Matemáticas

Método de sustitución: paso a paso

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Método de sustitución

Feliz por el temaEl método de sustitución es otra manera de poder resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Así que, quédate en este post que te ayudará a resolver fácilmente este método.

Como su nombre lo indica se trata de sustituir para poder hallar la solución.

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de cualquier ecuación y luego sustituir su valor en la otra, obteniéndose una nueva ecuación de una sola incógnita.

Pasos para aplicar el método de sustitución

  1. Seleccionar una ecuación.
  2. Realizar el despeje de cualquier variable “x” e “y”
  3. Sustituir la expresión de esa variable en la otra ecuación.
  4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación dada.
  5. Comprobación.
  6. Tipo de sistema.

Ejercicios resueltos de método de sustitución

Para resolver tus habilidades en este tema, te invitamos a ver los siguientes ejemplos resueltos paso a paso:

Ejemplo # 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.

Ejemplo # 1 método de sustitución

Solución

Paso # 1. Seleccionar una ecuación.

En este caso se escoge la primera ecuación que es:

Ejemplo # 1 método de sustitución 1

Paso # 2. Despejar.

Para este ejemplo se despeja la “x”

Ejemplo # 1 método de sustitución 2

Paso # 3. Sustituir la expresión de esa variable en la otra ecuación.

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 3

Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación dada.

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 4

Paso # 5. Comprobación.

Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 5

Como el resultado es igual, los valores de “x” e “y” es correcto.

Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.

Punto de intersección de ambas rectas es:

Ejemplo # 1 método de sustitución paso 6

Ejemplo # 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.

Ejemplo # 2 método de sustitución paso 1

Solución

Paso # 1. Seleccionar una ecuación.

En este caso se escoge la segunda ecuación.

Ejemplo # 2 método de sustitución paso 1.

Paso # 2. Despejar.

Para este ejemplo se despeja la variable “y”

Ejemplo # 2 método de sustitución paso 2.

Paso # 3. Sustituir la expresión en la otra ecuación.

Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación.

Para este caso se selecciona la segunda ecuación.

Paso # 5. Comprobación.

Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la primera ecuación.

Ejemplo # 2 método de sustitución p5

Como el resultado es igual, los valores de “x” e “y” es correcto.

Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.

Punto de intersección de ambas rectas es:

(-3,1)

Ejemplo # 3

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.

Ejemplo # 3 método de sustitución p1

Solución

Paso # 1. Seleccionar una ecuación.

En este caso se toma la primera ecuación.

Ejemplo # 3 método de sustitución paso1

Paso # 2. Despejar.

Para este ejemplo se despeja la variable “x”

Ejemplo # 3 método de sustitución paso2

Paso # 3. Sustituir la expresión en la otra ecuación.

Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación.

Para este caso se selecciona la primera ecuación.

Ejemplo # 3 método de sustitución paso4

Paso # 5. Comprobación.

Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.

Ejemplo # 3 método de sustitución paso5

Como el resultado es idéntico los valores de “x” e “y” es correcto.

Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.

Punto de intersección de ambas rectas es:

(-2,-2)

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Actividades

Utiliza el método de sustitución para determinar las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones y diga el nombre del sistema.

Actividades 1

Determina los valores de los valores de los coeficientes A y B para que el sistema de ecuaciones tenga la solución indicada.

Actividades 2

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Cuadriláteros: definición, elementos y clasificación

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Cuadriláteros

Cuadriláteros: definición, elementos y clasificación¿Te has preguntado alguna vez qué son los cuadriláteros y por qué aparecen tan seguido en tu entorno?
Desde la ventana del aula hasta la pantalla de tu celular, los cuadriláteros están presentes en casi todo lo que te rodea. En este post aprenderás a identificarlos, clasificarlos y reconocer sus propiedades de una forma sencilla y práctica.
Además, podrás explorar un simulador interactivo que te permitirá aprender jugando, moviendo vértices y descubriendo cómo cambian sus lados y ángulos.
Ahora observa las siguientes imágenes… ¿puedes reconocer cuántos cuadriláteros hay a tu alrededor?

Definición de cuadriláteros

Por ser uno de los integrantes de la gran familia de los polígonos recibe el nombre de tetrágonos, pero la costumbre es llamarlo cuadriláteros.
La principal característica de esta figura plana es que tiene cuatro lados y por ende la misma cantidad en sus vértices y ángulos internos, no dejando al olvido que posee dos diagonales.

Elementos de los cuadriláteros

Cuadrilátero
Figura # 1

Los elementos de los cuadriláteros son cuatro, te invito a conocer a cada uno de ellos.

  1. Lados opuestos.
  2. Lados consecutivos.
  3. Ángulos opuestos.
  4. Ángulos consecutivos.

Lados opuestos

Son aquellos lados que no comparten ningún vértice, es decir, son lados que se encuentran al frente.
Lados opuestos
Lados opuestos

Lados consecutivos

Son aquellos lados que comparten un vértice, es decir, lados unidos por un vértice.
Lados consecutivos
Lados consecutivos

Ángulos opuestos

Son aquellos ángulos que no comparten ningún lado. es decir, son ángulos que se encuentran frente a frente.
Angulo opuestos
Angulo opuestos

Ángulos consecutivos

Son aquellos ángulos que comparten un lado.
Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos

Clasificación de los cuadriláteros

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados y existen dos tipos, observa:

Clasificación de los cuadriláteros
Clasificación de los cuadriláteros

Paralelogramos

Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen sus pares de lados paralelos.

