11ºGrado

Antes de aplicar cualquier fórmulas de derivación, es importante recordar que una derivada mide la rapidez con la que cambia una función respecto a su variable independiente. Las fórmulas que encontrarás a continuación son el resultado de aplicar la definición de derivada mediante límites, por lo que permiten obtener derivadas de forma mucho más rápida.

Las fórmulas de derivación permiten calcular la derivada de una función de manera rápida y sin tener que recurrir siempre a la definición mediante límites. Aprenderlas y saber cuándo aplicarlas facilita la resolución de ejercicios de cálculo diferencial, tanto en secundaria como en la universidad.

Para simplificar su estudio, las fórmulas pueden agruparse según el tipo de función que se desea derivar. A continuación encontrarás las principales categorías y una breve explicación de cuándo utilizar cada una.

Significado de las letras U, V y W

Las fórmulas utilizan las letras U, V y W para representar funciones derivables. Si la función es simplemente la variable x, las fórmulas se simplifican automáticamente.

Reglas básicas de derivación

En esta sección se encuentran las fórmulas fundamentales del cálculo diferencial. Incluyen la derivada de una constante, la variable, las potencias, las sumas, las restas, los productos y los cocientes.

Estas reglas constituyen la base para derivar prácticamente cualquier función. Antes de estudiar fórmulas más avanzadas, es recomendable comprenderlas y practicarlas, ya que aparecen en la mayoría de los ejercicios de cálculo.

Si una función está formada por polinomios o por operaciones algebraicas sencillas, normalmente bastará con aplicar estas reglas.

$$
\begin{aligned}
y&=k &\Rightarrow\quad& y’=0\\[4pt]
y&=x &\Rightarrow\quad& y’=1\\[4pt]
y&=k\cdot U &\Rightarrow\quad& y’=k\cdot U’\\[4pt]
y&=k\cdot x &\Rightarrow\quad& y’=k\\[4pt]
y&=\frac{U}{k} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{U’}{k}\\[4pt]
y&=\frac{x}{k} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{1}{k}\\[4pt]
y&=U^n &\Rightarrow\quad& y’=nU^{\,n-1}U’\\[4pt]
y&=x^n &\Rightarrow\quad& y’=nx^{\,n-1}\\[4pt]
y&=kU^n &\Rightarrow\quad& y’=knU^{\,n-1}U’\\[4pt]
y&=kx^n &\Rightarrow\quad& y’=knx^{\,n-1}\\[4pt]
y&=\frac{U^n}{k} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{nU^{\,n-1}U’}{k}\\[4pt]
y&=\frac{x^n}{k} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{nx^{\,n-1}}{k}\\[4pt]
y&=\sqrt[n]{U} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{\sqrt[n]{U}\,U’}{nU}\\[4pt]
y&=k\sqrt[n]{U} &\Rightarrow\quad& y’=k\frac{\sqrt[n]{U}\,U’}{nU}\\[4pt]
y&=\sqrt[n]{x} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{\sqrt[n]{x}}{nx}\\[4pt]
y&=k\sqrt[n]{x} &\Rightarrow\quad& y’=k\frac{\sqrt[n]{x}}{nx}\\[4pt]
y&=\sqrt{U} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{\sqrt{U}\,U’}{2U}\\[4pt]
y&=k\sqrt{U} &\Rightarrow\quad& y’=k\frac{\sqrt{U}\,U’}{2U}\\[4pt]
y&=\sqrt{x} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{\sqrt{x}}{2x}\\[4pt]
y&=k\sqrt{x} &\Rightarrow\quad& y’=k\frac{\sqrt{x}}{2x}\\[4pt]
y&=U+V-W &\Rightarrow\quad& y’=U’+V’-W’\\[4pt]
y&=U\cdot V &\Rightarrow\quad& y’=U\cdot V’+V\cdot U’\\[4pt]
y&=kUV &\Rightarrow\quad& y’=k(UV’+VU’)\\[4pt]
y&=UVW &\Rightarrow\quad& y’=U’VW+UV’W+UVW’\\[4pt]
y&=\frac{U}{V} &\Rightarrow\quad& y’=\frac{VU’-UV’}{V^2}\\[4pt]
y&=k\frac{U}{V} &\Rightarrow\quad& y’=k\left(\frac{VU’-UV’}{V^2}\right)\\[4pt]
y&=\frac{k}{U} &\Rightarrow\quad& y’=-\frac{kU’}{U^2}\\[4pt]
y&=\frac{k}{x} &\Rightarrow\quad& y’=-\frac{k}{x^2}
\end{aligned}
$$

Reglas de derivación de logaritmos

Las funciones logarítmicas aparecen con frecuencia en matemáticas, física, ingeniería, economía y otras ciencias. En esta sección se presentan las fórmulas necesarias para derivar logaritmos naturales, logaritmos en otras bases y expresiones donde el logaritmo forma parte de funciones más complejas.

Cuando el argumento del logaritmo no es simplemente la variable, también será necesario aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada correcta.

Conocer estas fórmulas permite resolver con facilidad problemas relacionados con crecimiento, escalas logarítmicas y modelos matemáticos.

En estas fórmulas la letra L se usa para representar el logaritmo natural, es decir: $$Lx=ln(x)=log_{e}x$$

$$y=\lg U\Rightarrow y’=\frac{U’}{U}\,\lg e$$

$$y=k\lg U\Rightarrow y’=k\frac{U’}{U}\,\lg e$$

$$y=\lg x\Rightarrow y’=\frac{1}{x}\,\lg e$$

$$y=k\lg x\Rightarrow y’=k\frac{1}{x}\,\lg e$$

$$y=\log_aU\Rightarrow y’=\frac{U’}{U}\,\log_a e$$

$$y=\log_ax\Rightarrow y’=\frac{1}{x}\,\log_a e$$

$$y=LU\Rightarrow y’=\frac{U’}{U}$$

$$y=kLU\Rightarrow y’=k\frac{U’}{U}$$

$$y=Lx\Rightarrow y’=\frac{1}{x}$$

$$y=kLx\Rightarrow y’=k\frac{1}{x}$$

Funciones exponenciales y regla de la cadena

Las funciones exponenciales describen numerosos fenómenos naturales, como el crecimiento poblacional, el interés compuesto, la desintegración radiactiva y muchos procesos físicos.

En esta sección encontrarás las fórmulas para derivar funciones exponenciales, tanto con base (e) como con cualquier otra base.

Además, se incluye la regla de la cadena, una de las herramientas más importantes del cálculo diferencial. Esta regla se aplica cuando una función está «dentro» de otra función.

$$y=k^U\Rightarrow y’=k^U\cdot Lk\cdot U’$$

$$y=k^x\Rightarrow y’=k^x\cdot Lk$$

$$y=e^U\Rightarrow y’=e^U\cdot U’$$

$$y=e^x\Rightarrow y’=e^x$$

$$y=k\cdot e^x\Rightarrow y’=k\cdot e^x$$

$$y=U^V\Rightarrow y’=U^V\cdot LU\cdot V’+V\cdot U^{V-1}\cdot U’$$

$$y=F[f(x)]\Rightarrow y’=F'(U)\cdot f'(x)$$

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son fundamentales en geometría, física, ingeniería y análisis de fenómenos periódicos.

En esta sección encontrarás las fórmulas de derivación de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Cuando una función trigonométrica tiene un argumento distinto de la variable x, es necesario multiplicar la derivada de la función trigonométrica por la derivada de dicho argumento, aplicando la regla de la cadena.

Estas derivadas se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con ondas, movimiento armónico, electricidad y muchas aplicaciones científicas.

Dominar estas fórmulas permitirá resolver ejercicios de cálculo con mayor rapidez y precisión.

$$y=\operatorname{Sen}U\Rightarrow y’=U’\cdot\operatorname{Cos}U$$

$$y=\operatorname{Sen}x\Rightarrow y’=\operatorname{Cos}x$$

$$y=\operatorname{Cos}U\Rightarrow y’=-U’\cdot\operatorname{Sen}U$$

$$y=\operatorname{Cos}x\Rightarrow y’=-\operatorname{Sen}x$$

$$y=\operatorname{tg}U\Rightarrow y’=\frac{U’}{\operatorname{Cos}^{2}U}$$

$$y=\operatorname{tg}x\Rightarrow y’=\frac{1}{\operatorname{Cos}^{2}x}$$

$$y=\operatorname{Ctg}U\Rightarrow y’=-\frac{U’}{\operatorname{Sen}^{2}U}$$

$$y=\operatorname{Ctg}x\Rightarrow y’=-\frac{1}{\operatorname{Sen}^{2}x}$$

$$y=\operatorname{Sec}U\Rightarrow y’=U’\cdot\operatorname{Sec}U\cdot\operatorname{tg}U$$

$$y=\operatorname{Csc}U\Rightarrow y’=-U’\cdot\operatorname{Csc}U\cdot\operatorname{Ctg}U$$

$$y=\operatorname{arc\,Sen}U\Rightarrow y’=\frac{U’}{\sqrt{1-U^{2}}}$$

$$y=\operatorname{arc\,Cos}U\Rightarrow y’=-\frac{U’}{\sqrt{1-U^{2}}}$$

$$y=\operatorname{arc\,tg}U\Rightarrow y’=\frac{U’}{1+U^{2}}$$

$$y=\operatorname{arc\,Ctg}U\Rightarrow y’=-\frac{U’}{1+U^{2}}$$

$$y=\operatorname{arc\,Sec}U\Rightarrow y’=\frac{U’}{U\sqrt{U^{2}-1}}$$

$$y=\operatorname{arc\,Csc}U\Rightarrow y’=-\frac{U’}{U\sqrt{U^{2}-1}}$$

Importancia de las fórmulas de derivación

Las fórmulas de derivación constituyen una de las herramientas más importantes del cálculo diferencial. Memorizar cada fórmula no es suficiente; lo verdaderamente importante es aprender a identificar qué regla debe aplicarse en cada situación.

En muchos ejercicios será necesario combinar varias reglas al mismo tiempo. Por ejemplo, una función puede requerir aplicar la regla del producto, la regla de la cadena y una derivada trigonométrica de forma consecutiva.

Por ello, el estudio de las fórmulas debe ir acompañado de una buena práctica con ejercicios de dificultad progresiva.

Recomendaciones para aprender a utilizarlas

Para sacar el máximo provecho a estas fórmulas, se recomienda:

• Comprender primero las reglas básicas de derivación, ya que son la base de todas las demás.
• Identificar el tipo de función antes de comenzar a derivar.
• Resolver ejercicios sencillos antes de pasar a funciones compuestas.
• Practicar combinando varias reglas en un mismo problema.
• Verificar siempre el resultado para comprobar que se aplicó la fórmula adecuada.

Con práctica constante, identificarás cada vez más rápido la regla que corresponde y podrás resolver derivadas de forma más eficiente y con mayor confianza.

Preguntas frecuentes sobre las fórmulas de derivación

¿Qué son las fórmulas de derivación?

