Límites

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¿Conoces los límites en matemáticas? Seguramente has escuchado o has visto, que alguna vía de comunicación tiene algunos límites de velocidad. Por ejemplo, observa la siguiente imagen:

Entonces ¿Qué es para ti un límite? Un límite es una referencia lo cual muestra una separación con algo.

Contenido del tema

Límites

El límite es un valor donde se aproxima una función ). Observa la siguiente función:

Observa el siguiente límite

A continuación, está la gráfica de la función y su curva tiende aproximarse a la asíntota de recta $$y=1$$ pero nunca llega a tocarla, ahora al lado derecho está su tabla de valores, fíjate que en x existen valores desde 1 hasta 50 y los valores de ) tienden acercarse a 1

GráficaTabla de valores

Los límites son expresados así:

los límites se expresa así

La forma correcta de leer estas expresiones es de la forma siguiente

“límite cuando tiende a b de ) es L”

Cuando x tiende a b  quiere decir que los valores de la función ) se aproximan  a L .

Ahora relaciona esto con la función anteriormente graficada:

Observa el siguiente límite

Entonces tomando los datos de la tabla de valores, observa que la variable “xcrece hasta llegar a cincuenta ( → 50 ) es decir que los valores de x tiende a cincuenta, y la función  ) se aproxima a 1   ( ) → 1 ).

Su expresión queda finalmente de la forma siguiente:

queda así

Ejemplo: Elabora la tabla de valores con números decimales expresados en centésimas y realizar la gráfica de la siguiente función:

$$f(x)=2x^{2}$$

Cuando el valor de la variable tiende a 1

Los valores de la variable 0,97 ; 0,98 ;  0,99 ; son acercamientos a 1 por la izquierda; y los valores 1,03 ; 1,02; 1,01 son acercamientos a 1 por la derecha.

Luego,  si x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, la función ( x ) se aproxima a

Simbólicamente esta situación se expresa:

se expresa así

Límites laterales

Las aproximaciones realizadas para determinar el límite de una función está relacionada con el concepto de límite lateral, observa la imagen:

Se expresa:

Por la izquierda:

por la izquierda

Por la derecha:

por la derecha

El signo negativo ( – ) es una referencia del lado izquierdo

El signo positivo ( + ) es la referencia del lado derecho

La lectura que se le da a ambas expresiones simbólicas es:

  • límite cuando tiende a por la izquierda es L
  • límite cuando tiende a por la derecha es M

Existencia de límites

La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función, pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.

Ejemplo: Realizar la gráfica de ) y determinar los límites laterales cuando tiende a 2.

ejemplo dereminar los limites laterales

Gráfica:

  • Límite lateral izquierdo:

Límite lateral izquierdo

En la gráfica puedes observar que cuando tiende a 2–  la función  ) = 2

  • Límite lateral derecho:

limite lateral derecho

En la gráfica puedes observar que cuando tiende a 2+  la función  ) = 1

El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función ) NO EXISTE

Cálculo de límites

Los límites se pueden resolver ya sea aplicando propiedades o por el principio de sustitución.

Aplicando propiedades

Propiedad 1

Propiedad 2Donde: c = constante

1.Límite de una constante
2.Límite de una variable
3.Límite de una suma de funciones
4. Límite de una resta de funciones
5.Límite de una constante multiplicada por una función
6.Límite de una función multiplicada por otra función
7.Límite de una función dividida por otra función
8.Límite de una potencia
9.Límite de la potencia de una función
10.Límite de una raíz
11.Límite de una raíz enésima de una función

Principio de sustitución directa

Este principio consiste en sustituir  directamente en la función ) y así obtener el valor del límite.

Ejemplo: Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y el método de sustitución directa

calcular límite aplicando propiedad

calcular límite aplicando propiedad # 2

Solución (aplicando propiedades)
Solución 1


Solución 2

Solución (aplicando el método de sustitución directa)

Solución 1.1


Solución 1.2

Igualdades simbólicas que se deben considerar en el cálculo de límites

Donde k es una constante

$$k.0=0$$$$\frac{k}{0}=\infty $$
$$\frac{0}{k}=0$$$$k.\infty=\infty$$
$$\frac{k}{\infty}=0$$$$\frac{\infty}{k}=\infty$$
$$k\pm \infty=\pm \infty$$$$(\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty$$

Límites de funciones indeterminadas

Indeterminada 0/0

Cuando se calcula el límite de alguna función y presenta resultado como el siguiente:

$$\frac{0}{0}$$

Es una indeterminación que se debe eliminar aplicando ya sea factorización o racionalización para así obtener una expresión equivalente.

Pasos para eliminar la indeterminación

  1. Efectúe la sustitución directa.
  2. Hallar la expresión equivalente a través de la factorización o racionalización.
  3. Determinar los límites laterales.

Nota: Si son límites de funciones racionales y radicales solo debes aplicar los pasos # 1 y # 2.

Límites de funciones racionales con indeterminación 0/0

Los límites de funciones racionales indeterminados son polinomios ubicados en el numerador y en el denominador, su forma es la siguiente:

Límites de funciones raciones

Para la eliminación de la indeterminación se debe aplicar la factorización.

Ejemplo: Determinar el siguiente límite

Ejemplo 1 determinar límite

1.Efectúa la sustitución directasustitución en el limite
2.Factorizaciónfactorización del límite
3.Sustituciónsustitución en el limite
4.Resultadoresultado

Límites de funciones radicales con indeterminación 0/0

Estos tipos de límites indeterminados están compuestos por funciones radicales ) y g ( x ) y su forma es la siguiente:

limite funciones radicales

Para eliminar la indeterminación se debe racionalizar ya sea en el numerador o en el denominador o muchas veces también se debe racionalizar ambos.

