados en radianes en el eje “x” 
  • Graficar cada par ordenado
  • Trazar la curva uniendo cada punto

Función seno

La función seno es de la forma y es una función real de variable real, ya que cada ángulo expresado en radianes se le hace corresponder un número real denotado como

Gráfica de la función seno

Observa la tabla de valores, cada ángulo de la variable independiente “x” del conjunto de partida son números reales expresados en radianes y sus imágenes son también números reales, por eso es una función real de variable real.

Para obtener las imágenes de la función seno sólo es sustituir los valores angulares “x” en la función y su gráfica es la que se muestra posteriormente. En el eje “x” los ángulos en radianes y en el eje “y” sus imágenes es el rango [-1,1]

Características de la función seno

1El dominio es 
2El rango es el intervalo [ -1, 1]
3Es periódica con periodo
4Es una función impar

Función coseno

La función coseno es de la forma y es una función real de variable real, tal que cada ángulo medido en radianes se le hace corresponder un número real denotado como

Gráfica de la función coseno

A la izquierda la tabla de valores de la función del coseno los valores de la variables independiente son los valores angulares expresado en radianes y las imágenes obtenidas está dentro del intervalo [-1,1], abajo la gráfica de la función del coseno

 

Características de la función coseno

1El dominio es 
2El rango es el intervalo [ -1, 1]
3Es periódica con periodo
4Es una función par

Función tangente

La función tangente es una función real de variable real, definida como donde , es decir la función tangente es de la forma , de tal forma que cada ángulo expresado en radianes se le hace corresponder un número real denotado como .

Gráfica de la función tangente

La tabla de valores de la derecha muestra los valores de las imágenes de la función tangente con ángulos expresados en radianes desde 0 hasta , observe que la función tangente no está definida cuando y por lo tanto, se genera en y en asíntotas verticales. Vea abajo la gráfica de la función tangente.

Características de la función tangente

1El dominio es  ,
2El rango es el conjunto
3Es periódica con periodo
4Es una función impar
5En las rectas , con , se generan asíntotas.

Ejercicios de funciones trigonométricas

Represente gráficamente la función y = sen x  en el intervalo . Construye la tabla de valores

 

Represente gráficamente las siguientes funciones:

a.b.c.d.

 

Grafique la función y = cos x  en el intervalo . Construye la tabla de valores

 

Represente gráficamente las siguientes funciones:

a.b.c.d.

 

Represente gráficamente las siguientes funciones:

a.b.c.

 

Mencione 3 intervalos decreciente de la función coseno

 

Mencione 2 intervalos crecientes de la función tangente

Circunferencia trigonométrica

Circunferencia-trigonométrica
Figura # 1
Figura # 1

¿Has escuchado el término circunferencia trigonométrica? y te has preguntado ¿Porqué la llaman así? Bueno es muy sencillo gracias a su forma se puede dibujar una serie de triángulos rectángulos y a partir de toda esta geometría se definen las razones trigonométricas como el seno, coseno, tangente y sus inversa, debido al surgimiento de estas razones a la circunferencia se le da el nombre de Circunferencia Trigonométrica.

Circunferencia trigonométrica

También es llamada circunferencia unitaria, su centro está localizado en el origen del plano cartesiano y posee un radio cuyo valor es = 1 , por esta razón es llamada también circunferencia unitaria.
Figura # 2
Figura # 2

La figura # 2 es una circunferencia unitaria ya que el centro de la misma está dibujada sobre el origen del plano cartesiano de radio = 1, también puedes notar que el sistema de eje cartesiano divide a la circunferencia en cuatro regiones iguales, cada región es llamada cuadrante, con una numeración del 1 al 4 escrito en números romanos en el sentido antihorario, la semirrecta horizontal o el semi lado del eje “x” es el lado inicial de todos los ángulos, cabe destacar que los ángulos formados en la circunferencia unitaria son llamados Ángulos en posición normal porque el vértice del ángulo coincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial es coincidente con el semi lado del eje “x”

Figura # 3
Figura # 3

En la figura # 3 el ángulo α posee como lado inicial   y lado final este lado es llamado radio y se le asigna la letra “r” las coordenadas del lado final es el punto Q (x,y) y estas coordenadas se proyectan sobre los ejes cartesianos, aquí se puede apreciar la formación de un triángulo rectángulo, al seguir realizando más rotaciones surgen más triángulos rectángulos.