Las fórmulas de derivación son reglas matemáticas que permiten calcular la derivada de una función de forma rápida, sin tener que utilizar la definición de derivada mediante límites en cada ejercicio. Estas fórmulas se obtienen a partir de dicha definición y facilitan el estudio y la resolución de problemas de cálculo diferencial.

¿Para qué sirven las fórmulas de derivación?

Las fórmulas de derivación sirven para determinar la tasa de cambio de una función respecto a una variable. Se utilizan para calcular pendientes de curvas, velocidades, aceleraciones, máximos y mínimos, optimizar procesos y modelar fenómenos en matemáticas, física, ingeniería, economía y otras ciencias.

¿Cuál es la regla más importante de derivación?

Todas las reglas de derivación son importantes y cada una se aplica según el tipo de función. Sin embargo, la regla de la cadena es una de las más utilizadas, ya que permite derivar funciones compuestas, es decir, aquellas cuyo argumento es otra función. En muchos ejercicios es necesario combinar esta regla con las del producto, el cociente o las derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

¿Es necesario memorizar todas las fórmulas de derivación?

No es necesario memorizar todas las fórmulas desde el principio. Lo más recomendable es comprender las reglas básicas y practicar su aplicación en diferentes ejercicios. Con el tiempo, las fórmulas más utilizadas se aprenderán de forma natural. También es importante saber identificar qué regla corresponde aplicar en cada caso y cómo combinar varias reglas cuando sea necesario.

¿Qué fórmula se utiliza cuando hay una raíz?

Cuando una función contiene una raíz, puede utilizarse la fórmula específica para la derivada de una raíz o reescribir la raíz como una potencia con exponente fraccionario y aplicar la regla de la potencia. Si el argumento de la raíz es una función, también debe aplicarse la regla de la cadena para derivar correctamente.

¿Cuándo se aplica la regla de la cadena?

La regla de la cadena se aplica cuando una función está compuesta por otra función. Esto ocurre cuando el argumento de una función es una expresión distinta de la variable x.

¿Cómo saber qué fórmula de derivación debo utilizar?

Antes de derivar una función, observa su estructura. Si es un polinomio, aplica las reglas básicas; si contiene un logaritmo, utiliza las fórmulas de derivación de logaritmos; si aparece una función exponencial o trigonométrica, emplea las reglas correspondientes. Cuando el argumento de una función sea otra expresión, recuerda aplicar la regla de la cadena. En muchos ejercicios será necesario combinar dos o más reglas para obtener la derivada correcta.

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© LaProfeMatematik · Aprender con amor de Dios y mucha pasión

¿Te has preguntado alguna vez qué tiene que ver la parábola con cosas que ves todos los días?
Piensa en el chorro de agua que sale de una botella cuando la aprietas, en la trayectoria que hace un balón cuando lo pateas con un buen efecto, o en la forma curva de una lámpara que refleja la luz justo donde la necesitas. Aunque no lo notes, todas esas situaciones comparten la misma figura matemática.
Esa curva tan característica —suave, simétrica y fácil de reconocer— es la parábola. Conocerla te ayudará no solo en tus clases, sino también a entender por qué muchos objetos, diseños y movimientos del día a día tienen esa forma tan particular.

¿Qué es la parábola?

La parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que mantienen la misma distancia a un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija denominada directriz.

En otras palabras la parábola es una curva cónica definida por la igualdad de distancia entre un punto fijo llamado foco (F) y una recta fija (directriz). Observa la imagen:

¿Es importante aprenderse la definición?

Si, cuando comprendes que cada punto de la parábola está a la misma distancia del foco y de la directriz, empiezas a ver que la curva no es un dibujo caprichoso: responde a una regla geométrica muy precisa. Esa idea te permite interpretar las ecuaciones, identificar una parábola en cualquier forma y resolver problemas con más seguridad, es decir ayuda a darle sentido geométrico y cuando comprendes el sentido los procedimientos dejan de ser complicados y comienza a tener lógica.

Compruébalo tú mismo la definición con este simulador interactivo

Mueve el punto P a lo largo de la curva y observa cómo siempre se mantiene la misma distancia al foco y a la directriz.

Es una forma sencilla y visual de entender que la definición no es solo teoría: realmente se cumple en cada punto de la curva. Mueve el punto y experimenta por ti mismo.

¿Para qué sirven las parábolas en la vida real?

La parábola aparece más seguido de lo que piensas. La ves en la forma de un reflector que concentra la luz en un punto, en las antenas parabólicas que reciben señales, en puentes colgantes, en chorros de agua, en la trayectoria de un balón e incluso en el diseño de lámparas o micrófonos.
Lo bonito es que entender la parábola no solo te sirve para resolver ejercicios: te ayuda a explicar por qué algunos objetos y movimientos del mundo funcionan de manera tan precisa.

¿Cómo puedes saber si una ecuación representa una parábola o no?

La pista más fácil es fijarte en los términos cuadrados.

• Si aparece solo un término cuadrado, por ejemplo:$$x^{2}\;\;o\;\;y^{2}$$ entonces es una parábola.
• Si aparecen dos términos cuadrados, ya puede ser una circunferencia, una elipse o una hipérbola, dependiendo de cómo estén.

Elementos de la parábola

En la definición conociste dos elementos muy relevantes como la directriz y el foco, aquí nuevamente los mencionaré agregándole otras más.

1. Foco

Es un punto fijo donde equidistan todos los puntos de la parábola.

2. Directriz

Es una recta fija respecto a la cual se mide la distancia de los puntos de la parábola.

3. Eje de simetría o eje focal

Es la recta que pasa por el foco y el vértice, partiendo en dos partes iguales a la parábola.

4. Vértice

Es un punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría.

5. Lado recto

Es un segmento que pasa por el foco y cuyos dos extremos están sobre la curva cónica. Siempre es perpendicular al eje de simetría, formándose como una especia de puente que cruza la parábola.

Se calcula aplicando la siguiente expresión:$$Lr=|4\cdot p|$$

6. Parámetro

El parámetro de la curva cónica (2p) es la distancia del foco (F) a la directriz.

El semiparámetro es la distancia del foco al vértice denominado p y la distancia del vértice a la directriz también es p, es decir, que son las mismas distancias. Al sumarlas genera el parámetro de la parábola (2p)

Características relevantes del parámetro cuando la parábola posee eje de simetría vertical:

• Sí p > 0 La parábola es cóncava hacia arriba.
• Sí p < 0 La parábola es cóncava hacia abajo.

Características relevantes del parámetro cuando la parábola posee eje de simetría horizontal:

• Sí p > 0 La parábola abre a la derecha.
• Sí p < 0 La parábola abre a izquierda.

Ecuación canónica con vértice en (0,0) y eje vertical

La figura muestra una parábola con vértice en el origen del plano cartesiano y con eje de simetría en el eje «y». para obtener la ecuación canónica debes aplicar la definición:

1. Distancia entre los puntos P(x,y) y F(p,0)

$$\overline{PF}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Reemplazar los valores:

$$\overline{PF}=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}$$

2. Distancia entre el P(x,y) a la directriz: y=-p

$$\overline{PR}=\frac{\left | Ax+By+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Sustituir el punto P y la recta: y + p = 0

$$\overline{PR}=y+p$$

3. Aplicar la definición:$$\overline{PF}=\overline{PR}$$

$$\sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}=y+p$$

Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz cuadrada:
$$\left (\sqrt{x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}} \right )^{2}=(y+p)^{2}$$
$$x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}=y^{2}+2py+p^{2}$$
$$x^{2}+\not y^{2}-\not y^{2}-2py-2py+\not p^{2}-\not p^{2}=0$$

Ecuación de la parábola:

$$x^{2}-4py=0$$

Ecuación canónica:

$$x^{2}=4py$$

$$x^{2}=4py$$

Foco y directriz

Ecuación canónica con vértice en (0,0) y eje horizontal

La figura muestra una parábola con vértice en (0,0) y con eje de simetría en el eje x, para obtener la ecuación canónica también debes aplicar también su definición:

1. Distancia entre el punto P(x,y) y F(p,0).

$$\sqrt{(x-p)^{2}+(y-0)^{2}}$$

2. Ecuación de la directriz. 

$$x+p=0$$

3. Distancia entre el punto P(x,y) a la directriz.

$$\overline{PR}=\frac{\left | Ax+By+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Sustituir valores:

$$\frac{\left | x+p\right |}{\sqrt{1+0}}=x+p$$

4. Aplicar la definición de la parábola

$$\overline{PF}=\overline{PR}$$

Sustituyendo queda así:

$$\sqrt{(x-p)^{2}+(y-0)^{2}}=x+p$$
$$\left ( \sqrt{x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}} \right )^{2}=(x+p)^{2}$$
$$x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}=x^{2}+2px+p^{2}$$
$$\not x^{2}-2px+\not p^{2}+y^{2}-\not x^{2}-2px-\not p^{2}=0$$

Ecuación de la parábola:

$$y^{2}-4px=0$$

Ecuación canónica:

$$y^{2}=4px$$

$$y^{2}=4px$$

Foco y directriz

Ecuación canónica con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje y

Para encontrar la ecuación canónica de una parábola con vértice (h,k) es conveniente efectuar una traslación de ejes, observa la imagen:

Esto es como trasladar la curva desde el origen del plano cartesiano a la posición (h, k). Quedando el sistema de coordenadas como x´- y´  y la ecuación de la misma así:$$x^{\prime 2} = 4p\,y^{\prime}$$

Luego:
$$x=x^{\prime }+h$$
$$y=y^{\prime}+k$$

Se tiene que:
$$x^{\prime}=x-h$$
$$y^{\prime}=y-k$$

Ecuación canónica:
$$(x-h)^{2}=4p(y-k)$$

$$(x-h)^{2}=4p(y-k)$$

Elementos

Explora la Parábola: mueve el vértice, cambia el foco y domina su ecuación

¿Quieres entender realmente qué es una parábola sin memorizar largas definiciones?
En este simulador interactivo podrás mover el vértice (h,k), modificar el parámetro  p ver cómo cambia el foco, la directriz y hasta la ecuación de la parábola… ¡todo en tiempo real!
Es una forma visual, dinámica y súper intuitiva de comprender cómo cada elemento afecta la forma y posición de la parábola. Solo arrastra, observa y deja que la gráfica te hable.

Ecuación canónica con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje x

Para encontrar la ecuación canónica se trabaja de la misma manera como cuando su eje de simetría es paralelo al eje y.

Sistema de coordenadas: x´- y´

Ecuación:$$y^{\prime 2} = 4p\,x^{\prime}$$

Luego:
$$x=x^{\prime }+h$$
$$y=y^{\prime}+k$$

Se tiene:
$$x^{\prime}=x-h$$
$$y^{\prime}=y-k$$

Ecuación canónica:
$$(y-k)^{2}=4p(x-h)$$

$$(y-k)^{2}=4p(x-h)$$

Elementos

Ecuación general de la parábola

La ecuación general de la parábola es:

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Esta ecuación incluye todas las parábolas como las cóncavas hacia arriba, cócavas hacia abajo, abiertas a la derecha, abiertas a la izquierda e incluso las que poseen ejes de simetría oblicuas o inclinadas. Observa la siguiente imagen de parábolas con ejes inclinados:

Características resaltantes

1. Cuando el término xy (B=0) no existe es porque la curva cónica posee eje de simetría vertical o horizontal la orientación depende de los coeficientes A y C. Observa la tabla:

2. Cuando existe el término xy (B≠0) la curva cónica posee un eje de simetría oblicua.

3. Cuando los coeficientes D, E o F posee valores diferentes de cero, la parábola deja de estar centrada en el origen y su vértice se desplaza a otro punto del plano cartesiano.