Existen 4:

  1. Cuadrado.
  2. Rectángulo. 
  3. Rombo.
  4. Romboide.

Características del cuadrado

  • Posee dos pares de lados opuestos posicionados en forma paralela.
  • Todos sus lados tienen las mismas longitudes.
  • Todos sus ángulos internos tienen una abertura de 90°.
  • Sus dos diagonales miden las mismas longitudes y forman entre sí un ángulo de 90°.

CUADRADO

Características del rectángulo

  • Posee dos pares de lados opuestos posicionados en forma paralela. cada par de lados tienen las mismas longitudes.
  • Todos sus ángulos internos tienen una abertura de 90°.
  • Sus dos diagonales miden las mismas longitudes y los dos pares de ángulos opuestos son iguales.

RECTANGULO

Características del rombo

  • Posee dos pares de lados opuestos posicionados en forma paralela.
  • Todos los lados tienen las mismas longitudes.
  • Sus pares de ángulos opuestos poseen las mismas aberturas.
  • Ambas diagonales son de diferentes longitudes formando entre sí un ángulo de 90°

Rombo

Características del romboide

  • Posee dos pares de lados opuestos posicionados en forma paralela, cada par de lados tienen las mismas longitudes.
  • Sus ángulos opuestos poseen las mismas aberturas.
  • Sus ángulos consecutivos son suplementarios, es decir:θ + α = 180°.
  • Ambas diagonales son de diferentes longitudes, es decir no son congruentes. Posee una diagonal mayor y otra menor. Ellas forman entre sí un ángulo distinto a 90°.

Romboide

No paralelogramos

Los no paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen solo un par de lados paralelos o ninguno de ellos poseen las mismas posiciones.

Existen dos tipos y se llaman:

  1. Trapecios.
  2. Trapezoides.

Trapecios

Es un cuadrilátero que posee solo un par de lados opuestos paralelos.

Se clasifican en tres tipos:

Clasificación de los trapecios
Clasificación de los trapecios

Características del trapecio rectángulo

  • Posee un par de lados opuestos paralelos y sus longitudes son diferentes.
  • Posee dos ángulos rectos, un ángulo agudo y un ángulo obtuso.
  • Las diagonales no son congruentes, es decir poseen diferentes longitudes.
  • Se forman 2 pares de ángulos distintos.
  • Un par de ángulo opuesto es agudo y el otro obtuso.

Características del trapecio isósceles

  • Los lados opuestos no paralelos poseen las mismas longitudes.
  • Posee 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos.
  • Ambas diagonales son congruentes, es decir poseen las mismas longitudes.
  • Se forman 2 pares de ángulos distintos.
  • Un par de ángulo opuesto es agudo y el otro obtuso.

Trapecio isósceles

Características del trapecio escaleno

  • Posee un par de lados opuestos paralelos y todos sus lados tienen longitudes diferentes.
  • Todos sus ángulos son diferentes.
  • Las diagonales no son congruentes, es decir poseen diferentes longitudes.
  • Se forman 2 pares de ángulos distintos.
  • Un par de ángulo opuesto es agudo y el otro obtuso.

Trapecio escaleno

Trapezoides

Es un cuadrilátero que no posee lados paralelos

Los trapezoides se clasifican en dos tipos

Clasificación de los trapezoides
Clasificación de los trapezoides

Características del trapezoide simétrico

  • Posee dos pares de lados congruentes y un eje de simetría que coincide con una diagonal del cuadrilátero.
  • Tiene un par de ángulos congruentes, los demás ángulos son diferentes.
  • Las diagonales pueden ser congruentes o no congruentes.
  • Las intersecciones de las diagonales forman un ángulo de 90°.

Trapezoide simetrico

Características del trapecio asimétrico

  • No posee lados congruentes.
  • No posee ángulos congruentes.
  • Las diagonales pueden ser congruentes o no congruentes.
  • Las intersecciones de las diagonales forman un par de ángulos opuestos congruentes.

Trapezoide asimetrico

El laboratorio de los cuadriláteros

¿Sabías que los cuadriláteros están presentes en casi todo lo que ves a diario? Desde una hoja de papel hasta una ventana o una pantalla, estas figuras de cuatro lados forman parte de tu entorno. En esta simulación podrás explorar cómo cambian sus formas al mover los vértices, identificar sus lados, ángulos y diagonales, y descubrir qué los hace únicos entre sí. Aprenderás a diferenciar cuadrados, rectángulos, rombos y trapecios de una forma visual, dinámica y divertida. ¡Prepárate para aprender jugando con la geometría y entender cómo los cuadriláteros dan forma al mundo que te rodea!

Actividades

Observa la figura y responde

  • Diga el total de cuadriláteros
  • ¿Cuáles son paralelogramos?
  • ¿Cuántos trapecios rectángulos existen?

La siguiente imagen es un plano de un apartamento, complete las siguientes frases

A3

  • Las habitaciones tiene forma de: _________________
  • La cocina tiene forma de:_______________
  • El pasillo tiene forma de: ______________
  • La sala tiene forma de: _____________
  • La terraza tiene forma de: ______________
  • El baño tiene forma de: _______________

Observa la figura y responde

  • Teniendo en cuenta la el significado de paralelogramo, determina el valor de a y x

Analice

En un rombo ABCD, los ángulos obtusos opuestos miden (x + 10°) y (3x – 8°). ¿Qué valor posee el ángulo mayor?

A. 156°
B. 19°
C. 161°
D. 121°

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Sistema de ecuaciones: Método de igualación

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Sistema de ecuaciones: Método de igualación

Solución gráfica¿Estás estudiando sistema de ecuaciones y buscas una manera fácil de resolver el método de igualación? Sí es así, has llegado al lugar indicado. Antes de comenzar el método de igualación, reforcemos en qué consiste el método gráfico, ya que ayuda a ver el punto de intersección de las rectas.  Sin embargo, cuando el resultado son números reales el método en muchas ocasiones no admite ver el punto de coordenada con precisión.

Es aquí donde interviene el método de igualación que permite ver los valores con precisión. Por ejemplo, si la solución de un sistema de ecuaciones es x = -3 y y = 2,0002, gráficamente la solución sería x = -3 y   y = 2. Observa la figura. Para determinar con exactitud la solución de un sistema de ecuaciones se tienen varios métodos analíticos, como el método de igualación.

El método de igualación se trata en despejar la misma incógnita en cada ecuación, posteriormente se igualan los resultados y de esta manera se llega a obtener una ecuación con una sola variable.

Pasos para aplicar el método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 aplicando el método de igualación debes proceder de la siguiente manera:

  1. Seleccionar una variable “x” o “y” y despejarla en cada ecuación.
  2. Igualar los resultados para obtener una ecuación de una incógnita y determinar el valor de la incógnita.
  3. Sustituir el valor obtenido en cualquier ecuación del sistema dado, para hallar el valor de la otra variable.
  4. Comprobación.
  5. Nombre el tipo de sistema.

Aquí tienes un tutorial explicado paso a paso para que puedas aplicar el método de reducción

Ejemplo # 1

Resolver por el método de igualación el siguiente sistema.

Ejercicio # 1

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una variable. En este ejemplo se toma a la variable “y”. Despejada ambas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Ejercicio # 1 paso # 1

Paso # 2. Igualar los resultados y determinar el valor de la incógnita.

Paso # 2

Paso # 3. Sustituir el valor obtenido x = 1 en cualquier ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. Para este ejemplo se escoge a la primera ecuación.

Paso # 3

Entonces se tiene una solución, el punto es: (1,0)

Paso # 4. Comprobar el resultado.

Se sustituye ambos valores en cualquier ecuación, en este caso es seleccionado la segunda ecuación.

Paso # 4

Esto quiere decir que el resultado en el paso # 3 y # 2 es correcto, por lo tanto el sistema arroja una sola solución.

Paso # 5. El tipo de sistema es compatible determinado.

Ejemplo # 2

Aplicar el método analítico de igualación al siguiente sistema de ecuaciones.

Ejercicio # 2. Método de igualación

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una variable. En este ejercicio se considera a la variable “x”. Despejada ambas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #1

Paso # 2. Igualar los resultados y determinar el valor de la incógnita.

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #2

Paso # 3. Sustituir el valor obtenido y = 1 en cualquier ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. Para este ejemplo se escoge la segunda ecuación.

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #3

Paso # 4. Comprobar el resultado.

Se sustituye ambos valores en cualquier ecuación, en este caso es seleccionado la primera ecuación.

Ejercicio # 2. Método de igualación paso #4

Esto quiere decir que el resultado en el paso # 3 y # 2 es correcto, por lo tanto el sistema arroja una sola solución.

Paso # 5. El tipo de sistema es compatible determinado.

Ejemplo # 3

Aplicar el método analítico de igualación al siguiente sistema de ecuaciones.

Ejercicio # 3. Método de igualación

Solución.

Paso # 1. Seleccionar una variable. En este ejercicio se toma a la variable “y”. Despejada ambas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 1

Paso # 2. Igualar los resultados y determinar el valor de la incógnita.

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 2

Paso # 3. Sustituir el valor obtenido x = 17/14 en cualquier ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. Para este ejemplo se escoge la primera ecuación despejada para mayor facilidad en el cálculo.

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 3

Paso # 4. Comprobar el resultado.

Se sustituye ambos valores en cualquier ecuación, en este caso es seleccionado la segunda ecuación.

Ejercicio # 3. Método de igualación paso # 4

Esto quiere decir que el resultado en el paso # 3 y # 2 es correcto, por lo tanto el sistema arroja una sola solución.

El punto solución es: (17/14,-18/7)

Paso # 5. El tipo de sistema es compatible determinado.

