Introducción a los Polinomios

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¿No entiendes bien los polinomios? Si es así, quédate en este sitio, aquí verás una introducción completa acerca de este tema, desde función polinómica hasta orden de polinomios. Imagina que vas de compra a un supermercado, seguramente ni pensarás que harás uso de ellos, pero sigue leyendo, verás que tiene mucha relación.

Por ejemplo, si vas a comprar 2 manzanas más 3 fresas, y desconoces el valor de cada manzana y de cada fresa, allí precisamente se forma un polinomio, ¿y cómo? como no conoces el valor de la manzana le asignas la letra “x” y a la fresa la letra “y”. Observa como queda la expresión en la siguiente imagen:

Función polinómica

La palabra función  expresa la dependencia de una variable con respecto a la otra, por consiguiente, al tener el valor de la variable independiente puedes calcular el valor de la otra variable.

Por ejemplo, si conoces los valores de los lados de un rectángulo, entonces puedes determinar su perímetro, ya que el valor del perímetro está en función a sus lados.

Observa: a=4 cm y  b=8 cm. Calcule el perímetro.

La función polinómica se escribe de la forma:

Donde:

Son números racionales llamados coeficientes.

  Son los términos.

Son números naturales y representan los exponentes de las variables.

Una función polinómica siempre se representa con una letra mayúscula acompañado de la variable independiente “x”.

Ejemplo: Represente las siguientes expresiones algebraicas en funciones polinómicas.

En este caso se utilizaran las letras mayúsculas O y P para crear las funciones polinómicas, quedando de la siguiente forma:

Lo anterior eran funciones polinómicas, pero quiero que veas que las siguientes, no son funciones polinómicas.

La razón es que existe variables (x, y) con exponentes negativos.

Valor numérico de una función polinómica

Para determinarlo, debes tener el valor la variable independiente “x”, luego sustituye ese valor en la función polinómica y finalmente efectúa las operaciones para obtener el valor numérico de la función polinómica.

Ejemplo: Calcula los valores numéricos de las siguientes funciones polinómicas dadas para los valores que se indican.

Solución:

Explicación con video de valor numérico

Elementos de un polinomios

Es una expresión algebraica conformada por términos de la forma:

anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0      y   an0

Los elementos de un polinomio son:

  • Coeficiente numérico.
  • Coeficiente literal.
  • Términos del polinomio.
  • Término independiente.
  • Grado del polinomio

Polinomio:

anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0      y   an0

Coeficiente numérico:  an, an-1, … , a2, a1, a0  estos números pertenecen al conjunto de los números racionales.

Coeficiente literal:

Términos del polinomio: anxn , an-1xn-1 , … , a2x2 , a1x  y  a0

Término independiente: El término a0 es llamado término independiente ya que multiplica a x0que es igual a 1.

Grado del polinomio: Es el mayor exponente del coeficiente literal. “n” es un número entero

Ejemplo: Identifique los elementos del siguiente polinomio.

Coeficientes numéricos 4, -3, 2, -1 y 6

Coeficiente literal: x

Términos del polinomio: Posee cinco términos: 4x4; -3x3; 2x2; –x; 6

Término independiente: 6

Grado del polinomio: 4

Explicación con video de los elementos de un polinomio

Términos semejantes de un polinomio

Dos o más términos de un polinomio son semejantes si tienen los mismos coeficientes literales y el mismo grado.

Ejemplo:

Los términos semejantes se pueden sumar o restar modificándose los coeficientes numéricos quedando intacto el coeficiente literal y su grado. Los términos que no son semejantes no se pueden operar quedan iguales.

Clasificación de los polinomios según la cantidad de términos

Los polinomios reciben un nombre específico dependiendo de la cantidad de términos no semejantes.

  • Monomio: Es un polinomio de un sólo termino. Por ejemplo:
  • Binomio: Es un polinomio formado por dos términos. Ejemplo:
  • Trinomio: Es un polinomio formado por tres términos. Ejemplo:
  • Polinomio nulo: Llamado también polinomio cero y se da cuando su coeficiente es igual a cero. Ejemplo:
  • Polinomio constante: Es aquél polinomio que posee sólo un término constante. Ejemplo:
  • Polinomio de identidad: Es un polinomio donde cada valor de la variable “x” se obtiene la misma cantidad. Ejemplo:

 😯  NOTA IMPORTANTE: El nombre a una expresión algebraica de más de tres términos es llamado Polinomio.

Grado de un polinomio

Existen dos grados que se considera en un polinomio y se le denominan grado relativo y grado absoluto.

Grado relativo

El grado relativo va dirigida específicamente a una variable, el grado es el mayor exponente que tiene esa variable.

