¿Conoces las funciones elementales? En matemáticas es muy común trabajar con las denominadas funciones elementales llamadas también funciones usuales. Además, son funciones básicas y por medio de la combinación de estas se pueden construir otras llamadas funciones no elementales, las funciones no elementales surgen por la combinación de las elementales a través de la suma, resta, multiplicación y división.

Clasificación de las funciones elementales

Las funciones elementales se clasifican en:

1. Funciones polinómicas
2. Funciones racionales
3. Funciones radicales
4. Funciones trascendentes y
5. Funciones especiales

Funciones Polinómicas

La forma de una función polinómica es la siguiente:

Donde:    para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n 

Características de las funciones polinómicas

• Su dominio pertenece al conjunto de los números reales .
• El rango de estas funciones siempre pertenece al conjunto de los números reales .
• Son continuas.

Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.

Tipos de funciones polinómicas

1. Función constante.
2. Función lineal.
3. Función afín.
4. Función cuadrática.

Función constante

Es una una función polinómica de grado cero y se define como:  , donde  .

Características de la función constante

• Es una recta paralela con respecto a eje “x”
• Su dominio es el conjunto de los números reales.
• Su rengo es únicamente el valor constante.
• No es inyectiva ni sobreyectiva.

Ejemplo gráfico:

Ejemplo 

Grafique la función , luego determina el dominio, rango y punto de corte en el eje “y”

Solución

• Gráfica

• Dominio:
• Rango:
• Como es una función constante la recta pasa por el eje «y» en   , esto es aproximadamente igual a 1,73.
• Punto de corte en el eje “y” es (0,√3)

Función lineal

Características de la función lineal

• El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
• Gráficamente es una recta que siempre pasa por el origen del plano cartesiano.
• Es creciente cuando m es positivo y es decreciente cuando m es negativo.
• Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
• Es una función biyectiva.

Cálculo de la pendiente m

Para determinar el valor de la pendiente debes aplicar la siguiente fórmula:

Donde:

Son las coordenadas de dos puntos

Función Afín 

Características de la función afín

• El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
• Gráficamente es una recta que nunca pasa por el origen del plano cartesiano.
• Es creciente cuando m es positivo, decreciente cuando m es negativo y si m = 0 la función es constante.
• Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
• b es el punto donde la recta intercepta el eje vertical “y”, es llamado punto de corte en el eje de las ordenadas.
• Función biyectiva.

Ejemplo gráfico

Ejemplo 

Grafique y determine si la función es creciente o decreciente, puntos de corte con respecto al eje x e y, dominio y rango.

Solución

Se calcula primero los puntos de cortes y luego se traza la recta en el plano cartesiano.

Punto de corte con el eje “x”   “y = 0”

Punto de corte con el eje “x” = (-10,0)

Punto de corte con el eje “y”   “x = 0”

Punto de corte con el eje “y” = (0,5)

Gráfica:

Es creciente ya que m = ½ > 0

Dominio y rango

Función cuadrática

Es una función polinómica de segundo grado al graficarla recibe el nombre de parábola, definida como:   Donde  y  . a≠0

Características de la función cuadrática

→Cuando a>0 abre hacia arriba es decir es cóncava hacia arriba.

→Cuando a<0 abre hacia abajo es decir es cóncava hacia abajo.

→El dominio de la función pertenece al conjunto de los números reales.

→El rango de la función se calcula de la siguiente manera:

Sí a>0  el rango de la función es:

Sí a<0  el rango de la función es:

→Posee un eje de simetría, un punto vértice V(x,y) y ramas. (ver imagen más abajo)

→El eje de simetría es una recta paralela al  eje “y” que pasa por vértice de la parábola

→Sí a>0 el vértice V(x,y) es un mínimo.

→Sí a<0 el vértice V(x,y) es un máximo.

