Funciones elementales

¿Conoces las funciones elementales? En matemáticas es muy común trabajar con las denominadas funciones elementales llamadas también funciones usuales. Además, son funciones básicas y por medio de la combinación de estas se pueden construir otras llamadas funciones no elementales, las funciones no elementales surgen por la combinación de las elementales a través de la suma, resta, multiplicación y división.

Clasificación de las funciones elementales

Las funciones elementales se clasifican en:

  1. Funciones polinómicas
  2. Funciones racionales
  3. Funciones radicales
  4. Funciones trascendentes y
  5. Funciones especiales

Funciones Polinómicas

La forma de una función polinómica es la siguiente:

Donde:    para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 

Toda función polinómica su:

Dominio: es el conjunto

Rango:  es el conjunto o un intervalo de

Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.

Funciones elementales polinómicas:

  1. Función constante
  2. Función afín y
  3. Función cuadrática

Función constante

Es una una función polinómica de grado cero y se define como:

, donde 

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CONSTANTE
1Es una recta paralela al eje “x”
2
3
4No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo 

Analice la función y grafique

1El dominio es:

2El rango es:

3Como la expresión es una constante, se tiene que trazar una recta paralela del eje “x” pasando por

4Gráfica

Función Afín

Es una función polinómica llamada también función lineal y se define como:

  Donde 

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN AFÍN
1El dominio es

2El rango es

2Es Creciente cuando    y

Decreciente cuando

3Punto de corte en eje “yx = 0  entonces b

Punto de corte en eje “xy = 0  entonces

4Es una función constante cuando 
6La curva es una línea recta con una inclinación o pendiente según el valor de m
7Función Biyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1  y 
2Como , es decir La función es Creciente
3Puntos de cortes

En el eje x    y = 0

4Punto de cortes

En el eje y    x = 0

5Trazar la recta uniendo los puntos de cortes en “x” e “y”

Función cuadrática

Es una función polinómica y la gráfica recibe el nombre de parábola, definida como:

  Donde 

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

1Cuando abre hacia arriba es decir es cóncava hacia arriba
2Cuando abre hacia abajo es decir es cóncava hacia abajo
3
4

Si             Si

5Vértice , eje de simetría y ramas de una parábola
6Cálculo del vértice  y

V(x,y)

7El eje de simetría es una recta paralela al  eje “y” que pasa por vértice de la parábola
6Si el vértice V(x,y) es un mínimo

Si el vértice V(x,y) es un máximo

7Puntos de cortes en el eje “x” y = 0

Es decir la expresión igualada a 0

  • Se factoriza la expresión igualada a cero para determinar los valores de “x” 0
  • Se aplica la resolvente:
8Puntos de cortes en el eje “yx = 0

Es decir se sustituye x = 0 en la expresión

7No es inyectiva, ni sobreyectiva

Restricción para ser Biyectiva 

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1El dominio es

2Como , entonces es cóncava hacia arriba y por ende posee un punto mínimo
3Cálculo del rango, como:

 

= 6  ∧   a = 3

Entonces el rango es:

4Cálculo del vértice = punto mínimo, como se calculó el rango se tiene las coordenadas del vértice = punto mínimo
5Puntos de cortes en el eje “x”                      y = 0

Se aplica la resolvente

  ∧   

6Punto de corte

Puntos de cortes en el eje “yx = 0

Es decir se sustituye x = 0 en la expresión

7Trazar la curva

  • Ramal de la izquierda, desde el punto de corte en “x” hasta el vértice
  • Ramal de la derecha, desde el vértice hasta los puntos de corte “y” e “x
7

Gráfica

Función cuadrática (video)

Funciones Racionales

Una función f es racional si donde y son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios. ≠ 0

A continuación un ejemplo de funciones racionales:

El

El

El

Gráfica de una función Racional

Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida.

Asíntota vertical  

Es una recta vertical  x = a de una función racional  si f ( x )  → ∞    o   si   f(x)  →  -∞  cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.

Asíntota horizontal

Es una recta horizontal  y = c  de una función racional  , si f ( x )  → c   cuando x → ∞   o   cuando x → – ∞

Dada la función racional definida por:

Cuando:

  • , la función  no tiene asíntota horizontal
  • , la función  tiene una asíntota horizontal en el eje “x” y = 0
  • , la función  tiene una asíntota horizontal y es la recta:

    Es decir dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES RACIONALES

1El dominio son todos los valores del conjunto de los a excepción de aquellos que anulen el denominador.
2El rango son todos los valores del conjunto de los a excepción cuando existe asíntotas horizontales
2Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador
3Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador
4Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos.

  1. Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador
  2. Cuando los grados del polinomio tanto del numerador y del denominador sean iguales.
5Crear tabla de valores y graficar

Ejemplo

Analice y Grafique la siguiente función racional

1Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces

Por lo tanto no corta en el eje “x”

2Determine el valor o los valores en el denominador para lo cual la función no está definida.

No está definida en:

3Hallar las asíntotas verticales, si existen

Como está indefinida en:

La asíntota es

4Determinar puntos de cortes en el eje “y”

No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido

5Determinar las asíntotas horizontales, si existe

En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.