4. Para distinguir si la ecuación general corresponde a una parábola, debe cumplirse la siguiente condición:

$$B^{2}=4AC$$

Ecuación de la tangente a la parábola

La ecuación de la tangente a una parábola permite obtener la recta que toca la curva cónica en un solo punto sin cortarla, es muy importante determinarla ya que sirve para analizar pendientes, identificar máximos o mínimos y resolver problemas de geometría y física relacionados con la parábola. 

Ecuación de la tangente de pendiente m a la curva cónica

A continuación, te muestro la tabla donde se encuentran las ecuaciones de la tangente con pendiente m. 

Donde m≠0

Transformación de la función cuadrática a su forma canónica con vértice (h,k) eje vertical

Cuando la función cuadrática se expresa de la siguiente forma:$$y=ax^{2}+bx+c$$

Su eje de simetría es paralelo al eje «y».

Para transformar la función cuadrática a su forma canónica con vértice (h,k) debes utilizar el método de completar cuadrados.

A continuación, su procedimiento:

$$y=ax^{2}+bx+c$$

1. Factorizar para que el primer término cuadrático sea uno.

$$y=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c$$

2. Escoger el coeficiente del término lineal dividirlo entre dos y elevarlo al cuadrado.

$$\left ( \frac{\frac{b}{a}}{2} \right )^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$

3. El resultado anterior debe sumarse y restarse dentro de la expresión.

$$y=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )+c$$

4. Expresión obtenida.

$$y=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right )-\frac{\not ab^{2}}{4a^{\not 2}}+c$$
$$y=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\left ( c-\frac{b^{2}}{4a} \right )$$

5. Despejar para obtener la ecuación canónica

$$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=y-\left ( c-\frac{b^{2}}{4a} \right )$$
$$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=y-\left ( \frac{4ac-b^{2}}{4a} \right )$$
$$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=y+\left ( \frac{b^{2}-4ac}{4a} \right )$$
$$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{1}{a}\left ( y+\frac{b^{2}-4ac}{4a} \right )$$

6. Comparar la ecuación canónica obtenida y la ecuación canónica de vértice (h,k).

Se comparan para poder obtener el parámetro y el vértice.

7. Coordenas del vértice y parámetro.

8. Vértice.

$$V\left (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b}{4a} \right )$$

9. Cóncavidad

Resumen general

A continuación, te presento dos tablas con un resumen práctico que te será útil para que puedas comprender con facilidad los cálculos en los ejercicios explicados paso a paso.

Tabla resumen con vértice en (0,0)

Tabla resumen con vértice en (h,k)

Ejercicios explicados paso a paso

A continuación, 10 ejercicios explicados con un lenguaje sencillo y realizado paso a paso.

Solución

1. Transformar la ecuación a canónica.

$$y^{2}=4x$$

Es una curva cónica con eje de simetría en el eje «x»

2. Cálculo del parámetro (p).

Igualar la ecuación canónica y la canónica dada

$$4px=4x$$

Despejar
$$p=\frac{4x}{4x}$$
$$p=1$$

Como:

$$p>0$$

Es cóncava hacia la derecha o abre hacia la derecha.

3. Coordenadas del foco (F).

$$F(p,0)$$

Reemplazando el valor de p.

$$F(1,0)$$

4. Ecuación de la directriz.

$$x=-p$$

Reemplazar p

$$x=-1$$

5. Lado recto.

$$Lr=|4\cdot p|$$

Reemplazar el valor de p

$$Lr=|4\cdot 1|$$
$$Lr=4$$

6. Eje de simetría.

$$y=0$$

7. Gráfica

Solución

1. Transformar la ecuación a canónica.

Despejar ecuación dada lo cual resulta:

$$x^{2}=2y$$

Es una curva cónica con eje de simetría en el eje «y»

2. Cálculo del parámetro (p).

Igualar la ecuación canónica y la canónica dada

$$4py=2y$$

Despejar
$$p=\frac{2x}{4x}$$
$$p=\frac{1}{2}$$

Como:

$$p>0$$

Es cóncava hacia arriba o abre hacia arriba.

3. Coordenadas del foco (F).

$$F(0,p)$$

Reemplazando el valor de p.

$$F\left ( 0,\frac{1}{2} \right )$$

4. Ecuación de la directriz.

$$y=-p$$

Reemplazar p

$$x=-\frac{1}{2}$$

5. Lado recto.

$$Lr=|4p|$$

Reemplazar el valor de p

$$Lr=\left | 4\cdot \frac{1}{2}\right |$$
$$Lr=2$$

6. Eje de simetría.

$$x=0$$

7. Gráfica

Solución:

1. Graficar el vértice, foco y trazado del eje de simetría

Nota: 

• El eje de simetría coincide con el eje «y».

• Ecuación del eje de simetría:$$x=0$$

• Como el eje de simetría coincide con el eje «y» se utiliza la ecuación:$$x^{2}=4py$$

2. Definición de parámetro

$$p=-5$$

Por ser negativo (p<0) la parábola es cóncava hacia abajo.

3. Hallar la longitud del lado recto

$$Lr=|4\cdot p|$$

$$Lr=|4\cdot (-5)|$$

$$Lr=20$$

4. Ecuaciones

Parábola

$$x^{2}=4py$$

$$x^{2}=4\cdot (-5)y$$

$$x^{2}+20y=0$$

Canónica

$$x^{2}=-20y$$

Directriz

$$y=-p$$

$$y=-(-5)$$

$$y=5$$

5. Gráfica

Solución

1. Graficar el vértice, directriz y eje de simetría

Nota: 

• El eje de simetría coincide con el eje «y».

• Ecuación del eje de simetría:$$x=0$$

• Para determinar ecuación se utiliza:$$x^{2}=4py$$

• Ecuación de la directriz:$$y=\frac{5}{2}$$

2. Definición del parámetro

$$p=-\frac{5}{2}$$

Es cóncava hacia abajo por$$p<0$$

3. Coordenadas del foco

$$F\left ( 0,-\frac{5}{2} \right )$$

4. Lado recto

$$Lr=\left | 4\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )\right |$$
$$Lr=10$$

5. Ecuación de la parábola y canónica

$$x^{2}=4py$$

Parábola

$$x^{2}=4\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )y$$
$$x^{2}+10y=0$$

Canónica

$$x^{2}=-10y$$

6. Gráfica

Solución

1. Cálculo del parámetro.

Como la ecuación de la directriz es:$$x+p=0$$

Se deduce que:

$$3x+4=0$$
$$3x=-4$$
$$x=-\frac{4}{3}$$
$$x+\frac{4}{3}=0$$

Por lo tanto el parámetro es:$$p=\frac{4}{3}$$

Cóncava hacia la derecha.

Con eje de simetría «x», entonces la forma de la ecuación es:$$y^{2}=4px$$

2. Cálculo de la ecuación.

$$y^{2}=4\cdot \frac{4}{3}x$$
$$y^{2}=\frac{16x}{3}$$

3. Foco.

$$F(p,0)$$
$$F\left ( \frac{4}{3},0 \right )$$

4. Lado recto.

$$Lr=\left | 4\cdot \left ( \frac{4}{3} \right )\right |$$
$$Lr=\frac{16}{3}$$

5. Gráfico

 Solución

• Según la ecuación dada el eje de simetría es horizontal.
• Antes de hallar la ecuación se comprueba que el punto está en la curva cónica.

1. Comprobación. Sustituir el punto en la ecuación dada

$$y^{2}=12x$$

$$(-6)^{2}=12\cdot 3$$
$$36=36$$

El punto se encuentra en la curva cónica.

2. Calculo del parámetro.

Se toma la ecuación dada y se iguala con la ecuación general canónica de una parábola.

$$y^{2}=12x$$
$$y^{2}=4px$$

$$12x=4px$$
$$p=3$$

3. Cáculo de la ecuación de la tangente:$$y\cdot y_1=2p(x + x_1)$$

Sustituir el punto (3,-6)

$$y\cdot (-6)=2\cdot 3(x + 3)$$
$$-6y=6(x + 3)$$
$$-6y=6x + 18$$
$$-6y-6x-18=0$$

Solución

• Según la ecuación dada el eje de simetría es vertical y con vértice en el origen.

1. Calculo del parámetro.

Se escoge la ecuación dada y se iguala con la ecuación general canónica de una parábola.

$$x^{2}=8y$$
$$y^{2}=4px$$

$$8y=4px$$
$$p=2$$

2. Calcular la ecuación tangente:$$y=mx+(k-mh-pm^{2})$$

Como el vértice está ubicado en el origen, la expresión se reduce a:$$y=mx+(-pm^{2})$$

Al sustituir los valores del parámetro y la pendiente dada, queda de esta forma:

$$y=-2x+(-2\cdot (-2)^{2})$$
$$y=-2x+(-8)$$
$$y=-2x-8$$

3. Gráfica

Solución

La expresión dada es la ecuación general de la parábola de la forma:$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Donde:$$A=0;\; C\neq 0;\; D\neq 0$$

Haz clic aquí características resaltantes para que veas datos clave como eje de simetría, coeficientes, entre otros que te ayudará a comprender y ver la situación mucho más fácil.

Las características resaltantes recopiladas es la siguiente:

• Eje de simetría es horizontal es decir, paralelo al eje «x».
• Los coeficientes D y E distintos a ceros, demuestran que el vértice esta ubicado fuera del origen del plano cartesiano.

