Características de las funciones

Conocer bien las características de las funciones nos facilita dar resultados mucho más rápido ya que con sólo ver la expresión de la función sin graficarla sabemos como es su curva y que comportamiento tiene la misma, es decir, nos permite realizar un estudio analítico con la finalidad de obtener una buena interpretación de lo que nos quiere decir la función escrita matemáticamente.

Características de las funciones

Algunas características que se mencionarán son:

  • Puntos de cortes con los ejes de coordenadas
  • Funciones creciente y funciones decrecientes
  • Funciones pares e impares (simetría)
  • Funciones periódicas

Puntos de cortes con los ejes de coordenadas

Es muy sencillo si la necesidad es conocer donde la curva de la función toca, corta o interseca con cualquiera de los ejes de coordenadas se debe cumplir lo siguiente:

  • Para determinar los puntos de corte con el eje “x”  se debe cumplir con la condición que y = 0
  • Para determinar los puntos de corte con el eje “y”  la condición es que x =0
Ejemplo # 1
Dada la siguiente expresión

Determine los puntos de corte con respecto a los ejes “x” e “y

1 Escribir la función
2 Determinar punto de corte en el eje “y”    x = 0

Sustituir x = 0 en la expresión y operar

Punto de corte en el “y” es (0,4)

3 Determinar punto de corte en el eje “x”    y = 0

Sustituir y = 0 en la expresión y operar

Punto de corte en el “x” es (-2,0)

4 Unir ambos puntos de corte y se obtiene la recta de función
5 Gráfica
 

Funciones crecientes y decrecientes

Cuando vemos un gráfico relacionado con los cambios de temperatura durante un año, es importante conocer el comportamiento por intervalos que tiene esa curva para llegar a ver los momentos de menores o máximas temperaturas y así hasta poder llegar a la toma de decisiones. Se trata de saber interpretar los intervalos donde existe variaciones crecientes, decrecientes o inclusive constante.

  • La función : X → Y es creciente en el intervalo K si, cualquiera de los números x1 y x2 en K con x1 ximplica que f (x1) < f (x2)
    Por ejemplo: la función es creciente
    Observe, al aplicar:
             x1 ximplica que f (x1) < f (x2)
    Se toman valores arbitrarios de x1= -1 y  x2 = 0 ⇒  f (0,7) < f (14,7)
    Se cumple que la función
    es decreciente en el intervalo K = 
  • La función : X → Y es decreciente en el intervalo K si, cualquiera de los números x1 y x2 en K con x1 ximplica que f (x1) > f (x2)
    Por ejemplo: la función es decreciente
    Observe, al aplicar:
              x1 ximplica que f (x1) > f (x2)
    Se toman valores arbitrarios de x1= -2 y  x2 = 0 ⇒  f (7) > f (3)
    Se cumple que la función
    es decreciente en el intervalo K =
  • La función : X → Y es constante en el intervalo K si, cualquiera de los números x1 y x2 en K con x1 ximplica que f (x1) = f (x2)
    Por ejemplo: la función es constante
    Observe, al aplicar:
             x1 ximplica que f (x1) = f (x2)
    Se toman valores arbitrarios de x1= 1 y  x2 = 0 ⇒  f (e) = f (e)
    Se cumple que la función
    es constante en el intervalo K = 

 

Ejemplo # 2
Determine los intervalos en los cuales el modelo gráfico de la función f es creciente, decreciente o constante.

1 Es creciente en los intervalos

y

2 Es decreciente en los intervalos ,
3 Es constante en el intervalo [1,6]

Funciones pares e impares (simetría)

Son funciones donde el eje de simetría es el eje “y” o también su simetría puede estar ubicado en el origen del plano cartesiano.

Función Par

Analíticamente la función es par cuando se sustituye la variable “-x” en la función y dé como resultado “f (x)”, es decir no existe ninguna modificación, lo que quiere decir que la curva de la función posee como eje de simetría al eje vertical “y” y por lo tanto se cumple que:

Función Impar

Analíticamente la función es impar cuando se sustituye la variable “-x”  en la función y dé como resultado “f (-x)”,  es decir que el signo de la función cambia, gráficamente quiere decir que la curva de la función es simétrica con respecto al origen y por lo tanto se cumple que:

Ejemplo # 3
Determine si las funciones a continuación son pares o impares:

Gráficas

  1. Sustituir “-x”  en la función
  2. Comparar el resultado con la función original
  3. Determinar el tipo de simetría
1

Como el

Entonces es una Función par

2

Como el

No es par ni impar

3

Como la 

Es una Función impar

4

Como la

No es par ni impar

Características de las funciones periódicas 

Cuando se repiten intervalos de iguales longitudes en el dominio estamos en presencia de una función periódica

Entonces una función : X → Y es periódica cuando existe un número real “T” llamado periodo. Se cumple que cada valor de x que pertenece al dominio de la función es (x) = (x + T)

Las funciones trigonométricas en su mayoría son periódicas, mientras que las polinómicas, exponenciales y logarítmicas no lo son.

El periodo de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante y cosecante poseen un periodo de y la funciones trigonométricas tangente y cotangente su periodo es de .

Por ejemplo: la función sabemos que tiene un periodo de , observemos la gráfica

Fíjese que existen intervalos de la misma longitudes en este caso la longitud es de , por eso que la función trigonométrica del seno es periódica.

Ejercicios de características de las funciones

  1. Determine los puntos de cortes en ambos ejes de coordenadas (y)
    a. b. c.
    d. e. f.
    g. h. i.
  2. Determine si las siguientes funciones son pares o impares
    a. b. c.
    d. e. f.
    g. h. i.
  3. Dibujar sobre el plano cartesiano el siguiente planteamiento y responde si existen intervalos donde son crecientes, decrecientes o constante explique.
    (∞,0] es la función f (x) = x
    (0,5) es la función(x) = -2x
    [5,∞) es la función (x) = 4x-10
  4. El movimiento de un péndulo en función al tiempo se representa en la siguiente gráfica
    a. ¿Se puede determinar la velocidad del péndulo a los 21 segundos?
    b. ¿Cuál es la velocidad del péndulo a los t = 13,5s ?
  5. Complete las curvas en cada gráfica, para que se cumpla cada condición
    Función par Función impar
    Características de las funciones
    Función par Función impar
  6. Determine:
Los intervalos crecientes, decrecientes y constante
Características de las funciones

 

 

Deja un comentario

Bad Behavior has blocked 147 access attempts in the last 7 days.

A %d blogueros les gusta esto: