11ºGrado

Límites

por
Límites

¿Conoces los límites en matemáticas? Seguramente has escuchado o has visto, que alguna vía de comunicación tiene algunos límites de velocidad. Por ejemplo, observa la siguiente imagen:

Entonces ¿Qué es para ti un límite? Un límite es una referencia lo cual muestra una separación con algo.

Límites

El límite es un valor donde se aproxima una función f ( x ). Observa la siguiente función:

Mira abajo a la izquierda, está la gráfica de la función y su curva tiende aproximarse a la asíntota de recta y =1, pero nunca llega a tocarla, ahora al lado derecho está su tabla de valores, fíjate que en x existen valores desde 1 hasta 50 y los valores de f ( x ) tienden acercarse a 1

GráficaTabla de valores

Los límites son expresados así:

La forma correcta de leer estas expresiones es de la forma siguiente

“límite cuando x tiende a b de f ( x ) es L”

Cuando x tiende a b  quiere decir que los valores de la función f ( x ) se aproximan  a L .

Ahora relaciona esto con la función anteriormente graficada:

Entonces tomando los datos de la tabla de valores, observa que la variable “x” crece hasta llegar a cincuenta ( x → 50 ) es decir que los valores de x tiende a cincuenta, y la función  f ( x ) se aproxima a 1   ( f ( x ) → 1 ).

Su expresión queda finalmente de la forma siguiente:

Ejemplo

Elabora la tabla de valores con números decimales expresados en centésimas y realizar la gráfica de la siguiente función:

Cuando el valor de la variable x tiende a 1

Los valores de la variable 0,97 ; 0,98 ;  0,99 ; son acercamientos a 1 por la izquierda; y los valores 1,03 ; 1,02; 1,01 son acercamientos a 1 por la derecha.

Luego,  si x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, la función f ( x ) se aproxima a 2 

Simbólicamente esta situación se expresa:

Límites laterales

Las aproximaciones realizadas para determinar el límite de una función está relacionada con el concepto de límite lateral, observa la imagen:

Se expresa:

Por la izquierda:Por la derecha:

El signo negativo ( – ) es una referencia del lado izquierdo

El signo positivo ( + ) es la referencia del lado derecho

La lectura que se le da a ambas expresiones simbólicas es:

  • límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
  • límite cuando x tiende a b por la derecha es M

Existencia de límites

La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función, pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.

Ejemplo

Realizar la gráfica de f ( x ) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2

Gráfica:

  • Límite lateral izquierdo:

En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2–  la función  f ( x ) = 2

  • Límite lateral derecho:

En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2+  la función  f ( x ) = 1

El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE

Cálculo de límites

Los límites se pueden resolver ya sea aplicando propiedades o por el principio de sustitución.

Aplicando propiedades

         

c = constante

1.Límite de una constante
2.Límite de una variable
3.Límite de una suma de funciones
4. Límite de una resta de funciones
5.Límite de una constante multiplicada por una función
6.Límite de una función multiplicada por otra función
7.Límite de una función dividida por otra función
8.Límite de una potencia
9.Límite de la potencia de una función
10.Límite de una raíz
11.Límite de una raíz enésima de una función

Principio de sustitución directa

Este principio consiste en sustituir  x = a directamente en la función f ( x ) y así obtener el valor del límite.

Ejemplo

Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y por el método de sustitución directa

Solución (aplicando propiedades)

a. 

b. 

Solución (aplicando el método de sustitución directa)

a.   

b.   

Igualdades simbólicas que se deben considerar en el cálculo de límites

Donde k es una constante

Límites de funciones indeterminadas

Indeterminada 0/0

Cuando se calcula el límite de alguna función y presenta resultado como el siguiente:

Es una indeterminación que se debe eliminar aplicando ya sea factorización o racionalización para así obtener una expresión equivalente

Pasos para eliminar la indeterminación

  1. Efectúe la sustitución directa
  2. Hallar la expresión equivalente a través de la factorización o racionalización
  3. Determinar los límites laterales

Nota: Si son límites de funciones racionales y radicales solo debes aplicar los pasos # 1 y # 2.

Límites de funciones racionales con indeterminación 0/0

Los límites de funciones racionales indeterminados son polinomios ubicados en el numerador y en el denominador, su forma es la siguiente:

Para la eliminación de la indeterminación se debe aplicar la factorización.

Ejemplo

Calcula el siguiente límite

1.Efectúa la sustitución directa
2.Factorización
3.Sustitución
4.Resultado

Límites de funciones radicales con indeterminación 0/0

Estos tipos de límites indeterminados están compuestos por funciones radicales f ( x ) y g ( x ) y su forma es la siguiente:

Para eliminar la indeterminación se debe racionalizar ya sea en el numerador o en el denominador o muchas veces también se debe racionalizar ambos.

Ejemplo

Calcula el siguiente límite:

1.Efectúa la sustitución directa
2.Racionalización
3. Sustitución
4.Resultado

Límites de funciones trigonométricas indeterminadas 0/0

Se calcula por sustitución directa, si el resultado es indeterminado 0/0 se elimina aplicando identidades trigonométricas.

