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Ecuaciones exponenciales

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Ecuaciones exponenciales

Sabías que muchas situaciones de la vida puede ser modelado a través de las ecuaciones exponenciales, por ejemplo para determinar el crecimiento o decrecimiento de una población, la cantidad de una cosa en un tiempo específico, para realizar predicciones, calcular la propagación de enfermedades virales, etc.

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Definición de ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es una expresión que posee una igualdad y los exponentes son incógnitas.

        Ejemplo:  \small 5^{x}=17                  \small 8^{x}+4^{x}-16=0

Casos de las ecuaciones exponenciales

Existen 4 casos que debes conocer para solucionar ecuaciones exponenciales, ellos son:

  1. Por igualación de bases.
  2. Por términos semejantes.
  3. Por aplicación de logaritmos.
  4. Por cambio de variable

Caso # 1: Por Igualación de bases

En este caso los dos lados de la ecuación deben expresarse con exponentes de una misma base en común, para finalmente resolver por igualación.

El principio que permite realizar lo dicho anteriormente es:

Al tener dos potencias las mismas bases a donde a \small \neq 0  y  a \small \neq 1  los exponentes también son equivalentes
ax=ay      →   x = y    donde a \small \neq 0  y  a \small \neq 1

Se debe tener en cuenta las siguientes propiedades de la potenciación para la solución de ejercicios:

a-n = 1/an   o viceversa    1/an  = a-n

a0 = 1 = 20 = 30=  0,250

Ejemplo: Resolver  la siguiente expresión

\small 4^{x+1}=2

Solución:

  1. En el primer miembro de la ecuación, descomponer la base 4 para obtener una base 2\small \left ( 2^2 \right )^{x+1}=2
  2. Se aplica la propiedad de la potenciación de potencia de una potencia en el primer miembro\small 2^{2x+2}=2^{1}
  3. Como las bases de ambos miembros son iguales, entonces se iguala los exponentes\small 2x+2=1
  4. Se transpone los términos y se determina el valor de x

    \small 2x=1-2
    \small x=-\frac{1}{2}
  5. Se comprueba sustituyendo el valor de x en la expresión dada, el resultado satisface la igualdad

Caso # 2: Por términos semejantes

Este caso se resuelve transformando los términos (propiedades de la potenciación) y aplicando factor común.

Ejemplo: Resolver  la siguiente expresión

\small 3^{x+2}+3^{x}+3^{x-2}=91

Solución:

  1. Transformar los términos:    \small 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2}=9(3^{x})
    \small 3^{x-2}=3^{x}\cdot 3^{-2}=\frac{(3^{x})}{9}
  2. Se sustituye:    \small 9\left ( 3^{x} \right )+\left ( 3^{x} \right )+\frac{(3^{x})}{9}=91
  3. Se saca factor común en la expresión y queda así:    \small 3^{x}\left ( 9+1+\frac{1}{9} \right )=91
  4. Se efectúa las operaciones dentro del paréntesis:    \small 3^{x}\left (\frac{91}{9} \right )=91
  5. Se despeja:    \small 3^{x}=\frac{9\cdot 91}{91}
  6. Se simplifica la expresión:    \small 3^{x}=9
  7. Se descompone el 9 en sus factores primos:    \small 3^{x}=3^{2}
  8. Como quedan bases iguales se iguala los exponentes
    x=2

Caso # 3: Aplicando logaritmos

Es muy fácil de resolver observe el procedimiento a continuación:

Ejemplo: Resolver  la siguiente expresión

\small 5^{x}=3^{x+3}

Solución:

  1. Se aplica logaritmos a ambos miembros de la ecuación:\small xlog5=\left ( x+3 \right )log3
  2. Se opera el segundo miembro de la ecuación:\small xlog5=xlog3+3log3
  3. Agrupar términos:\small xlog5-xlog3=3log3
  4. Se saca factor común del primer miembro de la ecuación:\small x\cdot \left (log5-log3 \right )=3log3
  5. Simplificando:\small x\cdot log\left ( \frac{5}{3} \right )=3log3
  6. Despejando x:

\small x=\frac{3log3}{log\frac{5}{3}}=\frac{1,431}{0,221}=6,475

x = 6,475

Caso # 4: Por cambio de variable

Para realizar un cambio de variable es necesario recordar lo siguiente:

  • \small \left ( x^{a} \right )^{b}=\left ( x^{b} \right )^{a}  fíjate que ambos miembros son equivalentes, en los ejercicios que vamos a practicar se realizan con mucha frecuencia cambios como el siguiente:\small 25^{x}=\left ( 5^{2} \right )^{x}=\left ( 5^{x} \right )^{2}
  • \small x^{a+b}=x^{a\cdot b}   Esta se usará en expresiones como la siguiente:\small 5^{x+4}=5^{x}\cdot 5^{4}=625\cdot \left ( 5 \right )^{x}\small 5^{x-4}=\frac{5^{x}}{5^{4}}=\frac{5^{x}}{625}

Resolver  la siguiente ecuación exponencial:

\small 4^{x}-5\cdot 2^{x}+4=0

Solución:

  1. Transformar el primer término:\small 4^{x}=\left ( 2^{2} \right )^{x}=\left ( 2^{x} \right )^{2}
  2. Se sustituye en la expresión :\small \left ( 2^{x} \right )^{2}-5\cdot 2^{x}+4=0
  3. Se iguala \small \left ( 2^{x} \right )=x y la expresión queda así:\small x^{2}-5x+4=0
  4. Se factoriza la expresión:\small \left ( x-4 \right )\cdot \left ( x-1 \right )=0
  5. Se iguala \small x=\left ( 2^{x} \right ) y cada factor se iguala a cero:\small \left ( 2^{x}-4 \right )=0       y      \small \left ( 2^{x}-1 \right )=0
  6. Se efectúa las operaciones:\small 2^{x}=4                \small 2^{x}=1
    \small 2^{x}=2^{2}              \small 2^{x}=2^{0}
  7. Se obtiene los siguientes valores: x 1 =2           y          x 2 =0

Actividades

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1$$2^{2x-1} = 32$$

R: x = 3

2$$3^{3x-2} = 81$$

R: x = 1

3$$4^{2x+1} = 256$$

R: x = 2

4$$4^{2x+1} = 256$$

R: x = 2

5$$2^{3x+1} = 16$$

R: x = 1

6$$3^{x+3} = 243$$

R:  x = 3

7$$4^{x-1} = 8$$

R: x = 2

8$$5^{2x+2} = 125$$

R: x = 1

9$$2^{x+2} = 128$$

R: x = 6

10$$3^{2x-2} = 27$$

R: x = 3

 

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