Funciones elementales

¿Conoces las funciones elementales? En matemáticas es muy común trabajar con las denominadas funciones elementales llamadas también funciones usuales. Además, son funciones básicas y por medio de la combinación de estas se pueden construir otras llamadas funciones no elementales, las funciones no elementales surgen por la combinación de las elementales a través de la suma, resta, multiplicación y división.

Clasificación de las funciones elementales

Las funciones elementales se clasifican en:

Funciones polinómicas
Funciones racionales
Funciones radicales
Funciones trascendentes y
Funciones especiales

Funciones Polinómicas

La forma de una función polinómica es la siguiente:

Donde: para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n

Toda función polinómica su:

Dominio: es el conjunto

Rango: es el conjunto o un intervalo de

Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.

Funciones elementales polinómicas:

Función constante
Función afín y
Función cuadrática

Función constante

Es una una función polinómica de grado cero y se define como:

, donde

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CONSTANTE
1	Es una recta paralela al eje “x”
2
3
4	No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo

Analice la función y grafique

1	El dominio es:
2	El rango es:
3	Como la expresión es una constante, se tiene que trazar una recta paralela del eje “x” pasando por
4	Gráfica

Función Afín

Es una función polinómica llamada también función lineal y se define como:

Donde

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN AFÍN
1	El dominio es
2	El rango es
2	Es Creciente cuando y Decreciente cuando
3	Punto de corte en eje “y” x = 0 entonces y = b Punto de corte en eje “x” y = 0 entonces
4	Es una función constante cuando
6	La curva es una línea recta con una inclinación o pendiente según el valor de m
7	Función Biyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1	y
2	Como , es decir La función es Creciente
3	Puntos de cortes En el eje x y = 0
4	Punto de cortes En el eje y x = 0
5	Trazar la recta uniendo los puntos de cortes en “x” e “y”

Función cuadrática

Es una función polinómica y la gráfica recibe el nombre de parábola, definida como:

Donde y

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1	Cuando abre hacia arriba es decir es cóncava hacia arriba
2	Cuando abre hacia abajo es decir es cóncava hacia abajo
3
4	Si Si
5	Vértice , eje de simetría y ramas de una parábola
6	Cálculo del vértice y V(x,y)
7	El eje de simetría es una recta paralela al eje “y” que pasa por vértice de la parábola
6	Si el vértice V(x,y) es un mínimo Si el vértice V(x,y) es un máximo
7	Puntos de cortes en el eje “x” y = 0 Es decir la expresión igualada a 0 Se factoriza la expresión igualada a cero para determinar los valores de “x” 0 Se aplica la resolvente:
8	Puntos de cortes en el eje “y” x = 0 Es decir se sustituye x = 0 en la expresión
7	No es inyectiva, ni sobreyectiva Restricción para ser Biyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1	El dominio es
2	Como , entonces es cóncava hacia arriba y por ende posee un mínimo
3	Cálculo del rango, como: b = 6 ∧ a = 3 Entonces el rango es:
4	Cálculo del vértice = punto mínimo, como se calculó el rango se tiene las coordenadas del vértice = punto mínimo
5	Puntos de cortes en el eje “x” y = 0 Se aplica la resolvente ∧
6	Punto de corte Puntos de cortes en el eje “y” x = 0 Es decir se sustituye x = 0 en la expresión
7	Trazar la curva Ramal de la izquierda, desde el punto de corte en “x” hasta el vértice Ramal de la derecha, desde el vértice hasta los puntos de corte “y” e “x”
7	Gráfica

Funciones Racionales

Una función f es racional si donde y son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios. ≠ 0

A continuación un ejemplo de funciones racionales:

Gráfica de una función Racional

Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida.

Asíntota vertical

Es una recta vertical x = a de una función racional f , si f ( x ) → ∞ o si f(x) → -∞ cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de x que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.

Asíntota horizontal

Es una recta horizontal y = c de una función racional f , si f ( x ) → c cuando x → ∞ o cuando x → – ∞

Dada la función racional f definida por:

Cuando:

, la función f no tiene asíntota horizontal
, la función f tiene una asíntota horizontal en el eje “x” y = 0
, la función f tiene una asíntota horizontal y es la recta:

Es decir dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES RACIONALES
1	El dominio son todos los valores del conjunto de los a excepción de aquellos que anulen el denominador.
2	El rango son todos los valores del conjunto de los a excepción cuando existe asíntotas horizontales
2	Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador
3	Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador
4	Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos. Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador Cuando los grados del polinomio tanto del numerador y del denominador sean iguales.
5	Crear tabla de valores y graficar

