Ángulos coterminales

¿Sabías que los ángulos coterminales se ven a diario en todo los que nos rodea? Son ángulos coterminales aquellos que comparten dos segmentos de recta finitos y poseen un punto de contacto en común. Para iniciar este tema, es importante conocer que los ángulos se pueden ver a nuestro alrededor en los diferentes objetos, electrodomésticos, en la naturaleza, en el cuerpo humano, en un juego de billar, entre otros.

Características de los ángulos 

  1. El ángulo está  compuesto por dos semirrectas llamadas lado inicial y lado final y se tocan en un punto en común llamado vértice.
  2. Según el sentido de giro el ángulo puede ser positivo o negativo, es positivo si su giro se realiza en el sentido contrario de las manecillas del reloj, es decir, con desplazamiento angular hacia la izquierda y negativo si el giro se ejecuta en el sentido de las manecillas del reloj o hacia la derecha.
  3. Cuando un ángulo es negativo, en el sistema sexagesimal  se le suma 360° y si está en el sistema cíclico se le suma 2π

Ejemplo

Dado el ángulo -45° determine su valor angular positivo

-45° + 360° = 315° este es un ángulo ubicado en el III cuadrante

Ejemplo

Dado el ángulo -450° determine su valor angular positivo

Como este ángulo tiene más de 1 giro, entonces se le suma el doble es decir 720°

-450° + 720° = 270°

Ángulos de posición estándar o posición normal sobre el plano cartesiano

Cuando se menciona un ángulo en posición estándar o en posición normal quiere decir que el vértice del mismo se encuentra ubicado en el origen del plano cartesiano, el lado inicial es el semieje positivo de las «x» o semieje de las abscisas positivo y el lado final es donde llega la amplitud de ese ángulo, la ubicación del lado final permite determinar el cuadrante al cual pertenece.

Definición de ángulos coterminales

Los ángulos coterminales son ángulos que comparten sus dos lados iniciales y finales, y el vértice. Por ejemplo, observa la figura a continuación:

El lado es el lado inicial de ambos ángulos de aquí salen los dos ángulos, es decir, parten desde el I cuadrante, uno de sus ángulos es positivo de 150°, por lo tanto, el giro de este ángulo se realiza en el sentido contrario de las manecillas del reloj ubicándose en el II cuadrante.

El otro ángulo es negativo de 210° su giro se realiza en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, hacia la derecha y llega también al II cuadrante, vea que ambos ángulos llegan a compartir también el mismo lado final  y obviamente comparten el mismo vértice A, esto es lo que se conoce como ángulos coterminales.

Los ejemplos # 1 y # 2 son también ángulos coterminales

Determinar analíticamente la existencia de ángulos coterminales

Se pueden presentar 2 casos para determinar si los ángulos existentes son o no coterminales, ellos son los siguientes:

Caso # 1: Cuando existen ángulos positivos y negativos en el sistema sexagesimal

Ejemplo

Determina si ambos ángulos son o no coterminales 310° y -50°

Paso # 1 A los ángulos negativos se le suma 360°, se usa 360° cuando el ángulo es menor a un giro. La expresión queda así: – 50° + 360° = 310°

Paso # 2 Comparar ambos ángulos, si son iguales son coterminales. Como ambos ángulos son iguales, entonces son coterminales.

Caso # 2: Cuando existen ángulos mayores de 360°

Ejemplo

Determina si ambos ángulos son o no coterminales 840° y 120°
Para saber si el ángulo 840° es coterminal con el ángulo 120°, debes reducir el ángulo y cumplir con los siguientes pasos:

Paso # 1: Cuando el ángulo es mayor a 360°, lo debes dividir entre 360° y el resultado del resto es el ángulo que hay que comparar.

Paso # 2: Si son iguales, son coterminales

Caso # 3: Cuando existen ángulos en el sistema cíclico y en el sistema sexagesimal

Para conocer si estos ángulo son coterminales, debes transformar el ángulo del sistema cíclico al sistema sexagesimal o viceversa.

Ejemplo

Determina si ambos ángulos son o no coterminales y 108°

Paso # 1: Es transformar los radianes a grados sexagesimales o viceversa, en este ejemplo se transforma de radianes a grados

Paso # 2: Comparar ambos cifras angulares si son iguales entonces son ángulos coterminal.

Determinar gráficamente la existencia de ángulos coterminales

Se debe dibujar los ángulos en posición y si coinciden sus lados finales son coterminales

Ejemplo

Determine gráficamente si los siguientes ángulos son coterminales.

  1. 270°
  2. 990°
  3. -90°

El ángulo de 270° es la trayectoria angular azul

El ángulo de 990° es la trayectoria angular rojo

El ángulo de -90° es la trayectoria angular negro

Como los tres ángulos de posición normal coinciden sus lados finales, entonces son coterminales

Ejercicios:

Determine analíticamente y gráficamente si cada grupo de ángulos son coterminales:

1°) 165° y 11π/12

2°) 125° y -215°

3°) 325° y -105°

4°) 295° y -65°

5°) -120° y 4π/3

6°) 135° y 3π/4

7°) 50° y -215°

8°) -15° y 345°

9°) π/2 y 85°

10°) 355° y -5°

 

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