Gráficamente es visto de la siguiente manera:

Viendo la gráfica

Gráfica

Actividades del método de igualación

Responda si es verdadero o falso en cada expresión

Si existe un sistema de ecuaciones con una solución que posee números decimales, no se puede resolver por el método de igualación. ________________________________

El método gráfico es más exacto que el método de igualación. _________________________

Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de igualación.

Dado el siguiente sistema de ecuación

¿Qué valor tiene a para que el sistema tenga infinitas soluciones?

A. 2

B. 3

C. -3

D. -2

Solucione el siguiente problema:

El doble de un número más otro, es 25, y el triple del primer número menos el segundo es 0. Determina esos números.

Ahora que conoces un poco más acerca del método de igualación y tienes las herramientas necesarias para resolver los ejercicios planteados, no dejes de practicar lo aprendido.

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Suma y resta de monomios-polinomios

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Suma y resta de monomios

Suma y resta de monomios¿Sabías que la suma y resta de monomios están presentes en problemas reales de ingeniería, economía e incluso tecnología?

Aprender a sumar y restar monomios no solo te ayudará a simplificar expresiones algebraicas, sino también a desarrollar el razonamiento lógico que usan los profesionales para modelar y resolver situaciones cotidianas.

Para dominar este tema, primero debes reconocer los monomios semejantes —aquellos que tienen las mismas variables y exponentes— y luego aplicar correctamente las propiedades de la potenciación.

Prepárate para descubrir lo fácil que puede ser manejar el álgebra cuando entiendes su lógica paso a paso.

Suma y resta de monomios

Los monomios deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, escribiendo siempre la misma parte literal. Todo este procedimiento es llamado reducción de términos semejantes.

Ejemplo

ASM1Determinar el perímetro del siguiente romboide.

Para calcular el perímetro (P) de este cuadrilátero debes sumar todas las medidas de sus lados. Según la propiedad del romboide, sus lados opuestos son congruentes, es decir, poseen las mismas dimensiones.

P = 15x2y3 + 27x2y3 + 15x2y3 + 27x2y3

Se aplica factor común:

P = (15 + 27 + 15 + 27)x2y3

Finalmente se suma todos los términos

P = 84x2y3

El perímetro del romboide es 84x2y3 unidades.

Ejemplo

ASM2Determinar el área de la región coloreada, sabiendo que el área del trapecio rectangular es  AT = 10,5 d4e6 y el área del círculo AC = 3,14 d4e6.

La figura está compuesta por un trapecio rectangular y un círculo, para hallar el área coloreada se requiere restar los sectores de ambas figuras.

AS = AT – AC

Se sustituye los valores del área del trapecio rectangular y el área del círculo.

AS = 10,5 d4e6 – 3,14 d4e6

Se aplica factor común:

AS = (10,5 – 3,14)d4e6

Se resta para obtener el área coloreada.

AS = 7,36 d4e6 

El área coloreada es de 7,36 d4e6 unidades cuadradas.

Ejemplo#3

Calcula la suma y la resta de los siguientes monomios  ASM5 y  ASM6

Al sumar:

ASM4

Al restar:

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Actividades de suma y resta de monomios

Parte I

Determina la suma de cada grupo de monomios.

-5a, 8a

-34e4, -56e4

25y, -54y, -45y

-4m2y, 17m2y, -2m2y, 6m2y

-56t5e, 65t5e, 15t5e, -10t5e, -2t5e, 20t5e, 16t5e, –t5e, 7t5e, t5e

w8, 5w8, –w8, 8w8, -5w8, 4w8, -8w8, -4w8, 0w8, -11w8, 12w8

8xzy, -18xzy, 6xzy, -13xzy, 7xzy, -3xzy, 4xzy

1.2y, 6.74y, -5.87y, -4.25y, 14.8y, -5.13y, 9y, -34y, 5y, 6.7y, y, -2y, -3y

Parte II

Calcula el área total de cada imagen teniendo en consideración el valor de las distintas zonas.

ASM10 ASM12 ASM16

Haz uso de una expresión algebraica para que representes el perímetro de la figura.

ASM15

Determina el área de la parte coloreada

ASM17

Parte III

Diga qué opciones son verdaderas o falsas, en caso de ser incorrecta, justifica.

  1.  Para sumar se requiere que los monomios sean semejantes, en la resta no es necesario que se cumpla esa condición.
  2.  La reducción de términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes de cada monomio, y también los exponentes de cada parte literal.
  3. Al sumar o restar monomios no semejantes se deja indicada la operación.

Problemas:

  • El perímetro de un triángulo escaleno es 18.18ab, uno de sus lados mide 8.06ab y el otro 6ab. Determina la longitud del tercero.
  • ASM18El área total de la siguiente imagen es de 27m2y2. Calcula la región desconocida y selecciona la opción correcta.