Ejemplo

Analice y Grafique la siguiente función racional

1	Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces Por lo tanto no corta en el eje “x”
2	Determine el valor o los valores en el denominador para lo cual la función no está definida. No está definida en:
3	Hallar las asíntotas verticales, si existen Como está indefinida en:	La asíntota es
4	Determinar puntos de cortes en el eje “y” No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido
5	Determinar las asíntotas horizontales, si existe En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir: y = 0	Existe una asíntota horizontal en el eje “x”
6	Crear tabla de valores
7
8	Cálculo del dominio y rango

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función racional

1	Determine las raíces del numerador, es decir f(x) = 0 Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0)
2	Determine el valor o los valores en el denominador para lo cual la función no está definida. En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar En nuestro caso escogemos la factorización No está definida en: y
3	Hallar las asíntotas verticales, si existen En este ejemplo son dos asíntotas	Son las rectas y
4	Determinar puntos de cortes en el eje “y” La función *corta en el y =* -1/3**	Se sustituye o en la función:
5	Determinar las asíntotas horizontales, si existe En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir: y = 0	Existe una asíntota horizontal en el eje “x”
6	Tabla de valores
7	Gráfica

8	Cálculo del dominio y rango

Funciones Radicales

Las funciones radicales son denominadas también funciones irracionales, y son aquellas en la cual existe una raíz de una variable.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES RADICALES
1	El dominio depende del índice de la raíz Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio «Cuando existen raíces pares de un número negativo» Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números
2	El rango Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio
3	Cálculo de puntos de cortes Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1	Determinar el dominio Este ejercicio es de índice par
2	Dominio es
3	Determinar el rango, se sustituye 2/3 en la función
4	Rango es
5	Cálculo de puntos de cortes en “x” y = 0 Corta en x = 6
6	Cálculo de puntos de cortes en “y” x = 0 No corta en y

Funciones Trascendentes

Estos tipos de funciones la variables “x” funciona como exponente, como argumento de las funciones trigonométricas y logarítmicas.

Algunas de las funciones trascendentes se clasifican como: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Las trigonométricas son explicadas para el II periodo

Función Exponencial

La función exponencial es de la forma f(x) = a^x , donde la base a es una constante con signo positivo y diferente del número 1, y el exponente “x” es la variable. Vea el Gráfico#1

Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
1	Si el valor de la base a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la fuNción g(x)=2^x
2	Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , f es una función decreciente. Como muestra la función f (x)=(1/2)^x
3	Punto de corte en el eje “x” No existe
4	Punto de corte en el eje “y” es y = 1
5	La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que:
6	El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales . Dom f =
7	El rango es el conjunto de los números reales positivos .Rgo f= = (0,+∞)
7	Es inyectiva pero no es sobreyectiva

Ejemplo

Realice el estudio de la función y grafique

1	Como 0 < a < 1 , la función es Decreciente
2	Punto de corte en “x” No existe Punto de corte en “y” x = 0
3	Dominio es: Dom f =
4	Rango es: Rgo f=
5	La función siempre pasa por el punto (1,a) En este caso:
5	Se crea la tabla de valores, como el dominio son todos los números de
6	Gráfica

Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:

Donde:

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS
1	El dominio es
2	El rango es
3	Punto de corte en el eje “x” es el punto (0,1) Siempre que
4	Punto de corte en el eje “y” No existe
5	Es Creciente cuando
6	Es Decreciente cuando
7	La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
8	Es Biyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1	Dominio de la función Siempre es:
2	Rango de la función Siempre es:
3	Punto de corte en el eje “x” y = 0
4	Punto de corte en el eje “y” x = 0 No existe punto de corte en el eje “y”
5	Como entonces Por lo tanto es: Decreciente
6	La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
Gráfica

Funciones Especiales

Dentro de las funciones especiales están:

Funciones segmentadas o funciones a trozos
Función parte entera o mayor entero y
Función valor absoluto

En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
1	El dominio es
2	El rango es
3	Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0 Se iguala la expresión a 0
4	Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0
5	El vértice de la curva es el valor de x
6	El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y”
7	Es Decreciente en el intervalo (-∞,x]
8	Es Creciente en el intervalo [x,∞)
9	No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1	Dominio de la función
2	Rango de la función
3	Punto de corte en el eje “x” y = 0
4	Punto de corte en el eje “y” x = 0
5	El vértice de la curva se encuentra ubicado en
6	Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice
7	Es Decreciente en el intervalo (-∞,4]
8	Es Creciente en el intervalo [4,∞)