Ejemplo

Calcula el siguiente límite trigonométrico:

1.Por efecto de gusto se transforma a grados sexagesimales
2.Sustitución
3.Se aplica identidades para eliminar la indeterminada
4.Se aplica la sustitución
5.Resultado

Límites infinitos y límites en el infinito

Límites infinitos

Cuando una función f ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota cuando x tiende a un valor «b«, el límite no existe.

La cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función. Por ejemplo observe la cota de la siguiente función:

f ( x ) = x2 + 2

El dominio es ℜ

El rango es [ 2 , ∞ )

Cota: 2 es su cota inferior para todos los elementos del rango de la función

Forma de escribir un límite sin cota en crecimiento y en decrecimiento

En crecimiento la forma es:

En decrecimiento la forma es:

Ejemplo

Crea la tabla de valores, gráfica y determina el límite de la función f ( x )

Tabla de valoresGráfica

Observa el límite:

No existe

Por la izquierda

Por la derecha

Límites en el infinito

Los límites en el infinito es cuando la variable ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota y la función f ( x ) se acerca a valores específicos L y M. Estos límites se expresan de la siguiente manera:

      

Y se lee así:

  • “El límite de la función es M cuando x tiende a menos infinito»
  • “El límite de la función es L cuando x tiende al infinito»

Se presentan dos casos para calcular estos tipos de límites:

  1. Caso # 1. Cuando posee la siguiente forma:
    Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero
  2. Caso # 2. Cuando su forma es:
    En este caso se presenta una nueva indeterminación y es

Indeterminada ∞/∞

Para poder eliminar la indeterminación ∞/∞ se debe dividir el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado, donde también debe considerarse tres criterios:

  1. Si el grado del polinomio P( x ) > Q( x ) el límite de la función racional es
  2. Si el grado del polinomio P( x ) < Q( x ) el límite de la función racional es
  3. Si el grado del polinomio P( x ) = Q( x ) el límite de la función racional es
    Donde m y n son los coeficientes de los términos de mayor grado de los polinomios P( x ) y  Q( x ) respectivamente.

Ejemplos para determinar límites en el infinito ∞/∞

  •  

Según el criterio (A) el resultado es: ∞

Observa el desarrollo:

  • Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
  •  

Según el criterio (B) el resultado es: 0

Observa el desarrollo:

  • Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión

  •  

Según el criterio (C) el resultado es: 5/2

Para probarlo debes aplicar lo mismo a los otros ejemplos anteriores, es decir dividir el numerador y el denominador de la función racional entre x2 

Cálculo de asíntotas de una función

Asíntotas horizontales

Cuando la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f ( x ), si el límite es así:

Ejemplo

Determina la asíntota horizontal de la siguiente función:

  • Se aplica el límite en el infinito y se calcula
  • Se aplica el criterio (C) y el resultado es: 4/3
  • Esto quiere decir que cuando x → ± ∞ , f ( x ) → 4/3
  • Por lo tanto f ( x ) = 4/3 es una recta llamada asíntota horizontal de la función f ( x )
  • Vea la gráfica

Asíntotas verticales

Cuando la recta x = a es una asíntota vertical de la función f ( x ), si el límite es así:

Ejemplo

Determina la asíntota vertical de la siguiente función:

  • Se factoriza el denominador para saber donde la función se hace indeterminada
    Entonces la función no está definida para los valores de x = 2 ∧ x = -1, por lo tanto esas son las asíntotas de la función
  • Se aplica el límite de los valores encontrados y se determina sus límites laterales


  • Vea la gráfica

Asíntotas oblicuas

Cuando una función posee asíntota oblicua si

donde:  m ∈ ℜ – {0}

m = pendiente de la recta

Entonces y = mx + b     es la ecuación de la asíntota de la función f ( x ) si:

Pasos para determinar las asíntotas oblicuas

  • Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f ( x ) entre x, si da una constante quiere decir que posee una asíntota oblicua y esta constante es la pendiente ( m ) de la asíntota.

  • Se determina b ( intercepto con el eje y ), aplicando el límite

  • Se escribe la ecuación explícita de la recta

f ( x )=mx + b

Ejemplo

Determina si la función f ( x ) posee asíntota oblicua y si posee escriba su ecuación realice la tabla de valores y su gráfica

  • Se determina si posee asíntota oblicua

Si posee asíntota oblicua y la pendiente de la misma es m = 1/3

  • Se determina b

  • La ecuación de la asíntota es  f ( x ) = x/3
  • También posee una asíntota vertical x = 0
  • Los interceptos en el eje “x” es igualar el numerador a cero. x = ± 3
  • No existe intercepto en el eje “y”
Tabla de valoresGráfica

Función

por
Función

¿Sabes cómo se aplica la función en la vida diaria? En una frutería promocionan 1 paquete de 4 manzanas a $5000, sabemos que mientras más cantidades de paquetes vendan mayor es el beneficio económico para el negocio. Entonces, una buena venta de manzanas está en función a vender muchas cantidades de paquetes.

Función

Función

Es una relación que debe cumplir las siguientes condiciones:

  1. Todos los elementos del conjunto de partida deben poseer imágenes en el conjunto de llegada.
  2. Cada elemento del conjunto de partida sólo debe tener una imagen en el conjunto de llegada.

Ejemplo # 1

Tomando en cuenta la figura # 1, determinar si las relaciones mostradas son funciones. Justifica tu respuesta.

