Funciones

¿Sabías qué las funciones son usadas con mucha frecuencia en nuestra vida cotidiana? Diariamente, emitimos expresiones donde están involucradas las mismas, en ideas, emociones, cuando el doctor nos da un resultado de un estudio o simplemente cuando vamos de viaje y le agregan gasolina a un vehículo.

doctor

Definición de funciones

Una magnitud «y» se llama función de la variable «x», si a cada valor de «x» corresponde, a cierta ley de correspondencia, un único valor determinado de «y». En este caso se dice que «y es función de x» y esto se puede expresar de la siguiente manera:

\small y= f(x)

Características

Fig#1

Sean \small X=\left \{ 1,2,3 \right \}  y  \small Y=\left \{ a,b,c,d \right \}  si  \small g:X\rightarrow Y  es una función de \small X en \small Y, se tiene:

El conjunto X se le denomina: conjunto de partida o dominio

El conjunto Y, se le denomina: conjunto de llegada o codominio. 

Los elementos 1,2,3 X  y se le denomina preimágenes

Los elementos  b, c, d Y se les denomina imágenes

Todos los elementos a,b,c,dY se les denomina codominio

El dominio son todos los elementos del conjunto de partida, es decir es el conjunto y se escribe Dom g \small \left \{ 1,2,3 \right \}, también como Dom g = X

El codominio llamado también contradominio son todos los elementos existentes en el conjunto de llegada, es decir es el conjunto Y , y se denota como Cod g \small \left \{ a,b,c,d \right \}, se puede escribir también Cod g = Y

El rango también llamado recorrido son todos los elementos que son imágenes Rg g \small \left \{ b,c,d \right \}

Diferentes maneras de expresar funciones

Una función de un conjunto “ X  en otro conjunto “ Y  es una correspondencia que asigna cada elemento \small x\in X un sólo elemento \small y\in Y.

Los elementos  \small y\in Y son las imágenes de x bajo f

Las funciones generalmente se escriben con letras minúsculas como f, g, h, . . . y se expresan de la siguientes maneras:

\small f:X\rightarrow Y          \small f:x\rightarrow f(x)           \small x\rightarrow f(x)               \small X\overset{f}{\rightarrow}Y

Su significado indica que manda y o que  manda f (x) . La expresión f (x) significa la imagen de x

Por ejemplo, \small f(x)=x^{2}

manda a x2 , es decir que cada pareja ordenada se expresa \small \left ( x,x^{2} \right ). El valor de la función \small f(x) cuando \small x=2 es \small f(2)=2^{2}=4  y el par ordenado es \small \left ( 2,4 \right )

Es o no función

Una función es una regla que asigna cada elemento del conjunto de partida un elemento del conjunto de llegada, es decir que toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

¿Cómo conocer si es una función?

Se debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

  1. Es una función cuando cada elemento del conjunto de partida se relaciona únicamente con una imagen
  2. Sí al menos un elemento del conjunto de partida no está relacionado No es función.

¿Cómo saber si es función en un diagrama sagital?

Función y relación
Figura # 2

Fíjate en la Figura # 2, la relación es una función debido a que cada elemento del conjunto de partida A sólo se relaciona con un elemento del conjunto de llegada B.

La otra relación g de la Figura # 2, No es una función ya que los elementos 1 y 3 del conjunto de partida A poseen más de una imagen en el conjunto de llegada B.

 

Figura # 3

En la relación h de la Figura # 3 No es una función debido que el elemento w del conjunto de partida A no posee imagen. 

¿Cómo saber si es función una expresión algebraica?

Para saber si una expresión algebraica es función lo primero que se debe hacer es la tabla de valores y graficar, posteriormente aplicar la prueba de la línea vertical, si esta línea sólo toca un punto entonces es una función de lo contrario no es función.

Por ejemplo:

\small f(x)=\pm \sqrt{x+2}

  • Paso#1: Crear la tabla de valores
    Fig#4

     

  • Paso#2: Gráfica y trazado de línea vertical

    Fig#5

Como conclusión la expresión dada \small f(x)=\pm \sqrt{x+2}  No es función ya que al aplicar la prueba de la línea vertical toca dos puntos en la curva

Representación de funciones

Existen muchas formas para representar a las funciones, entre estas representaciones están las de:

  1. Representación verbal. Se realiza por medio de una expresión explícita de la regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida o dominio, con su correspondiente imagen. Por ejemplo «El doble de un número»
  2. Representación algebraica. Es cuando se expresa a través de una fórmula. Por ejemplo ( ) =2x
  3. Representación en tabla de valores. Se refiere a dos filas o dos columnas, en la primera fila o la primera columna se distribuye los valores de la variable independiente “ x ”  y en la segunda fila o columna los valores de la variable dependiente “ ”. A continuación una tabla de valores de dos columnas.
  4. Representación gráfica. Es obtenida al ubicar en el plano cartesiano un par ordenado ( ), proveniente de la tabla de valores, al representar cada par ordenado se obtiene la siguiente gráfica.

