Límites

¿Conoces los límites en matemáticas? Seguramente has escuchado o has visto, que alguna vía de comunicación tiene algunos límites de velocidad. Por ejemplo, observa la siguiente imagen:

Entonces ¿Qué es para ti un límite? Un límite es una referencia lo cual muestra una separación con algo.

Límites

El límite es un valor donde se aproxima una función f ( x ). Observa la siguiente función:

Mira abajo a la izquierda, está la gráfica de la función y su curva tiende aproximarse a la asíntota de recta y =1, pero nunca llega a tocarla, ahora al lado derecho está su tabla de valores, fíjate que en x existen valores desde 1 hasta 50 y los valores de f ( x ) tienden acercarse a 1

Gráfica	Tabla de valores

Los límites son expresados así:

La forma correcta de leer estas expresiones es de la forma siguiente

“límite cuando x tiende a b de f ( x ) es L”

Cuando x tiende a b  quiere decir que los valores de la función f ( x ) se aproximan  a L .

Ahora relaciona esto con la función anteriormente graficada:

Entonces tomando los datos de la tabla de valores, observa que la variable “x” crece hasta llegar a cincuenta ( x → 50 ) es decir que los valores de x tiende a cincuenta, y la función  f ( x ) se aproxima a 1   ( f ( x ) → 1 ).

Su expresión queda finalmente de la forma siguiente:

Ejemplo

Elabora la tabla de valores con números decimales expresados en centésimas y realizar la gráfica de la siguiente función:

Cuando el valor de la variable x tiende a 1

Los valores de la variable 0,97 ; 0,98 ;  0,99 ; son acercamientos a 1 por la izquierda; y los valores 1,03 ; 1,02; 1,01 son acercamientos a 1 por la derecha.

Luego,  si x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, la función f ( x ) se aproxima a 2 

Simbólicamente esta situación se expresa:

Límites laterales

Las aproximaciones realizadas para determinar el límite de una función está relacionada con el concepto de límite lateral, observa la imagen:

 

Se expresa:

Por la izquierda:Por la derecha:

El signo negativo ( – ) es una referencia del lado izquierdo

El signo positivo ( + ) es la referencia del lado derecho

La lectura que se le da a ambas expresiones simbólicas es:

• límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
• límite cuando x tiende a b por la derecha es M

Existencia de límites

La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función, pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.

Ejemplo

Realizar la gráfica de f ( x ) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2

Gráfica:

• Límite lateral izquierdo:

En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2^–  la función  f ( x ) = 2

• Límite lateral derecho:

En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2⁺  la función  f ( x ) = 1

El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE

Cálculo de límites

Los límites se pueden resolver ya sea aplicando propiedades o por el principio de sustitución.

Aplicando propiedades

         

c = constante

1.	Límite de una constante
2.	Límite de una variable
3.	Límite de una suma de funciones
4.	Límite de una resta de funciones
5.	Límite de una constante multiplicada por una función
6.	Límite de una función multiplicada por otra función
7.	Límite de una función dividida por otra función
8.	Límite de una potencia
9.	Límite de la potencia de una función
10.	Límite de una raíz
11.	Límite de una raíz enésima de una función

Principio de sustitución directa

Este principio consiste en sustituir  x = a directamente en la función f ( x ) y así obtener el valor del límite.

Ejemplo

Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y por el método de sustitución directa

1. 
2. 

Solución (aplicando propiedades)

a. 

 

b. 

Solución (aplicando el método de sustitución directa)

a.   

b.   

Igualdades simbólicas que se deben considerar en el cálculo de límites

Donde k es una constante

Límites de funciones indeterminadas

Indeterminada 0/0

Cuando se calcula el límite de alguna función y presenta resultado como el siguiente:

Es una indeterminación que se debe eliminar aplicando ya sea factorización o racionalización para así obtener una expresión equivalente

Pasos para eliminar la indeterminación

1. Efectúe la sustitución directa
2. Hallar la expresión equivalente a través de la factorización o racionalización
3. Determinar los límites laterales

Nota: Si son límites de funciones racionales y radicales solo debes aplicar los pasos # 1 y # 2.

 Límites de funciones racionales con indeterminación 0/0

Los límites de funciones racionales indeterminados son polinomios ubicados en el numerador y en el denominador, su forma es la siguiente:

Para la eliminación de la indeterminación se debe aplicar la factorización.

Ejemplo

Calcula el siguiente límite

 

 

1.	Efectúa la sustitución directa
2.	Factorización
3.	Sustitución
4.	Resultado

Límites de funciones radicales con indeterminación 0/0

Estos tipos de límites indeterminados están compuestos por funciones radicales f ( x ) y g ( x ) y su forma es la siguiente:

Para eliminar la indeterminación se debe racionalizar ya sea en el numerador o en el denominador o muchas veces también se debe racionalizar ambos.