Entonces en una circunferencia unitaria o circunferencia trigonométrica es aplicable el teorema de Pitágoras por la existencia de triángulos rectángulos.

Siempre se debe cumplir que para todo punto Q (x,y) perteneciente a una circunferencia unitaria:

x2 + y2 = 1

Sabiendo que:

x”es la longitud del cateto adyacente  y  “y”es la longitud del cateto opuesto.

 ➡  Ejemplo: Determine si los puntos y pertenecen o no a la circunferencia unitaria.

Solución:

  • Se inicia el estudia el estudio con el punto

Según el punto M los valores de las coordenadas es: 

Se aplica la definición: x2 + y2 = 1

Al dar como resultado 1=1, el punto pertenece a la circunferencia unitaria. 😀

M ∈ Circunferencia unitaria.

  • Se estudia el estudio el punto

Según el punto N los valores de las coordenadas es:  = 2       = 3

Se aplica la definición: x2 + y2 = 1

Al dar como resultado 13 ≠ 1 el punto no pertenece a la circunferencia unitaria. 🙁

La circunferencia trigonométrica posee Ángulos cuadrantales y son ángulos donde el lado final llega a coincidir con los semi ejes del plano cartesiano, los ángulos cuadrantales son 4 y ellos son 0°, 90°,180°, 270° y 360°.

Razones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria

En la figura # 4 se muestra la circunferencia unitaria, allí se puede apreciar la distancia del radio igual a 1, y el  ángulo α de arco .

Figura # 4
Figura # 4

Seno

 

Coseno

Tangente

Cosecante

 

Secante

 

Cotangente

 

 ➡  Ejemplo: Determine las razones trigonométricas de α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto

Solución: 

Cálculo del seno        

Cálculo del coseno 

      Cálculo de la tangente 

       

Cálculo de la cosecante               

Cálculo de la secante 

           

Cálculo de la cotangente       

     

Signo de las razones trigonométricas

El signo de las razones trigonométricas depende de los valores x  e  y, según sus valores se ubican en cualquiera de los cuadrantes de la circunferencia unitaria, entonces los signos según la ubicación del lado final del ángulo es la siguiente:

CuadranteRazones trigonométricas
senoαcoseno αtangente αcosecante αsecante αcotangente α
I++++++
II++
III++
IV++

Actividades

Determine si cada punto pertenece a la circunferencia unitaria.

A(-3,2)

B(-5,0)

C(0,2)

Determine el valor de la coordenada que falta, si el punto pertenece a la circunferencia unitaria. Al lado de cada punto indica el cuadrante.

  I cuadrante

 

IV cuadrante

III cuadrante

II cuadrante

I cuadrante

Determine el valor de las razones trigonométricas para α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto dado.

Representación de funciones

Representación de funciones

¿Has pensado cómo es la representación de funciones en la vida cotidiana? En un juego de fútbol cuando uno de los jugadores patea el balón ¿Qué movimiento describe? y ¿Cómo se puede representar ese movimiento? la representación de datos es muy importante ya que da una observación clara del comportamiento de alguna situación.

Unas de las representaciones más usada en la actualidad son los gráficos, por ejemplo, al leer un periódico y ver la sección de economía, al consultar una encuesta, al revisar una factura de algún servicio público, cuando el especialista en cardiología analiza un electrocardiograma o cuando en la televisión muestran la estadísticas de los cambios climáticos de alguna región.

Formas de representación de funciones

Hay muchísimas formas de representar a las funciones, su finalidad es comprender su comportamiento. Entre ellas están: los diagramas sagitales, la representación verbal, la representación algebraica, la representación en tabla de valores y la representación gráfica o curva de una función.

Representación verbal

La representación verbal de una función es expresada por una regla de correspondencia la cual asigna una condición.

Por ejemplo «el doble de un número», para esta función el dominio es cualquier valor arbitrario y el rango es el producto de dos por el valor arbitrario.

Representación algebraica

Su representación es realizada a través de expresiones algebraicas, refiriéndose a la relación de los elementos del dominio con sus respectivas imágenes por medio de las operaciones.