Opciones:

  1.  AT = 27m2y2 + 18m2y2 – 3m2y2
  2. AT = 27m2y2 – 18m2y2 + 3m2y2
  3.  AT = 27m2y2 + (18m2y2 + 3m2y2)
  4. AT = 27m2y2 – (18m2y2 + 3m2y2)

Ahora que conoces un poco más acerca de la suma y resta de monomios es hora de poner en práctica lo aprendido. No olvides calificar, comentar y compartir esta información que será de gran ayuda para otros. Te invitamos a ver el artículo introducción a los polinomios. 😉

Conceptos básicos de estadísticas

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Conceptos básicos de estadísticas

¿Estás buscando algunos conceptos básicos de estadísticas que despejen tus dudas? Si es así, estás en el lugar correcto. Aquí podrás conocer un poco más acerca de estos conceptos y su importancia.

Encuesta
Encuesta

Seguramente en un algún momento participaste en una encuesta, por ejemplo, vas en la calle y te preguntan:

  • ¿Qué tipo de género de película mostrada en la lista a continuación te gusta:  acción, ficción, aventuras, comedia, fantasía, ciencia ficción?
  • ¿Cuál es tú equipo de fútbol favorito de Colombia?
  • ¿Cuál es tu materia favorita?
  • ¿Crees que los extraterrestres existen?
  • ¿En tu vida qué es lo que más te motiva?
  • ¿El mundo se acabará? y si tú respuesta es afirmativa ¿cómo crees que se acabará?
  • ¿Cuál es tu superhéroe favorito?

O también cuando vas al doctor y te pregunta ¿qué edad tienes? , ¿haz sido operado alguna vez?, ¿sufres de alergias? el especialista va registrando en una base de datos toda tu información

Estadísticas

Es una de la rama de la matemáticas encargada de recopilar, ordenar, graficar, estudiar e interpretar una información, obtenida de una investigación con el fin de llegar a conclusiones precisas o dar estimaciones futuras.

Análisis y observación
Análisis y observación

En la estadística debe existir la observación y el análisis de los datos. La observación, es para poder recopilar de forma correcta la información y luego esa información es analizada con el fin de obtener resultados que ayuden a mejorar una situación.

Estadísticas es utilizada en distintas áreas como en la salud, economía, turismo, negocios, administración, Psicología, educación, entre otras.

Tipo de estadísticas

Existen dos tipos de estadísticas y son llamadas:

  • Estadísticas descriptiva y
  • Estadísticas inferencial.

Estadísticas descriptiva

Encargada de describir todos los datos, iniciándose con la adquisición de los mismos hasta llegar a la construcción de tablas, gráficos y también llegar a conocer por medio del cálculo las variables.

Estadísticas descriptiva
Estadísticas descriptiva

Estadísticas inferencial

Encargada de inferir los datos para tratar de predecir las cosas

Estadística inferencia
Estadística inferencia

Recolección de datos

Es el procedimiento que permite obtener la información, para luego analizarla estadísticamente. Existen dos formas de recolectar datos y es llamada encuesta y observación.

La encuesta

Permite obtener información directa a través de un cuestionario (preguntas formuladas)

Encuesta
Encuesta
Ejemplo

Cuando las personas compran y salen de una frutería se encuentran con unos periodistas y estos le hacen las siguientes preguntas:

  • ¿Son buenas las frutas?
  • ¿La frutería ofrece semanalmente algunas rebajas en sus productos?
  • ¿El lugar es limpio?

La observación

Es un registro visual de alguna situación

Ejemplo:

David lanza 5 veces el dado, registra los resultados y marca los números impares.

Población

Llamada también universo, es el conjunto compuesto por todos los elementos que posteriormente serán sometidos a un estudio estadístico. Los elementos de una población pueden ser objetos, animales y/o personas.

Muestra

Es un subconjunto o una parte que es seleccionada de una población, la cual es utilizada para realizar los estudios estadísticos.

Variable

Es un conjunto de valores que puede tomar una cualidad o característica de interés de una muestra o de una población. Las variables puede ser: color de ojos, color de piel, estatura, peso, edad, tipo de sexo, en otras.

 

Población,muestra y variable
Población, muestra y variable

Tipos de variables

Existen dos tipos de variables y se conocen con el nombre de cuantitativas y cualitativas.

  • Cuantitativas: toma valores numéricos.
  • Cualitativas: toma valores de cualidades, por ejemplo: color de ojos, color de piel, tipo de sexo, entre otras.

Tipos de variables

Actividades

I. Clasificación de Tipos de Estadísticas

  • Diferenciar entre estadísticas descriptiva e inferencial.

Instrucciones:

  1. Lee las siguientes situaciones y clasifícalas como Estadísticas Descriptivas (ED) o Estadísticas Inferenciales (EI):
    • Un estudio muestra que el 40% de los estudiantes de una escuela prefieren matemáticas sobre otras materias.
    • Basado en una encuesta a 100 personas, se estima que el 70% de la población disfruta del cine.
    • Un gráfico muestra la distribución de edades de los asistentes a un concierto.
    • Una predicción dice que el próximo año las ventas de un producto aumentarán un 20%.

Respuesta:

  • ED: Un estudio muestra que el 40% de los estudiantes de una escuela prefieren matemáticas sobre otras materias.
  • EI: Basado en una encuesta a 100 personas, se estima que el 70% de la población disfruta del cine.
  • ED: Un gráfico muestra la distribución de edades de los asistentes a un concierto.
  • EI: Una predicción dice que el próximo año las ventas de un producto aumentarán un 20%.