Es decir:

y = 0

Existe una asíntota horizontal en el eje “x”
6Crear tabla de valores
7

8Cálculo del dominio y rango

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función racional

1Determine las raíces del numerador, es decir f(x) = 0

Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0)

2Determine el valor o los valores en el denominador para lo cual la función no está definida.

En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar

En nuestro caso escogemos la factorización

No está definida en:

  y

3Hallar las asíntotas verticales, si existen

En este ejemplo son dos asíntotas

Son las rectas y
4Determinar puntos de cortes en el eje “y”

La función corta en el  y = -1/3

Se sustituye o en la función:

5Determinar las asíntotas horizontales, si existe

En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:

 = 0

Existe una asíntota horizontal en el eje “x”
6Tabla de valores
7Gráfica
8Cálculo del dominio y rango

Funciones Radicales

Las funciones radicales son denominadas también funciones irracionales, y son aquellas en la cual existe una raíz de una variable.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES RADICALES

1El dominio depende del índice de la raíz

Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio «Cuando existen raíces pares de un número negativo»

Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números

2El rango

Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio

3Cálculo de puntos de cortes

Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

Radical de índice par
1Determinar el primer valor del intervalo del dominio

 

2Intervalo del dominio es
3Determinar el primer valor del intervalo del rango, sustituyendo el primer valor del intervalo del dominio en la función dada 

4El intervalo del rango es
5Cálculo de puntos de cortes en “x”        y = 0

Corta en (6,0)

6Cálculo de puntos de cortes en “y” x = 0

No corta en y

Función radical con índice par (video)

Funciones Trascendentes

Estos tipos de funciones la variables “x” funciona como exponente, como argumento de las funciones trigonométricas y logarítmicas.

Algunas de las funciones trascendentes se clasifican como: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Las trigonométricas son explicadas para el II periodo

Función Exponencial

La función exponencial es de la forma  f(x) = ax , donde la base a es una constante con signo positivo y diferente del número 1, y el exponente “x” es la variable. Vea el Gráfico#1

Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

1

Si el valor de la base  a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la fuNción  g(x)=2x

2

Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , es una función decreciente. Como muestra la función  f (x)=(1/2)x

3

Punto de corte en el eje “x” No existe

4

Punto de corte en el eje “y” es

= 1

5

La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que:

6

El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales . Dom f =

7

El rango es el conjunto de los números reales positivos .Rgo f= = (0,+∞)

7

Es inyectiva pero no es sobreyectiva

Ejemplo 

Realice el estudio de la función y grafique

1Como 0 < a <  1 , la función es Decreciente
2Punto de corte en “x” No existe

Punto de corte en “y”  x = 0

3Dominio es:

Dom f =

4Rango es:

Rgo f=

5La función siempre pasa por el punto (1,a)

En este caso:

5Se crea la tabla de valores, como el dominio son todos los números de
6

Gráfica

Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:

Donde: 

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

1

El dominio es

2

El rango es

3

Punto de corte en el eje “x” es el punto (0,1)

Siempre que 

4

Punto de corte en el eje “y

No existe

5

Es Creciente cuando 

6

Es Decreciente cuando

7

La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar

8

Es Biyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1Dominio de la función

Siempre es:

2Rango de la función

Siempre es:

3Punto de corte en el eje “x

y = 0

4Punto de corte en el eje “y”

x = 0

No existe punto de corte en el eje “y”

5Como entonces

Por lo tanto es: Decreciente

6

La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar

 

Gráfica

Funciones Especiales

Dentro de las funciones especiales están:

  • Funciones segmentadas o funciones a trozos
  • Función parte entera o mayor entero y
  • Función valor absoluto

En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

1

El dominio es

2

El rango es

3

Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0

Se iguala la expresión a 0

4

Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0

5

El vértice de la curva es el valor de x

6

El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y

7

Es Decreciente en el intervalo

(-∞,x]

8

Es Creciente en el intervalo

[x,∞)

9

No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo

Analice y grafique la siguiente función

1Dominio de la función
2Rango de la función
3Punto de corte en el eje “x

y = 0

4Punto de corte en el eje “y”

x = 0

 

5El vértice de la curva se encuentra ubicado en 
6

Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice

 

7

Es Decreciente en el intervalo

(-∞,4]

8

Es Creciente en el intervalo

[4,∞)

Ejercicios de funciones elementales

  1. Determinar las características de cada función y finalmente grafique
    a.b.c.
    d.e.f.
    g.h.i.
    j.k.l.
  2. Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función
    a.b.
  3. Analizar cada función racional. Luego, crear la gráfica
    a.b.c.
    d.e.f.
    g.h.i.
    j.k.l.
  4. Analiza cada función radical. Luego, realizar su gráfica
    a.b.c.
    d.e.f.
  5. Analiza cada función exponencial, Luego, realice la gráfica.
    a.b.c.
    d.e.f.
  6. Trazar la gráfica de cada función y analizar su comportamiento
    a.b.c.
    d.e.f.
  7. Trace la gráfica de cada función y analice su comportamiento
    a.b.c.
  8. ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en todo su dominio?
    a.b.
    c.d.

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