Por ejemplo «el triple de un número más la mitad» se representa mediante la expresión algebraica:

tal que:

Representación en tabla de valores

Los valores de la variable independiente “x” y de la variable dependiente “y” puede ser presentada de dos maneras:

  • Verticalmente y
  • Horizontalmente.

Los valores de la variable “x” son arbitrarios y se sustituyen en una expresión algebraica para determinar las imágenes.

Ejemplo: Crear la tabla de valores de la función

Paso # 1: Construir la tabla de valores agregando valores arbitrarios a la variable independiente “x”

x-4-3-2-101234
f(x)

Paso # 2: Calcular las imágenes (variable “y”)

Paso # 3: Sustituir en la tabla de valores las imágenes obtenidas

x-4-3-2-101234
f(x)33221361-2-3-21

Los pares ordenados de la función:

Pares ordenados(-4,33)(-3,22)(-2,13)(-1,6)(0,1)(1,-2)(2,3)(3,-2)(4,1)

Representación gráfica o curva de una función

La representación gráfica o curva de una función se obtiene al graficar en el plano cartesiano cada par ordenado.

Ejemplo: Graficar la función 

Paso # 1:  Completar la tabla de valores y graficar cada punto.

Paso # 2: Unir los puntos

Ejercicios resueltos de representación de funciones

Ejemplo # 1: Represente la expresión : “El doble de un número menos tres” en forma:

  • Verbal.
  • Algebraica.
  • Tabla de valores.
  • Gráfica.

 ➡ Representación verbal

“El doble de un número menos tres”

 ➡ Representación algebraica

 ➡ Representación en tabla de valores:

x-2-1012
f(x)-7-5-3-11

Representación gráfica:

Ejemplo # 2: Represente la expresión : 8x en forma:

  • Verbal.
  • Algebraica.
  • Tabla de valores.
  • Gráfica.

Representación verbal

“Ocho veces un número”

 ➡ Representación algebraica 

 ➡ Representación en tabla de valores:

x-2-1012
f(x)-16-80816

Representación gráfica:


Actividades

A partir de la representación dada obtener las demás de forma: verbal, algebraica, tabla de valores y gráfica.

  1. “ El cuadrado de un número aumentado en 5”
  2. tal que
  3. tal que
  4. “La tercera parte de un número disminuido en 2”

Funciones elementales

Funciones Elementales

¿Conoces las funciones elementales? En matemáticas es muy común trabajar con las denominadas funciones elementales llamadas también funciones usuales. Además, son funciones básicas y por medio de la combinación de estas se pueden construir otras llamadas funciones no elementales, las funciones no elementales surgen por la combinación de las elementales a través de la suma, resta, multiplicación y división.

Calculadora graficadora

Clasificación de las funciones elementales

Las funciones elementales se clasifican en:

  1. Funciones polinómicas
  2. Funciones racionales
  3. Funciones radicales
  4. Funciones trascendentes y
  5. Funciones especiales

Funciones Polinómicas

La forma de una función polinómica es la siguiente:

Donde:    para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 

Características de las funciones polinómicas

  • Su dominio pertenece al conjunto de los números reales .
  • El rango de estas funciones siempre pertenece al conjunto de los números reales .
  • Son continuas.

Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.

Tipos de funciones polinómicas

  1. Función constante.
  2. Función lineal.
  3. Función afín.
  4. Función cuadrática.
Función constante
Es una una función polinómica de grado cero y se define como:  , donde  .
Características de la función constante
  • Es una recta paralela con respecto a eje “x”
  • Su dominio es el conjunto de los números reales.
  • Su rengo es únicamente el valor constante.
  • No es inyectiva ni sobreyectiva.

