¿Conoces los límites en matemáticas? Seguramente has escuchado o has visto, que alguna vía de comunicación tiene algunos límites de velocidad. Por ejemplo, observa la siguiente imagen:
Entonces ¿Qué es para ti un límite? Un límite es una referencia lo cual muestra una separación con algo.
Límites
El límite es un valor donde se aproxima una función f ( x ). Observa la siguiente función:
$$f(x)=1+\frac{1}{x}$$
A continuación, está la gráfica de la función y su curva tiende aproximarse a la asíntota de recta $$y=1$$ pero nunca llega a tocarla, ahora al lado derecho está su tabla de valores, fíjate que en x existen valores desde 1 hasta 50 y los valores de f ( x ) tienden acercarse a 1
Gráfica | Tabla de valores |
Los límites son expresados así:
$$\lim_{x\rightarrow b}f(x)=L$$
La forma correcta de leer estas expresiones es de la forma siguiente
“límite cuando x tiende a b de f ( x ) es L”
Cuando x tiende a b quiere decir que los valores de la función f ( x ) se aproximan a L .
Ahora relaciona esto con la función anteriormente graficada:
$$f(x)=1+\frac{1}{x}$$
Entonces tomando los datos de la tabla de valores, observa que la variable “x” crece hasta llegar a cincuenta ( x → 50 ) es decir que los valores de x tiende a cincuenta, y la función f ( x ) se aproxima a 1 ( f ( x ) → 1 ).
Su expresión queda finalmente de la forma siguiente:
$$\lim_{x\rightarrow 50}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )=1$$
Ejemplo
Elabora la tabla de valores con números decimales expresados en centésimas y realizar la gráfica de la siguiente función:
$$f(x)=2x^{2}$$
Cuando el valor de la variable x tiende a 1
Los valores de la variable 0,97 ; 0,98 ; 0,99 ; son acercamientos a 1 por la izquierda; y los valores 1,03 ; 1,02; 1,01 son acercamientos a 1 por la derecha.
Luego, si x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, la función f ( x ) se aproxima a 2
Simbólicamente esta situación se expresa:
$$\lim_{x\rightarrow 1}2x^{2}=2$$
Límites laterales
Las aproximaciones realizadas para determinar el límite de una función está relacionada con el concepto de límite lateral, observa la imagen:
Se expresa:
Por la izquierda:
$$\lim_{x\rightarrow b^{-}}=L$$
Por la derecha:
$$\lim_{x\rightarrow b^{+}}=M$$
El signo negativo ( – ) es una referencia del lado izquierdo
El signo positivo ( + ) es la referencia del lado derecho
La lectura que se le da a ambas expresiones simbólicas es:
- límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
- límite cuando x tiende a b por la derecha es M
Existencia de límites
La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función, pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.
Ejemplo
Realizar la gráfica de f ( x ) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2
$$f(x)\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2} \:\: \: \: \: \: \:\: \: si\leq 2
& \\y=\frac{3x}{4}-\frac{1}{2}\: \:\: \: si> 2
&
\end{matrix}\right.$$
Gráfica:
- Límite lateral izquierdo:
$$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\sqrt{x+2}$$
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2– la función f ( x ) = 2
- Límite lateral derecho:
$$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\left (\frac{3x}{4}-\frac{1}{2} \right )$$
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2+ la función f ( x ) = 1
El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE
Cálculo de límites
Los límites se pueden resolver ya sea aplicando propiedades o por el principio de sustitución.
Aplicando propiedades
$$\lim_{x\rightarrow b}f(x)=L $$
$$\lim_{x\rightarrow b}g(x)=M$$
c = constante
1. | Límite de una constante |
2. | Límite de una variable |
3. | Límite de una suma de funciones |
4. | Límite de una resta de funciones |
5. | Límite de una constante multiplicada por una función |
6. | Límite de una función multiplicada por otra función |
7. | Límite de una función dividida por otra función |
8. | Límite de una potencia |
9. | Límite de la potencia de una función |
10. | Límite de una raíz |
11. | Límite de una raíz enésima de una función |
Principio de sustitución directa
Este principio consiste en sustituir x = a directamente en la función f ( x ) y así obtener el valor del límite.
Ejemplo
Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y por el método de sustitución directa
- $$\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=$$
- $$\lim_{x\rightarrow 3}-2x^{3}+5x-2 =$$
Solución (aplicando propiedades)
1.$$\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\left ( 3x^{2} \right )-\lim_{x\rightarrow -2^{+}}8=\sqrt{3(-2)^{2}-8}=\sqrt{12-8}$$
$$\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=2$$
2.$$\\\\\\\lim_{x\rightarrow 3}-2x^{3}+5x-2 =\lim_{x\rightarrow 3}(-2x^{3})+\lim_{x\rightarrow 3}(5x)-\lim_{x\rightarrow 3}2=-2(3)^{3}+5(3)-2
\\\\\lim_{x\rightarrow 3}-2x^{3}+5x-2 =-54+15-2=-41
\\\\\lim_{x\rightarrow 3}-2x^{3}+5x-2 =-41$$
Solución (aplicando el método de sustitución directa)
1.$$\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{12-8}=\sqrt{4}=2$$
2.$$\lim_{x\rightarrow 3}-2x^{3}+5x-2=-2(3)^{3}+5(3)-2=-54+15-2=-41$$
Igualdades simbólicas que se deben considerar en el cálculo de límites
Donde k es una constante
$$k.0=0$$ | $$\frac{k}{0}=\infty $$ | $$\frac{0}{k}=0$$ | $$k.\infty=\infty$$ |
$$\frac{k}{\infty}=0$$ | $$\frac{\infty}{k}=\infty$$ | $$k\pm \infty=\pm \infty$$ | $$(\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty$$ |
Límites de funciones indeterminadas
Indeterminada 0/0
Cuando se calcula el límite de alguna función y presenta resultado como el siguiente:
$$\frac{0}{0}$$
Es una indeterminación que se debe eliminar aplicando ya sea factorización o racionalización para así obtener una expresión equivalente
Pasos para eliminar la indeterminación
- Efectúe la sustitución directa
- Hallar la expresión equivalente a través de la factorización o racionalización
- Determinar los límites laterales
Nota: Si son límites de funciones racionales y radicales solo debes aplicar los pasos # 1 y # 2.
Límites de funciones racionales con indeterminación 0/0
Los límites de funciones racionales indeterminados son polinomios ubicados en el numerador y en el denominador, su forma es la siguiente:
$$\lim_{x\rightarrow b}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{0}{0}$$
Para la eliminación de la indeterminación se debe aplicar la factorización.
Ejemplo
Calcula el siguiente límite
$$\lim_{x\rightarrow -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}$$
$$\lim_{x\rightarrow -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}$$ | ||
1. | Efectúa la sustitución directa | $$\lim_{x\rightarrow -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}=\frac{(-5)^{2}+2(-5)-15}{-5+5}=\frac{25-10-15}{0}=\frac{0}{0}$$ |
2. | Factorización | $$\lim_{x\rightarrow -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}=\frac{(x+5)(x-3)}{x+5}=x-3$$ |
3. | Sustitución | $$\lim_{x\rightarrow -5}x-3=-5-3=-8$$ |
4. | Resultado | $$\lim_{x\rightarrow -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}=-8$$ |
Límites de funciones radicales con indeterminación 0/0
Estos tipos de límites indeterminados están compuestos por funciones radicales f ( x ) y g ( x ) y su forma es la siguiente:
$$\lim_{x\rightarrow b}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$$
Para eliminar la indeterminación se debe racionalizar ya sea en el numerador o en el denominador o muchas veces también se debe racionalizar ambos.
Ejemplo
Calcula el siguiente límite:
$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$$
$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$$ | ||
1. | Efectúa la sustitución directa | $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}}{a-a}=\frac{0}{0}$$ |
2. | Racionalización | $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\left (\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \right ).\left (\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \right )=\lim_{x\rightarrow a}\left ( \frac{(\sqrt{x})^{2}-(\sqrt{a})^{2}}{(x-a).(\sqrt{x}+\sqrt{a})} \right )$$ |
$$=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{(x-a).(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$$ | ||
3. | Sustitución | $$=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2a}$$ |
4. | Resultado | $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{\sqrt{a}}{2a}$$ |
Límites de funciones trigonométricas indeterminadas 0/0
Se calcula por sustitución directa, si el resultado es indeterminado 0/0 se elimina aplicando identidades trigonométricas.
Ejemplo
Calcula el siguiente límite trigonométrico:
$$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{cos\: x}{ctg\: x}=$$
$$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{cos\: x}{ctg\: x}=$$ | ||
1. | Por efecto de gusto se transforma a grados sexagesimales | $$\lim_{x\rightarrow 90^{\circ }}\frac{cos\: x}{ctg\: x}=$$ |
2. | Sustitución | $$\lim_{x\rightarrow 90^{\circ }}\frac{cos\: x}{ctg\: x}=\frac{cos\:90^{\circ } }{ctg\:90^{\circ }}=\frac{0}{0}$$ |
3. | Se aplica identidades para eliminar la indeterminada | $$\lim_{x\rightarrow 90^{\circ }}\frac{cos\: x}{ctg\: x}=\frac{\frac{cos\:x}{1} }{\frac{cos\:x}{sen\:x}}=\frac{cos\:x.sen\:x}{cos\:x}=sen\:x$$ |
4. | Se aplica la sustitución | $$\lim_{x\rightarrow 90^{\circ }}=sen\:x=sen\:90^{\circ }=1$$ |
5. | Resultado | $$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{cos\: x}{ctg\: x}=1$$ |
Límites infinitos y límites en el infinito
Límites infinitos
Cuando una función f ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota cuando x tiende a un valor «b«, el límite no existe.
La cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función. Por ejemplo observe la cota de la siguiente función:
f ( x ) = x2 + 2
El dominio es ℜ
El rango es [ 2 , ∞ )
Cota: 2 es su cota inferior para todos los elementos del rango de la función
Forma de escribir un límite sin cota en crecimiento y en decrecimiento
En crecimiento la forma es:
$$\lim_{x\rightarrow b}f(x)=+\infty $$
En decrecimiento la forma es:
$$\lim_{x\rightarrow b}f(x)=-\infty $$
Ejemplo
Crea la tabla de valores, gráfica y determina el límite de la función f ( x )
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$$
Tabla de valores | Gráfica |
Observa el límite: No existe Por la izquierda Por la derecha |
Límites en el infinito
Los límites en el infinito es cuando la variable ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota y la función f ( x ) se acerca a valores específicos L y M. Estos límites se expresan de la siguiente manera:
$$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=M\:\: \: \: \: \: \: \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=L$$
Y se lee así:
- “El límite de la función es M cuando x tiende a menos infinito»
- “El límite de la función es L cuando x tiende al infinito»
Se presentan dos casos para calcular estos tipos de límites:
- Caso # 1. Cuando posee la siguiente forma:
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\frac{k}{x^{n}}=0$$
Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero - Caso # 2. Cuando su forma es:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$$
En este caso se presenta una nueva indeterminación y es
$$\frac{\infty }{\infty}$$
Indeterminada ∞/∞
Para poder eliminar la indeterminación ∞/∞ se debe dividir el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado, donde también debe considerarse tres criterios:
- Si el grado del polinomio P( x ) > Q( x ) el límite de la función racional es
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\infty $$ - Si el grado del polinomio P( x ) < Q( x ) el límite de la función racional es
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0$$ - Si el grado del polinomio P( x ) = Q( x ) el límite de la función racional es
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{m}{n}$$
Donde m y n son los coeficientes de los términos de mayor grado de los polinomios P( x ) y Q( x ) respectivamente.
Ejemplos para determinar límites en el infinito ∞/∞
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}+3x-1}{x-1}$$
Según el criterio (A) el resultado es: ∞
Observa el desarrollo:
- Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}+3x-1}{x-1}=\frac{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{2+\frac{3}{\infty }-\frac{1}{\infty^{2}}}{\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty^{2}}}=\frac{2+0-0}{0-0}=\frac{2}{0}=\infty $$
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}$$
Según el criterio (B) el resultado es: 0
Observa el desarrollo:
- Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}=\frac{\frac{2x^{2}}{x^{3}}+\frac{3x}{x^{3}}-\frac{5}{x^{3}}}{\frac{-3x^{2}}{x^{3}}+\frac{4x^{3}}{x^{3}}-\frac{3x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}=\frac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}-\frac{5}{x^{3}}}{-\frac{3}{x}+4-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}$$
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}=\frac{\frac{2}{\infty }+\frac{3}{\infty^{2} }-\frac{5}{\infty^{3}}}{-\frac{3}{\infty}+4-\frac{3}{\infty^{2}}+\frac{1}{\infty^{3}}}=\frac{0+0-0}{0+4-0+0}=\frac{0}{4}=0$$
Según el criterio (C) el resultado es: 5/2
Para probarlo debes aplicar lo mismo a los otros ejemplos anteriores, es decir dividir el numerador y el denominador de la función racional entre x2
Cálculo de asíntotas de una función
Asíntotas horizontales
Cuando la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f ( x ), si el límite es así:
Ejemplo
Determina la asíntota horizontal de la siguiente función:
- Se aplica el límite en el infinito y se calcula
- Se aplica el criterio (C) y el resultado es: 4/3
- Esto quiere decir que cuando x → ± ∞ , f ( x ) → 4/3
- Por lo tanto f ( x ) = 4/3 es una recta llamada asíntota horizontal de la función f ( x )
- Vea la gráfica
Asíntotas verticales
Cuando la recta x = a es una asíntota vertical de la función f ( x ), si el límite es así:
Ejemplo
Determina la asíntota vertical de la siguiente función:
- Se factoriza el denominador para saber donde la función se hace indeterminada
Entonces la función no está definida para los valores de x = 2 ∧ x = -1, por lo tanto esas son las asíntotas de la función - Se aplica el límite de los valores encontrados y se determina sus límites laterales
- Vea la gráfica
Asíntotas oblicuas
Cuando una función posee asíntota oblicua si
donde: m ∈ ℜ – {0}
m = pendiente de la recta
Entonces y = mx + b es la ecuación de la asíntota de la función f ( x ) si:
Pasos para determinar las asíntotas oblicuas
- Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f ( x ) entre x, si da una constante quiere decir que posee una asíntota oblicua y esta constante es la pendiente ( m ) de la asíntota.
- Se determina b ( intercepto con el eje y ), aplicando el límite
- Se escribe la ecuación explícita de la recta
f ( x )=mx + b
Ejemplo
Determina si la función f ( x ) posee asíntota oblicua y si posee escriba su ecuación realice la tabla de valores y su gráfica
- Se determina si posee asíntota oblicua
Si posee asíntota oblicua y la pendiente de la misma es m = 1/3
- Se determina b
- La ecuación de la asíntota es f ( x ) = x/3
- También posee una asíntota vertical x = 0
- Los interceptos en el eje “x” es igualar el numerador a cero. x = ± 3
- No existe intercepto en el eje “y”
Tabla de valores | Gráfica |