Función
Figura # 1
  1. En la relación f  no es función porque el elemento 2 del conjunto de partida posee dos imágenes, 4 y 2, en el conjunto de llegada. Los pares ordenados formados son: f {(1,4),(2,4),(2,2),(3,7),(4,3)}
  2. En la relación g  a pesar que el elemento c del conjunto de llegada no esté relacionado si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son:  g {(1,a),(2,b),(3,d)}
  3. En la relación h  si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son:  h {(1,2),(2,2),(3,2)}
  4. En la relación i  es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen, a pesar que el elemento n del conjunto de llegada no esté relacionado. Los pares ordenados son:  i {(1,l),(2,m),(3,m)}
  5. En la relación j  no es función porque el elemento 3 del conjunto de partida no está relacionado. Los pares ordenados son:  j {(1,-2),(2,-1),(4,-4)}
  6. En la relación k  si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son:  j {(1,R),(2,J),(3,Q)}

Variable independiente y dependiente

Cuando se menciona la palabra variable se refiere a una variación o cambio que sufre algo, recuerda el ejemplo al principio del post donde una frutería coloca en promoción 1 paquete de manzanas por sólo $5000 pesos, aquí existen variables, y es que a mayor venta de paquetes de manzanas mayor es el beneficio en dinero para la frutería, fíjate que aquí existe una relación (función) que depende de las cantidades de paquetes que los clientes compren. Por lo tanto, la variable independiente es el paquete de manzanas y la variable dependiente va en función a la cantidad de paquetes que compraron los clientes.

Se le asigna unas letras a cada variable:

x = variable independiente

f ( x ) = y = variable dependiente

En la frutería colocan la promoción de la siguiente manera:

1 paquete de 4 manzanas por el precio de $5000

Y matemáticamente esa expresión quedaría así:

f ( x ) = 5000x        o también puede quedar expresarse así:      y = 5000x

Donde:

“ x ”   es el paquete de 4 manzanas, es decir, es la variable independiente.

“ y ”  es el dinero por la venta que depende de las cantidades de paquetes de manzanas vendidas, entonces a esta letra se le llama variable dependiente.

“ f ( x ) ”  esta expresión significa que la variable dependiente está en función a la variable independiente.

Para resumir todo:

La variable independiente la llamamos  “variable”  y a

La variable dependiente “ función ”

Dominio y rango 

El dominio de una función es el conjunto de las primeras componentes de un par ordenado y el rango de la función es el conjunto de las segundas componentes de un par ordenado, esto se ve de la siguiente manera:

Par ordenado = ( dominio , rango )

Par ordenado = ( x , y )

Par ordenado = ( x , f ( x ) )

A ( x , y )

 

¿Sabes qué es la función real? Es variable real, como ya sabes cuando se dice función se refiere a la variable dependiente y cuando se menciona variable es la variable independiente, por otro lado la palabra real se refiere al conjunto de los números reales, por lo tanto el significado de Función real de variable real es que el dominio (variable) y el rango (función) pertenecen al conjunto de los números reales ℜ.

Cuando se menciona que una función es indeterminada quiere decir que algunas veces el resultado es expresado en un conjunto de números distinto al conjunto de los números reales ℜ, por ejemplo:

Restricciones del dominio

El dominio se ve restringido cuando la variable dependiente “ y ” o  f ( x ) toma valores de la variable independiente “ x ” y el resultado no está dentro del conjunto de los números reales ℜ, es decir, el resultado es indeterminado.

Existen 3 tipos de restricciones en el dominio, ellos son:

  1. Cuando existen raíces de índices pares de un número negativo, por ejemplo:
    La expresión es una raíz de índice par y no está definida para valores negativos como . . . , -6, -5, -4, -3 ya que el resultado es indeterminado.
  2. Fracciones donde se anula el denominador, por ejemplo:
    En el denominador de la expresión existe una restricción cuando x = -1 , ya que el resultado es indeterminado.
  3. Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par, por ejemplo:

Ejemplo # 2

Grafica las siguientes relaciones teniendo en cuenta el intervalo especificado para x. Determinar el dominio, rango e indique cuáles de ellas son funciones

a.  F = {(x,y) / y = x2 ∧ 0 ≤ x < 3}

b. G = {(x,y) / y2 – x =2}

y = x2

Tabla de valores

para la función  y = x2 

Función
Gráfica y se traza una línea verticalFunción
¿Es función?La línea vertical es llamada prueba de la línea vertical y es usada para saber si es función, como toca un punto es función.
Cálculo del dominio y rango

El dominio es:

Dom [ 0 , 3 )

El rango es:

Rgo [ 0 , 9 )

y2 – x =2

y = ±

Tabla de valores
Gráfica y se traza una línea verticalFunción
¿Es función?Gracias a la prueba de la línea vertical es notorio que no es función ya que toca dos puntos de la curva
Cálculo del dominio y rango

El dominio es:

Dom [ -2 , ∞ )

El rango es:

Rgo ( ∞ , – ∞ )

Clasificación de las funciones

Las funciones se clasifican en 3 tipos:

  1. Inyectivas: Son llamadas también uno a uno. Es inyectiva cuando no existen dos elementos distintos en el conjunto de partida con una misma imagen. Ejemplo el siguientes conjunto de pares ordenados:  F{ ( 8 , 7 ) , ( 6 , 7 ) } No es una función inyectiva ya que los elementos del conjunto de partida comparten la misma imagen.
  2. Sobreyectivas: Si el rango de la función es el mismo que el codominio es sobreyectiva
  3. Biyectivas:  Si es inyectiva y sobreyectiva

