Ángulos coterminales

Un ángulo en trigonometría es la rotación de una semirrecta sobre su punto de origen o vértice. La posición de inicio de la semirrecta se llama lado inicial, mientras que la semirrecta girada en posición final se llama lado final .

La figura # 1 muestra el ángulo , que tiene como vértice el punto B , lado inicial es y lado final es .

El ángulo , también puede ser llamado o simplemete .

Teniendo el conocimiento de lo que es un ángulo, tienes alguna idea ¿Qué son los ángulos coterminales?, ¿Sabías que los ángulos coterminales se ven a diario en todo los que nos rodea?. Antes de desarrollar el tema es importante que sepas que estos tipos de ángulos pueden estar precisamente en este momento a tu alrededor, ya sea en forma de algunos objetos, en tu juego preferido de Play Station, etc.

¿Qué son los ángulos coterminales?

Dos ángulos son llamados coterminales cuando comparten los mismos lados iniciales y finales, es decir son ángulos coincidentes, sin tener en cuenta la abertura o el sentido de giro.

El segmento es el lado inicial de ambos ángulos, aquí inicia la abertura de los dos ángulos, partiendo desde el I cuadrante, uno de sus ángulos tiene un valor de 150° y es positivo, ya que el giro lo realizó en el sentido contrario de las manecillas del reloj, ubicando el lado final del ángulo en el II cuadrante.

El otro ángulo de 210° es negativo, ya que el giro fué efectuado en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, hacia la derecha, llegando el lado final del ángulo hasta el II cuadrante, vea que ambos ángulos llegan a coincidir en el mismo lado final , esto es lo que se conoce como ángulos coterminales.

Cálculo de ángulos coterminales de forma analítca

Se puede mostrar de dos maneras:

1. Cuando se presentan angulos positivo y negativo. Al ángulo negativo se le suma 360°.
2. Cuando existe ángulos mayores de 360°. Primero se reduce el ángulo al primer cuadrante, dividiendolo entre 360° y el resultado del residuo o resto es el ángulo que debes comparar.
3. Cuando existe ángulos en radianes y en grados sexagesimal. En este caso debes transformar el ángulo en radianes a grados sexagesimales o de grados sexagesimales a radianes.

Ejemplo # 1: Determina si ambos ángulos α = 310° y β = -50° son o no coterminales.

Solución: Al ángulo negativo, se le suma 360°

β = -50°

– 50° + 360° = 310°

Observa que el resultado es el mismo valor que el ángulo α = 310°, entonces ambos ángulos son coterminales.

310°=310°

Ejemplo # 2: Determina si ambos ángulos α = -110° y β = 80° son o no coterminales.

Solución: Al ángulo negativo se le suma 360°.

α = -110°

-110°+360° = 250°, pero este resultado es distinto al ángulo β = 80°. No son coterminales.

250° ≠ 80°

Ejemplo # 3: Determina si ambos ángulos α = 840° y β = 120° son o no coterminales.

Solución: Como existe un ángulo mayor de 360°, entonces se debe dividir entre 360°.

El resultado del residuo es 120°, al compararlo con el ángulo β = 120° se pueden apreciar que son coterminales.

α  = β =120° = 120°

Ejemplo # 4: Determina si ambos ángulos α = 720° y β = 60° son o no coterminales.

Solución: Como existe un ángulo mayor de 360°, entonces se debe dividir entre 360°.

El resultado del residuo es 0°, al compararlo con el ángulo β = 60° se pueden apreciar que no son coterminales.

α  ≠ β

720° ≠ 60°

Ejemplo # 5: Determina si ambos ángulos α =  y β = 108° son o no coterminales.

Solución: Como son ángulos expresados en distintos sistemas, hay que transformar uno de ellos.

En este ejemplo selecciono al ángulo expresado en radianes para llevarlo a grados sexagesimales.

Se observa que el ángulo α = 108° igual al ángulo β = 108°, por lo tanto son ángulos coterminales.

α = β

Cálculo de ángulos coterminales de forma gráfica

Debes dibujar los ángulos en el plano cartesiano y si coinciden sus lados finales son coterminales.

Ejemplo: Gráfique los siguientes ángulos, y diga si son coterminales o no.

1. α = 270°
2. β =990°
3. -90°

El ángulo α = 270° es la trayectoria angular azul. Efectuó menos de 1 vuelta.

El ángulo de β =990° es la trayectoria angular rojo. Efectuó más de 2 vueltas.

El ángulo de -90° es la trayectoria angular negro. Efectuó menos de 1 vuelta.

Los tres ángulos de posición normal poseen los mismos lados finales, entonces los 3 ángulos son coterminales.

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Actividades:

Determine analíticamente y gráficamente si cada grupo de ángulos son coterminales:

1°) 165° y 11π/12

2°) 125° y -215°

3°) 325° y -105°

4°) 295° y -65°

5°) -120° y 4π/3

6°) 135° y 3π/4

7°) 50° y -215°

8°) -15° y 345°

9°) π/2 y 85°

10°) 355° y -5°

Relacionar cada ángulo de la gráfica con su ángulo coterminal