→Cálculo del vértice, coordenada “x”
       

→Cálculo del vértice, coordenada “y”                                     

→Punto de corte en el eje “x” el valor de y = 0    Se puede proceder de dos maneras:
1.- Aplicar la fórmula de la resolvente:

O

2.- Factorizar la expresión igualada a cero para determinar los valores de “x”

→Puntos de cortes en el eje “y” el valor de x = 0

→No es inyectiva ni sobreyectiva.

→Restricción para ser Biyectiva 

Ejemplo gráfico

Ejemplo 

Grafique la función y determine tipo de concavidad, dominio, rango, vértice, puntos de corte (eje x e y) y diga si existe un mínimo o un máximo.

Solución

Paso # 1: Extraer los valores

Paso # 2: Tipo de concavidad.

Como , entonces es cóncava hacia arriba y por ende posee un punto mínimo.

Paso # 3: Determinar el rango de la función.

Se aplica:
, 

Para determinar la coordenada “x” se necesita los valores de b y a  

b = 6  ∧   a = 3

La función es:

Se sustituye el valor de x = –1

El rango de la función es desde -4 hacia el infinito positivo.

Paso # 4: Determina el valor del vértice

Con los valores anteriores de:
x = –1
y = -4

Las coordenadas del vértice es:

Paso # 5: Determinar punto de corte con respecto al eje “x”. Se aplica la fórmula de la resolvente

Sustituir los valores de a, b y c.

Paso # 6: Determinar el punto de corte con respecto al eje “y” donde x = 0

Función:

Sustitución del valor de x = 0

Paso # 7: Se grafica en el plano cartesiano los puntos vértice y de corte con el eje x e y

• Vértice:
• Punto de corte eje “x”
    ∧   
• Punto de corte eje “y”
  

Luego se traza los ramales

• Ramal de la izquierda, desde el punto de corte en “x” hasta el vértice
• Ramal de la derecha, desde el vértice hasta los puntos de corte “y” e “x”

Paso # 8: Dominio de la función

Función cuadrática (video)

Funciones Racionales

Una función f es racional si donde y son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios. ≠ 0

A continuación un ejemplo de funciones racionales:

El

El

El

Gráfica de una función Racional

Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida.

Asíntota vertical  

Es una recta vertical  x = a de una función racional  f , si f ( x )  → ∞    o   si   f(x)  →  -∞  cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de x que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.

Asíntota horizontal

Es una recta horizontal  y = c  de una función racional  f , si f ( x )  → c   cuando x → ∞   o   cuando x → – ∞

Dada la función racional f definida por:

Cuando:

• , la función  f  no tiene asíntota horizontal
• , la función  f  tiene una asíntota horizontal en el eje “x” y = 0
• , la función  f  tiene una asíntota horizontal y es la recta:
  
  Es decir dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.

Características de las funciones racionales

1. El dominio son todos los valores del conjunto de los a excepción de aquellos que anulen el denominador.
2. El rango son todos los valores del conjunto de los a excepción cuando existe asíntotas horizontales.
3. Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador.
4. Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador
5. Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos.
   😆  Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador
   😆  Cuando los grados del polinomio tanto del numerador y del denominador sean iguales.

Gráfica de una función racional

Ejemplo 

Analice y Grafique la siguiente función racional

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador

Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces. Por lo tanto no corta en el eje “x”

Paso # 2:Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida.

Paso # 3:Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Como está indefinida en: . La asíntota es:

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”.

No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido.

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.

En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. 

y = 0

Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

Paso # 6: Crear la tabla de valores y obtener los valores de la variable dependiente “y”

x	-2	-1	0	1	2
f(x)		-1		1

Paso # 7: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función racional

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador, es decir f(x) = 0

Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0)

Paso # 2: Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida.
En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar.

En nuestro caso escogemos la factorización

No está definida en:   y

Paso # 3: Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Son las rectas y

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”
Se sustituye o en la función:

La función corta en el  y = -1/3

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.
En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:
Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

 y = 0

Paso # 5: Crear la tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2
f(x)		0

Paso # 6: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Funciones Radicales

Estas funciones también son denominadas funciones irracionales, y son de la forma , donde es una función polinómica o racional.