II. Recolección de datos.

  • Identificar métodos de recolección de datos.

Instrucciones:

  1. Define qué es una encuesta y qué es una observación.
  2. Da un ejemplo de cada uno:
    • Encuesta: ___________________________
    • Observación: _________________________

Respuesta Ejemplo:

  • Encuesta: Preguntar a 50 estudiantes sobre su comida favorita.
  • Observación: Observar cuántos estudiantes traen almuerzo de casa durante una semana.

III. Población y Muestra

  • Diferenciar entre población y muestra.

Instrucciones:

  1. Lee las siguientes situaciones y determina si se refieren a una población (P) o a una muestra (M):
    • Todos los estudiantes de 6° grado en una escuela.
    • 50 estudiantes de 6° grado elegidos al azar para participar en una encuesta.
    • Todas las frutas en un supermercado.
    • 10 manzanas seleccionadas para verificar su frescura.

Respuesta:

  • P: Todos los estudiantes de 6° grado en una escuela.
  • M: 50 estudiantes de 6° grado elegidos al azar para participar en una encuesta.
  • P: Todas las frutas en un supermercado.
  • M: 10 manzanas seleccionadas para verificar su frescura.

IV. Identificación de Variables

  • Identificar variables y sus tipos.

Instrucciones:

  1. Lee las siguientes variables y clasifícalas como cualitativas (C) o cuantitativas (Q):
    • Color de ojos de los estudiantes.
    • Número de libros leídos en un mes.
    • Marca de zapatos preferida.
    • Altura de los estudiantes.

Respuesta:

  • C: Color de ojos de los estudiantes.
  • Q: Número de libros leídos en un mes.
  • C: Marca de zapatos preferida.
  • Q: Altura de los estudiantes.

V. Tipos de Variables

  • Identificar tipos de variables cuantitativas.

Instrucciones:

  1. Clasifica las siguientes variables cuantitativas en discretas (D) o continuas (C):
    • Número de hermanos.
    • Peso de una persona.
    • Cantidad de lápices en un estuche.
    • Tiempo que tarda en leer un libro.

Respuesta:

  • D: Número de hermanos.
  • C: Peso de una persona.
  • D: Cantidad de lápices en un estuche.
  • C: Tiempo que tarda en leer un libro.

 

Ecuaciones exponenciales

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Ecuaciones exponenciales
Mapa mundial que ilustra la propagación del COVID-19 con íconos de virus resaltados en distintos continentes
Mapa mundial que ilustra la propagación del COVID-19 con íconos de virus resaltados en distintos continentes.

¿Te has preguntado cómo resolver ecuaciones exponenciales para entender fenómenos como una noticia viral o el crecimiento de bacterias? Dominar estas igualdades matemáticas no es solo un requisito académico; es adquirir la llave para comprender cómo funciona la economía, la biología y la tecnología moderna a través del crecimiento exponencial. En este post, transformaremos lo complejo en simple.

Lo que debes saber antes de empezar (Prerrequisitos)

Para avanzar sin frustraciones, asegúrate de recordar estas tres reglas de oro de la potenciación:

  1. Producto de potencias:$$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$$
  2. Potencia de una potencia:$$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\cdot n}$$
  3. Exponente cero:$$a^{0}=1$$
  4. Exponente negativo:$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$

Definición de ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es una expresión que posee una igualdad y los exponentes son incógnitas.

        Ejemplo:  \small 5^{x}=17                  \small 8^{x}+4^{x}-16=0

Casos de las ecuaciones exponenciales

Para resolver estas expresiones con éxito, es vital identificar su estructura, ya que no todas se abordan con la misma estrategia. A continuación, te presento cuatro casos fundamentales que debes dominar:

1. Igualación de bases.

2. Por términos semejantes (Factor común).

3. Aplicación de logaritmos.

4. Cambio de variable.

¿Cómo elegir el método correcto?

Antes de profundizar en cada técnica, analiza este esquema práctico. Te ayudará a decidir qué camino tomar según las características de la ecuación que tengas frente a ti:

Si observas que…El método ideal es…
Ambas bases se pueden convertir a un mismo número (ej. 2 y 8).Caso 1: Igualación de bases
Existen sumas o restas de potencias que comparten la misma base.Caso 2: Términos semejantes
Las bases son totalmente diferentes e irreducible. Ejemplo:$$3^x = 7$$Caso 3: Aplicación de Logaritmos
La ecuación tiene la estructura de una cuadrática «disfrazada». Ejemplo: $$a^{2x} + a^x + c$$Caso 4: Cambio de variable

Caso 1: Igualación de bases

En este caso los dos lados de la ecuación deben expresarse con exponentes de una misma base en común, para finalmente resolver por igualación.