Ejemplo # 3

Indica el tipo de función, dominio y rango

f :  [ 2 , ∞ ) → [ -1 , ∞ )

f ( x ) = x2 – 4x + 3

Como la función es cuadrática, se debe calcular el vértice y puntos de cortesa = 1    b = -4    c = 3
Cálculo del vértice

Cálculo de los puntos de cortes con respecto al eje “ x ”

y = 0

x = 1    ∧  x = 3

Gráfica

La condición dada f :  [ 2 , ∞ ) → [ -1 , ∞ ) coincide con el valor de la primera coordenada del vértice v = ( 2 , -1 ), es decir se grafica desde el vértice

Se traza una línea horizontal y vertical

Función
Línea verticalLa Prueba de la línea vertical nos indica que es función
Línea horizontalEl Criterio de la recta horizontal como toca un punto de la curva es inyectiva
Cálculo del dominio y rango

El dominio es:

Dom [ 2 , ∞ )

El rango es:

Rgo [ -1 , ∞ )

Codominio

cod  f = Rgo f

Tipo de función

Es inyectiva por que el Criterio de la recta horizontal toca un punto

Es sobreyectiva por el codominio de la función es igual al rango de la función

Entonces como es inyectiva y sobreyectiva, esta función es Biyectiva.

Características 

Algunas de las características de las funciones que se mencionarán a continuación son las siguientes:

  1. Pares: Geométricamente su eje de simetría es el eje “ y ” y analíticamente  se debe sustituir “ -x ” en la función y si da como resultado la misma función es una función par. Por ejemplo dada la función f ( x ) = x2 +1 . Determine si es una función par
    Se sustituye ( -x ) en la función, y queda:
    f ( –x ) = ( -x )2 +1
    f ( –x ) = x2 +1
    Compara el resultado x2 +1  y observa que la expresión dada es también x2 +1
    Por lo tanto la función f ( x ) = x2 +1  es Par.
  2.  Impares: Geométricamente su simetría es el origen del plano cartesiano y analíticamente al sustituir “ -x ” la función debe dar negativa. Por ejemplo dada la función:           f ( x ) = x3 . Determine si es una función impar
    Se sustituye ( -x ) en la función, y queda:
    f ( –x ) = ( -x )3 
    f ( –x ) = –x3
    Ahora compara, el resultado es  –x3   y observa que la expresión dada es positiva  x3 
    Por lo tanto la función f ( x ) = x3  es Impar.
  3. Crecientes:  Es creciente en un intervalo, si:
                   x1 < x2 por lo tanto f (x1) < f (x2)
    FunciónEntonces si en un intervalo aumenta el dominio y el rango de la función, la función es creciente específicamente en ese intervalo.
  4. Decrecientes: Una función es decreciente en un intervalo si:
                   x1 < x2 por lo tanto f (x1) > f (x2)
    Función

 

A continuación un resumen de algunas  característica de las funciones elementales:

Algunos ejemplos, dale clic en ella.

Funciones Polinómicas 

Lineal

f ( x ) = ax + b donde a > 0

Dom f Rgo fCorte con eje xCorte con eje yCrece
ℜℜy  = bEn todo ℜ
Función

 Lineal

f ( x ) = ax + b donde a < 0

DomfRgo fCorte en el eje xCorte en el eje yDecrece
ℜℜy  = bEn todo ℜ

Cuadrática

f ( x ) = ax2 + bx + c  donde a > 0

Dom f Rgo fCorte en el eje xCorte en el eje yCrece
ℜy  = c

Cuadrática

f ( x ) = ax2 + bx + c  donde a < 0

Dom f Rgo fCorte en el eje xCorte en el eje yCrece
ℜy  = c

 

Funciones Trascendentes

Exponencial

f ( x ) = ax   donde a > 1

Dom f Rgo fCorte con eje xCorte con eje yCrece
ℜℜ+No hay punto de cortey = 1En todo ℜ

Exponencial

f ( x ) = ax    donde    0 < a < 1

DomfRgo fCorte en el eje xCorte en el eje yDecrece
ℜℜ+No hay punto de cortey = 1En todo ℜ
 

Logarítmica

f ( x ) = logax   donde a > 1

Dom f Rgo fCorte con eje xCorte con eje yCrece
ℜ+ℜx = 1No hay punto de corteℜ+

Logarítmica

f ( x ) = logax   donde    0 < a < 1

DomfRgo fCorte en el eje xCorte en el eje yDecrece
ℜ+ℜx = 1No hay punto de corteℜ+

Funciones racionales

Cuando se presenta de la siguiente manera  f ( x ) = P ( x ) / Q ( x )  es una función racional, donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios.

Pasos para graficarla

  1. Factorizar si se puede.
  2. Determinar las raíces ( o cero) del numerador y del denominador los valores para lo cual la función no está definida
  3. Hallar las asíntotas verticales, si existen
  4. Hallar el intercepto con el eje “ y ”, es decir x = 0
  5. Determinar la asíntota horizontal, si existe
  6. Crear la tabla de valores para obtener los puntos suficientes y así dibujar una buena curva.