Ejemplo gráfico:

Función constante

Ejemplo 

Grafique la función , luego determina el dominio, rango y punto de corte en el eje “y”

Solución

  • Gráfica

  • Dominio:
  • Rango:
  • Como es una función constante la recta pasa por el eje «y» en   , esto es aproximadamente igual a 1,73.
  • Punto de corte en el eje “y” es (0,√3)
Función lineal
Es una función polinómica de variable real de primer grado. Su forma es y = f(x) = mx. Donde m es una constante llamada pendiente. 
Características de la función lineal
  • El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
  • Gráficamente es una recta que siempre pasa por el origen del plano cartesiano.
  • Es creciente cuando m es positivo y es decreciente cuando m es negativo.
  • Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
  • Es una función biyectiva.
Cálculo de la pendiente m

Para determinar el valor de la pendiente debes aplicar la siguiente fórmula:

Donde:

Son las coordenadas de dos puntos

Función Afín 
Es una función polinómica de primer grado, su forma y = f(x) = mx+b. Donde m b son números reales constantes y b ≠ 0
Características de la función afín
  • El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
  • Gráficamente es una recta que nunca pasa por el origen del plano cartesiano.
  • Es creciente cuando m es positivo, decreciente cuando m es negativo y si = 0 la función es constante.
  • Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
  • b es el punto donde la recta intercepta el eje vertical “y”, es llamado punto de corte en el eje de las ordenadas.
  • Función biyectiva.

Ejemplo gráfico

Ejemplo 

Grafique y determine si la función es creciente o decreciente, puntos de corte con respecto al eje x e y, dominio y rango.

Solución

Se calcula primero los puntos de cortes y luego se traza la recta en el plano cartesiano.

Punto de corte con el eje “x”   “y = 0”

Punto de corte con el eje “x” = (-10,0)

Punto de corte con el eje “y”   “x = 0”

Punto de corte con el eje “y” = (0,5)

Gráfica:

Es creciente ya que m = ½ > 0

Dominio y rango

Función cuadrática
Es una función polinómica de segundo grado al graficarla recibe el nombre de parábola, definida como:   Donde  a≠0
Características de la función cuadrática

→Cuando a>0 abre hacia arriba es decir es cóncava hacia arriba.

→Cuando a<0 abre hacia abajo es decir es cóncava hacia abajo.

→El dominio de la función pertenece al conjunto de los números reales.

→El rango de la función se calcula de la siguiente manera:

a>0  el rango de la función es:

a<0  el rango de la función es:

→Posee un eje de simetría, un punto vértice V(x,y) y ramas. (ver imagen más abajo)

→El eje de simetría es una recta paralela al  eje “y” que pasa por vértice de la parábola

→Sí a>0 el vértice V(x,y) es un mínimo.

→Sí a<0 el vértice V(x,y) es un máximo.

→Cálculo del vértice, coordenada “x”

→Cálculo del vértice, coordenada “y”

→Punto de corte en el eje “x” el valor de y = 0

Se puede proceder de dos maneras:
1.- Aplicar la fórmula de la resolvente:

2.- Factorizar la expresión igualada a cero para determinar los valores de “x”

→Puntos de cortes en el eje “y” el valor de x = 0

→No es inyectiva ni sobreyectiva.

→Restricción para ser Biyectiva 

Ejemplo gráfico

Ejemplo 

Grafique la función y determine tipo de concavidad, dominio, rango, vértice, puntos de corte (eje x e y) y diga si existe un mínimo o un máximo.

Solución

Paso # 1: Extraer los valores

Paso # 2: Tipo de concavidad.

Como , entonces es cóncava hacia arriba y por ende posee un punto mínimo.

Paso # 3: Determinar el rango de la función.

Se aplica:
,

Para determinar la coordenada “x” se necesita los valores de b y a  

b = 6  ∧   a = 3

La función es:

Se sustituye el valor de x = –1

El rango de la función es desde -4 hacia el infinito positivo.

Paso # 4: Determina el valor del vértice

Con los valores anteriores de:
x = –1
y = -4

Las coordenadas del vértice es:

Paso # 5: Determinar punto de corte con respecto al eje “x”. Se aplica la fórmula de la resolvente

Sustituir los valores de a, b y c.

Paso # 6: Determinar el punto de corte con respecto al eje “y” donde x = 0

Función:

Sustitución del valor de x = 0

Paso # 7: Se grafica en el plano cartesiano los puntos vértice y de corte con el eje x e y

  • Vértice:
  • Punto de corte eje “x
      ∧   
  • Punto de corte eje “y”

Luego se traza los ramales

  • Ramal de la izquierda, desde el punto de corte en “x” hasta el vértice
  • Ramal de la derecha, desde el vértice hasta los puntos de corte “y” e “x

Paso # 8: Dominio de la función

Función cuadrática (video)

Funciones Racionales

Una función f es racional si donde y son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios. ≠ 0

A continuación un ejemplo de funciones racionales:

El

El

El

Gráfica de una función Racional

Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida.