1. Transformar la ecuación dada a la forma canónica completando cuadrados.

$$y^{2}+6x+6y=0$$
$$y^{2}+6y=-6x$$
$$y^{2}+6y+9=-6x+9$$
$$y^{2}+6y+9=-6x+9$$
$$(y+3)^{2}=-6\left ( x-\frac{3}{2} \right )$$

2. Comparar con la general.

$$(y-k)^{2}=4p(x-h)$$

$$-k=3\Rightarrow k=-3$$
$$-h=-\frac{3}{2}\Rightarrow h=\frac{3}{2}$$
$$4p=-6\ \Rightarrow p=-\frac{3}{2}$$

$$k=-3;\;h=\frac{3}{2};\;p=-\frac{3}{2}$$

3. Elementos.

Vértice.$$V(h,k)=V\left ( \frac{3}{2},-3 \right )$$

Eje de simetría. Como pasa por el vértice:$$y=-3$$

Foco. El foco siempre se encuentra en el mismo eje que el vértice, para hallar sus coordenadas se suma la coordenada «x» del vertice y p.

$$F\left ( \frac{3}{2}-\frac{3}{2},-3 \right )$$
$$F(0,-3)$$

Lado recto.
$$Lr=\left | 4p\right |$$
$$Lr=\left | 4\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )\right |$$
$$Lr=6$$

Directriz. Como el eje de simetría es horizontal su ecuación a utilizar es: $$x=h-p$$

$$x=\frac{3}{2}-\left ( -\frac{3}{2} \right )$$
$$x=3$$

4. Gráfica.

Solución

La expresión dada es una función cuadrática de la forma:$$y=ax^{2}+bx+c$$

Donde:

$$a=1;\;b=4;\;c=-6$$

$$h=-\frac{b}{2a};\;k=\frac{4ac-b}{4a}$$

1. Cálculo del vértice. 

$$V(h,k)$$
$$V\left ( -\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a} \right )$$
$$V\left ( -\frac{4}{2\cdot 1},\frac{4\cdot 1\cdot (-6)-(4)^{2}}{4\cdot 1} \right )$$
$$V\left ( -2,\frac{-40}{4} \right )$$
$$V\left ( -2,-10 \right )$$

2. Eje de simetría.

El eje es una recta paralela al eje «y» según la función dada.

$$x=-2$$

3. Cálculo del parámetro.

$$p=\frac{1}{4a}$$

$$p=\frac{1}{4\cdot 1}$$
$$p=\frac{1}{4}$$

4. Foco.

$$ F(h,\ k+p) $$
$$ F(-2,-10+p) $$
$$F\left ( -2, -10+\frac{1}{4} \right )$$
$$F\left ( -2,-\frac{39}{4} \right )$$

5. Lado recto.

$$ Lr = \lvert 4p \rvert $$
$$ Lr =\left | 4\cdot \frac{1}{4}\right |$$
$$Lr=1$$

6. Ecuación de la directriz.

$$ y = k – p $$
$$ y = -10 – \frac{1}{4} $$
$$y=-\frac{41}{4}$$

7. Gráfico.

Solución:

1. Comparar la ecuación dada con las de vértice (h,k).

Haz clic aquí para que veas la tabla resumen del vértice con (h, k) y seguir el proceso de forma más clara.

Al realizar la comparación se observa que su eje de simetría es paralelo al eje «y».

2. Coordenadas (h,k).

$$-h=4\Rightarrow h=-4$$
$$-k=-6\Rightarrow k=6$$

3. Vértice.

$$V(-4,6)$$

4. Ecuación del eje de simetría.

$$x=-4$$

5. Parámetro.

Gracias a la comparación se puede igualar y hallar el valor de p:$$4p=-5\Rightarrow p=-\frac{5}{4}$$

Como:$$p<0$$

Es cóncava hacia abajo.

6. Foco.

$$ F(h,k+p) $$
$$ F\left ( -4,6+\left ( -\frac{5}{4} \right ) \right ) $$
$$ F\left ( -4,\frac{19}{4} \right ) $$

7. Lado recto.

$$ Lr = \lvert 4p \rvert $$
$$Lr=\left | 4\cdot \left ( -\frac{5}{4} \right )\right |$$
$$Lr=5$$

8. Ecuación de la directriz.

$$ y = k – p $$
$$y=6-\left ( -\frac{5}{4} \right )$$
$$y=\frac{29}{4}$$

9. Cálculo de los interceptos

Dale clic aquí interceptos y allí verás su procedimiento.

Intercepto en «y»

$$(0 + 4)^{2} = -5 (y – 6)$$
$$16=-5y+30$$
$$y=\frac{14}{5}$$

Intercepto en «x»

$$(x + 4)^{2} = -5 (0 – 6)$$
$$(x + 4)^{2} = 30$$
$$x+4=\pm \sqrt{30}$$
$$\boxed{x=-4\pm \sqrt{30}}$$
$$x\approx 1,5$$
$$x\approx -9,5$$

9. Gráfico.

Actividades

Modelación.

1. Determina la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan del punto 𝑭(𝟎,𝟑) y de la recta 𝒚 + 𝟑 = 𝟎. Graficar.

2. Encuentra los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es:$$y^{2}-8x=0$$

3. Hallar los elementos y construir la grafica cuya ecuación es:$$3x^{2}- 12y = 0$$

4. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz en la recta 𝒙 − 7 = 0. Graficar

5. Una parábola de vértice en el origen pasa por el punto (2,3) y su eje coincide con el eje «Y». Determine la ecuación y grafique.

6. Determinar los elementos de cada parábola y represéntalos gráficamente.

7. Determinar los elementos de cada parábola y grafícalas a partir de sus ecuaciones:

(y - 2)² = 8(x + 1)

(x + 3)² = 12(y - 1)

(y + 1)² = -16(x - 2)

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¿Te has preguntado alguna vez cómo la circunferencia está presente en el diseño de pistas circulares que crean los ingenieros o en los logos perfectamente redondeados que elaboran los diseñadores gráficos?
Detrás de todas esas formas se encuentra la circunferencia, una figura fundamental en la geometría analítica que conecta el arte visual con el razonamiento matemático.
En este post aprenderás qué es la circunferencia, cómo se obtiene su ecuación y cómo aplicarla en contextos reales, de manera clara, práctica y paso a paso. 🧮

¿Qué es una circunferencia?

En geometría analítica, la circunferencia es definida como el conjunto de todos los puntos de un plano situado a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro. Esa distancia constante recibe el nombre de radio, y determina el tamaño de la circunferencia.

En otras palabras, si todos los puntos están exactamente a la misma distancia del centro, forman una figura perfectamente redonda: la circunferencia.

Donde:

C (h, k): Centro.

h y k : Coordenadas del centro.

P (x, y): Es el punto por donde pasa la circunferencia.

r : Radio.

Su ecuación más utilizada es llamada ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Cuando el centro de la circunferencia está ubicado en el origen del plano cartesiano, su ecuación es: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Ecuación ordinaria y ecuación general de la circunferencia

Al expandir la ecuación ordinaria, se obtiene la ecuación general de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Cómo hallar el centro y el radio de una circunferencia en la ecuación general

A partir de la ecuación general$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$ Puedes obtener el centro y el radio, donde:

Entonces, para calcular el centro (C) y el radio (r) debes aplicar:

Aplicaciones de la circunferencia en la vida cotidiana

Las circunferencias no son solo figuras en la pizarra o en el cuaderno. En la vida cotidiana, aparecen en contextos que quizás no habías notado:

• Ingeniería civil: diseño de rotondas, túneles y estructuras circulares.
• Deportes: trazados en el campo de fútbol, análisis de trayectorias de pelotas o ruedas en movimiento.
• Astronomía: modelos de órbitas planetarias casi circulares.
• Diseño gráfico: construcción de logotipos y figuras simétricas.

Comprender esta figura plana te permite apreciar cómo las matemáticas está involucrada en muchas situaciones.

Ejercicios de la circunferencia resueltos paso a paso

Solución:

Fórmula ordinaria: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Al reemplazar:

$$x^{2}+y^{2}=4^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=16$$

$$x^{2}+y^{2}-16=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Al sustituir:

$$x^{2}+y^{2}=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=\frac{3}{4}$$

Se transforma la expresión en forma lineal

$$4x^{2}+4y^{2}=3$$

Ecuación:

$$4x^{2}+4y^{2}-3=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y+3 \right )^{2}=2^{2}$$

Desarrollo:

$$x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9=4$$

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$$

Ecuación de la circunferencia

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Al sustituir los valores queda así:

$$\left (x+\frac{1}{2}  \right )^{2}+\left ( y+\frac{5}{6} \right )^{2}=\left ( \frac{5}{6} \right )^{2}$$

Se aplica productos notables, potenciación y se iguala a cero:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}+\frac{5y}{3}+\frac{25}{36}=\frac{25}{36}$$

$$x^{2}+y^{2}+x+\frac{5y}{3}+\frac{1}{4}=0$$

Se saca mínimo común múltiplo (m.c.m.) a los denominadores:

m.c.m.=12

$$\frac{12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3}{12}=0$$

Despeje:

$$12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3=0$$

Ecuación:

$$12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3=0$$

Solución:

Calculo del radio aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$$d=r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Sustitución de las coordenadas del punto y centro:

$$d=r=\sqrt{(2-0)^{2}+(-3-0)^{2}}=\sqrt{13}$$

Cálculo de la ecuación:

$$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=\left ( \sqrt{13} \right )^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=13$$

$$x^{2}+y^{2}-13=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-13=0$$

Solución:

Punto medio del diámetro es igual al punto centro de la circunferencia:

$$C=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$

Reemplazar las coordenadas de ambos puntos:

$$C=\left ( \frac{-4+6}{2},\frac{7-1}{2} \right )$$

Centro de la circunferencia:

$$C\left ( 1,3 \right )$$

Cálculo del radio:

B(6,-1); C(1,3)

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=(\sqrt{41})^{2}$$

$$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41$$

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y-31=0$$

Gráfica:

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y-31=0$$

Solución:

Punto medio del diámetro es igual al punto centro de la circunferencia:

$$C=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$

$$C=\left ( \frac{-3+7}{2},\frac{5-3}{2} \right )$$

$$C\left ( 2,1 \right )$$

Cálculo del radio:

A(−3,5); C(2,1)

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-2  \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=(\sqrt{41})^{2}$$

$$\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=41$$

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-36=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-36=0$$

Solución:

Se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$$d=r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y+3 \right )^{2}=\left ( 3\sqrt{5} \right )^{2}$$

$$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=45$$

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y-35=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y-35=0$$

Solución:

Se grafica el centro C(-1,-5)

Como es tangente al eje “y” su radio es:$$r=1$$

Como se tiene el radio y centro, se aplica la ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x+1  \right )^{2}+\left ( y+5 \right )^{2}=1$$

$$x^{2}+y^{2}+2x+10y+25=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+2x+10y+25=0$$

Gráfica:

Solución:

Se grafican los datos dados:

Cálculo del radio:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (0-5  \right )^{2}+\left ( 0+2 \right )^{2}=r^{2}$$

$$25+4=r^{2}$$

$$r=\sqrt{29}$$

Cálculo de la ecuación:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=29$$

$$x^{2}+y^{2}-10x+4y=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-10x+4y=0$$

Solución:

Radio:

$$r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Cálculo de la ecuación aplicando la ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x+4  \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=16$$

$$x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0$$

Solución:

Graficar los puntos dados:

Conclusión: Como es tangente a una recta y se tiene el centro A(0,-2), se calcula el radio que va desde el centro hasta el punto tangente a la recta, es decir se aplica la fórmula de la distancia entre un punto a una recta.

Cálculo del radio, aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

$$d=r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Cálculo de la ecuación:

$$x^{2}+(y+2)^{2}=4$$

$$x^{2}+y^{2}+4y=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}+4y=0$$

Solución:

Cálculo del radio aplicando la fórmula distancia de un punto a una recta:

$$d=r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Cálculo de la ecuación aplicando la ecuación ordinaria:

$$(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=4$$

$$x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0$$

Solución:

Radio:

$$ r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Ecuación:

$$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=25$$

$$x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$$

 Solución:

Como los tres puntos están en la circunferencia$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$Dicha ecuación se cumple para cada uno de los puntos.