Ejemplo  # 4

Grafique y determine el dominio y rango de la función a continuación:

Factorizar

(Se redefine la función)

Entonces en el punto de la abscisa x = -2 existe una discontinuidad evitable. Las coordenadas de la discontinuidad es ( -2 , 3 )

Determinar las raíces del numerador

Determinar las raíces del denominador

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Asíntotas verticalesx = -1

Intercepto con el eje “ y ”

x = 0

y = -1

Asíntota horizontal

 

Como el grado del polinomio del numerador y del denominador son iguales a 1, entonces la función f tiene una asíntota horizontal.

y = 1

Tabla de valores

Partiendo del dato de la asíntota vertical  x = -1 se crea la tabla de valores

Gráfica
Dominio y rango de la función

El dominio es:

Dom f  = ℜ – { -2, -1 }

El rango es:

Rgo f  = ℜ – { 1, 3 }

Funciones radicales

Son funciones que están expresadas por medio de una raíz

El dominio de este tipo de funciones depende del índice de la raíz.

Sí el índice es par, la función no está definida en los valores de x para los cuales el radicando es negativo, es decir es una restricción del dominio

Sí el índice es impar, la función está definida para todos los valores de x a excepción de las restricciones del radicando. Si la función posee un polinomio en el denominador se tiene que considerar los pasos para graficar funciones racionales.

Pasos para graficar una función radical

  1. Se evalúa si posee índice par o impar. Si la expresión viene dada en forma racional se determina en el numerador las raíces o los intercepto con el eje “ x ” y en el denominador los valores para los cuales la función no está definida. Si es un radical con índice par y con una cantidad subradical en forma racional polinómica, se tiene que determinar el intervalo donde la función no está definida, para esto la expresión subradical debe ser mayor o igual que cero, luego el siguiente paso es resolver la inecuación racional.
  2. Determina las asíntotas verticales, si existe
  3. Hallar el intercepto con el eje “ y ”
  4. Determinar las asíntotas horizontales, si existe
  5. Crear la tabla de valores para obtener los puntos suficientes y así dibujar una buena curva.

Ejemplo # 5

Grafique y determine el dominio y rango de la función a continuación:

Posee índice par

Está definida para valores mayores de x ≥ – 1/2

Como no es una función racional no posee asíntotas 
Intercepto con el eje “ y ”

Como no es una función racional no posee asíntotas horizontales 

Tabla de valores

Partiendo de los valores de:

x ≥ -1/2

Gráfica
Dominio y rango de la función

El dominio es:

Dom f  =  [ -1/2, ∞ )

El rango es:

Rgo f  = [ 0, ∞ )

Ejemplo # 6

Grafique y determine el dominio y rango de la función a continuación:

Es una función racional, con una raíz en el denominador de índice par.

Por estar en el denominador debe ser mayor que cero

Y se evalúa los valores para los cuales la función no está definida 

La función está definida para valores de x > -3 

Es una función racional, pero el denominador es un radical por lo tanto no posee asíntotas verticales 
Intercepto con el eje “ y ”

Es una función racional y posee una asíntota horizontal en el eje “ x ” ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical es mayor que la del numerador 

Tabla de valores

Partiendo de los valores de:

x > -3

Gráfica
Dominio y rango de la función

El dominio es:

Dom f  =  ( -3, ∞ )

El rango es:

Rgo f  = ( 0, ∞ )

Ejemplo # 7

Grafique y determine el dominio y rango de la función a continuación:

Es una función racional, con una raíz en el numerador de índice impar.

Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida 

Se calcula el intercepto con el eje “ x ”  y = 0

La función no está definida para valores:

Calculo del intercepto

Es una función racional, y con dos asíntotas verticalesx = 1    ∧    x = -1
Intercepto con el eje “ y ”

Es una función racional y posee una asíntota horizontal en el eje “ x ” ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador 

 

Tabla de valores

Como posee a asíntotas verticales se crea tres tabla de valores

Valores < -1
x-4-3-2-6/5
f ( x )
-1 < Valores < 1
x-4/504/5 
f ( x )1 
Valores > 1
x6/523 
f ( x ) 
 
GráficaFunción
Dominio y rango de la función

El dominio es:

Dom f  =  ℜ – { – 1, 1 }

El rango es:

Rgo f  =  ℜ 

Ejemplo # 8

Grafique y determine el dominio y rango de la función a continuación:

Es una función radical, con índice par

Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida 

Se calcula el intercepto con el eje “ x ”  y = 0

La función no está definida en el intervalo:

( 3 , 2/3 ]

Calculo del intercepto

Como la cantidad subradical es una expresión racional posee asíntota vertical.

Nota: Al realizar el estudio de los intervalos donde la función está definida que es:

( -∞ , -3] ∪ ( 2/3 , ∞ )

Se puede notar fácilmente que existe una asíntota vertical en  x = 2/3

 

Intercepto con el eje “ y ”

x = 0

La cantidad subradical es una expresión racional y el grado del polinomio del numerador es el mismo al denominador, por lo tanto existe una asínto horizontal de recta:

 

Tabla de valores

La función está definida en el intervalo:

( -∞ , -3] ∪ ( 2/3 , ∞ )

En ese intervalo se realiza la tabla de valores

Valores ≤ -3
x-3-4-5 
f ( x )0 
Valores > 2/3
x4/5123
f ( x )2
 
GráficaFunción
Dominio y rango de la función

El dominio es:

Dom f  =  ℜ – (-3, -2/3] también

( -∞ , -3] ∪ ( 2/3 , ∞ )

El rango es:


Operaciones 

Las funciones pueden combinarse una con otras a través de las operaciones de la aritmética como la adición, sustracción, multiplicación y división y producir nuevas funciones.