Asíntota vertical  

Es una recta vertical  x = a de una función racional  si f ( x )  → ∞    o   si   f(x)  →  -∞  cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.

Asíntota horizontal

Es una recta horizontal  y = c  de una función racional  , si f ( x )  → c   cuando x → ∞   o   cuando x → – ∞

Dada la función racional definida por:

Cuando:

  • , la función  no tiene asíntota horizontal
  • , la función  tiene una asíntota horizontal en el eje “x” y = 0
  • , la función  tiene una asíntota horizontal y es la recta:

    Es decir dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.

Características de las funciones racionales

  1. El dominio son todos los valores del conjunto de los a excepción de aquellos que anulen el denominador.
  2. El rango son todos los valores del conjunto de los a excepción cuando existe asíntotas horizontales.
  3. Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador.
  4. Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador
  5. Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos.
    😆  Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador
    😆  Cuando los grados del polinomio tanto del numerador y del denominador sean iguales.

Gráfica de una función racional

Ejemplo 

Analice y Grafique la siguiente función racional

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador

Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces. Por lo tanto no corta en el eje “x”

Paso # 2:Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida.

Paso # 3:Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Como está indefinida en: . La asíntota es:

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”.

No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido.

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.

En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.

y = 0

Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

Paso # 6: Crear la tabla de valores y obtener los valores de la variable dependiente “y”

x-2-1012
f(x)-11

Paso # 7: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función racional

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador, es decir f(x) = 0

Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0)

Paso # 2: Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida.
En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar.

En nuestro caso escogemos la factorización

No está definida en:   y

Paso # 3: Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Son las rectas y

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”
Se sustituye o en la función:

La función corta en el  y = -1/3

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.
En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:
Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

 = 0

Paso # 5: Crear la tabla de valores

x-2-1012
f(x)0

Paso # 6: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Funciones Radicales

Estas funciones también son denominadas funciones irracionales, y son de la forma , donde es una función polinómica o racional.

Características de las funciones radicales

  1. El dominio depende del índice de la raíz.  “Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio . Cuando existen raíces pares de un número negativo. Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números .
  2. Rango. Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio.
  3. Cálculo de puntos de cortes. Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

Paso # 1: Identificar el índice de la raíz

El índice del radical es 2, por lo tanto es par.

Paso # 2: Determinar el primer valor del intervalo del dominio

Paso # 3: Intervalo del dominio

Paso # 4: Determinar el primer valor del intervalo del rango, sustituyendo el primer valor del intervalo del dominio en la función dada

Paso # 5: El intervalo del rango es:

Paso # 6:  Cálculo de punto de corte en “x”        y = 0

Paso # 7: Cálculo de punto de corte  en “y” x = 0

No corta en y

Paso # 8: Gráfica

Función radical con índice par (video)

Funciones Trascendentes

Estos tipos de funciones la variables “x” funciona como exponente, como argumento de las funciones trigonométricas y logarítmicas. Algunas de las funciones trascendentes se clasifican como: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas.

Función Exponencial

La función exponencial es de la forma  f(x) = ax , donde la base a es una constante con signo positivo y diferente del número 1, y el exponente “x” es la variable.

Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.

Características de las funciones exponenciales

  1. Si el valor de la base  a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la función  g(x)=2x
  2. Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , es una función decreciente. Como muestra la función  f (x)=(1/2)x
  3. Punto de corte en el eje “xNo existe.
  4. Punto de corte en el eje “y” es:
    = 1
  5. La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que:
  6. El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales . Dom f =
  7. El rango es el conjunto de los números reales positivos  . Rgo f= = (0,+∞)
  8. Es inyectiva pero no es sobreyectiva.
Ejemplo

Realice el estudio de la función y grafique:

Paso # 1: Observar si la base “a” es mayor que 1 o  está comprendida entre 0 y 1.

