Determinar el dominio de una función

 

¿Sabes cómo determinar el dominio en una función? Antes de la explicación de este tema, es primordial conocer la definición del dominio, el cual se define como el conjunto de los valores de «x» para lo cual está definida la función, también es el primer valor de cada par ordenado, es decir, que gráficamente está localizado en el eje de las abscisas o eje «x».

Para relacionar este tema con la vida diaria, quiero que conozca a don Raúl, don Raúl es un abuelito que vive con su nieto y ambos trabajan vendiendo jugo de caña, el me cuenta que lo primero que hace es ir al campo donde tiene sembrada la caña, segundo la corta, tercero troza la caña de azúcar en pedazos cortos, cuarto pela cada pedazo, quinto introduce los pedazos en la máquina exprimidora y sexto obtiene el delicioso jugo de caña. Observa la imagen del paso 4 los trozo de caña de azúcar representa cada elemento del dominio, es decir que el dominio es el conjunto de todos esos trozos de caña.

Dominio de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde se puede mostrar el dominio de una función:

 

Para poder representar gráficamente esa curva de la imagen, en primer lugar se  sustituyen los valores arbitrarios de «x» en la función dada, estos valores son pertenecientes al dominio o conjunto de partida.

Observa la figura #1 la curva de color vinotinto viene del – ∞ y se va hacia el + ∞ esto quiere decir que el dominio de esta función son todos los en el eje de las «x»

Definición

El dominio de una función es el conjunto de todos los números reales y se representa como Dom f =  = (-∞,∞). También se puede definir como el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente «y».

El dominio en un diagrama sagital pertenece al conjunto de partida y en una representación gráfica está ubicado en el eje «x» del plano cartesiano.

Ejemplo # 1:

Dado el siguiente conjunto de pares ordenados:  definida del conjunto en el conjunto . Determine el dominio.
Ten en cuenta que el dominio es el conjunto de partida, también es el primer número de cada par ordenado. Por lo tanto el dominio de esta función f  es:   Dom =

Función definidas

Una función está definida cuando el conjunto de los números reales ℜ son utilizados en el conjunto de partida o en el Dominio y el único conjunto de números que pueden estar en el conjunto de llegada o Rango son los números reales .  

Restricciones del dominio

La restricción del dominio sucede cuando la variable dependiente “y” no puede tomar valores de la variable independiente «x», esto quiere decir que el resultado que toma la función es indeterminado, observa los ejemplos de los tres tipos de restricciones:

Ejemplo de cada restricciones

Restricción # 1

Cuando existen raíces de índices pares de un número negativo.

Ejemplo: Dada la función este tipo de expresión la raíz es de índice par y no está definida para valores negativos, observe:

Valores de «x» Sustitución de «x» en la fórmula matemática Observación
x=-1 No tiene solución en los números reales 

Esto quiere decir que la variable dependiente no toma valor

x=-2 No tiene solución en los números reales 

Esto quiere decir que la variable dependiente no toma valor

x=-3 No tiene solución en los números reales 

Esto quiere decir que la variable dependiente no toma valor

Restricción # 2

Fracciones donde se anula el denominador.

 Ejemplo: Dada la función     este tipo de expresión no está definida para  cuando x = 0

Valores de «x» Sustitución de «x» en la fórmula matemática Observación
x = -1 y = -1
x = 0 No tiene solución en los números reales 

Esto quiere decir que la variable dependiente no toma valor

x = 1 y = 1

Restricción # 3

Fracciones donde se anulan el denominador y con raíces de índices par en el numerador.

Ejemplo: Dada la función     no está definida para valores negativos por estar una raíz de índice par, tampoco está definida cuando x = 0 en el denominador

Valores de «x» Sustitución de «x» en la fórmula matemática Observación
x = -1 No tiene solución en los números reales 

Esto quiere decir que la variable dependiente no toma valor

x = 0 No tiene solución en los números reales 

Esto quiere decir que la variable dependiente no toma valor

x = 1 y = 1

Determinar el dominio con restricción

Restricción # 1: Raíces con índices pares

Para que la función esté definida es necesario que la cantidad subradical sea mayor o igual a cero, es decir resolverla a través de una inecuación.

Ejemplo # 2: Determine el dominio de la función

1 Expresar la cantidad subradical como mayor o igual cero
2 Despejar el valor de «x»

3 El resultado nos quiere decir que la función está definida para valores de
4 Observe la gráfica
5 Entonces el intervalo de valores que toma la variable o el dominio de la función es:

Restricción # 2: Fracciones donde se anula el denominador

Para que la función esté definida es necesario que el denominador sea distinta a cero.

Ejemplo # 3: Determine el dominio de la función

1 Expresar la cantidad del denominador distinto a cero
2 Despejar «x»
3 Observe la gráfica
4 Entonces el dominio de la función es:
5 Observaciones Existe una asíntota vertical, esto quiere decir que el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales menos el 6 ya que la curva nunca llega a tocar la asíntota sólo se aproxima a ella.

Ejemplo # 4: Determine el dominio de la función

1 Como la variable está en el denominador, no puede obtener valores que la anulen
2 Para obtener los valores puedes factorizar o aplicar la fórmula de la resolvente, en nuestro caso se factoriza
3 Para que el producto resultante de la factorización sea distinto a cero debe cumplirse que:

4 Para graficar, se crea la tabla de valores

Observe que en x=-1 y en x=7 la función se hace indefinida, por lo tanto la curva no pasa por ellos

 

5 Graficando cada par ordenado obtenemos la gráfica
6 Entonces la variable puede tomar cualquier valor real menos del -1 y del 7

Restricción # 3: Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par

Este caso la variable se encuentra como cantidad subradical en una raíz de índice par y también en el denominador.

Ejemplo # 5: Determine el dominio de la función

1  Resolver el numerador

2 Los valores que puede tomar la variable es desde:
3 Resolver el denominador

4 Entonces el dominio de la función es:
5 Para graficar lo primero es crear la tabla de valores, tomando en cuenta el valor mínimo y máximo del dominio de la función.

En este caso

valor mínimo : 

valor máximo:

 

 

6 Gráfica

Ejercicios del dominio de una función

Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones mencionando si existe o no restricciones

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