El principio que permite realizar lo dicho anteriormente es:

Al tener dos potencias las mismas bases a donde a \small \neq 0  y  a \small \neq 1  los exponentes también son equivalentes
ax = ay      →   x = y    donde a \small \neq 0  y  a \small \neq 1

Debes tener en cuenta las siguientes propiedades de la potenciación para la solución de ejercicios:

a-n = 1/an   o viceversa    1/an  = a-n

a0 = 1 = 20 = 30=  0,250

Ejemplo: Resolver la siguiente expresión

$$4^{x+1}=2$$

Solución

1. En el primer miembro de la ecuación, descomponer la base 4 para obtener una base 2

\small \left ( 2^2 \right )^{x+1}=2

2. Se aplica la propiedad de la potenciación de potencia de una potencia en el primer miembro

\small 2^{2x+2}=2^{1}

3. Como las bases de ambos miembros son iguales, entonces se iguala los exponentes

\small 2x+2=1

4. Se transpone los términos y se determina el valor de x

\small 2x=1-2

\small x=-\frac{1}{2}

Para verificar tu resultado, sustituye el valor de x en la ecuación original; así confirmarás que tu procedimiento es correcto y tu trabajo es excelente.

Caso 2: Por términos semejantes

Ideal cuando los exponentes están sumando o restando.

Este caso se resuelve transformando los términos (aplicar propiedades de la potenciación) y usando factor común.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación

$$3^{x+2}+3^{x}+3^{x-2}=91$$

Solución

1. Transformar los términos:

\small 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2}=9(3^{x})

\small 3^{x-2}=3^{x}\cdot 3^{-2}=\frac{(3^{x})}{9}

2. Sustituir:

\small 9\left ( 3^{x} \right )+\left ( 3^{x} \right )+\frac{(3^{x})}{9}=91

 

3. Aplicar factor común:

\small 3^{x}\left ( 9+1+\frac{1}{9} \right )=91

 

4. Se efectúa las operaciones dentro del paréntesis:

\small 3^{x}\left (\frac{91}{9} \right )=91

5. Despejar:

\small 3^{x}=\frac{9\cdot 91}{91}

6. Simplificar la expresión:

\small 3^{x}=9

7. Descomponer el 9 en sus factores primos:

\small 3^{x}=3^{2}

8. Igualar los exponentes:
$$x=2$$

Caso 3: Aplicación de logaritmos

Es muy fácil de resolver es la herramienta de rescate cuando nada coincide. Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Determinar el valor de x de la siguiente ecuación

$$5^{x}=3^{x+3}$$

Solución

1. Aplicar logaritmos a ambos miembros de la ecuación:

\small xlog5=\left ( x+3 \right )log3

2. Operar el segundo miembro de la ecuación:

\small xlog5=xlog3+3log3

3. Agrupar términos:

\small xlog5-xlog3=3log3

4. Factor común del primer miembro de la ecuación:

\small x\cdot \left (log5-log3 \right )=3log3

5, Simplificar:

\small x\cdot log\left ( \frac{5}{3} \right )=3log3

6. Despejar x:

\small x=\frac{3log3}{log\frac{5}{3}}=\frac{1,431}{0,221}=6,475

$$x=6,475$$

Caso # 4: Por cambio de variable

Este método consiste en transformar la ecuación original en una expresión más sencilla (generalmente una ecuación de segundo grado) para facilitar su resolución.

Para dominar el cambio de variable, es fundamental recordar cómo descomponer y reescribir las potencias.

1. Potencia de una potencia

Los miembros de la siguiente igualdad son equivalentes.

$$25^{x}=\left ( 5^{2} \right )^{x}=\left ( 5^{x} \right )^{2}$$

Observa cómo se intercambió los exponentes para que la base 5^x quede lista para ser sustituida por una nueva letra (como la u)

2. Descomposición de exponentes (Producto y cociente)

Aquí también es necesario el uso de las propiedades de la potenciación para separar los términos numéricos de la incógnita:

  • Para la suma (Producto):

$$5^{x+4}=5^{x}\cdot 5^{4}=625\cdot \left ( 5 \right )^{x}$$

  • Para la resta (Cociente):

$$5^{x-4}=\frac{5^{x}}{5^{4}}=\frac{5^{x}}{625}$$

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación exponencial

$$4^{x}-5\cdot 2^{x}+4=0$$

Solución

1. Transformar el primer término:

\small 4^{x}=\left ( 2^{2} \right )^{x}=\left ( 2^{x} \right )^{2}

2. Sustituir en la expresión :

\small \left ( 2^{x} \right )^{2}-5\cdot 2^{x}+4=0

3. Igualar \small \left ( 2^{x} \right )=x , entonces la expresión queda así:

\small x^{2}-5x+4=0

4. Factorizar la expresión:

\small \left ( x-4 \right )\cdot \left ( x-1 \right )=0

5. Igualar:

\small x=\left ( 2^{x} \right )

6. Aplicar la Propiedad de factor cero:

\small \left ( 2^{x}-4 \right )=0

       y

\small \left ( 2^{x}-1 \right )=0

7. Efectuar las operaciones:

\small 2^{x}=4

\small 2^{x}=2^{2}

\small 2^{x}=1

\small 2^{x}=2^{0}

8. Se obtiene los siguientes valores: $$x_{1}=2$$y$$x_{2}=0$$

Desafíos de la vida cotidiana

Ahora aplica lo aprendido sobre las ecuaciones exponenciales para resolver los siguientes escenarios:

¿Puedes hallar la respuesta?