Como 0 < a <  1 , la función es Decreciente

Paso # 2: Punto de corte en “x”.  No existe

Paso # 3: Determinar punto de corte en “y”  x = 0

Paso # 4: Determinar el dominio

Dom f =

Paso # 5: Determinar el rango

Rgo f=

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (1,a). En este caso el punto es:

Paso # 7: Crear la tabla de valores

x-2-1012
f(x)3661

Paso # 8: Gráfica

Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:Donde:
a > 0
a ≠
1

Definida para todo x>0
Se verifica como:
Características de las funciones logarítmicas

  1. El dominio es:
  2. El rango es:
  3. Punto de corte en el eje “y”. No existe
  4. Es Creciente cuando 
  5. Es Decreciente cuando:
  6. La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
  7. Es Biyectiva
Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función:

Paso # 1: El dominio de la función siempre es:

Paso # 2: El rango de la función siempre es:

Paso # 3: Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

No existe punto de corte en el eje “y”

Paso # 5: Creciente o decreciente.
Como entonces
Es decreciente.

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar

Funciones Especiales

Dentro de las funciones especiales están:

  • Funciones segmentadas o funciones a trozos
  • Función parte entera o mayor entero y
  • Función valor absoluto

En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:

Características de las funciones de valor absoluto

  1. El dominio es:
  2. El rango es:
  3. Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0
    Se iguala la expresión a 0
  4. Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0
  5. El vértice de la curva es el valor de x
  6. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y
  7. Es Decreciente en el intervalo: (-∞,x]
  8. Es Creciente en el intervalo: [x,∞)
  9. No es inyectiva, ni sobreyectiva
Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función:

Paso # 1: Dominio de la función

Paso # 2: Rango de la función

Paso # 3:Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

Paso # 5: Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice.

Paso #6: Es Decreciente en el intervalo
(-∞,4]

Paso # 7: Es Creciente en el intervalo
[4,∞)


Actividades

  1. Determinar las características de cada función y finalmente grafique







  2. Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función
  3. Analizar cada función racional. Luego, crear la gráfica
  4. Analiza cada función radical. Luego, realizar su gráfica





  1. Analiza cada función exponencial, Luego, realice la gráfica.





  2. Trazar la gráfica de cada función y analizar su comportamiento





  3. Trace la gráfica de cada función y analice su comportamiento


  4. ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en todo su dominio?



Características de las funciones

Características de las funciones

Conocer bien las características de las funciones nos facilita dar resultados mucho más rápido ya que con sólo ver la expresión de la función sin graficarla sabemos como es su curva y que comportamiento tiene la misma, es decir, nos permite realizar un estudio analítico con la finalidad de obtener una buena interpretación de lo que nos quiere decir la función escrita matemáticamente.

Características de las funciones

Algunas características que se mencionarán son:

  • Puntos de cortes.
  • Funciones creciente y decrecientes.
  • Funciones pares e impares (simetría).
  • Funciones periódicas.

Puntos de corte

Los puntos de corte indica donde la recta o la curva intercepta con los ejes del plano cartesiano. Estos puntos están formados por una variable independiente “x” y la dependiente “y” . Para calcular el punto debes aplicar las siguientes relaciones:

  • Corte con el eje “x”   y = 0
  • Corte con el eje “y”   x =0

Ejemplo

Determine los puntos de cortes con respecto a los ejes “x” e “y

Paso # 1: Calculo de los puntos de corte con respecto al eje “y

Escribir la expresión:

Paso # 2: Sustituir x =0 , para obtener el corte en la coordenada “y

Punto  de corte: (0,4)

Paso # 3: Sustituir y =0 , para obtener el corte en la coordenada “x

Punto de corte: (-2,0)

Observa los puntos de corte

Funciones crecientes y decrecientes

Cuando ves un gráfico relacionado con los cambios de temperatura durante un año, es importante que conozca el comportamiento por intervalos que tiene esa curva, para llegar a ver los momentos de menores o máximas temperaturas y así hasta poder llegar a la toma de decisiones. Se trata de interpretar los intervalos donde existe variaciones crecientes, decrecientes o inclusive constante.