Características de las funciones radicales

1. El dominio depende del índice de la raíz.  “Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio ”. Cuando existen raíces pares de un número negativo. “Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números .”
2. Rango. Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio.
3. Cálculo de puntos de cortes. Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

Paso # 1: Identificar el índice de la raíz

El índice del radical es 2, por lo tanto es par.

Paso # 2: Determinar el primer valor del intervalo del dominio

Paso # 3: Intervalo del dominio

Paso # 4: Determinar el primer valor del intervalo del rango, sustituyendo el primer valor del intervalo del dominio en la función dada

Paso # 5: El intervalo del rango es:

Paso # 6:  Cálculo de punto de corte en “x”        y = 0

Paso # 7: Cálculo de punto de corte  en “y” x = 0

No corta en y

Paso # 8: Gráfica

Función radical con índice par (video)

Funciones Trascendentes

Función Exponencial

Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.

Características de las funciones exponenciales

1. Si el valor de la base  a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la función  g(x)=2^x
2. Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , f es una función decreciente. Como muestra la función  f (x)=(1/2)^x
3. Punto de corte en el eje “x” No existe.
4. Punto de corte en el eje “y” es:
   y = 1
5. La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que:
   
6. El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales . Dom f =
7. El rango es el conjunto de los números reales positivos  . Rgo f= = (0,+∞)
8. Es inyectiva pero no es sobreyectiva.

Ejemplo

Realice el estudio de la función y grafique:

Paso # 1: Observar si la base “a” es mayor que 1 o  está comprendida entre 0 y 1.

Como 0 < a <  1 , la función es Decreciente

Paso # 2: Punto de corte en “x”.  No existe

Paso # 3: Determinar punto de corte en “y”  x = 0

Paso # 4: Determinar el dominio

Dom f =

Paso # 5: Determinar el rango

Rgo f=

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (1,a). En este caso el punto es:

Paso # 7: Crear la tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	36	6	1

Paso # 8: Gráfica

Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:Donde: a > 0 a ≠ 1 Definida para todo x>0 Se verifica como:

Características de las funciones logarítmicas

1. El dominio es:
2. El rango es:
3. Punto de corte en el eje “y”. No existe
4. Es Creciente cuando 
5. Es Decreciente cuando:
6. La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
7. Es Biyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función:

Paso # 1: El dominio de la función siempre es:

Paso # 2: El rango de la función siempre es:

Paso # 3: Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

No existe punto de corte en el eje “y”

Paso # 5: Creciente o decreciente.
Como entonces
Es decreciente.

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar

Funciones Especiales

Dentro de las funciones especiales están:

• Funciones segmentadas o funciones a trozos
• Función parte entera o mayor entero y
• Función valor absoluto

En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:

Características de las funciones de valor absoluto

1. El dominio es:
2. El rango es:
3. Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0
   Se iguala la expresión a 0
4. Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0
5. El vértice de la curva es el valor de x
6. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y”
7. Es Decreciente en el intervalo: (-∞,x]
8. Es Creciente en el intervalo: [x,∞)
9. No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función:

Paso # 1: Dominio de la función

Paso # 2: Rango de la función

Paso # 3:Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

Paso # 5: Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice.

Paso #6: Es Decreciente en el intervalo
(-∞,4]

Paso # 7: Es Creciente en el intervalo
[4,∞)

Actividades

1. Determinar las características de cada función y finalmente grafique
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función
   
3. Analizar cada función racional. Luego, crear la gráfica
   
4. Analiza cada función radical. Luego, realizar su gráfica
   
   
   
   
   
   

1. Analiza cada función exponencial, Luego, realice la gráfica.
   
   
   
   
   
   
2. Trazar la gráfica de cada función y analizar su comportamiento
   
   
   
   
   
   
3. Trace la gráfica de cada función y analice su comportamiento
   
   
   
4. ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en todo su dominio?