Ejemplo de funciones en la vida diaria

Un ejemplo muy fácil de funciones es cuando vamos a comprar cebollas al mercado por el precio de $1000 el kilogramo, entonces la ley que determina el valor de la cebolla es la siguiente expresión matemática:

\small y=1000x

donde:    \small y=costo  y  \small x=peso(kg)

Ahora observe la compra que realizaron 6 personas, cada pago que efectuaron está en función a las cantidades de cebollas que seleccionaron, dicho en otras palabras cada costo de pago se ejecutó en función al peso.

x = peso en kilogramos y = costo de la cebolla
\small x0,875kg \small y=1000\cdot 0,875kg= $ 875
0,75kg \small y=1000\cdot 0,75kg= $ 750
0,432kg \small y=1000\cdot 0,432kg= $ 432
0,255kg \small y=1000\cdot 0,255kg= $ 255
1,957kg \small y=1000\cdot 1,957kg= $ 1957
2,540kg \small y=1000\cdot 2,540kg= $ 2540

La ley de correspondencia que determina el precio de las cebollas en función al peso en palabras sería de la siguiente manera:

«Para determinar el precio de las cebollas es necesario multiplicar el peso de las cebollas por el valor de la misma en este caso $ 1000»

Variables dependientes e independientes

Las variables dependientes dependen de los valores de las variables independientes, la variable independiente es conocida también como la Causa y la variable dependiente como Efecto. La variable independiente es “x” y la dependiente es “y”.
La variable independiente «x» es controlada por el usuario ejemplo de esto es una máquina exprimidora de caña de azúcar, donde la variable independiente «x» es la caña de azúcar y la variable dependiente «y» es el jugo que sale al exprimir la caña, a continuación observe la siguiente imagen:

Fig#6 Maquina exprimidora

Otro ejemplo es cuando creamos una tabla de valores y le asignamos valores a la “x”, mientras que la variable dependiente «y» cambia en respuesta a la independiente «x».

Finalmente llamaremos a las variables de la siguiente manera:

x= variable 

y= función

Función real de variable real

Se llaman así cuando la variable y la función están definidas en el conjunto de los números reales

la función:

:  A  →  ℜ

Donde:

ℜ = Conjunto de los números reales

A ⊆ ℜ

Ejercicios


I. Dado el conjunto M=\small \left \{ -2,0,2,3,4 \right \} y la ley de correspondencia \small f(x)=x^{2}  Determine:

  1. El conjunto N
  2. Escriba en pares ordenados cada relación
  3. Represente en un diagrama sagital
  4. Hallar el dominio, codominio y rango

II. Grafique las siguientes funciones y determine:
1. Dominio
2. Rango
3. Codominio
4. Si es o no función

a. b.
c. d.

III. Hallar los valores numéricos de cada función:

  1. \small f(x)=2^{x}                       Determine:  \small f(2)f(-\frac{1}{2})\small f(0)
  2. \small f(x)=-\sqrt{x+3}          Determine: \small f(0)\small f\left ( \frac{1}{3} \right )\small f(6)
  3. \small f(t)=\sqrt{z}+6               Determine: \small f(49) ; \small f(4) ;\small f\left ( \frac{4}{9} \right )

IV. Representar por medio de un diagrama sagital la siguiente función, a partir de sus pares ordenados:

  1. \small f=\left \{ \left (w,I \right ),\left ( x,II \right ),\left ( y,III \right ),\left ( z,IV \right ) \right \}

V. Determine en cada caso si el conjunto de pares ordenados corresponde a una función del conjunto X en el                     conjunto Y

  1. \small X=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}, Y=\left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \} f=\left \{ \left ( 1,0 \right ),\left ( 2,0 \right ),\left ( 3,0 \right ),\left ( 4,0 \right ),\left ( 5,0 \right ) \right \}
  2. \small A=\left \{ 2,4,6,8,10 \right \}, B=\left \{ 4,16,36,64,100 \right \}g=\left \{ \left ( 2,4 \right ),\left ( 4,16 \right ),\left ( 6,36 \right ),\left ( 8,64 \right ),\left ( 10,100 \right ) \right \}
  3. \small C=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}, D=\left \{ 5,10,15,20,25 \right \} f=\left \{ \left ( 1,5 \right ),\left ( 1,10 \right ),\left ( 2,15 \right ),\left ( 3,20 \right ),\left ( 4,25 \right ),\left ( 5,25 \right ) \right \}

VI.  Determine las imágenes \small f(1); f\left ( -2 \right );f\left ( g+10 \right ) mediante la función \small f(x)=5x-3

 

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