 La función  : X → Y es creciente  en el intervalo K si cualquiera de los números  x 1 y x 2 en K con  x 1x implica que  f ( x 1 ) < f (x 2)
Por ejemplo : la función es creciente.
Observa al aplicar:  x 1 x implica que  f ( x 1 ) < f ( x 2 )
       
Se toman valores arbitrarios de x1= -1 y  x2 = 0 ⇒  f (0,7) < f (14,7)
Se cumple que la función es creciente en el intervalo K =

La función  : X → Y es decreciente en el intervalo K si cualquiera de los números  x 1x 2 en K con  x 1x implica que  f ( x 1 ) > f (x 2)
Por ejemplo: la función  es decreciente
Observa al aplicar:  x 1 x implica que  f ( x 1 ) > f ( x 2 )
         
Se toman valores arbitrarios de x1= -2 y  x2 = 0 ⇒  f (7) > f (3)
Se cumple que la función es decreciente en el intervalo K =

La función  : X → Y es decreciente en el intervalo K si cualquiera de los números  x 1 y x 2 en K con  x 1x implica que  f ( x 1 ) > f ( x 2 )
Por ejemplo : la función  es decreciente
Observa al aplicar:  x 1 x implica que  f ( x 1 ) > f ( x 2 )
         
Se toman valores arbitrarios de x1= -2 y  x2 = 0 ⇒  f (7) > f (3)
Se cumple que la función es decreciente en el intervalo K =

La función  : X → Y es constante en el intervalo K si cualquiera de los números  x 1 y x 2 en K con  x 1x implica que  f ( x 1 ) = f ( x 2 )
Por ejemplo: la función  es constante
Observa al aplicar:  x 1 x implica que  f ( x 1 ) = f ( x 2 )
       
Se toman valores arbitrarios de x1= 1 y  x2 = 0 ⇒  f (e) = f (e)
Se cumple que la función es constante en el intervalo K = 

Ejemplo

Determine los intervalos en los cuales el modelo gráfico de la función es creciente, decreciente o constante.

Es creciente en los intervalos:


Es decreciente en los intervalos:

Es constante en el intervalo:  [1,6]

Funciones pares e impares (simetría)

Son funciones donde el eje de simetría es el eje “y o también su simetría puede estar ubicado en el origen del plano cartesiano.

Función Par

Analíticamente la función es par cuando se sustituye la variable “-x” en la función y dé como resultado “f (x), es decir no existe ninguna modificación, lo que quiere decir que la curva de la función posee como eje de simetría al eje vertical “y y por lo tanto se cumple que:

Función Impar

Analíticamente la función es impar cuando se sustituye la variable “-x”  en la función y dé como resultado “f (-x),  es decir que el signo de la función cambia, gráficamente quiere decir que la curva de la función es simétrica con respecto al origen y por lo tanto se cumple que:

Ejemplo # 1:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

Paso # 1:

  1. Sustituir “-x”  en la función
  2. Comparar el resultado con la función original
  3. Determinar el tipo de simetría

No existe cambio es decir:

Analíticamente es: Función par

Gráficamente: Es una función par porque su eje de simetría es el eje “y” 

Ejemplo # 2:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

Existe cambio es decir: 

Analíticamente: No es función par ni impar

Gráficamente: No existe eje de simetría en el eje “y” ni con respecto al origen del plano cartesiano.

Ejemplo # 3:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

Existe cambio:   

Analíticamente: Es una función impar

Gráficamente: Posee simetría con respecto al origen del plano cartesiano.

Ejemplo # 4:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

Existe cambio: Como la

Analíticamente: No es función par ni impar

Gráficamente: No posee simetría.

Características de las funciones periódicas 

Cuando se repiten intervalos de iguales longitudes en el dominio estamos en presencia de una función periódica

Entonces una función : X → Y es periódica cuando existe un número real “T” llamado periodo. Se cumple que cada valor de x que pertenece al dominio de la función es (x) = (x + T)

Las funciones trigonométricas en su mayoría son periódicas, mientras que las polinómicas, exponenciales y logarítmicas no lo son.

El periodo de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante y cosecante poseen un periodo de y la funciones trigonométricas tangente y cotangente su periodo es de .

Por ejemplo: la función sabemos que tiene un periodo de , observemos la gráfica

Fíjese que existen intervalos de la misma longitudes en este caso la longitud es de , por eso que la función trigonométrica del seno es periódica.


