Funciones elementales
¿Conoces las funciones elementales? En matemáticas es muy común trabajar con las denominadas funciones elementales llamadas también funciones usuales. Además, son funciones básicas y por medio de la combinación de estas se pueden construir otras llamadas funciones no elementales, las funciones no elementales surgen por la combinación de las elementales a través de la suma, resta, multiplicación y división.
Contenido
Clasificación de las funciones elementales
Las funciones elementales se clasifican en:
- Funciones polinómicas
- Funciones racionales
- Funciones radicales
- Funciones trascendentes y
- Funciones especiales
Funciones Polinómicas
La forma de una función polinómica es la siguiente:
Donde: para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n
Toda función polinómica su:
Dominio: es el conjunto
Rango: es el conjunto o un intervalo de
Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.
Funciones elementales polinómicas:
- Función constante
- Función afín y
- Función cuadrática
Función constante
Es una una función polinómica de grado cero y se define como:
, donde
CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CONSTANTE | ||
1 | Es una recta paralela al eje “x” | ![]() |
2 | ![]() | |
3 | ![]() | |
4 | No es inyectiva, ni sobreyectiva | |
Ejemplo
Analice la función y grafique
1 | El dominio es: | |
2 | El rango es: | |
3 | Como la expresión es una constante, se tiene que trazar una recta paralela del eje “x” pasando por | |
4 | Gráfica | |
![]() | ||
Función Afín
Es una función polinómica llamada también función lineal y se define como:
Donde
CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN AFÍN | |||
1 | El dominio es | ||
2 | El rango es | ||
2 | Es Creciente cuando ![]() Decreciente cuando | ![]() | ![]() |
3 | Punto de corte en eje “y” x = 0 entonces y = b Punto de corte en eje “x” y = 0 entonces | ![]() | ![]() |
4 | Es una función constante cuando ![]() | ![]() | |
6 | La curva es una línea recta con una inclinación o pendiente según el valor de m | ||
7 | Función Biyectiva | ||
Ejemplo
Analice y grafique la siguiente función
1 | ![]() ![]() | |
2 | Como ![]() ![]() | |
3 | Puntos de cortes En el eje x y = 0 | ![]() |
4 | Punto de cortes En el eje y x = 0 | ![]() |
5 | Trazar la recta uniendo los puntos de cortes en “x” e “y” | ![]() |
Función cuadrática
Es una función polinómica y la gráfica recibe el nombre de parábola, definida como:
Donde
y
CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA | |||
1 | Cuando ![]() | ![]() | |
2 | Cuando ![]() | ![]() | |
3 | ![]() | ||
4 | Si | ||
5 | Vértice , eje de simetría y ramas de una parábola | ![]() | |
6 | Cálculo del vértice ![]() ![]() V(x,y) | ||
7 | El eje de simetría es una recta paralela al eje “y” que pasa por vértice de la parábola | ||
6 | Si ![]() Si | ![]() | ![]() |
7 | Puntos de cortes en el eje “x” y = 0 Es decir la expresión igualada a 0
| ![]() | |
8 | Puntos de cortes en el eje “y” x = 0 Es decir se sustituye x = 0 en la expresión | ![]() | |
7 | No es inyectiva, ni sobreyectiva Restricción para ser Biyectiva | ||
Ejemplo
Analice y grafique la siguiente función
1 | El dominio es | |
2 | Como ![]() | |
3 | Cálculo del rango, como:
b = 6 ∧ a = 3 Entonces el rango es:
| ![]()
|
4 | Cálculo del vértice = punto mínimo, como se calculó el rango se tiene las coordenadas del vértice = punto mínimo | ![]() |
5 | Puntos de cortes en el eje “x” y = 0 Se aplica la resolvente
| ![]() |
6 | Punto de corte Puntos de cortes en el eje “y” x = 0 Es decir se sustituye x = 0 en la expresión | ![]() |
7 | Trazar la curva
| |
7 | Gráfica | |
Funciones Racionales
Una función f es racional si donde
y
son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios.
≠ 0
A continuación un ejemplo de funciones racionales:
El
El
El
Gráfica de una función Racional
Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida.
Asíntota vertical
Es una recta vertical x = a de una función racional f , si f ( x ) → ∞ o si f(x) → -∞ cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de x que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.
Asíntota horizontal
Es una recta horizontal y = c de una función racional f , si f ( x ) → c cuando x → ∞ o cuando x → – ∞
Dada la función racional f definida por:
Cuando:
, la función f no tiene asíntota horizontal
, la función f tiene una asíntota horizontal en el eje “x” y = 0
, la función f tiene una asíntota horizontal y es la recta:
Es decir dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES RACIONALES | ||
1 | El dominio son todos los valores del conjunto de los ![]() ![]() | ![]() |
2 | El rango son todos los valores del conjunto de los ![]() | |
2 | Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador | |
3 | Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador | |
4 | Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos.