Suma: ( f  + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  + g ) = ( Dom f  ∩ Dom g )

Resta: ( f  –  g )( x ) = f ( x ) – g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  –  g ) = ( Dom f  ∩ Dom g )

Multiplicación: ( f  .  g )( x ) = f ( x )  .  g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  .  g ) = ( Dom f  ∩ Dom g )

División: ( f  / g )( x ) = f ( x )  /  g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  / g ) = { x ∈ ( Dom f  ∩  Dom g) / g ( x ) ≠ 0 }

Ejemplo # 9

Calcule la suma, diferencia, el producto y el cociente de f  y  g  y el dominio de cada función resultante.

Función

Dominios resultante de cada operación:

Dom ( f  + g ) = [ -3/2 , ∞ )

Dom ( f  –  g ) = [ -3/2 , ∞ )

Dom ( f  .  g ) = [ -3/2 , ∞ )

Dom ( f  / g ) = [ -3/2 , ∞ )

Ejercicios de Función

  1.  Determine si en cada planteamiento es una función. En caso de no serlo, proponer un ejemplo que muestre la situación. El comportamiento de una bacteria está determinado por la expresión y = 5ex
    b. Las muestras de sangre de un cultivo se describen por las parejas ( 2 , 4), ( 4 , 8 ), ( 5 , 10), ( 6 , 12), ( 7 , 14 )
    c. El valor de la producción cierta cantidad de cuadernos está dado por las parejas ( 1 , 500 ),  (2,600), ( 3 , 700 ), ( 4 , 800)
    d. El movimiento de un cuerpo está dado por la expresión f = -47 t2/2
    e. La cantidad de hombres que realizan un trabajo en cierto número de días es determinado por la expresión y = 45/x
  2. Construir una tabla de valores para cada función y su gráfica
    a.b.
    c.d.
    e.f.
    g.h.
    i.j.
  3. Diga cuáles de las siguientes curvas representan una función
    a.

     

    b.
  4. Calcula el valor de la función
    Para cada valor x dado
    a.b.c.
    d.e.f.
  5. Determine el dominio, rango, vértice, puntos de cortes, tabla de valores y gráfica de las siguientes funciones
    a.
    b.
    c.
    d.
  6. Hallar el dominio, rango, interceptos, asíntotas, tabla de valores y gráfica de la siguiente función
    a.
    b.
  7. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación. Determinar la ecuación que corresponda con cada gráfica
    a.

     

    b.
  8. El valor de cada lápiz en un establecimiento es de $1500
    a. ¿La situación planteada describe una función?
    b. Escribe la expresión algebraica que representa la función
    c. Hallar el dominio y el rango de la función y explicar si los valores hallados tienen sentido.
  9. El cargo básico del agua es de $60 y por cada m3 utilizados se cobran $2
    a. Escribe la expresión algebraica que describe el costo que se debe pagar en función a los m3 utilizados.
    b. Hallar el dominio y el rango de la función
  10. A continuación se presentan diferentes funciones, determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva
    a.
    b.
    c.
    d.{(0,1),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
    e.y = –x2
  11. Determinar cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.
    a. f (x) = 3x – 4
    b. f (x) = x2 + 2
    c. f (x) = 1 / x
  12. Una fábrica de gaseosas define su producción a partir de la función f (x) = 5x, donde x representa los litros de gaseosas y f (x) es la cantidad de unidades por litro.
    a. ¿La función de producción es biyectiva?
  13. El costo que establece una fábrica de zapatos está determinado mediante la función f (x) = 200x2 + 150, donde x es la cantidad de zapatos fabricados y  f (x) es el costo en pesos de la producción.
    a. Determinar si f (x) es una función inyectiva
    b. Determinar si la función es biyectiva
    c. Graficar la función
  14. La distancia recorrida por una moto viene dada por la función f (t) = 10 + 3t2, donde t es el tiempo en segundos.
    a. Determinar si la función es inyectiva
    b. Determinar si es sobreyectiva
  15. Completa la siguiente tabla
     
    Par      
    Impar      
    Otra      
  16. Analiza  y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes y asíntotas
    a.b.
    c.d.
    e.f.
    g.h.
  17. Analiza y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes
    a.b.
    c.d.
    e.f.
    g.h.
  18. Para cada caso, determinar el dominio de todas las funciones
    a.
    ( f  + g )( x )( f  / g )( x )
       
    b.
    ( f  – g )( x )( f  / g )( x )
       
    c.
    ( g  + f )( x )( g  / f )( x )
       
    d.
    ( f  . g )( x )( f  / g )( x )
       
    e.
    ( g  –  f )( x )( g  / f )( x )
  19. Dadas las funciones f ( x ) = 4x + 3  ∧   g ( x ) = 4x2
    Graficar:
    a.  ( f  + g )( x )
    b. ( f  . g )( x )
    c. ( g  / f )( x )
    d. ( g  –  f )( x )
    e. ( f  –  g )( x )
    f.  ( f  / g )( x )

Inecuaciones

por

Te has preguntado ¿Qué utilidad tiene las inecuaciones en nuestra vida diaria? Las inecuaciones se hacen presentes en muchas situaciones, por ejemplo cuando sale una película en estreno «sólo en cines» lo primero que hacemos es ingresar a la página web, ver el tráiler, revisar el lugar donde será estrenada sus horarios y la clasificación, esta clasificación nos informa las edades permitidas para poder ver el estreno, imagínate que dice así: para mayores de 16 años, entonces esa expresión resulta una inecuación ya que también se puede expresar de la siguiente manera: clasificación > 16 años.