Parte # 1

Sustitución de cada punto en la ecuación general:

D(3,4)

$$3^{2}+4^{2}+D(3)+E(4)+F=0$$
$$9+16+3D+4E+F=0$$
$$3D+4E+F=-25$$

C(11,4)

$$11^{2}+4^{2}+D(11)+E(4)+F=0$$
$$121+16+11D+4E+F=0$$
$$11D+4E+F=-137$$

B(7,-4)

$$7^{2}+(-4)^{2}+D(7)+E(-4)+F=0$$
$$49+16+7D-4E+F=0$$
$$7D-4E+F=-65$$

Parte # 2

Solución:

Para hallar la ecuación de la circunferencia, se requieren el centro (h, k) y el radio $(r)$. Dado que el centro equidista de los puntos de la circunferencia, este se sitúa sobre la mediatriz de cualquier segmento (cuerda) que una dos de esos puntos. La intersección de las mediatrices de dos cuerdas distintas define el centro de la circunferencia.

Se grafica y se unen los puntos A y B, B y C para comprender mejor la situación.

Calculo de la ecuación de la mediatriz  del segmento AB

Determinar el punto medio:

A(2,5); B(6,3)

$$M=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$
$$M=\left ( \frac{6+2}{2},\frac{3+5}{2} \right )=(4,4)$$
$$M(4,4)$$

Cálculo de la pendiente de la recta de la mediatriz:

Pendiente del segmento AB:

A(2,5); B(6,3)

$$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m_{1}=\frac{3-5}{6-2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$

$$m_{1}=-\frac{1}{2}$$

Pendiente de la mediatriz:

$$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$$

$$m_{2}=2$$

Ecuación punto-pendiente

$$M(4,4);m=2$$

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

$$y-4=2(x-4)$$

$$y=2x-8+4$$

Resultado:

$$y=2x-4$$

Calculo de la ecuación de la mediatriz  del segmento BC

Punto medio:

B(6,3); C(2,-5)

$$P=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$
$$P=\left ( \frac{2+6}{2},\frac{-5+3}{2} \right )=(4,-1)$$
$$P(4,-1)$$

Pendiente de la mediatriz

Pendiente del segmento BC:

B(6,3); C(2,-5)

$$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m_{1}=\frac{-5-3}{2-6}=\frac{-8}{-4}=2$$

$$m_{1}=2$$

Pendiente de la mediatriz:

$$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{2}$$

$$m_{2}=-\frac{1}{2}$$

Ecuación punto-pendiente

$$P(4,-1);m=-\frac{1}{2}$$

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

$$y+1=-\frac{1}{2}(x-4)$$

$$y=-\frac{1}{2}x+2-1$$

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Resultado:

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Puntos medios graficados:

Establecer un sistema de ecuaciones para determinar el punto (centro de la circunferencia) donde se intersecan ambas mediatrices

Se aplica el método de reducción:

$$
\begin{array}{rl}
\!\!\!\!\!\!\!^{-1}\! &
\left\{
\begin{array}{l}
y = 2x – 4 \\
y = -\tfrac{1}{2}x + 1
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{rcl}
-y &=& -2x + 4 \\[4pt]
\,y &=& -\tfrac{1}{2}x + 1 \\[4pt]
\hline
0 &=& -\tfrac{5}{2}x + 5
\end{array}
$$

$$\frac{5}{2}x=5$$

$$x=\frac{10}{5}$$

$$x=2$$

Reemplazar $$x=2$$En la primera ecuación y así obtener el valor de “y”

$$y=2(2)-4$$

$$y=0$$

Centro de la circunferencia$$I(2,0)$$

Cálculo del radio

$$I(2,0);C(2,-5)$$

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

$$r=\sqrt{(2-2)^{2}+(-5-0)^{2}}=\sqrt{25}=5$$

Ecuación de la circunferencia

$$r^{2}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

$$5^{2}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$

$$25=x^{2}-4x+4+y^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}-4x+4-25=0$$

$$x^{2}+y^{2}-4x-21=0$$

Resultado:

$$x^{2}+y^{2}-4x-21=0$$

Gráfica:

Actividades

1. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio de 7 unidades. Rep.$$x^{2}+y^{2}-49=0$$

2. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio de $$\frac{\sqrt{5}}{3}$$ Rep. $$9x^{2}+9y^{2}-5=0$$

3. Determina la ecuación de la circunferencia de centro (2, -4) y radio de 3 unidades. Rep. $$x^{2}+y^{2}-4x+8y+11=0$$

4. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (-1/3, -1/4) y radio 1/2 unidades. Rep. $$144x^{2}+144y^{2}+96x+72y+11=0$$

5. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (4, -1)? Rep. $$x^{2}+y^{2}-17=0$$

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento formado por A(-2, 5) y B(4, 1).

7. Determine la ecuación de la circunferencia de diámetro con extremos en (1, 6) y (5, -2).

8. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (2, -1) que pasa por el punto (5, 3).

9. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en C(-3, -2) y es tangente al eje «y»?

10. El centro de una circunferencia es el punto (3, -4) y pasa por el origen. ¿Cuál es su ecuación?

11. Obtén la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (-5, 1) y diámetro de 12 unidades.

12. Una circunferencia tiene centro en (0, -3) y es tangente a la recta 3x−4y+3=0.

13. Una circunferencia tiene centro en (1, -2) y es tangente a la recta 4x+3y−13=0.

14. Una circunferencia tiene centro en (-1, 2) y es tangente a la recta 8x−15y−12=0.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por D(2, 2), C(6, 2) y B(4, -2).

16. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 4), B(5, 2) y C(1, -4).

Preguntas Frecuentes sobre la Circunferencia

Parte I

1. ¿Qué es una circunferencia en geometría analítica?

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

2. ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?

La circunferencia es el borde (línea curva), mientras que el círculo es la superficie interior.

3. ¿Cuál es la ecuación ordinaria de la circunferencia?

Es $$(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$$

4. ¿Qué representan ‘h’ y ‘k’ en la ecuación?

Representan las coordenadas del centro C(h, k) en el plano cartesiano.

5. ¿Cómo es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen?

Se simplifica a $$x^{2} + y^{2} = r^{2}$$

Parte II

6. ¿Qué es la ecuación general de la circunferencia?

Es la forma desarrollada $$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$$

7. ¿Cómo se pasa de la ecuación ordinaria a la general?

Desarrollando los binomios al cuadrado e igualando la ecuación a cero.

8. ¿Cómo calcular el radio si tengo la ecuación general?

Usando la fórmula $$r = \frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} – 4F}}{2}$$

9. ¿Cómo hallar el centro desde la ecuación general?

Las coordenadas son $$h = -D/2$$ y $$k = -E/2$$

10. ¿Qué sucede si el radio es igual a cero?

La ecuación representa un solo punto (el centro).

Parte III

11. ¿Qué indica un radio con valor imaginario o negativo?

Significa que la ecuación no representa una circunferencia real.

12. ¿Cómo calcular el radio si conozco un punto por el que pasa?

Usando la fórmula de distancia entre el centro y ese punto.

13. ¿Qué es una recta tangente a la circunferencia?

Es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

14. ¿Cómo hallar el radio si la circunferencia es tangente a una recta?

El radio es la distancia del centro a dicha recta.

15. ¿Qué es el diámetro de una circunferencia?

Es el segmento que une dos puntos pasando por el centro; su medida es dos veces el radio.

Parte IV

16. ¿Cómo hallar la ecuación si solo tengo los extremos del diámetro?

El centro es el punto medio del segmento y el radio es la mitad de su longitud.

17. ¿Cuántos puntos se necesitan para definir una circunferencia única?

Se requieren tres puntos no colineales.

18. ¿Para qué sirve la circunferencia en la ingeniería?

Para el diseño de curvas en carreteras, engranajes y estructuras circulares.

19. ¿Qué es una circunferencia unitaria?

Es aquella que tiene su centro en el origen y un radio igual a 1.

20. ¿Cómo saber si un punto está dentro, fuera o sobre la circunferencia?

Sustituyendo el punto en la ecuación: si es menor que $$r^{2}$$ está dentro, si es igual está sobre, y si es mayor está fuera.

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¿Sabes cómo las Matrices transforman tus fotos y videojuegos? No son solo tablas de números; las Matrices son el lenguaje secreto de la tecnología digital. Cada vez que aplicas un filtro en Instagram o TikTok, estás usando Matrices sin darte cuenta. Una imagen es, en esencia, una gran Matriz de píxeles, y los filtros son pequeñas Matrices de convolución que aplican cálculos para cambiar el color o el brillo.

En los videojuegos, las Matrices de transformación son la clave: ellas calculan cómo rotar y mover los objetos 3D en la pantalla. Al aprender Matrices, no solo entiendes un concepto matemático; ¡estás descubriendo cómo se programan los efectos visuales, los tipos de datos y las operaciones que dan vida a tu mundo digital!

Matrices

Características de la matriz

Una matriz está conformada por las siguientes características:

• Se denotan con una letra mayúscula como:

A, B, C, D, …, etc.

• Utilizan paréntesis ( ) o corchetes [  ] para encerrar a los elementos de la matriz.

• Dimensión u orden es el tamaño de la matriz. Ejemplo: 3 x 2 el 3 significa la cantidad de filas y el 2 la cantidad de columnas.

• Cada uno de los números o funciones que componen a la matriz se llama elemento.
• Los elementos se denotan con una letra minúscula y con un subíndice, el primero indica la fila y el segundo la columna. Como:

a_ij , b_ij ,…, etc.

a_ij se lee “a sub ij”

Observa los elementos de la matriz A_2×3 relacionándola con una matriz genérica.

• Cuando una matriz posee la misma cantidad de filas y columnas, es decir, si m = n se le da el nombre de matriz cuadrada.

• Si m es distinto a n se dice que es una matriz rectangular.

• Una matriz que posee una sola fila o una sola columna se les llama vector fila o vector columna, respectivamente.

Particularidades de las matrices cuadradas

Las matrices cuadradas son aquellas que tienen igual número de filas que de columnas, es decir, en las que m = n.

Una matriz con n filas y n columnas es una matriz cuadrada.

• Elementos principales. En una matriz cuadrada los elementos principales son aquellos que poseen los dos subíndices iguales, ejemplo: a₁₁, a₂₂, a₃₃, a_{44, …,} a_nn.

• Diagonal principal o mayor. Está formado por los elementos principales.

• Traza. Es la suma de los elementos de la diagonal principal. Denotado como tr( ).

$$tr(F)=2+3+9+2$$
$$tr(F)=15$$

• Diagonal secundaria. Es la otra diagonal formada por los elementos que poseen subíndices que suman n + 1.

• Elementos conjugados. Son aquellos elementos que poseen el mismo subíndice pero de forma inversa. Ejemplo: a₃₁ y a₁₃.
  Los elementos conjugados son simétricos con respecto a la diagonal principal.

• Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son distintos de cero.

• Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde sus elementos principales son iguales.

• Matriz unidad o identidad. Es una matriz escalar donde sus elementos principales son iguales a uno.

• Matriz nula. Es una matriz que tiene todos sus elementos son iguales a cero.

• Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos que se encuentren en la parte inferior de la diagonal principal son iguales a cero.

• Matriz triangular inferior. Todos los elementos ubicados en la parte superior de la diagonal principal son iguales a cero.

Tipos de matrices

Las matrices se clasifican según:

1. Dimensiones.

• Filas ( 1 x n ).
• Columna ( m x 1).
• Rectangular ( m x n, con m distinto n ).
• Cuadrada ( n x n ).

2. Valores de sus elementos.

• Nula (todos ceros).
• Diagonal.
• Escalar.
• Identidad.

Aplicación: La matriz nula puede presentarse en cualquier dimensión, mientras que la diagonal, la escalar y la identidad corresponden únicamente a matrices cuadradas.

3. Posición de ceros.

• Triangular superior.
• Triangular inferior

Aplicable únicamente en el caso de matrices cuadradas.

4. Transformaciones y propiedades.

• Traspuesta ( A^T )
• Simétrica ( A = A^T )
• Antisimétrica ( A = -A^T )
• Inversa ( A^-1 )
• Ortogonal ( A^T = A^-1 )
• Semejante ( B = P^-1AP )

Aplicación: La traspuesta puede definirse para cualquier matriz, mientras que las demás corresponden únicamente a matrices cuadradas.

Matriz traspuesta: Se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz. La traspuesta de una matriz A se denota como A^T. Si la matriz original tiene orden 𝑚 × 𝑛, entonces su traspuesta tendrá orden 𝑛 × 𝑚.

Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, 𝐴 = 𝑇.

Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos equidistantes respecto a la diagonal principal son opuestos entre sí, y todos los elementos de la diagonal principal son nulos.

Operaciones elementales con matrices

Las operaciones con matrices que se tratará en este post son: suma de matrices, multiplicación de un escalar por una matriz, diferencia y multiplicación de matrices.

Suma de matrices

Para sumar dos o más matrices deben poseer el mismo orden, es decir, la misma cantidad de filas y columnas.

Para realizar esta operación se deben sumar los elementos que ocupan la misma posición en las matrices.

Diferencia de matrices

La resta de dos matrices se define como: A – B = A + (-B), donde -B es la matriz opuesta de B. Es decir, restar matrices es sumar la primera con la segunda cambiada de signo.

Ejemplo. Dada las matrices A, D, K. Determine las siguientes operaciones.

1. A + D + K
2. A + K – D
3. A – D – K
4. D – K + A
5. D + D + K
6. K + D – K
7. –K – D + A
8. –K + D – A

Multiplicación de un escalar por una matriz

El producto de un escalar por una matriz es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar.

Ejemplo. Determinar 2A + 3B

Producto de matrices

Antes de multiplicar dos matrices es necesario verificar que:

• El número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

¿Cómo puedo comprobar, de manera sencilla, si dos matrices son multiplicables?

Para saber si dos matrices pueden multiplicarse, debes comparar su orden: si el número de columnas de la primera matriz (𝑆) coincide con el número de filas de la segunda (𝐼), entonces la multiplicación está definida.

Esto quiere decir que la matriz S puede multiplicarse con la matriz I.

¿Cuántas filas y columnas tendrá el producto de dos matrices?

Para determinar el número de filas y columnas del producto de dos matrices, se toma el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda. Esa será la dimensión de la matriz resultante. Observa el siguiente ejemplo:

Entonces, la dimensión de la matriz resultante es ( 2 × 3 ).

La escritura del ejemplo es la siguiente:

$$S_{2\times 4}\cdot I_{4\times 3}=M_{2\times 3}$$

Donde:

S tiene m filas y n columnas.

I tiene n filas y p columnas.

El producto M existe y tendrá orden m × p.

¿Cómo puedo multiplicar dos matrices?

Para calcular cada elemento de la matriz producto, debes:

1. Seleccionar una fila de la primera matriz 𝐴.
2. Elegir una columna de la segunda matriz 𝐵.
3. Multiplicar elemento por elemento. Elemento 1 de la fila 𝐴 con el elemento 1 de la columna 𝐵, elemento 2 de la fila 𝐴 con el elemento 2 de la columna 𝐵 y así sucesivamente.
4. Sumar todos esos productos.
5. Identificar el elemento (ejemplo:  a₁₁ = 5) con su valor respectivo y ubicarlo en la posición correspondiente de la matriz.
6. Repite el procedimiento con cada fila de 𝐴 y cada columna de 𝐵 hasta completar todos los elementos de la matriz producto.

Ejemplo # 1. Dada las matrices H y G. Determinar H • G.

Solución

$$H_{1\times 3}\cdot G_{3\times 1}=O_{1\times 1}$$
$$C_{1\times 1}=-8+15-3=4$$
$$\boxed{C_{1\times 1}=[4]}$$

Ejemplo # 2. Determinar A • B.

Solución

$$A_{1\times 3}\cdot B_{3\times 2}=C_{1\times 2}$$
$$C_{1\times 2}=\left [ C_{11}\,\, \, C_{12} \right ]$$

Multiplicar la fila (A) con la primera columna (B), para obtener el elemento C₁₁.

$$C_{11}=-8\,\,+6\,\,-5$$
$$C_{11}=-7$$

Multiplicar la fila (A) con la segunda columna (B), para obtener el elemento C₁₂.

$$C_{12}=4\,+2\,\,-2$$
$$C_{12}=4$$

Matriz producto

$$\boxed{C_{1\times 2}=\left [ -7\,\,\,\,\,4 \right ]}$$

Ejemplo # 3. Determinar el producto de las matrices A y B.

Solución

$$A_{1\times 3}\cdot B_{3\times 3}=C_{1\times 3}$$
$$C_{1\times 3}=\left [ C_{11}\,\, \, C_{12}\,\,\,C_{13} \right ]$$

Resultado:
$$C_{1\times 3}=\left [ -7\,\,\,4\,\,\,10 \right ]$$

Ejemplo # 4. Calcular A • B

Solución

$$A_{2\times 3}\cdot B_{3\times 3}=C_{2\times 3}$$

Cálculo de todos los elementos de la matriz C

Al distribuir cada elemento el producto de la matriz es:

Ejemplo # 5. Multiplicar las matrices A y B

Solución

$$A_{3\times 2}\cdot B_{2\times 5}=C_{3\times 5}$$

Valores de los elementos de la matriz C

Respuesta

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Actividades

I.Escribe el valor de cada elemento de acuerdo con la siguiente matriz

II.Escribe el orden de las siguientes matrices

III.Construye una matriz de acuerdo con las características indicadas

1. Matriz simétrica de orden 3×3.
2. Matriz antisimétrica de orden 4×4.
3. Matriz Triangular superior de orden 3×3.
4. Matriz Triangular inferior de orden 4×4 y que tenga a₁₁=a₂₂₌a₃₃=a₄₄=5

IV.Hallar el valor de las incógnitas que satisfacen cada igualdad.

V.Determina la matriz asociada a cada uno de los siguientes de ecuaciones.

VI.Resuelve las operaciones indicadas

VII.Un empresario estudia el reporte de dos años consecutivos de producción, en miles de toneladas que se muestra a continuación:

1. ¿Cómo se puede representar esa información por medio de dos matrices?
2. ¿Cuál matriz representa la producción total de ambos años y la diferencia entre el 1° año y 2° año, según zona y producto?

Resultados

I

II

1. (1×2)
2. (2×3)
3. (1×3)
4. (2×2)
5. (3×1)
6. (4×3)
7. (3×2)
8. (4×2)

III

IV

x=-7, y=12.

x=-4.5, y=-7.5.

x=8, y=2.

x=4, y=-1/6, z=1/2.

x=7, y=10.

x=3, y=7, z=6.

V.

¿Quieres saber más de dominio, asíntotas y gráficas? Si es así, has llegado al sitio indicado. La siguiente colección de 10 ejercicios te invita a dominar el análisis de funciones racionales, una habilidad clave que va mucho más allá del aula. Al resolverlos, no solo adquirirás la destreza para identificar dominios y asíntotas, sino que también desarrollarás una capacidad de pensamiento crítico aplicable en diversas áreas.

Entender estas funciones te permitirá interpretar datos en la economía para predecir tendencias de mercado, en la ingeniería para diseñar sistemas eficientes, e incluso en la ciencia para modelar fenómenos biológicos. Esta práctica te equipará con las herramientas necesarias para descifrar la complejidad de nuestro entorno, transformando un concepto matemático abstracto en una poderosa herramienta para la toma de decisiones y la solución de problemas en la vida real.

Funciones racionales

Las funciones racionales están compuesta por la división de dos polinomios. Su forma general es:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}$$

Donde R(x) y S(x) son polinomios, y S(x) ≠ 0.

Consideraciones para el análisis

Para analizar una función racional, es fundamental centrarse en dos aspectos: su dominio y el comportamiento de sus asíntotas. Estos elementos son esenciales para comprender tanto los puntos de discontinuidad de la función como su comportamiento a largo plazo.

Dominio

El dominio de una función racional son todos los números reales, a excepción de valores que convierten al denominador S(x) a cero.

Asíntotas

Según los grados de los polinomios R(x) y S(x), una función racional puede poseer asíntotas las cuales son rectas imaginarias que actúan como guías o límites en el comportamiento de la función.

Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

Una función racional puede poseer:

• Varias asíntotas verticales de acuerdo con las raíces reales del denominador.
• Una asíntota horizontal y varias verticales, cuando el grado del numerador es menor o igual al del denominador.
• Una asíntota oblicua y varias verticales, cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas que actúan como barreras o límites indicando los valores de x para los cuales la función no está definida, es decir, los valores que no pertenecen a su dominio. Esto ocurre cuando el denominador de una función racional se anula. Su forma es x = a .

Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal es una recta imaginaria de la forma y = b que describe el comportamiento a largo plazo de una función. La curva de la función se aproxima a esta recta a medida que los valores de x se hacen extremadamente grandes o pequeños ( x → ∞ o x → -∞ ).

A diferencia de las asíntotas verticales que son barreras estrictas, la asíntota horizontal no es una limitación para toda la función. La curva puede cruzarla en algún punto, pero a medida que se aleja del origen, la distancia entre la función y la asíntota tiende a cero.

Este tipo de asíntota es esencialmente el límite de la función en el infinito, lo cual expresa hacia qué valor constante se dirige la función en sus extremos.

Por ejemplo, si una función tiene una asíntota horizontal en  y = 4, significa que a medida que x se mueve hacia ∞ o –∞, la curva se acerca más a la recta y = 4.

Una función racional tendrá asíntota horizontal cuando cumpla con alguno de los siguientes casos:

Caso # 1: Cuando el grado del numerador < grado del denominador.

En este caso, cuando 𝑥 → ± ∞,  𝑓 ( 𝑥 ) → 0

Así que la asíntota es horizontal es la recta:

$$y=0$$

Caso # 2: Cuando el grado del numerador = grado del denominador.