Ejemplo, observa la siguiente expresión:

  1. Es un trinomio porque posee tres términos o tres monomios.
  2. El grado relativo respecto a la variable x es 5.
  3. El grado relativo respecto a la variable y es 8.
  4. El grado relativo respecto a la variable z es 4.

Grado absoluto

El grado absoluto de un polinomio es el exponente más grande que posee un término, si existen varias variables se suman todos sus exponentes y si posee sólo una se considera el término que posea el exponente mayor.

Ejemplo, observa la siguiente expresión:

  1. Es un polinomio porque posee más de tres términos.
  2. El grado absoluto es 5, ya que el primer término es el mayor de todos

  1. Es un polinomio ya que posee más de tres términos.
  2. El grado absoluto es 12, ya que el cuarto término al sumar todos sus exponentes es mayor a todos los otros términos.

Ejemplo:

Clasifique los siguientes polinomios según el número de términos. Determina el grado absoluto y relativo respecto a cada variable.

a.

b.

c.

d.

Solución:

Cantidad de términos Clasificación Grados relativos Grado absoluto
a 2 Binomio Para x = 5

Para y = 2

7
b 3 Trinomio Para a = 3

Para b = 3

4
c 3 Trinomio Para a = 3

Para b = 1

4
d 5 Polinomio Para a = 4

Para b = 3

Para c = 2

Para d = 1

4

Clasificación de los polinomios según sus grados

Según el grado del polinomio se puede clasificar como:

  • Primer grado.
  • Segundo grado.
  • Tercer grado y así sucesivamente.

La escritura de estos polinomios es de la siguiente forma:

  • Primer grado se escribe: P(x)=axb, donde son constante.
  • Segundo grado se escribe: Q(x)=ax2bx c
  • Tercer grado: R(s)=ax3bx2cx+d

Polinomios completos e incompletos

Un polinomio P(x)=anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0  es completo si todos sus bases o coeficientes son distintos a cero.

Es incompleto cuando unos de los coeficientes es igual a cero, en este caso una de las potencias no está en la expresión.

Completar polinomios

Un polinomio incompleto es cuando falta un término del polinomio, para identificarlo debes observar primero el grado del polinomio, luego contar regresivamente hasta llegar al término independiente que es un número que visiblemente no posee variable y si la posee su exponente es igual a cero.

Luego se vuelve escribir los términos que se tiene y el término que no se encuentre se completa con cero (0) con su variable y su exponente respectivo, este cero es el coeficiente de ese término.

Ejemplo # 1: Completa el siguiente polinomio.

El grado del polinomio es 4, contando regresivamente se observa que faltaría dos términos, el término de exponente 3 y el de exponente 2. A estos términos se completan con cero (0). Observa como queda el polinomio:

Ejemplo # 2: Indique el polinomio incompleto y complete.

El polinomio incompleto es P(x), entonces queda así:

Orden de los polinomios

Los términos de un polinomios pueden ser ordenados de forma:

  • Decreciente o
  • Creciente.
En la forma decreciente se escribe primero el término de mayor grado, luego se escriben los demás términos de mayor a menor.

Ejemplo:

⇒ Ordene el siguiente polinomio de forma decreciente:

⇒ Queda:

En la forma creciente se escribe primero el término independiente, luego se escriben los demás términos de menor a mayor hasta el término de mayor grado.

Ejemplo: 

⇒ Ordene el siguiente polinomio de forma creciente:

⇒ Queda:


Actividades

Identifica si los siguientes planteamientos son verdaderos o falsos.

  • El grado absoluto de un polinomio es la sumatoria de todos los exponentes seleccionando el término con mayor exponente.
  • Entre los términos de un binomio no existe signo de suma o de resta.
  • El grado relativo de un polinomio respecto a una variable es la sumatoria de dicha variable.
  • Un trinomio está formado por tres términos.

Identifica el grado del polinomio y los grados relativos de las variables a y b.

Crea un polinomio con las siguientes condiciones.

  • Binomio con dos variables y grado absoluto 10.
  • Trinomio con tres variables y grado absoluto 6.

Identifica cuáles de las siguientes funciones son polinómicas.

Calcula los valores numéricos de las funciones polinómicas dadas para los valores que se indican.

Identifica en cada uno de los polinomios dados, la cantidad de términos, términos del polinomio, coeficientes numéricos, coeficiente literal, término independiente y grado del polinomio.

Observa cada polinomio y si existe términos semejantes reduzca a un solo término.

Clasifica los siguientes polinomios según el número de términos

Reduzca aplicando términos semejantes, complete y ordene de forma decreciente los siguientes polinomios.

Ahora que ya conoces un poco más acerca de la introducción a los polinomios refuerza el tema resolviendo las actividades propuestas. Además, si te gustó este contenido no olvides compartir, seguramente será muy útil a tus compañeros de clases. Déjanos tu comentario y si necesitas algún contenido en especial háznoslo saber, estamos para ayudarte.

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