Inecuaciones

Las inecuaciones es una desigualdad de dos expresiones algebraicas, cada expresión algebraica es llamada lado o miembro. Por ejemplo:

Desigualdades

Una igualdad es una comparación de dos expresiones equivalentes, por ejemplo:

15 + 3 = 18

Una desigualdad también es una comparación entre cantidades pero no son equivalentes, sus signos son ( > ) mayor qué y menor qué ( < ), a continuación observa los siguientes ejemplos:

15 +3 > 165 – 6 < 0

Principales propiedades de las desigualdades

Las propiedades de las desigualdades ayudan a trabajar con las inecuaciones e aquí algunas de ellas:

  • Propiedad #1: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo:
En la multiplicaciónEn la división
  • Propiedad #2: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad positiva, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo:
En la multiplicaciónEn la división
  • Propiedad #3: Si ambas miembros de la desigualdad son positivos y se eleva a un exponente impar  positivo  no cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo:

  • Propiedad #4: Si ambos miembros de la desigualdad son de distintos signos y al elevarse a un exponente par  positivo, cambia el sentido de la desigualdad o también puede convertirse en una igualdad. Ejemplo:



Otro ejemplo:




  • Propiedad #5: Si ambos lados de la desigualdad son del mismo signo, los inversos producen una desigualdad de sentido opuesto. Ejemplo:


Signos de las inecuaciones

A parte de los signos ( > ) mayor qué y menor qué ( < ) , en las inecuaciones se utilizan dos más uno de ellos es el menor o igual qué y el otro es el . Por ejemplo:

Y se lee: “ x es menor o igual que 10”

Soluciones de una inecuación

Los valores que satisfacen una ecuación es llamado soluciones, raíces o ceros. En una inecuación los valores de la variable que satisface a dicha relación es llamado soluciones.

Formas de expresar las soluciones de una inecuación

Las maneras de expresar las soluciones de una inecuación es de forma analítica, gráfica y en intervalos, vea los siguientes ejemplos:

Forma # 1 Analítica

x < 2

Forma # 2 Gráfica

Menor que dos

Forma # 3 Intervalos

( k , ∞ ) ; [ k , ∞ ) ; [ k , l ]

Observa la siguiente tabla donde se relaciona las tres formas de soluciones:

 AnalíticaGráficaIntervalos
1.x > k( k , ∞ )
2.x < k( –∞ , k )
3.x ≥ k[ k , ∞ )
4.x ≤ k( –∞ , k ]

Entonces de la tabla anterior se deduce:

  1. En la primera expresión la forma analítica se usa el signo ( > )  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar una circunferencia ( Ο ) y en la forma de intervalos es usar paréntesis (   ,   )
  2. En la segunda expresión la forma analítica se usa el signo ( < )  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar una circunferencia ( Ο ) y en la forma de intervalos es usar paréntesis (   ,   )
  3. En la tercera expresión la forma analítica se usa el signo ≥  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar un circulo y en la forma de intervalos es usar corchetes y como va hacia el infinito se cierra con paréntesis [  ,  )
  4. En la cuarta expresión la forma analítica usa el signo ≤  la simbología usada en la forma gráfica es dibujar un circulo   y en la forma de intervalos es usar corchetes y como va hacia el infinito negativo se cierra con paréntesis (  ,  ]

Es decir cuando la solución analítica queda expresada con los signos < menor o igual qué o  > mayor o  igual qué, en la gráfica se dibuja una pequeña circunferencia ( Ο ), y en intervalos con paréntesis (   ,   )

Y cuando la solución analítica queda expresada con los signos o , en la gráfica se dibuja un pequeño círculo , y en intervalos los corchetes por ejemplo: [  ,  ) ; (  ,  ] o [  ,  ]

Intervalos

Son dos extremos comprendidos por números reales ubicados en la recta real, también es un subconjunto del conjunto de los números reales y gráficamente corresponde con los puntos de un segmento o de una semirrecta, observa la siguiente tabla con intervalos en la recta real

 IntervaloIntervalo analíticoNombre del intervaloRepresentación gráfica del intervalo
I
n
f
i
n
i
t
o
s		[ k , +∞ )Intervalo infinito a la derecha
( k , +∞ )Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo
( -∞ , k ]Intervalo infinito por la izquierda
( -∞ , k )Intervalo infinito por la izquierda sin incluir el extremo
( -∞ , ∞ )

Intervalos infinitos por la izquierda y derecha

llamado también:

Para todo valor real ℜ

F
i
n
i
t
o
s		( k , l )Intervalo abierto
[ k , l )Intervalo semiabierto por la derecha
( k, l ]Intervalo semiabierto por la izquierda
[ k , l ]Intervalo cerrado

Inecuaciones lineales

Al resolver las inecuaciones se debe determinar la solución de las tres formas: analítica, gráfica y en intervalos.