1. El reto de las bacterias:

Una población se triplica cada hora. Si empiezas con 100, ¿en cuánto tiempo llegas a 8 100?

¿Te atreves?

Muéstrame la respuesta

Rep. 4h


¡Muy bien! Lograste hallar el tiempo.

2. Finanzas inteligentes:

Si tu dinero crece según$$C=1\, 000(1.05)^{t}$$

¿En cuántos años tendrás 1,102.5? (R: 2 años)

Muéstrame la respuesta

Rep. 2 años


¡Felicitaciones! Lograste hallar el tiempo exacto.

Actividades de ecuaciones exponenciales

I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1$$2^{2x-1} = 32$$

R: x = 3

2$$3^{3x-2} = 81$$

R: x = 1

3$$4^{2x+1} = 256$$

R: x = 2

4$$4^{2x+1} = 256$$

R: x = 2

5$$2^{3x+1} = 16$$

R: x = 1

6$$3^{x+3} = 243$$

R:  x = 3

7$$4^{x-1} = 8$$

R: x = 2

8$$5^{2x+2} = 125$$

R: x = 1

9$$2^{x+2} = 128$$

R: x = 6

10$$3^{2x-2} = 27$$

R: x = 3

 

II. Resuelve las siguientes ecuaciones

$$2^{\,2x-4}=49 \;\;\rightarrow\;\; R:\; x=3$$
$$3^{x+1}\cdot 9^{x}=243 \;\;\rightarrow\;\; R:\; x=\frac{4}{3}$$
$$\sqrt{5^{x}}=125 \;\;\rightarrow\;\; R:\; x=6$$
$$2^{x}+2^{x+1}=48 \;\;\rightarrow\;\; R:\; x=4$$
$$e^{2x}-5e^{x}+6=0 \;\;\rightarrow\;\; R:\; x=\ln(2),\; x=\ln(3)$$

 

III. Resuelva los siguientes problemas de la vida cotidiana.

a. Salud: Un virus se propaga según V(t)=2t . Si un hospital colapsa con 1,024 pacientes, ¿en qué día ocurrirá? → Rep. Día 10.

b. Física: La temperatura de un objeto en enfriamiento sigue T=80⋅(0.5)t . ¿Cuándo llegará a 5 grados? → Rep. t=4.

c. Tecnología: El número de usuarios de una App crece exponencialmente: U=5x . ¿Cuándo llegará a 125 usuarios? → Rep. x=3.

Preguntas frecuentes de ecuaciones exponenciales

Parte I

1. ¿Qué es una ecuación exponencial?

Es una igualdad donde la variable aparece en el exponente.

2. ¿Para qué sirven en la vida real?

Para modelar crecimiento poblacional, interés compuesto y desintegración radiactiva.

3. ¿Cuál es el primer paso para resolverlas?

Intentar que ambos lados tengan la misma base.

4. ¿Qué pasa si las bases son diferentes?

Se aplican logaritmos a ambos lados.

5. ¿Puedo usar cualquier logaritmo?

Sí, pero el decimal (log) o natural (ln) son los más comunes.

Parte II

1. ¿Qué es el cambio de variable?

Sustituir una expresión compleja como: $$3^x$$ Por una letra $$u$$ para simplificar.

2. ¿Por qué la base no puede ser 1?

Porque 1 elevado a cualquier número siempre es 1, no habría variación.

3. ¿Cómo compruebo mi resultado?

Sustituye el valor de $$x$$ hallado en la ecuación original y verifica la igualdad.

4. ¿Qué propiedad de potencia es la más importante aquí?

La de «potencia de una potencia»: $$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$

5. ¿Qué hago con las raíces?

Conviértelas a exponente fraccionario: $$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$

Parte III

1. ¿Las ecuaciones exponenciales siempre tienen solución?

No siempre; por ejemplo, $$2^x = -4$$ no tiene solución real.

2. ¿Qué es una función exponencial?

Es la relación matemática $$f(x) = a^x$$ de donde nacen estas ecuaciones.

3. ¿El método de igualación de bases es siempre el más rápido?

Sí, siempre que sea posible factorizar las bases.

4. ¿Puedo tener dos soluciones?

Sí, especialmente en el Caso 4 (Cambio de variable) si resulta en una ecuación cuadrática.

5. ¿Qué herramientas digitales me ayudan?

GeoGebra y Symbolab son excelentes para visualizar y verificar.

Parte IV

1. ¿Cómo manejo exponentes negativos?

Recuerda que $$a^{-n} = 1/a^n$$

2. ¿Qué es un logaritmo natural?

Es un logaritmo con base $$e=2.718…$$

3. ¿Se pueden resolver por gráficas?

Sí, buscando el punto de intersección entre las dos funciones.

4. ¿Cuál es el error más común?

Olvidar multiplicar todo el exponente al aplicar potencia de otra potencia.

5. ¿Es difícil aprenderlas?

No, si dominas bien las propiedades de la potenciación.

¿Quieres practicar más sobre ecuaciones exponenciales con un tutor?

Podemos preparar una sesión personalizada con ejercicios guiados, resolución paso a paso y seguimiento del progreso.

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