| |
5 | Crear tabla de valores y graficar | |
Ejemplo
Analice y Grafique la siguiente función racional
1 | Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces Por lo tanto no corta en el eje “x” | |
2 | Determine el valor o los valores en el denominador para lo cual la función no está definida. No está definida en: | ![]() |
3 | Hallar las asíntotas verticales, si existen Como está indefinida en: | La asíntota es |
4 | Determinar puntos de cortes en el eje “y” No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido | ![]() |
5 | Determinar las asíntotas horizontales, si existe En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:
| Existe una asíntota horizontal en el eje “x” |
6 | Crear tabla de valores | ![]() |
7 | ![]() | |
8 | Cálculo del dominio y rango | ![]() |
Ejemplo
Analice y grafique la siguiente función racional
1 | Determine las raíces del numerador, es decir f(x) = 0 Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0) | ![]() |
2 | Determine el valor o los valores en el denominador para lo cual la función no está definida. En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar En nuestro caso escogemos la factorización No está definida en:
| ![]() |
3 | Hallar las asíntotas verticales, si existen En este ejemplo son dos asíntotas | Son las rectas ![]() ![]() |
4 | Determinar puntos de cortes en el eje “y” La función corta en el y = -1/3 | Se sustituye o en la función: |
5 | Determinar las asíntotas horizontales, si existe En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:
| Existe una asíntota horizontal en el eje “x” |
6 | Tabla de valores | ![]() |
7 | Gráfica | |
![]() | ||
8 | Cálculo del dominio y rango | ![]() |
Funciones Radicales
Las funciones radicales son denominadas también funciones irracionales, y son aquellas en la cual existe una raíz de una variable.
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES RADICALES | |
1 | El dominio depende del índice de la raíz Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio «Cuando existen raíces pares de un número negativo» Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números |
2 | El rango Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio |
3 | Cálculo de puntos de cortes Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0 |
![]() | |
Ejemplo
Analice y grafique la siguiente función
1 | Determinar el dominio Este ejercicio es de índice par | ![]() |
2 | Dominio es | ![]() |
3 | Determinar el rango, se sustituye 2/3 en la función | ![]() |
4 | Rango es | ![]() |
5 | Cálculo de puntos de cortes en “x” y = 0 Corta en x = 6 | ![]() |
6 | Cálculo de puntos de cortes en “y” x = 0 No corta en y | ![]() |
![]() | ||
Funciones Trascendentes
Estos tipos de funciones la variables “x” funciona como exponente, como argumento de las funciones trigonométricas y logarítmicas.
Algunas de las funciones trascendentes se clasifican como: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Las trigonométricas son explicadas para el II periodo
Función Exponencial
La función exponencial es de la forma f(x) = ax , donde la base a es una constante con signo positivo y diferente del número 1, y el exponente “x” es la variable. Vea el Gráfico#1
Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES | ||
1 | Si el valor de la base a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la fuNción g(x)=2x | |
2 | Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , f es una función decreciente. Como muestra la función f (x)=(1/2)x | ![]() |
3 | Punto de corte en el eje “x” No existe | |
4 | Punto de corte en el eje “y” es y = 1 | |
5 | La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que: | ![]() |
6 | El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales | |
7 | El rango es el conjunto de los números reales positivos | |
7 | Es inyectiva pero no es sobreyectiva | |
Ejemplo
Realice el estudio de la función y grafique
1 | Como 0 < a < 1 , la función es Decreciente | |
2 | Punto de corte en “x” No existe Punto de corte en “y” x = 0 | ![]() |
3 | Dominio es: Dom f = | |
4 | Rango es: Rgo f= | |
5 | La función siempre pasa por el punto (1,a) En este caso: | |
5 | Se crea la tabla de valores, como el dominio son todos los números de ![]() | |
6 | Gráfica | |
![]() | ||
Función Logarítmica
Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:
Donde:
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS | ||
1 | El dominio es | |
2 | El rango es | ![]() |
3 | Punto de corte en el eje “x” es el punto (0,1) Siempre que | |
4 | Punto de corte en el eje “y” No existe | |
5 | Es Creciente cuando | |
6 | Es Decreciente cuando | |
7 | La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar | |
8 | Es Biyectiva | |
Ejemplo
Analice y grafique la siguiente función
1 | Dominio de la función Siempre es: | ![]() |
2 | Rango de la función Siempre es: | ![]() |
3 | Punto de corte en el eje “x” y = 0 | ![]() |
4 | Punto de corte en el eje “y” x = 0 No existe punto de corte en el eje “y” | ![]() |
5 | Como ![]() ![]() Por lo tanto es: Decreciente | |
6 | La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
| ![]() |
Gráfica | ||
![]() | ||
Funciones Especiales
Dentro de las funciones especiales están:
- Funciones segmentadas o funciones a trozos
- Función parte entera o mayor entero y
- Función valor absoluto
En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto
Función de valor absoluto
La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO | ||
1 | El dominio es | |
2 | El rango es | |
3 | Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0 Se iguala la expresión a 0 | ![]() |
4 | Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0 | |
5 | El vértice de la curva es el valor de x | |
6 | El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y” | |
7 | Es Decreciente en el intervalo (-∞,x] | |
8 | Es Creciente en el intervalo [x,∞) | |
9 | No es inyectiva, ni sobreyectiva | |
Ejemplo
Analice y grafique la siguiente función
1 | Dominio de la función | ![]() |
2 | Rango de la función | ![]() |
3 | Punto de corte en el eje “x” y = 0 | ![]() |
4 | Punto de corte en el eje “y” x = 0
| ![]() |
5 | El vértice de la curva se encuentra ubicado en ![]() | |
6 | Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice
| |
7 | Es Decreciente en el intervalo (-∞,4] | |
8 | Es Creciente en el intervalo [4,∞) | |
![]() | ||
Ejercicios de funciones elementales
- Determinar las características de cada función y finalmente grafique
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. - Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función
a. b. - Analizar cada función racional. Luego, crear la gráfica
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. - Analiza cada función radical. Luego, realizar su gráfica
a. b. c. d. e. f. - Analiza cada función exponencial, Luego, realice la gráfica.
a. b. c. d. e. f. - Trazar la gráfica de cada función y analizar su comportamiento
a. b. c. d. e. f. - Trace la gráfica de cada función y analice su comportamiento
a. b. c. - ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en todo su dominio?
a. b. c. d.