La asíntota horizontal es la razón entre los coeficientes principales.

$$y=\frac{a_{n}}{b_{n}}$$

Asíntotas oblicuas

Es una recta imaginaria de la forma y = mx + b ( m ≠ 0 ) donde la curva de la función se aproxima a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños ( x ±∞ ).

A diferencia de las asíntotas horizontales, que indica que la función se estabiliza en un valor constante, la asíntota oblicua describe el comportamiento a largo plazo en el que la función crece o decrece indefinidamente, llevando una trayectoria diagonal o inclinada.

Como ocurre con las asíntotas horizontales la curva de la función puede cruzar su asíntota oblicua en algún punto.

Identificar la asíntota oblicua en una función racional es muy fácil sólo debe cumplir que:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}=\frac{ax^{n+1}}{bx}$$

Para obtener la asíntota debes dividir el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador siendo el cociente la asíntota oblicua.

Intersecciones con los ejes

Los puntos donde la función cruza el eje x (raíces) y el eje y.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Para conocer el comportamiento de la función a medida que se acerca a sus asíntotas verticales.

Comportamiento a largo plazo

Es el estudio de los límites de la función, lo cual permite conocer hacia dónde tiende la gráfica cuando 𝑥 crece sin límite o disminuye indefinidamente.

Rango

El rango es el conjunto de todos los valores de “y” que la función puede tomar.

Tabla de valores

Con algunos puntos estratégicos permite graficar la función, ayudando a verificar el comportamiento que se ha analizado teóricamente.

Ejercicios racionales resueltos 

A continuación, te presento 10 ejercicios de funciones racionales resueltos paso a paso. En cada uno, podrás ver la aplicación de los conceptos anteriores, como el cálculo del dominio, la identificación de asíntotas, el análisis de su comportamiento para comprender la forma de la gráfica, entre otros.

Ejercicio 1

$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$

Solución

1. Dominio

El denominador es x, y debe ser distinto a cero:

$$x-3≠0 ⇒ x≠3$$

Como el denominador es diferente a 3, el dominio es:

$$\boxed{D_{f}=(-\infty,3 )\cup (3,\infty )}$$

2. Intersecciones

• Eje «x» y = 0

$$0=\frac{1}{x-3}\Rightarrow 0\neq 1$$

No tiene solución.

No hay intersección con el eje X

• Eje «y» x = 0

$$y=\frac{1}{0-3}$$

$$y=-\frac{1}{3}$$

$$\boxed{A\left ( 0,-\frac{1}{3} \right )}$$

3. Cálculo de las asíntotas

Esta función posee dos asíntotas ellas son:

Vertical

$$x-3=0$$

$$\boxed{x=3}$$

Horizontal

Se cumple que: n < m

Posee una asíntota horizontal en el eje “x”

$$\boxed{y=0}$$

Oblicua

No existe asíntota oblicua.

4. Comportamiento cerca de la asíntota vertical

$$\boxed{x=3}$$

Valores por la izquierda

$$x=2,9 \Rightarrow f(2,9)=\frac{1}{2,9-3}=-10$$

Entonces,

$$x\to 3^{-} f(x)\to-\infty$$

Conclusión: Al acercarse por la izquierda a 3, la función crece negativamente.

Valores por la derecha

Entonces,

$$x\to 3^{+} f(x)\to+\infty$$

Conclusión: Al acercarse por la derecha a 3, la función crece positivamente.

5. Comportamiento a largo plazo

Valores por la izquierda

$$f(-100)=\frac{1}{-100-3}\approx-0,0097$$

$$f(-1000)=\frac{1}{-1000-3}\approx-0,00099$$

Conclusión: Al reemplazar valores negativos cada vez más pequeños, la función se acerca a 0

$$f(x)\to  0 $$

Valores por la derecha

$$f(-100)=\frac{1}{-100-3}\approx-0,010$$

$$f(-1000)=\frac{1}{-1000-3}\approx-0,001$$

Conclusión: Al sustituir valores positivos cada vez mucho mayor, la función se acerca a 0

$$f(x)\to 0 $$

6. Cálculo del rango

$$y=\frac{1}{x-3}\Rightarrow y(x-3)=1$$

$$yx-3y=1$$

$$x=\frac{1+3y}{y}$$

$$\boxed{\mathbb{R}_{f}=\left ( -\infty,0  \right )\cup \left ( 0,\infty  \right )}$$

Gráfica

Ejercicio 2

$$f(x)=\frac{x}{x+2}$$

1. Dominio

El denominador debe ser diferente de cero.

$$x+2≠0 ⇒ x≠-2$$

Se realiza un estudio del signo de la función:

Numerador:

$$x=0$$

Denominador:

$$x=-2$$

Entonces, el dominio es:

$$\boxed{\mathbb{D}_{f}=\left ( -\infty,-2  \right )\cup \left ( -2,\infty  \right )}$$

2. Intersecciones

• Eje «x» y = 0

$$0=\frac{x}{x+2}\Rightarrow x=0$$

$$\boxed{A(0,0)}$$

• Eje «y» x = 0

$$y=\frac{0}{0+2}$$

$$y=0$$

$$\boxed{B(0,0)}$$

3. Cálculo de las asíntotas

Esta función posee dos asíntotas ellas son:

Vertical

$$x+2=0$$

$$\boxed{x=-2}$$

Horizontal

Se cumple que:

n = m, la función f posee una asíntota horizontal y es la recta horizontal

$$\boxed{y=1}$$

Oblicua

No existe asíntota oblicua.

4. Comportamiento cerca de la asíntota vertical

$$\boxed{x=-2}$$

Valores por la izquierda

Entonces,

$$x\to -2^{-} f(x)\to\infty$$

Conclusión: Al aproximarse por la izquierda a -2, la función crece positivamente.

Valores por la derecha

Entonces,

$$x\to -2^{+} f(x)\to-\infty$$

Conclusión: Al aproximarse por la derecha a -2, la función disminuye negativamente.

5. Comportamiento a largo plazo

Valores por la izquierda

$$f(-100)=\frac{-100}{-100+2}\approx1,0204$$

$$f(-1000)=\frac{-1000}{-1000+2}\approx1,002$$

Conclusión: Al reemplazar valores negativos cada vez más pequeños, la función se acerca a 1

$$f(x)\to  1 $$

Valores por la derecha

$$f(100)=\frac{100}{100+2}\approx0,980$$

$$f(1000)=\frac{1000}{1000+2}\approx0,998$$

Conclusión: Al dar valores positivos cada vez mucho mayor, la función se acerca a 1

$$f(x)\to 1 $$

6. Cálculo del rango

$$y=\frac{x}{x+2}\Rightarrow y(x+2)=x$$

$$yx+2y=x$$

$$yx-x=-2y$$

$$x(y-1)=-2y$$

$$x=\frac{-2y}{y-1}$$

$$y≠1$$

$$\boxed{\mathbb{R}_{f}=\left ( -\infty,1  \right )\cup \left ( 1,\infty  \right )}$$

Gráfica

Ejercicio 3

$$\text{Sea } f(x) = \frac{2x + 1}{x – 4}$$

Solución:

El denominador debe ser diferente de cero

$$x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4$$

Estudio del signo de la función

Numerador:

$$2x+1=0\Rightarrow -\frac{1}{2}$$

Denominador:

$$x=4$$

Dominio

$$D_{f}=(-\infty ,4)\cup (4,\infty )$$

Intersecciones

Con el eje “x”  y = 0

$$0=\frac{2x+1}{x-4}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$

$$A\left ( -\frac{1}{2},0 \right )$$

Con el eje “y”  x = 0

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-4}\Rightarrow y=-\frac{1}{4}$$

$$y=-\frac{1}{4}$$

$$B\left ( 0,-\frac{1}{4} \right )$$

Asíntotas

Vertical: 

$$x-4=0$$
$$x=4$$

Horizontal:

Posee una asíntota horizontal y es la recta:

$$y=2$$

Oblicua:

No existe.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

$$x=4$$

Comportamiento a largo plazo

Rango

$$y=\frac{2x+1}{x-4}\Rightarrow y(x-4)=2x+1$$

$$yx-4y-2x=1$$

$$x(y-2)=1+4y$$

$$x=\frac{1+4y}{y-2}$$

$$y\neq 2$$

$$R_{f}=(-\infty,2)\cup(2,\infty)$$

Gráfica

Ejercicio 4

$$\text{Sea } f(x) = \frac{x^2}{x – 1}$$

Solución:

El denominador debe ser diferente de cero

$$x-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1$$

Estudio del signo de la función

Numerador:

$$x^{2}=0\Rightarrow x=0$$

Denominador:

$$x=1$$

Dominio

$$D_{f}=\left ( -\infty ,1 \right )\cup \left ( 1,\infty \right )$$

Intersecciones

En el eje “x” ( y = 0)

$$y=\frac{x^{2}}{x-1}\Rightarrow x=0$$

$$A(0,0)$$

Eje “y”  ( x = 0)

$$y=\frac{0^{2}}{0-1}\Rightarrow y=0$$

$$B(0,0)$$

Asíntotas

Vertical: 

$$x-1=0$$

$$x=1$$

Horizontal:

No posee asíntota horizontal.

Oblicua:

Cumple con la condición, por tanto posee asíntota oblicua.

Dividir el polinomio del numerador entre el denominador:

$$x^{2}\div x-1=x+1$$

La asíntota oblicua es:

$$y=x+1$$

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Comportamiento a largo plazo

Rango

$$y=\frac{x^{2}}{x-1}\Rightarrow y(x-1)=x^{2}$$

$$yx-y=x^{2}$$

$$x^{2}-yx+y=0$$

$$\Delta =b^{2}-4ac\geq 0$$

Donde:

a = 1 ; b = -y ; c = y

$$\Delta =(-y)^{2}-4(1)(y)=y^{2}-4y$$

$$y^{2}-4y\geq 0$$

$$y(y-4)\geq 0$$

Entonces:

y = 0 

y = 4

$$R_{f}=(-\infty ,0]\cup [4,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio 5

$$f(x) = \frac{x-5}{x^{2} – 25}$$

Solución

Factorización y simplificación 

$$f(x)=\frac{1}{x+5}$$

Posee una discontinuidad removible en: x = 5

Coordenadas del hueco

$$f(5)=\frac{1}{5+5}=\frac{1}{10}$$

$$H\left ( 5,\frac{1}{10} \right )$$

Dominio

El denominador debe ser diferente de cero

$$x+5\neq 0\Rightarrow x\neq -5$$

$$D_{f}=(-\infty ,-5)\cup (-5,\infty )$$

Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=\frac{1}{x+5}\Rightarrow 0\neq 1$$

No existe intersecciones con el eje “x”

Eje “y”   ( x = 0 )

$$y=\frac{1}{0+5}$$

$$y=\frac{1}{5}$$

$$A\left ( 0,\frac{1}{5} \right )$$

Asíntotas

Vertical:

$$x+5=0$$

$$x=-5$$

Horizontal:

$$y=0$$

Oblicua:

No existe, no cumple con la condición.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Comportamiento a largo plazo

$$f(x)\to 0$$

Rango

$$y=\frac{1}{x+5}\Rightarrow y(x+5)=1$$
$$yx+5y=1$$
$$x=\frac{1-5y}{y}$$
$$y\neq 0$$
$$R_{f}=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio 6

$$f(x) = \frac{x+1}{x^{2} -3x+2}$$

Solución:

Factorización y simplificación

$$f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3x+2}$$

$$f(x)=\frac{x+1}{(x+1)(x+2)}$$

$$f(x)=\frac{1}{x+2}$$

Posee una discontinuidad removible en: x = -1

Coordenadas del hueco

$$f(-1)=\frac{1}{-1+2}=1$$

$$H\left ( -1,1 \right )$$

Dominio

El denominador debe ser ≠ de cero.

$$x+2\neq 0\Rightarrow x\neq -2$$

$$D_{f}=(-\infty ,-2)\cup (-2,\infty )$$

Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=\frac{1}{x+2}\Rightarrow 0\neq 1$$

No existe intersecciones con el eje “x”

Eje “y”   ( x = 0 )

$$y=\frac{1}{0+2}$$

$$y=\frac{1}{2}$$

$$A\left ( 0,\frac{1}{2} \right )$$

Asíntotas

Vertical:

$$x+2=0$$

$$x=-2$$

Horizontal:

$$y=0$$

Oblicua:

No existe, no cumple con la condición.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Asíntota vertical:

$$x=2$$

Comportamiento a largo plazo

$$f(x)\to0$$

Rango

$$f(x)=\frac{1}{x+2}\Rightarrow y(x+2)=1$$
$$yx+2y=1$$
$$x=\frac{1-2y}{y}$$
$$y\neq 0$$
$$R_{f}=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio 7

$$f(x) = \frac{x^{2}-4}{x+2}$$

Solución:

Paso 1: Identificar posibles restricciones

El denominador no puede ser cero.

$$x+2=0\Rightarrow x=-2$$

Paso 2: Factorizar y simplificar

El numerador es una diferencia de cuadrados:

$$f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)}$$

$$f(x)=x-2$$

Solo cuando $$x \neq -2$$

Entonces la función:

$$f(x)=x-2$$

Es una función lineal, pero con un hueco (discontinuidad removible) en x = -2

Paso 3: Coordenadas del hueco:

$$f(-2)=-2-2=-4$$

$$H\left ( -2,-4 \right )$$

Paso 4: Dominio

$$D_{f}=R-{-2}$$

Porque en x = -2 el denominador se anula y la función no está definida.

Paso 5: Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=x-2\Rightarrow x=2$$

$$A( 2,0 )$$

Eje “y”   ( x = 0 )

$$f(x)=0-2$$

$$y=-2$$

$$B(0,-2)$$

Paso 6: Asíntotas

Vertical:

No hay asíntota vertical, sino un hueco (discontinuidad removible) en x = -2

Horizontal:

Cuando el grado del numerador es mayor que el denominador, no hay asíntota horizontal.

Oblicua:

Si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, existe una asíntota oblicua, esto quiere decir que sí existe una asíntota oblicua.

La función se comporta como una recta: $$y=x-2$$

Entonces, la función obtenida coincide con su asíntota oblicua en: $$y=x-2$$

Paso 7: Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Como no existe asíntota vertical sino un hueco (discontinuidad removible) en x = -2, el comportamiento cerca de x = -2 no es de crecer a ±∞ sino que la recta se aproxima al punto (-2,-4) sin llegar a alcanzarlo.

Paso 8: Comportamiento a largo plazo

A largo plazo ( x → ±∞ ), la función tiende a su asíntota oblicua porque la diferencia entre ambas desaparece cuando x crece o decrece; en consecuencia, f(x) se comporta igual que la recta y = x -2.

Paso 9: Rango

Se realiza el despeje en la función dada:

$$y = \frac{x^2 – 4}{x+2}\Rightarrow$$
$$yx + 2y = x^2 – 4$$
$$x^2 – yx – (2y+4) = 0$$

Esta es una ecuación cuadrática en x, cuyo discriminante es:

$$\Delta = (-y)^2 – 4(1)(-(2y+4))$$
$$\Delta =y^2 + 8y + 16$$
$$\Delta = (y+4)^2$$

Observación:

Si el discriminante es:

Como el Δ calculado es:

$$\Delta =(y+4)^2$$

Y una expresión al cuadrado nunca es negativo, se concluye que:

$$(y+4)^2 \geq 0$$

Para todo y, por lo que siempre hay raíces reales o una doble raíz. Pero en este caso y = -4 donde el Δ = 0 y la única raíz es x = -2, que está excluida del dominio.

Por lo tanto el rango es:

Gráfica

Ejercicio 8

$$f(x) = \frac{3x^{2} + 2x-1}{x^{2} – 1}$$

Solución:

Paso 1: Factorizar simplificar y coordenadas del hueco

El numerador es una diferencia de cuadrados:

$$f(x) = \frac{3x^{2} + 2x-1}{x^{2} – 1}$$

$$f(x)=\frac{(3x-1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}$$

$$f(x)=\frac{3x-1}{x-1}$$

Posee una discontinuidad removible en x = -1

Se reemplaza en valor de x = -1 determinar las coordenadas del hueco.

$$f(x)=\frac{3\cdot (-1)-1}{(-1)-1}=2$$

Coordenadas del hueco: $$H(-1,2)$$

Paso 2: Identificar posibles restricciones

El denominador debe ser distinto a cero.

$$x-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1$$

Paso 3: Estudio del signo de la función:

Numerador:

$$3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$$

Denominador:

$$x=1$$

Dominio

$$D_{f}=(-\infty ,1)\cup (1,\infty )$$

Intersecciones

Con el eje “x”  y = 0

$$0=\frac{3x-1}{x-1}\Rightarrow x=\frac{1}{3}$$
$$A\left ( \frac{1}{3},0 \right )$$

Con el eje “y”  x = 0

$$y=\frac{3\cdot 0-1}{0-1}\Rightarrow y=1$$
$$B(0,1)$$

Asíntotas

Vertical: 

$$x-1=0$$
$$x=1$$

Horizontal:

Posee una asíntota horizontal y es la recta:

$$y=3$$

Oblicua:

No existe.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Comportamiento a largo plazo

Rango

$$y= \frac{3x^{2} + 2x-1}{x^{2} – 1}$$
$$y(x^{2}-1)=3x^{2}+2x-1$$
$$yx^{2}-y=3x^{2}+2x-1$$
$$yx^{2}-3x^{2}-2x-y+1=0$$
$$(y-3)x^{2}-2x-(y-1)=0$$

Discriminante (Δ)

a = y – 3;  b = -2;  c = -( y – 1 )

$$\Delta =b^{2}-4ac$$
$$\Delta =(-2)^{2}-4(y-3)(-(y-1))$$
$$\Delta =4+4(y-3)(y-1)$$
$$\Delta =4+4(y^{2}-4y+3)$$
$$\Delta =4y^{2}-16y+16$$
$$\Delta =4(y^{2}-4y+4)$$
$$\Delta =4(y-2)^{2}$$

En la ecuación cuadrática

$$(y-3)x^{2}-2x-(y-1)=0$$

$$ax^{2}+bx+c=0$$

El coeficiente de x² es  a= y – 3

Si y = 3, a = 0. Esto quiere decir que ya no es una cuadrática, sino una ecuación lineal en x:

$$-2x-(3-1)=-2x-2=0$$

$$x=-1$$

Pero x = -1 está prohibido en el dominio porque x² – 1 = 0. Por lo tanto y = 3 no pertenece al rango.

Gráfica

Ejercicio 9

$$\text{Sea } f(x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$$

Solución

Dominio

$$D_{f}=\mathbb{R}$$

Intersecciones

Con el eje “x”  y = 0

$$0=\frac{4}{x^{2}+1}\Rightarrow 0\neq 4$$

No hay intersección con el eje “x”

Con el eje “y”  x = 0

Asíntotas

Vertical: 

No existe, ya que el denominador no se hace cero.

Horizontal:

$$y=0$$

Oblicua:

No existe.

Comportamiento cerca de una asíntota vertical

No existe asíntotas verticales ni huecos, la función está definida y es continua en todo R.

Comportamiento a largo plazo ( x → ±∞ )

$$f(x)\rightarrow 0$$

Rango

$$y=\frac{4}{x^{2}+1}$$
$$y(x^{2}+1)=4$$
$$x^{2}=\frac{4-y}{y}$$

Como x² ≥0, se cumple que:
$$\frac{4-y}{y}\geq 0$$

Numerador: 4 – y ≥ 0    ⇒    y ≤ 4.

Denominador: y > 0  (porque está en el denominador original y además  y = 0 no es posible, pues sería:

$$x^{2}+1=\infty $$

Entonces:

$$0< y\leq 4$$

$$R_{f}=(0,4]$$

Gráfica

Ejercicio 10

$$f(x) = \frac{x^{2}+x-6}{x + 3}$$

Solución

Paso 1: Factorizar y simplificar

$$f(x)=x-2$$

Solo cuando $$x \neq -3$$

Entonces la función:

$$f(x)=x-2$$

Es una función lineal, pero con un hueco (discontinuidad removible) en x = -3

Paso 2: Coordenadas del hueco

$$f(-3)=-3-2=-5$$

$$H=\left ( -3,-5 \right )$$

Paso 3: Dominio

Paso 4: Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=x-2\Rightarrow x=2$$

$$A( 2,0 )$$

Eje “y”   ( x = 0 )

$$f(x)=0-2$$

$$y=-2$$

$$B(0,-2)$$

Paso 5: Asíntotas

Vertical:

No existe asíntota vertical, sino un hueco (discontinuidad removible) en x = -2

Horizontal:

No cumple con la condición, por tanto no existe asíntota horizontal.

Oblicua:

El grado del numerador es uno más que el denominador, entonces existe una asíntota oblicua que también coincide con la función.

Paso 6: Rango

$$y=\frac{x^{2}+x-6}{x+3}$$
$$y(x+3)=x^{2}+x-6$$
$$yx+3y=x^{2}+x-6$$
$$x^{2}+(1-y)x-(6+3y)=0$$

Discriminante

$$\Delta =(1-y)^{2}-4\cdot 1\cdot (-(6+3y))$$
$$\Delta =(1-y)^{2}+4(6+3y)$$
$$\Delta =y^{2}+10y$$
$$\Delta =(y+5)^{2}$$

Hay soluciones para todo y

$$(y+5)^{2}\geq 0$$

Única exclusión cuando Δ=0

$$y=-5$$

Al reemplazar este valor en la ecuación cuadrática

$$x^{2}+(1-y)x-(6+3y)=0$$

$$x^{2}+(1-(-5))x-(6+3(-5))=0$$

$$x^{2}+6x+9=0$$

Al resolver:

x = -3, pero este valor no pertenece al dominio, porque anula el denominador original.

Entonces el rango es:

Gráfica