Ejemplo

Calcula el siguiente límite:

1.	Efectúa la sustitución directa
2.	Racionalización
3.	Sustitución
4.	Resultado

Límites de funciones trigonométricas indeterminadas 0/0

Se calcula por sustitución directa, si el resultado es indeterminado 0/0 se elimina aplicando identidades trigonométricas.

Ejemplo

Calcula el siguiente límite trigonométrico:

1.	Por efecto de gusto se transforma a grados sexagesimales
2.	Sustitución
3.	Se aplica identidades para eliminar la indeterminada
4.	Se aplica la sustitución
5.	Resultado

Límites infinitos y límites en el infinito

Límites infinitos

Cuando una función f ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota cuando x tiende a un valor «b«, el límite no existe.

La cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función. Por ejemplo observe la cota de la siguiente función:

f ( x ) = x² + 2

El dominio es ℜ

El rango es [ 2 , ∞ )

Cota: 2 es su cota inferior para todos los elementos del rango de la función

Forma de escribir un límite sin cota en crecimiento y en decrecimiento

En crecimiento la forma es:

En decrecimiento la forma es:

Ejemplo

Crea la tabla de valores, gráfica y determina el límite de la función f ( x )

Tabla de valores	Gráfica
Observa el límite: No existe Por la izquierda Por la derecha

Límites en el infinito

Los límites en el infinito es cuando la variable ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota y la función f ( x ) se acerca a valores específicos L y M. Estos límites se expresan de la siguiente manera:

      

Y se lee así:

• “El límite de la función es M cuando x tiende a menos infinito»
• “El límite de la función es L cuando x tiende al infinito»

Se presentan dos casos para calcular estos tipos de límites:

1. Caso # 1. Cuando posee la siguiente forma:
   Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero
2. Caso # 2. Cuando su forma es:
   En este caso se presenta una nueva indeterminación y es

Indeterminada ∞/∞

Para poder eliminar la indeterminación ∞/∞ se debe dividir el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado, donde también debe considerarse tres criterios:

1. Si el grado del polinomio P( x ) > Q( x ) el límite de la función racional es
   
2. Si el grado del polinomio P( x ) < Q( x ) el límite de la función racional es
3. Si el grado del polinomio P( x ) = Q( x ) el límite de la función racional es
   Donde m y n son los coeficientes de los términos de mayor grado de los polinomios P( x ) y  Q( x ) respectivamente.

Ejemplos para determinar límites en el infinito ∞/∞

•  

Según el criterio (A) el resultado es: ∞

Observa el desarrollo:

• Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
  

•  

Según el criterio (B) el resultado es: 0

Observa el desarrollo:

• Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
  
  

•  

Según el criterio (C) el resultado es: 5/2

Para probarlo debes aplicar lo mismo a los otros ejemplos anteriores, es decir dividir el numerador y el denominador de la función racional entre x² 

Cálculo de asíntotas de una función

Asíntotas horizontales

Cuando la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f ( x ), si el límite es así:

Ejemplo

Determina la asíntota horizontal de la siguiente función:

• Se aplica el límite en el infinito y se calcula
  
• Se aplica el criterio (C) y el resultado es: 4/3
• Esto quiere decir que cuando x → ± ∞ , f ( x ) → 4/3
• Por lo tanto f ( x ) = 4/3 es una recta llamada asíntota horizontal de la función f ( x )
• Vea la gráfica
  

Asíntotas verticales

Cuando la recta x = a es una asíntota vertical de la función f ( x ), si el límite es así:

Ejemplo

Determina la asíntota vertical de la siguiente función:

• Se factoriza el denominador para saber donde la función se hace indeterminada
  Entonces la función no está definida para los valores de x = 2 ∧ x = -1, por lo tanto esas son las asíntotas de la función
• Se aplica el límite de los valores encontrados y se determina sus límites laterales
  
  
  
• Vea la gráfica
  

Asíntotas oblicuas

Cuando una función posee asíntota oblicua si

donde:  m ∈ ℜ – {0}

m = pendiente de la recta

Entonces y = mx + b     es la ecuación de la asíntota de la función f ( x ) si:

Pasos para determinar las asíntotas oblicuas

• Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f ( x ) entre x, si da una constante quiere decir que posee una asíntota oblicua y esta constante es la pendiente ( m ) de la asíntota.

• Se determina b ( intercepto con el eje y ), aplicando el límite

• Se escribe la ecuación explícita de la recta

f ( x )=mx + b

Ejemplo

Determina si la función f ( x ) posee asíntota oblicua y si posee escriba su ecuación realice la tabla de valores y su gráfica

• Se determina si posee asíntota oblicua

Si posee asíntota oblicua y la pendiente de la misma es m = 1/3

• Se determina b

• La ecuación de la asíntota es  f ( x ) = x/3
• También posee una asíntota vertical x = 0
• Los interceptos en el eje “x” es igualar el numerador a cero. x = ± 3
• No existe intercepto en el eje “y”

Tabla de valores	Gráfica