Actividades

Determine los puntos de cortes en ambos ejes de coordenadas (y)

a.b.c.
d.e.f.
g.h.i.

Determine si las siguientes funciones son pares o impares

a.b.c.
d.e.f.
g.h.i.

Dibujar  sobre el plano cartesiano el siguiente planteamiento y responde si existen intervalos donde son crecientes, decrecientes o constante explique.

(∞,0] es la función f (x) = x

(0,5) es la función(x) = -2x

[5,∞) es la función (x) = 4x-10

El movimiento de un péndulo en función al tiempo se representa en la siguiente gráfica:
a. ¿Se puede determinar la velocidad del péndulo a los 21 segundos?
b. ¿Cuál es la velocidad del péndulo a los t = 13,5s ?

Complete las curvas en cada gráfica, para que se cumpla cada condición

Función parFunción impar
Características de las funciones
Función parFunción impar

Determinar:

Los intervalos crecientes, decrecientes y constante
Características de las funciones

Determinar el rango de una función

Determinar el rango de una función
Imagen
Imagen

¿Sabes cómo determinar el rango de una función? Antes de la explicación de este tema, es necesario conocer su definición, también conocido con el nombre de recorrido, el cual se define como el conjunto de las imágenes de la función, el rango es el segundo valor de cada par ordenado, es decir, que gráficamente está localizado en el eje de las ordenadas o eje “y”. Se simboliza como Rgo f

Rango de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde está graficada la función

Para poder representar gráficamente la recta de la fig#1, en primer lugar se sustituyen los valores arbitrarios de “x” en la función , estos valores son pertenecientes al dominio o al conjunto de partida, luego se obtiene las imágenes o rango es decir los valores de “y”.

El rango de toda función es la proyección de la recta o la curva graficada sobre el eje “y”,  el rango de la función  proviene del – ∞ hacia el + ∞ esto quiere decir que el rango de esta función son todos los .

A continuación, la fig#2 muestra la siguiente relación:

Fig#2

El conjunto de pares ordenados:  definida del conjunto  en el conjunto  . Determine el rango.
Ten en cuenta que el rango es el conjunto de llegada, también es el segundo número de cada par ordenado. Por lo tanto, el  Rgo =

Formas para determinar el rango

Forma analítica

Se trata de despejar la variable “x” y determinar si existen o no restricciones en “y”

Ejemplo # 1: determine el rango de la siguiente función

PASOS

PROCEDIMIENTO

1Determinar el rango

Despejar “x”

f(x) = y


Verificar si existe restricción en “y”

Al despejar  “x”  se puede observar que:

Existe una Restricción # 2

3Entonces el rango es

Ejemplo # 2: determine el rango de la siguiente función

PASOS

PROCEDIMIENTO
1Determinar el rango

Despejar “x”

f(x) = y




2

Verificar si existe restricción en “y”

Entonces al despejar  “x”  se puede observar   que:

No existe Restricciones

3Finalmente el rango es:

Forma gráfica

Para determinar el rango,  sólo es realizar un análisis de la gráfica.

Ejemplo # 3: Analice las funciones representadas en las siguientes gráficas. Posteriormente determine dominio y rango.

La función

En el eje “x” está definida para todos los valores, es decir que el dominio es 

En el eje “y” está definida para valores mayores o iguales a: -4, es decir que el rango es

La función

En el eje “x”  No está definida para x = 1, es decir que el dominio es 

En el eje “y”  El 1 No es imagen de ningún elemento de x, es decir que el rango es

Ejercicio resuelto

Grafique y determine el dominio y rango de la siguiente función:

PASOSPROCEDIMIENTO
1Determinar el dominio

Existe una:

Restricción # 1: Cuando existen raíces pares de un número negativo


2El dominio de esta función es:
4Determinar el rango

Despejar “x”

f(x) = y

5Según el resultado anterior

Se puede observar que no existe restricciones

6Como el signo de la raíz es positivo entonces el rango está comprendido en el semieje positivo del eje de las “y”

Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio, determinado en el primer paso.

7Entonces el rango es

8 Crear la tabla de valores

x123456
f(x)0

El dominio inicia desde  es decir 0,4

Entonces se crea la tabla de valores iniciando con el primer valor de x = =0,4

9 Construir la gráfica