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación:

AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( -∞ , 1/2]

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación:

AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( 5 , ∞ )

Sistema de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más inecuaciones simultáneas la cual consiste en hallar el valor o los valores de “ x ” que satisface a cada una de la desigualdad. Para hallar la solución se resuelve por separado cada inecuación, y por último, se analiza (por medio de la gráfica), las soluciones son las intersecciones de los intervalos, dicho de otra forma soluciones comunes.

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación:

Solución

Solución analítica

1° Inecuación

2° Inecuación

Solución por intervalos

( 6 , ∞ )

Intervalo abierto

( -∞ , -1 ]

Intervalo infinito a la izquierda

Representación gráfica
Solución

Solución común no existe, por lo tanto es:

S = Ø

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación:

Solución

Solución analítica

1° Inecuación

2° Inecuación

Solución por intervalos

[ -81 , ∞ )

Intervalo infinito a la derecha

Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo

Representación gráfica
Solución

Si existe intersección es decir solución común:

S =

Ejemplo # 3

Determine la siguiente inecuación:

Solución

1° Inecuación

x > 0,87

2° Inecuación

3° Inecuación

x ≤ 2,26

( 13/15 , ∞ )

Intervalo infinito a la derecha

( -∞ , 43 ]

Intervalo infinito a la izquierda

( -∞ , 43/19 ]

Intervalo infinito a la izquierda

Existe intersección:

( -∞ , 13/15 )

Inecuaciones con valor absoluto

“ k ” es un número real, el valor absoluto de “ k ” es el valor positivo del mismo, se escribe y se lee: valor absoluto de “ k ”. Observa la siguiente imagen:

FALTA LA IMAGEN

La distancia    y    poseen la misma distancia que es igual a dos, por lo tanto el valor absoluto puede definirse como la distancia    = 

El valor absoluto de una cantidad es calculado como se muestra:

Ejemplo:

Los valores que satisfacen la ecuación elemental    es

x = k     y    x = –k

Es lo mismo decir:  x = ± k

Mira el siguiente ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 

El resultado es:   x = ± 10

La ecuación elemental    también es aplicable a expresiones polinómicas, como por ejemplo la siguiente:

Forma de presentación de las inecuaciones con valor absoluto 

Las inecuaciones con valor absoluto puede presentarse de dos formas.

  • Forma # 1: Es cuando . Este tipo de forma su desigualdad es el signo <  o  ≤ , y representa un sistema. Por ser un sistema su solución pertenece a una intersección  de los conjuntos solución. Su expresión sería:

  • Forma # 2: Es cuando . Este tipo de forma su desigualdad es el signo >  o  ≥ , y no representa un sistema es una agrupación. Por ser un agrupación su solución pertenece a una unión  de los conjuntos solución. Su expresión sería:
     

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación

Observa que pertenece a la forma # 1 y por lo tanto la solución será una intersección.

AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( -7 , 19 )

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación

Observa que pertenece a la forma # 2 y por lo tanto la solución será una unión

AnalíticamenteIntervalo

( -∞ , -69/4 ) ∪ ( 81/4 , ∞ )

Representación gráfica

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones raciones son aquellas que poseen un polinomio en el numerador y otro en el denominador. La forma es la siguiente:

Ambos polinomios son de exponentes enteros y positivos

La solución pertenece a una intersección  de los conjuntos solución o parte en común entre ellos.

Ejemplo # 1

Determine la siguiente inecuación

Según la expresión, la fracción tiene que ser positiva el numerador también lo es, esto quiere decir que el denominador debe ser positivo para que la fracción lo sea.

AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( 8/3 , ∞ )

Ejemplo # 2

Determine la siguiente inecuación

Según la expresión, la fracción debe ser positiva, por lo tanto es necesario que el numerador y el denominador tengan el mismo signo, observa:

Numerador y denominador positivos
AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( 2 , ∞ )
Numerador y denominador negativos
AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( -∞ , 7/4 )

Solución:

( 2 , ∞ ) ∪ ( -∞ , 7/4 )

Ejemplo # 3

Determine la siguiente inecuación

La fracción debe ser negativa, por lo tanto es necesario que el numerador y el denominador tengan distintos signos, observa:

Numerador positivo y denominador negativo
AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

No existe parte en común

S = Ø

Numerador negativo y denominador positivo
AnalíticamenteGráficamenteIntervalos

( -2/3 , 3/5)

Solución:

( -2/3 , 3/5 )

Ejercicios

  1. Señale el intervalo de solución de las siguientes inecuaciones
    a.b.
    c.d.
    e.f.
    g.h.
    i.j.
    k.l.
    m.n.
    o.p.
    q.r.
    s.t.
    u.v.
    w.x.
    y.z.
  2. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones:
    a.b.
    c.d.
    e.f.
  3. Resolver las siguientes inecuaciones:
    a.b.
    c.d.
    e.f.
    g.h.
    i.j.
    k.l.
  4. Resuelva las siguientes inecuaciones:
    a.b.
    c.d.
    e.f.
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