Máximo Común Divisor

¿Quieres conocer más del Máximo Común Divisor? En navidad Javier compró 52 caramelos y Rafael 36, necesitan distribuir en una bolsita, las mismas cantidades de caramelos con la mayor cantidad posible, ¿Cuántos caramelos deben existir por cada bolsita?

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el común más grande de todos los divisores que tienen dichos números. El máximo común divisor de dos números se escribe: M.C.D (a,b), cuando es de tres números se escribe M.C.D (a,b,c) y así sucesivamente.

Obtener el Máximo Común Divisor por medio de una tabla

Para obtener el máximo común divisor debes manejar claramente los criterios de divisibilidad principalmente del 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11

Observa como debes obtener el máximo común divisor por medio de una tabla de divisores

  1. Dividir el número dado entre el mismo
  2. Dividirlo entre los números antes mencionados ( 11, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2)
  3. Dividir el número entre uno.

Ejemplo

Determine el M.C.D.(12,18) por medio de una tabla de múltiplos

  • Crear la tabla de divisores de ambos números.
    Paso # 1 Dividimos el 12 y 18 entre ellos mismos.
    Paso # 2 Aplicamos los criterios de divisibilidad de los números  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11
    Paso # 3 Dividimos los números entre 1
Números  Pasos
1 2 3
Números divisibles del 12 12 6 4 3 2 1
12 1 2 3 4 6 12
Números divisibles del 18 18 6 3 2 1
18 1 3 6 9 18

Entonces la tabla quedaría de la siguiente manera:

Divisores
12 1 2 3 4 6 12
18 1 3 6 9 18

Los comunes  de ambos números son los que están sombreados

  • El que está sombreado en color rojo es el máximo común divisor M.C.D (12,18) = 6

Obtener el máximo común divisor de dos o mas números por medio de la descomposición en sus factores primos

Para determinar el máximo común divisor por medio de la descomposición en sus factores primos se debe  aplicar los siguientes pasos:

  1. Descomponer el número dividiéndolos entre los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
  2. Igualar el número en su factores primos
  3. Calcular el M.C.D. seleccionar solamente el común con el menor exponente, si no existe comunes se selecciona el 1, ya que el 1 es divisible entre todos los números.

Ejemplo

Determine el M.C.D (12,18) por medio de la descomposición en sus factores primos

Pasos Operación
1. Se descompone el 12 y 18
2. Se iguala el número en sus factores primos
3. Seleccionar el común con el menor exponente

22 y 2

El común con el menor exponente es 2

32 y 3

El común con el menor exponente es 3

Cálculo del máximo común divisor M.C.D. ( 12, 18 ) = 2 . 3 = 6

Formas de calcular el Máximo Común Divisor

Cálculo del máximo común divisor de dos números

Cálculo del Máximo Común Divisor de más de dos números (parte II)

Cálculo del Máximo Común Divisor de más de dos números (parte I)

Aplicaciones del Máximo Común Divisor

Cuando se presenten problemas que requieras dividir, repartir o distribuir en grupos iguales es aquí donde debes aplicar del máximo común divisor.

Ejemplo

  • ¿Cuál será la mínima longitud de una cinta la cual fue dividida en tres 3 pedazos de 5 cm, 13 cm y 15 cm de largo sin que sobre ni falte? y ¿Cuántos pedazos finalmente se obtienen?

cortar una cinta

Para determinar la mínima longitud que no sobre ni falte de esos tres pedazos es necesario aplicar el máximo común divisor

1. Se divide el número 60 y 80 entre los números primos
Se iguala el número en sus factores primos
2. Seleccionar a los comunes con el mayor exponente

Comunes

No existen

3. Cálculo del máximo común divisor M.C.D. ( 5, 13 , 15) = 1

Entonces la mínima longitud para que no sobre ni falte de esos 3 trozos es de 1 cm cada uno, esto quiere decir que a la final existirán 33 pedazos exactos.

Ejercicios

  1. Determine el máximo común divisor aplicando la tabla de:
a. 17, 20 y 16 b. 10, 8, 4 y 6
c. 23, 12, y 22 d. 3, 26
  1. Determine el máximo común divisor aplicando la descomposición en sus factores primos de:
a. 12 y 28 b. 26, 29 y 31
c. 6, 8, 10, 12 y 24 d. 4, 12, 38 y 32
  1. Manuel posee una caja que tiene de largo 50 cm,  16 de ancho y 10 de alto y va a depositar unos cubos en ella, pero de ¿Qué longitud es el cubo que debe guardar? y ¿Cuántos?

4. La profesora Militza está organizando un viaje a la isla de San Andrés para llevarse a los estudiantes más destacados en la materia de matemáticas. Los más destacados es 5° y 6° grado. Por 5° grado son 12 estudiantes y por el grado 6° son 20. Ella desea armar grupos y que en cada grupo quede la mayor cantidad de estudiantes posibles. ¿Cuántos estudiantes debe tener cada grupo? y ¿Cuántos grupos se obtienen?

  1. En navidad Javier compró 52 caramelos y Rafael 36, necesitan distribuir en una bolsita las mismas cantidades de caramelos con la mayor cantidad posible, ¿Cuántos caramelos deben existir por cada bolsita?

6. Felipe y Xavier tienen dos rollos de mecates, uno de 220 metros y el otro de 180 metros de longitud en su yate, ambos necesitan cortarlo pero queden en longitudes iguales ¿Cuántos pedazos pueden obtener?

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