Ejemplo: Calcular el siguiente límite

Ejercicio limite radical

1.Efectúa la sustitución directaEfectuar la sustitución
2.Racionalizaciónracionalización 1
racionalización 2
3. Sustituciónsustitución en el límite
4.Resultadoresultado

Límites de funciones trigonométricas indeterminadas 0/0

Se calcula por sustitución directa, si el resultado es indeterminado 0/0 se elimina aplicando identidades trigonométricas.

Ejemplo: Calcular el siguiente límite trigonométrico

Calcular límite trigonométrico

1.Por efecto de gusto se transforma a grados sexagesimaleslímite trigonométrico en grados
2.Sustituciónsustitución el limite trigonometrico
3.Se aplica identidades para eliminar la indeterminadaAplicación de identidades T
4.Se aplica la sustituciónSustitución el limite T
5.Resultadoresultado del limite T

Límites infinitos y límites en el infinito

Límites infinitos

Cuando una función ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota cuando x tiende a un valor «b«, el límite no existe.

La cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función. Por ejemplo observe la cota de la siguiente función:

x ) = x2

El dominio es ℜ

El rango es [ 2 , ∞ )

Cota: 2 es su cota inferior para todos los elementos del rango de la función

Forma de escribir un límite sin cota en crecimiento y en decrecimiento

En crecimiento la forma es:

Límite en crecimiento

En decrecimiento la forma es:

decrecimiento del límite

Ejemplo: Crear la tabla de valores, gráfica y determinar el límite de la función

ejemplo 1 determinar el límite

Tabla de valoresGráfica
No existe límite ya que:

Por la izquierda

Por la derecha

Límites en el infinito

Los límites en el infinito es cuando la variable ( ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota y la función ) se acerca a valores específicos L y M. Estos límites se expresan de la siguiente manera:

límites en el infinito

Y se lee así:

  • “El límite de la función es M cuando x tiende a menos infinito»
  • “El límite de la función es L cuando x tiende al infinito»

Se presentan dos casos para calcular estos tipos de límites:

  1. Caso # 1. Cuando posee la siguiente forma:
    caso # 1
    Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando tiende al infinito es cero
  2. Caso # 2. Cuando su forma es:caso # 2En este caso se presenta una nueva indeterminación y es$$\frac{\infty }{\infty}$$

Indeterminada ∞/∞

Para poder eliminar la indeterminación ∞/∞ se debe dividir el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado, donde también debe considerarse tres criterios:

A. Si el grado del polinomio P( ) > Q( ) el límite de la función racional es
grado de polinomio mayor queB. Si el grado del polinomio P( ) < Q( ) el límite de la función racional esgrado de polinomio menor queC. Si el grado del polinomio P( ) = Q( ) el límite de la función racional es
grado de polinomio igual queDonde m y n son los coeficientes de los términos de mayor grado de los polinomios P( ) y  Q( ) respectivamente.

Ejemplos para determinar límites en el infinito ∞/∞

Límite en el infinito ejemplo

Según el criterio (A) el resultado es:

Observa el desarrollo:

  • Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
    dividir cada termino


Observa la función del otro límite y según el criterio (B) el resultado es: 0

Desarrollo:

  • Dividir cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
    criterio b criterio b sustitución


Según el criterio (C) el resultado es: 5/2

Para probarlo debes aplicar lo mismo a los otros ejemplos anteriores, es decir dividir el numerador y el denominador de la función racional entre x

Cálculo de asíntotas de una función

Asíntotas horizontales

Cuando la recta es una asíntota horizontal de la función ), si el límite es así:

Ejemplo: Determinar la asíntota horizontal de la siguiente función

  • Se aplica el límite en el infinito y se calcula
  • Se aplica el criterio (C) y el resultado es: $$\frac{4}{3}$$
  • Esto quiere decir que cuando → ± ∞ , f ) → 4/3
  • Por lo tanto ) = 4/3 es una recta llamada asíntota horizontal de la función )
  • Vea la gráfica

Asíntotas verticales

Cuando la recta x a es una asíntota vertical de la función ), si el límite es así:

Ejemplo: Determinar la asíntota vertical de la siguiente función:

  • Se factoriza el denominador para saber donde la función se hace indeterminada
    Entonces la función no está definida para los valores de x = 2 ∧ x = -1, por lo tanto esas son las asíntotas de la función
  • Se aplica el límite de los valores encontrados y se determina sus límites laterales



  • Vea la gráfica

Asíntotas oblicuas

Cuando una función posee asíntota oblicua si

donde:  ∈ ℜ – {0}

= pendiente de la recta

Entonces mx b     es la ecuación de la asíntota de la función ) si:

Pasos para determinar las asíntotas oblicuas

  • Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f ( x ) entre x, si da una constante quiere decir que posee una asíntota oblicua y esta constante es la pendiente ( m ) de la asíntota.

  • Se determina ( intercepto con el eje ), aplicando el límite

  • Se escribe la ecuación explícita de la recta

f )=mxb

Ejemplo: Determinar si la función ) posee asíntota oblicua y si es así escriba su ecuación realice la tabla de valores y su gráfica

  • Se determina si posee asíntota oblicua

Si posee asíntota oblicua y la pendiente de la misma es = 1/3

  • Se determina b

  • La ecuación de la asíntota es  f ) = x/3
  • También posee una asíntota vertical x = 0
  • Los interceptos en el eje “x” es igualar el numerador a cero. x = ± 3
  • No existe intercepto en el eje “y
Tabla de valoresGráfica

Actividades

I. La función f (x) definida como:

Ejercicio 1

a. Grafica la función

b. Determine:

determinar

c. ¿Existe el límite Existencia de límit? Justifica tu respuesta.


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