Características de las funciones

Conocer bien las características de las funciones nos facilita dar resultados mucho más rápido ya que con sólo ver la expresión de la función sin graficarla sabemos como es su curva y que comportamiento tiene la misma, es decir, nos permite realizar un estudio analítico con la finalidad de obtener una buena interpretación de lo que nos quiere decir la función escrita matemáticamente.

Características de las funciones

Algunas características que se mencionarán son:

• Puntos de cortes.
• Funciones creciente y decrecientes.
• Funciones pares e impares (simetría).
• Funciones periódicas.

Puntos de corte

Los puntos de corte indica donde la recta o la curva intercepta con los ejes del plano cartesiano. Estos puntos están formados por una variable independiente “x” y la dependiente “y” . Para calcular el punto debes aplicar las siguientes relaciones:

• Corte con el eje “x”   y = 0
• Corte con el eje “y”   x =0

Ejemplo

Determine los puntos de cortes con respecto a los ejes “x” e “y”

Paso # 1: Calculo de los puntos de corte con respecto al eje “y”

Escribir la expresión:

Paso # 2: Sustituir x =0 , para obtener el corte en la coordenada “y”

Punto  de corte: (0,4)

Paso # 3: Sustituir y =0 , para obtener el corte en la coordenada “x”

Punto de corte: (-2,0)

Observa los puntos de corte

Funciones crecientes y decrecientes

Cuando ves un gráfico relacionado con los cambios de temperatura durante un año, es importante que conozca el comportamiento por intervalos que tiene esa curva, para llegar a ver los momentos de menores o máximas temperaturas y así hasta poder llegar a la toma de decisiones. Se trata de interpretar los intervalos donde existe variaciones crecientes, decrecientes o inclusive constante.

 La función  f  : X → Y es creciente  en el intervalo K si cualquiera de los números  x ₁ y x ₂ en K con  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) < f (x 2)
Por ejemplo : la función es creciente.
Observa al aplicar:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) < f ( x 2 )
       
Se toman valores arbitrarios de x₁= -1 y  x₂ = 0 ⇒  f (0,7) < f (14,7)
Se cumple que la función es creciente en el intervalo K =

La función  f  : X → Y es decreciente en el intervalo K si cualquiera de los números  x ₁ y  x ₂ en K con  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) > f (x 2)
Por ejemplo: la función  es decreciente
Observa al aplicar:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) > f ( x 2 )
         
Se toman valores arbitrarios de x₁= -2 y  x₂ = 0 ⇒  f (7) > f (3)
Se cumple que la función es decreciente en el intervalo K =

La función  f  : X → Y es decreciente en el intervalo K si cualquiera de los números  x ₁ y x ₂ en K con  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) > f ( x 2 )
Por ejemplo : la función  es decreciente
Observa al aplicar:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) > f ( x 2 )
         
Se toman valores arbitrarios de x₁= -2 y  x₂ = 0 ⇒  f (7) > f (3)
Se cumple que la función es decreciente en el intervalo K =

La función  f  : X → Y es constante en el intervalo K si cualquiera de los números  x ₁ y x ₂ en K con  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) = f ( x 2 )
Por ejemplo: la función  es constante
Observa al aplicar:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) = f ( x 2 )
       
Se toman valores arbitrarios de x₁= 1 y  x₂ = 0 ⇒  f (e) = f (e)
Se cumple que la función es constante en el intervalo K = 

Ejemplo

Determine los intervalos en los cuales el modelo gráfico de la función f es creciente, decreciente o constante.

Es creciente en los intervalos:

Es decreciente en los intervalos:

Es constante en el intervalo:  [1,6]

Funciones pares e impares (simetría)

Son funciones donde el eje de simetría es el eje “y” o también su simetría puede estar ubicado en el origen del plano cartesiano.

Función Par

Analíticamente la función es par cuando se sustituye la variable “-x” en la función y dé como resultado “f (x)”, es decir no existe ninguna modificación, lo que quiere decir que la curva de la función posee como eje de simetría al eje vertical “y” y por lo tanto se cumple que:

Función Impar

Analíticamente la función es impar cuando se sustituye la variable “-x”  en la función y dé como resultado “f (-x)”,  es decir que el signo de la función cambia, gráficamente quiere decir que la curva de la función es simétrica con respecto al origen y por lo tanto se cumple que:

Ejemplo # 1:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

• 

Paso # 1:

1. Sustituir “-x”  en la función
2. Comparar el resultado con la función original
3. Determinar el tipo de simetría

No existe cambio es decir:

Analíticamente es: Función par

Gráficamente: Es una función par porque su eje de simetría es el eje “y” 

Ejemplo # 2:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

• 

Existe cambio es decir: 

Analíticamente: No es función par ni impar

Gráficamente: No existe eje de simetría en el eje “y” ni con respecto al origen del plano cartesiano.

Ejemplo # 3:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

• 

Existe cambio:   

Analíticamente: Es una función impar

Gráficamente: Posee simetría con respecto al origen del plano cartesiano.

Ejemplo # 4:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

• 

Existe cambio: Como la

Analíticamente: No es función par ni impar

Gráficamente: No posee simetría.

Características de las funciones periódicas 

Cuando se repiten intervalos de iguales longitudes en el dominio estamos en presencia de una función periódica

Entonces una función f : X → Y es periódica cuando existe un número real “T” llamado periodo. Se cumple que cada valor de x que pertenece al dominio de la función es f (x) = f (x + T)

Las funciones trigonométricas en su mayoría son periódicas, mientras que las polinómicas, exponenciales y logarítmicas no lo son.

El periodo de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante y cosecante poseen un periodo de y la funciones trigonométricas tangente y cotangente su periodo es de .

Por ejemplo: la función sabemos que tiene un periodo de , observemos la gráfica

Fíjese que existen intervalos de la misma longitudes en este caso la longitud es de , por eso que la función trigonométrica del seno es periódica.

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Actividades

Determine los puntos de cortes en ambos ejes de coordenadas (x e y)

a.		b.		c.
d.		e.		f.
g.		h.		i.

Determine si las siguientes funciones son pares o impares

a.		b.		c.
d.		e.		f.
g.		h.		i.

Dibujar  sobre el plano cartesiano el siguiente planteamiento y responde si existen intervalos donde son crecientes, decrecientes o constante explique.

(∞,0] es la función f (x) = x³ 

(0,5) es la función f (x) = -2x

[5,∞) es la función f (x) = 4x-10

El movimiento de un péndulo en función al tiempo se representa en la siguiente gráfica:
a. ¿Se puede determinar la velocidad del péndulo a los 21 segundos?
b. ¿Cuál es la velocidad del péndulo a los t = 13,5s ?

Complete las curvas en cada gráfica, para que se cumpla cada condición

Función par	Función impar
Función par	Función impar

Determinar:

Los intervalos crecientes, decrecientes y constante