Caso V Factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos

Caso V Factorización Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos

Caso V Factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términosSi estás buscando el caso V de factorización trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos has llegado al sitio indicado. En los casos donde el trinomio posee la raíz cuadrada del primer término y raíz cuadrada del tercer término, pero su segundo término no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

¿Qué debe hacerse para que un trinomio se convierta en cuadrado perfecto?

Para que un trinomio se convierta en trinomio cuadrado perfecto se debe sumar y restar un número semejante al segundo término, esto para lograr que el segundo sea el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y último término. Este proceso se llama completar cuadrados.

Caso V Factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términosEjercicio #1:

Paso # 1 Sumar y restar x2y2 a la expresión dada.

x4+ x2y2+ y4

    + x2y2           -x2y2

 x4 + 2 x2y2+ y4– x2y2

Paso # 2 Luego, agrupar los tres primeros términos de la expresión resultante:

         (x4 + 2 x2y2+ y4)- x2y2

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto = (x2 + y2)2 – x2y2

Aplicamos diferencia de cuadrados                = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 – xy)

Ordenando                                                         = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2)

Caso V Factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términosEjercicio #2: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos

4m4+ 8m2n2+ 9n4

Observa que la raíz cuadrada de 4m4 es 2m2, la raíz cuadrada de 9n4 es 3n2 y el doble de las raíces es 2 x 2m2 x 3n2= 12 m2n2. Como puedes ver, el segundo término es: 8m2n2, para que sea cuadrado perfecto debe ser 12 m2n2.

Lo que debes hacer para 8m2n2 se transforme 12 m2n2, para ello le sumamos 4 m2n2 para que no varíe el trinomio también le restamos 4 m2n2 y tendremos:

4 m4+ 8m2n2+ 9n4

         + 4m2n2         -4m2n2

 4m4 + 12 m2n2+ 9n4 – 4m2n2= (4m4 + 12 m2n2+ 9n4)– 4m2n2

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto = (2m2 + 3n2)2 – 4m2n2

Aplicamos diferencia de cuadrados                = (2m2 + 3n2 + 2mn) (2m2 + 3n2 – 2mn)

Ordenamos                                                        = (2m2+ 2mn  + 3n2) (2m2– 2mn + 3n2)

Ejercicio # 3

49x4-151x2y4+ 81y8

Solución:

La raíz cuadrada de 49x4 es 7x2 y la raíz cuadrada de 81y8 es 9y4. El segundo término debía ser -2 x 7x2 x 9y4= -126 x2y4 y es:  -151 x2y4, en este caso -151 x2y4 se convierte en -126 x2y4; de tal manera que no varíe restamos 25 x2y4 tendremos como resultado:

Paso # 1 Sumar y restar 25x2y4 a la expresión dada.

  1. 49x4-151x2y4+ 81y8

               + 25 x2y4            – 25x2y4

49x4-126x2y4+  81y8 – 25 x2y4

Paso # 2 Agrupar los tres primeros términos de la expresión resultante:

           49x4-126x2y4+ 81y8 – 25 x2y4

= (49x4-126x2y4+ 81y8) – 25 x2y4

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto = (7x2 -9y4)2 – 25x2y4

Aplicamos diferencia de cuadrados                = (7x2 – 9y2 + 5xy2) (7x2 -9y2 – 5xy2)

Ordenando                                                        = (7x2 + 5xy2 – 9y2) (7x2 – 5xy2 – 9y2)

CASO ESPECIAL: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos

Generalmente, una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, esto significa que factores que no haya raíz, pero sí hay sumas de cuadrados que, al sumarse y restarse una misma cantidad puede llevarse al caso anterior y descomponerse.

Factorar m4 + 4n4

La raíz cuadrada de m4 es m2, y la raíz cuadrada 4n4 es 2n2. Para lograr que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto es necesario que el segundo término sea 2 x m2 x 2n2= 4m2n2, de esta manera se obtendrá:

m4 +                 + 4n4

             +4m2n2           – 4m2n2

     m4   + 4m2n2 + 4n4 – 4m2n2 = (m4   + 4m2n2 + 4n4) – 4m2n2    Agrupamos los tres primeros términos.

= (m2 + 2n2)2 – 4m2 n2   Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto

= (m2 +2n2 + 2mn) (m2 +2n2 – 2mn) Aplicamos diferencia de cuadrados

Finalmente ordenamos: (m2 + 2mn +2n2) (m2 – 2mn +2n2)

Ejercicios propuestos: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos

Factorizar o descomponer en dos factores:

  1. a4+ a2+ 1
  2. m4+ m2n2+ n4
  3. 4a4+3a2b2+ b4
  4. x4-6x2+ 1
  5. 4a4+3a2b2+ 9b4
  6. 16m4-25m2n2+ 9n4
  7. 25a4+54xa2b2+ 49b4

Finalmente, ya sabes lo fácil que es el caso V de factorización, trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de término no dejes de practicar los ejercicios que aquí te dejo, serán de gran ayuda. Recuerda que también puedes comentar, compartir y suscribirte a nuestro sitio web, así nos ayudarás a crecer.

Ángulos entres dos rectas paralelas y una secante

Ángulos entres dos rectas paralelas y una secante

JardineríaSi estás buscando ángulos entre dos rectas paralelas y una secante estás en el lugar correcto. Este tema con mucha frecuencia se presenta en la vida cotidiana, te contaré una breve historia donde un trabajador tomará una decisión acertada.

El señor Enrique es un jardinero y es contratado en un conjunto cerrado para que diseñe un jardín armonioso, ubicado en el sendero diagonal que cruza dos caminos paralelos. Lo primero que él hace es pedir que le muestren el plano y luego se dirige al lugar para tomar una decisión. Finalmente, selecciona los ángulos internos y externos generados por todas las caminerías para plantar flores, creando así hermosos rincones coloridos y acogedores llenos de fragancias placenteras.

Términos fundamentales para una mejor comprensión del tema

Lo primero, antes de entrar con el tema es muy importante que conozcas ciertas terminologías básicas que te ayudan a conducirte a una mejor comprensión. Estos términos son:

I. Rectas paralelas

Lo primero que debes saber es que las rectas paralelas son líneas separadas por cierta distancia que tienen la misma dirección pero no se intersecan.

Rectas paralelasII. Rectas secantes

Seguidamente, la recta secante es aquella que se interseca con otra tocándola en un punto. Observa la imagen la recta secante es la de color rojo e interseca en un punto en ambas rectas paralelas.

Secante

III. Ángulos congruentes

Luego, dos o más ángulos son congruentes sólo si poseen las mismas amplitudes. En la imagen se muestran ángulos de colores rojos y verdes congruentes.

Por lo tanto:

α ≅ γ

λ ≅ β

Ángulos congruentesIV. Ángulos suplementarios

Posteriormente, dos o más ángulos son suplementarios sólo si la suma de todas sus amplitudes es igual a 180° sexagesimales.

La imagen muestra dos ángulos, súmalos y si el resultado es 180°, entonces son suplementarios.

Ángulos suplementariosV. Ángulos opuestos por el vértice

Finalmente, si se forman cuando dos rectas o segmentos se intersecan en un punto, ese punto es el vértice de los ángulos formados y el ángulo opuesto es aquel que está al frente del otro. Todo ángulo opuesto es congruente.

Cuando la transversal interseca con el segmento horizontal, se presenta cuatro ángulos en la imagen. Allí puedes ver claramente que los ángulos rojos son opuestos por el vértice, y lo mismo ocurre con los ángulos verdes.

Ángulos opuestosVI. Ángulos consecutivos

Dos o más ángulos son consecutivos siempre y cuando tengan el mismo vértice y un lado en común.

Ángulos consecutivos

Ángulos formados por dos rectas y una secante

Ocho ángulosCuando trazas dos rectas paralelas y una secante que las intersecta se forman un total de ocho ángulos. Cuatro de ellos están ubicados en el interior de las rectas paralelas, y el restante, en el exterior a estas rectas.

Nombres de los ángulos

Esos ocho ángulos llegan a recibir distintos nombres según la posición que ocupan. Algunos de ellos son congruentes, y otros son suplementarios.

I. Ángulos alternos internos

En primer lugar, son ángulos internos ubicados en lados opuestos de la transversal, este grupo de ángulos internos son congruentes.

Son alternos internos los ángulos:

∠3 y ∠6

∠4 y ∠5

II. Ángulos alternos externos

Estos ángulos están ubicados en lados opuestos de la transversal, este tipo de ángulos son congruentes.

Son alternos externos los ángulos:

∠1 y ∠8

∠2 y ∠7

III. Ángulos correspondientes

Son correspondientes cuando se selecciona un ángulo interno y otro externo del mismo lado de la transversal, estos tipos de ángulos son congruentes.

Son correspondientes los ángulos:

Lado izquierdo de la transversal: ∠1 y ∠5 ; ∠3 y ∠7

Lado derecho de la transversal: ∠2 y ∠6 ; ∠4 y ∠8

IV. Ángulos conjugados internos

Son ángulos internos ubicados en el mismo lado de la transversal. Estos tipos de ángulos son suplementarios, compuesto de un ángulo agudo y otro obtuso.

Son conjugados internos los ángulos:

Lado izquierdo de la transversal:  ∠3 y ∠5

Lado derecho de la transversal: ∠4 y ∠6

V. Ángulos conjugados externos

Son ángulos externos que están en el mismo lado de la transversal, y son suplementarios.

Son conjugados externos los ángulos:

Lado izquierdo de la transversal: ∠1 y ∠7

Lado derecho de la transversal: ∠2 y ∠8

Ejemplo: ángulos entre dos rectas paralelas y una secante 

Observa cada situación, debes tener claro cuando los ángulos son congruentes y suplementarios.

➡  Si m∠1 = 120°, entonces m∠8 = 120° ya que son ángulos alternos externos.

➡ La medida del ángulo m∠2 = 60°, esto quiere decir que m∠6 = 60°, debido a que son ángulos correspondientes.

➡ m∠7 = 60°, esto quiere decir que m∠1 = 120° porque son ángulos conjugados externos.

➡ m∠5 = 120°, la amplitud de la m∠3 = 60° porque son ángulos conjugados internos.

➡ m∠3 = 60°, la abertura de m∠6 = 60° porque son ángulos alternos internos.

Ejercicio resuelto

A continuación, te presento un ejercicio resuelto paso a paso de dos rectas paralelas y dos transversales. El enunciado es el siguiente:

Ejercicio 1Calcular las medidas de los ángulos indicados en la imagen.

Solución:

En la recta transversal “l” lado izquierdo.

➡  El ángulo de 38° y λ son conjugados internos, por lo tanto son suplementarios.

180° = 38° + λ

λ = 180° – 38° = 142°

λ = 142°

➡  Los ángulos 38° y ω son alternos internos, por tanto son congruentes. ω = 38°

➡ El ángulo opuesto al vértice de λ es Φ. por ende son congruentes.

λ Φ

Φ = 142°

Recta transversal “l” lado derecho.

➡  Ambos ángulos ω y β son correspondientes, entonces, son congruentes.

ωβ

ω = 38°            β = 38°

Analizando las dos rectas transversales.

➡ Las rectas “l”, ”m«, “q” forman un triángulo con ángulos conocidos ω = 38° y 40°, y ángulo desconocido θ.

Se aplica la propiedad # 1 de los triángulos «suma de los ángulos internos de un triángulo».

180° = ω + 40° + θ

180° = 38° + 40° + θ

θ = 102°

➡ Los ángulos θ y α, son opuestos al vértice.

α = 102°

En la recta transversal “m” lado derecho.

➡ Al sumar los ángulos α + β se hace correspondiente con σ

α + β = 102° + 38° = 140°

Entonces,

σ = 140°

➡ Los ángulos σ y ψ son opuestos al ángulo, por lo tanto:

ψ = 140°

σ y γ son conjugados internos.

180° = 140° + γ

γ = 180° – 140°

γ = 40°

Comprobación

Respuesta del ejercicio 1En los tres puntos donde intersecan las rectas secantes se comprueba el resultado aplicando el ángulo completo.

  • 360° = 40° + 102° + 38° + 40° +102° + 38°

360°= 360°

 

  • 360° = 142° + 38° + 142° + 38°

360° =360°

 

  • 360° = 40° + 140° + 40° + 140°

360° = 360°


Actividades

Analiza cada enunciado y responde.

Considera que los ángulos son formados por dos rectas paralelas y una transversal.

I. Si el ∠A y el ∠B son alternos externos, y la m∠A = 24°. ¿Cuál es el valor de la abertura del ∠B?.

II. El ∠P y el ∠Q son ángulos conjugados internos, y la m∠Q = 41°. Determina la m∠P.

III. Los ángulos ∠F y el ∠G son alternos internos, y la m∠F = 122°. ¿Cuánto mide el ∠G?.

IV. Los ángulos ∠R y el ∠S son alternos internos, y el valor de un ángulo suplementario a uno de ellos mide 135°. ¿Cuánto miden el ángulo ∠R y el ∠S respectivamente?.

Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

I. Los ángulos correspondientes siempre son congruentes.

II. Los ángulos conjugados externos son complementarios.

III. Los ángulos alternos internos son suplementarios.

IV. Los ángulos alternos externos siempre son agudos.

Actividad#3Determina la medida de los ángulos indicados.

m∠EBH

m∠BED

m∠EBD

m∠DBG

m∠ABC

m∠IEB

m∠GDF

m∠KGL

 

Finalmente, ahora que ya sabes más acerca de los ángulos entre dos rectas paralelas y una secante es momento que pongas manos a la obra y practiques cada lo aprendido. No olvides comentar y compartir.

Caso # IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos

Caso 4Sí estás buscando el caso número cuatro de factorización es porque sabes que se trata de diferencia de cuadrados perfectos. Puede verse en los productos notables la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, es decir, (a + b) (a – b) = a2 b2, de allí resulta: a2 b2.

Es fundamental considerar algunas reglas para factorizar una diferencia de cuadrados. Observa los siguientes ejemplos:

1) Factorar 1 – x2

Determina la raíz cuadrada del primer término, en este caso es 1. Luego, halla la raíz cuadrada de x2 es x. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene: (1 + x) (1 – x).

Caso #IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos

2) Factorar a2b2

Determina la raíz cuadrada del primer término, en este caso es a. Luego, halla la raíz cuadrada de b2 es b. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(a + b) (ab)

Caso #IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos

3) Factorar 16m8 – 4n8

Determina la raíz cuadrada del primer término 16m8, en este caso es 4m4. Luego, halla la raíz cuadrada de 4n8 es 2n4. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(4m4 + 2n4) (4m4 – 2n4)

Caso #IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos

4) Factorar 64x2 – 4y2

Determina la raíz cuadrada del primer término 64x2, en este caso es 8x. Luego, halla la raíz cuadrada de 4y2 es 2y. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(8x + 2y) (8x – 2y)

Caso #IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos

5) Factorar p4q2

Determina la raíz cuadrada del primer término: p4, en este caso es: p2. Luego, halla la raíz cuadrada de q2 es q. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(p2 + q) (p2 q)

Caso #IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos

6) Factorar a8 – 4b8

Determina la raíz cuadrada del primer término a8, en este caso es a4. Luego, halla la raíz cuadrada de 4b8 es 2b4. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(a4 + 2b4) (a4 – 2b4)

Caso #IV Factorización: Diferencia de cuadrados perfectos


Actividades para resolver diferencias de cuadrados

I. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando diferencia de cuadrados:

  1. a2 – 4b2
  2. 25x8 – 4y8
  3. m2 – 4n8
  4. x4 – 4y4
  5. x8 – y8
  6. p2 – 64q2
  7. 16a8 – 4b8
  8. x2 – 4y8
  9. m8 – 16n8
  10. f8 – g8

Ahora que ya sabes cómo solucionar el caso número cuatro de factorización diferencia de cuadrados no olvides poner en práctica lo aprendido resolviendo las actividades que aquí te dejo. Será una gran experiencia practicar y aprender mucho más.

Consejos para resolver diferencia de cuadrados

Si eres de los estudiantes que se siente angustiado al momento de resolver casos de factorización, en especial diferencia de cuadrados, es recomendable que sigas las siguientes recomendaciones:

  • Dominio de las operaciones básicas de potenciación y radicación: Es fundamental dominar muy bien temas de potenciación y conocer acerca de la extracción de radicales.
  • Seguir el paso a paso: esto te ayudará a realizar de manera efectiva los ejercicios planteados.
  • Practicar y practicar: es recomendable que trabajes en los ejercicios planteados y los resuelvas.
  • Toma al menos 30 minutos diarios para resolver cada caso.

Caso # 3 Factorización: Cuadrado Trinomio Perfecto

Caso# 3: Factorización Cuadrado Trinomio Perfecto

Caso # 3

¿Sabes qué es el cuadrado trinomio perfecto? El caso número tres de factorización es uno de los más utilizados al momento de resolver problemas matemáticos. Un caso muy fácil de resolver, pero que es importante que tengas base en las operaciones básicas como potenciación y radicación.

¿Cómo saber que es cuadrado trinomio perfecto?

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad. Es decir, cuando es el producto de dos factores iguales. Esto significa que 4a2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a. Esto es en efecto: (2a)2= 2a × 2a= 4a2 y 2a, que multiplicada por sí misma resulta 4a2.

Observa que (-2a)2 = (-2a) . (-2a) =4a2; luego, -2a es también la raíz cuadrada de 4a2. Esto quiere decir, que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos, + y .

¿Cómo hallar la raíz cuadrada de un monomio?

Para hallar la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2, así la raíz cuadrada de 9 a2b4 es 3ab2 porque (3ab2) = 3ab2 × 3ab2 = 9 a2b4.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 36x6y4 es 6 x3y2

Por otro lado, un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Ejemplo:

a2 + 2ab +b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b. En efecto:

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab +b2

De la misma manera, (2x + 3y)2= 4x2 + 12xy +9y2 luego, es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicios resueltos: Cuadrado trinomio perfecto

1)Descomponer 9x2 + 12x + 4 =

Paso #1 Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer término:

Caso #3 Factorización: Cuadrado Trinomio Perfecto

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble del primer término por el tercer término obtienes el segundo término, se comprueba que es un trinomio cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(3x + 2)2

2)Descomponer 4x2 + 12x + 9=

Paso #1: Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer y término:

Caso #3 Factorización: Cuadrado Trinomio Perfecto

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble primer término por el tercer término obtienes el segundo término, se comprueba que es un cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(2x + 3)2

3)Descomponer x2 – 6x + 9=

Paso #1: Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer y término:

Caso #3 Factorización: Cuadrado Trinomio Perfecto

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble primer término por el tercer término obtienes el segundo se comprueba que es un cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(x – 3)2

4)Descomponer 16m2 – 24m + 9=

Paso #1: Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer y término:

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble del primer término por el tercer término obtienes el segundo, se comprueba que es un cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(4m – 3)2

Como puedes ver, es muy fácil saber cuando es cuadrado trinomio perfecto, solo debes seguir los pasos y poner manos a la obra. A continuación, aquí tienes algunas actividades para que practiques el tema visto. Además, aquí tienes el tutorial que te ayudará a reforzar tus clases de matemáticas.


Actividades de cuadrado trinomio perfecto

I. Factorizar utilizando el cuadrado trinomio perfecto:

  1. x2 + 6x +9 =
  2. 4m2– 8m +4=
  3. 121y2+ 44y + 4=
  4. 25x2– 60x + 36=
  5. x2 + 10x +25 =

Si te gustó este contenido, no olvides comentar y compartir, así podemos seguir creciendo y ayudarte en tus clases de matemáticas.

Factorización Caso #2: Factor común por agrupación de términos

Factorización caso 2 Factor común por agrupación de términos
Caso # 2
Caso # 2

¿Estás buscando el caso # 2 de factorización? Si es así, has llegado al lugar correcto, aquí podrás ver paso a paso el factor común por agrupación de términos. Este caso es fundamental para resolver operaciones algebraicas, sin duda alguna debes manejarlo para poder avanzar en el proceso de cualquier problema.

Para comenzar con este tema, iniciaremos con un problema planteado a continuación:

Ejemplo #1: Factorar am+ bm + an + bn

Al observar el ejercicio planteado se tiene que los dos primeros términos tienen una variable en común, esta es la variable “m”. Y los dos últimos términos el factor común “n”. Quedando de la siguiente manera:

Paso #1 Agrupar en paréntesis y los dos últimos en otro precedido del siglo + porque el tercer término tiene el signo + porque el tercer término tiene el signo + donde se obtiene:

Paso #2 Procedes a extraer la variable común con el menor exponente en ambos binomios, en el primer binomio encuentras “m” como variable y en el segundo binomio encuentras la variable “n

Paso #3 Luego, procedes a dividir cada término entre el factor común, es decir: am/m quedando “a” y bm/m quedando como resultado “b”. Para el segundo binomio realizas el mismo proceso an/n resultando 1 y bn entre resulta b.

Paso #4 Una vez tienes los factores, agrupas términos semejantes. El resultado final es: (m +n) (a+b)

(am + bm) + (an + bn)

=m (a + b) + n (a + b)

= (m+ n) (a+ b)

Ejemplo #2: Factorar 3m2 – 6mn + 4m -8n

Paso # 1: Agrupar los términos semejantes dentro de paréntesis, es decir:

(3m2 – 6mn) +( 4m -8n)

Paso # 2: Hallar el factor común de los dos primeros términos: 3m2– 6mn. Para ello, determinar el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes (3, 6). Ten en cuenta que para hacerlo debes hacer el procedimiento, esto es:

  • Descomponer ambos números en sus factores primos y luego buscar el número máximo que divide a ambas cifras.

Factorización Caso #2: Factor común por agrupación de términos

Esto significa que el máximo común divisor es 3. Luego, buscas las variables comunes con el menor exponente, en este caso es: m

Quedando de la siguiente manera:

3m

Paso # 3: Luego, procedes a dividir cada término del binomio 3m2 – 6mn entre el máximo común divisor “3” quedando de la siguiente manera:

3m (m- 2n)

Paso # 4: Realizar el mismo proceso con los últimos dos binomios, es decir: (4m -8n). Para ello, hallar el máximo común divisor entre 4 y 8 = 4. En el caso de las variables, no hay ninguna común.

Paso # 5: Luego, procedes a dividir cada término del binomio 4m – 8n entre el máximo común divisor “4” quedando de la siguiente manera:

4 (m- 2n)

Paso # 6: Luego, agrupas ambos binomios factorizados:

3m (m- 2n) + 4 (m- 2n) =

Paso # 7: Por último, aplicas factor común:

(m-2n) (3m + 4)


Ejercicios planteados de factor común por agrupación de términos

  • Factorar o descomponer en dos factores.
  1. a2+ ab + ax+ bx
  2. am – bm +an -bn
  3. ax – 2bx -2ay +4by
  4. a2x2 -3bx2 +a2y2 -3by2
  5. 4a 3 -1 – a2 +4ª
  6. x+ x2 -xy2 – y2
  7. 6ax +3a + 1 +2x
  8. 3x3 -9ax2 -x +3ª
  9. 1 +a + 3ab +3b
  10. n2 x – 5a2y2– n2y2+ 5 a2x

Tutorial para que te ayudes con el contenido:

Ahora que ya sabes cómo hallar el factor común por agrupación  de términos ya puedes practicar lo aprendido realizando ejercicios práctico. No olvides compartir y comentar este post.

Factor común: qué es y cómo se aplica

Factor común
caso # 1
caso # 1

¿Sabías que el factor común corresponde al primer caso de factorización? Seguramente cuando te hablan de casos de factorización te aterras porque no los conoces. En este post verás lo fácil que son estos casos, comenzaremos con factor común que corresponde al caso #1. Este primer caso consiste en identificar el Máximo Común Divisor (MCD) de los coeficientes de los términos y las variables comunes con su menor exponente.  

En la vida cotidiana en muchas situaciones se presentan casos de factor común, como, por ejemplo, cuando relacionamos amigos o compañeros de estudios que tienen ciertos rasgos físicos o comportamientos similares.

¿Qué es el factor común?

Es una expresión algebraica de dos o más términos. Se utiliza en algebra para simplificar expresiones o resolver ecuaciones. Puede darse dos casos de factor común:

Factor común numérico:

En este caso si tienes los números 12 y 18, los factores comunes son los divisores que comparten ambos números. Entonces, sería que los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 y los divisores de 18 son 1,2, 3, 6, 9, 18. Estos factores comunes son 1, 2, 3, y 6. Es decir, que el máximo factor común (MCD) es el mayor de estos, en este caso es 6.

Factor común algebraico:

Esta expresión algebraica como 4m + 8 mn, el factor común es 4m, porque 4 es el MCD entre 4 y 8 y m es la variable común en ambos términos. Quedando factorizada de la siguiente manera:

4m + 8mn = 4m (1+ 2n)

¿Para qué se usa el factor común?

Se usa para resolver ecuaciones y simplificar expresiones, debido a que permite disminuir la complejidad de las operaciones matemáticas.

Ejercicios resueltos: Caso #1 Factor común

  • a + ab= a (1 + b)
  • 16mn + 8n = 8n (2m + 1)
  • 10 xy – 5y = 5y (2x – 1)
  • 8 x22x = 2x (4x – 1)
  • 10 m4 + 5m = 5m (2m3 + 1)
  • 20 p4 sp = 4p (5 –  s)
  • 14 kl7 k = 7k (2l – 1)
  • 20 t + 10 = 10 (2t + 1)
  • 100 np + 50p = 50p (2n + 1)
  • 30 xy +15y = 15y (2x + 1)

Ejercicios de factor común de expresiones algebraicas de más de dos términos

  1. x2 + 3xy – 9x = x (x + 3y – 9)
  2. 12m4n9m3n2 + 3mn = 3mn (4m33m2n +1)
  3. 45 xy3+ 15y2 3y= 3y (15xy2 + 5y – 1)
  4. 40 pq20p + 4 pqr= 4p (10q – 5p + qr)
  5. 15 st + 5stu + stu = st (15 + 5u + u)
  6. 5 xyz + 15 xyz + 25 xy= 5 xy (z + 3z + 5)
  7. 16 mnñ + + 2mnñ = (8mn + 2 + mn)
  8. 10 xm + 5xm + 5m= 5 m (2x + x + 1)
  9. 30 km + 10 k2m2 k3m2= 2 km (15+ 5kk2m)
  10. 18 pq2 + 4 p3q3– 2pq= 2pq (9q + 2p2q2 – 1)

Ahora que conoces lo que es factor común, te invito a reforzar tus conocimientos con la práctica de ejercicios, también te invito a ver el tutorial en nuestro canal de YouTube. No olvides comentar y compartir este post con tus amigos, además nos estás ayudando a llegar a más personas.

 

Suma y resta de monomios

Suma y resta de monomios

Suma y resta de monomios

¿Estás buscando cómo resolver suma y resta de monomios? Esta es tu oportunidad de aprender de una forma fácil y rápido. ¿Sabías que las operaciones con monomios se utilizan en las soluciones de problemas de ingeniería y de economía?

Para calcular este tipo de expresiones, primero debes saber identificar los monomios semejantes, con el fin de sumarlos y restarlos, y segundo conocer las propiedades de la potenciación.

Suma y resta de monomios

Los monomios deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, escribiendo siempre la misma parte literal. Todo este procedimiento es llamado reducción de términos semejantes.

Ejemplo#1

ASM1Determinar el perímetro del siguiente romboide.

Para calcular el perímetro (P) de este cuadrilátero debes sumar todas las medidas de sus lados. Según la propiedad del romboide, sus lados opuestos son congruentes, es decir, poseen las mismas dimensiones.

P = 15x2y3 + 27x2y3 + 15x2y3 + 27x2y3

P = (15 + 27 + 15 + 27)x2y3

P = 84x2y3

El perímetro del romboide es 84x2yunidades.

Ejemplo#2

ASM2Determinar el área de la región coloreada, sabiendo que el área del trapecio rectangular es  AT = 10,5 d4ey el área del círculo AC = 3,14 d4e6.

La figura está compuesta por un trapecio rectangular y un círculo, para hallar el área coloreada se requiere restar los sectores de ambas figuras.

AS = AT AC

AS = 10,5 d4e6 – 3,14 d4e6

AS = (10,5 – 3,14)d4e6

AS = 7,36 d4e6 

El área coloreada es de 7,36 d4e6 unidades cuadradas.

Ejemplo#3

Calcula la suma y la resta de los siguientes monomios  ASM5ASM6

Al sumar:

ASM4

Al restar:


Actividades de suma y resta de monomios

Determina la suma de cada grupo de monomios.

-5a, 8a

-34e4, -56e4

25y, -54y, -45y

-4m2y, 17m2y, -2m2y, 6m2y

-56t5e, 65t5e, 15t5e, -10t5e, -2t5e, 20t5e, 16t5e, –t5e, 7t5e, t5e

w8, 5w8, –w8, 8w8, -5w8, 4w8, -8w8, -4w8, 0w8, -11w8, 12w8

8xzy, -18xzy, 6xzy, -13xzy, 7xzy, -3xzy, 4xzy

1.2y, 6.74y, -5.87y, -4.25y, 14.8y, -5.13y, 9y, -34y, 5y, 6.7y, y, -2y, -3y

Calcula el área total de cada imagen teniendo en consideración el valor de las distintas zonas.

ASM10 ASM12 ASM16

Haz uso de una expresión algebraica para que representes el perímetro de la figura.

ASM15

Determina el área de la parte coloreada

ASM17

Diga qué opciones son verdaderas o falsas, en caso de ser incorrecta, justifica.

  1.  Para sumar se requiere que los monomios sean semejantes, en la resta no es necesario que se cumpla esa condición.
  2.  La reducción de términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes de cada monomio, y también los exponentes de cada parte literal.
  3. Al sumar o restar monomios no semejantes se deja indicada la operación.

Problemas:

  • El perímetro de un triángulo escaleno es 18.18ab, uno de sus lados mide 8.06ab y el otro 6ab. Determina la longitud del tercero.
  • ASM18El área total de la siguiente imagen es de 27m2y2. Calcula la región desconocida y selecciona la opción correcta.

Opciones:

  1.  AT27m2y2 + 18m2y2 – 3m2y2
  2. AT27m2y2 – 18m2y2 + 3m2y2
  3.  AT27m2y2 + (18m2y2 + 3m2y2)
  4. AT27m2y2 – (18m2y2 + 3m2y2)

Ahora que conoces un poco más acerca de la suma y resta de monomios es hora de poner en práctica lo aprendido. No olvides calificar, comentar y compartir esta información que será de gran ayuda para otros. Te invitamos a ver el artículo introducción a los polinomios. 😉

Introducción a los Polinomios

Introducción a los Polinomios

Comprar en e supermercado¿No entiendes bien los polinomios? Si es así, quédate en este sitio, aquí verás una introducción completa acerca de este tema, desde función polinómica hasta orden de polinomios. Imagina que vas de compra a un supermercado, seguramente ni pensarás que harás uso de ellos, pero sigue leyendo, verás que tiene mucha relación.

Por ejemplo, si vas a comprar 2 manzanas más 3 fresas, y desconoces el valor de cada manzana y de cada fresa, allí precisamente se forma un polinomio, ¿y cómo? como no conoces el valor de la manzana le asignas la letra “x” y a la fresa la letra “y”. Observa como queda la expresión en la siguiente imagen:

Función polinómica

La palabra función  expresa la dependencia de una variable con respecto a la otra, por consiguiente, al tener el valor de la variable independiente puedes calcular el valor de la otra variable.

Por ejemplo, si conoces los valores de los lados de un rectángulo, entonces puedes determinar su perímetro, ya que el valor del perímetro está en función a sus lados.

Observa: a=4 cm y  b=8 cm. Calcule el perímetro.

Calcular el perímetro del rectángulo

La función polinómica se escribe de la forma:

Donde:

Son números racionales llamados coeficientes.

  Son los términos.

Son números naturales y representan los exponentes de las variables.

Una función polinómica siempre se representa con una letra mayúscula acompañado de la variable independiente “x”.

Ejemplo: Represente las siguientes expresiones algebraicas en funciones polinómicas.

En este caso se utilizaran las letras mayúsculas O y P para crear las funciones polinómicas, quedando de la siguiente forma:

Lo anterior eran funciones polinómicas, pero quiero que veas que las siguientes, no son funciones polinómicas.

La razón es que existe variables (x, y) con exponentes negativos.

Valor numérico de una función polinómica

Para determinarlo, debes tener el valor la variable independiente “x”, luego sustituye ese valor en la función polinómica y finalmente efectúa las operaciones para obtener el valor numérico de la función polinómica.

Ejemplo: Calcula los valores numéricos de las siguientes funciones polinómicas dadas para los valores que se indican.

Solución:

Explicación con video de valor numérico

Elementos de un polinomios

Es una expresión algebraica conformada por términos de la forma:

anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0      y   an0

Los elementos de un polinomio son:

  • Coeficiente numérico.
  • Coeficiente literal.
  • Términos del polinomio.
  • Término independiente.
  • Grado del polinomio

Polinomio:

anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0      y   an0

Coeficiente numérico:  an, an-1, … , a2, a1, a0  estos números pertenecen al conjunto de los números racionales.

Coeficiente literal:

Términos del polinomio: anxn , an-1xn-1 , … , a2x2 , a1x  y  a0

Término independiente: El término a0 es llamado término independiente ya que multiplica a x0que es igual a 1.

Grado del polinomio: Es el mayor exponente del coeficiente literal. “n” es un número entero

Ejemplo: Identifique los elementos del siguiente polinomio.

Coeficientes numéricos 4, -3, 2, -1 y 6

Coeficiente literal: x

Términos del polinomio: Posee cinco términos: 4x4; -3x3; 2x2; –x; 6

Término independiente: 6

Grado del polinomio: 4

Explicación con video de los elementos de un polinomio

Términos semejantes de un polinomio

Dos o más términos de un polinomio son semejantes si tienen los mismos coeficientes literales y el mismo grado.

Ejemplo:

Los términos semejantes se pueden sumar o restar modificándose los coeficientes numéricos quedando intacto el coeficiente literal y su grado. Los términos que no son semejantes no se pueden operar quedan iguales.

Clasificación de los polinomios según la cantidad de términos

Los polinomios reciben un nombre específico dependiendo de la cantidad de términos no semejantes.

Clasificación de los polinomios

  • Monomio: Es un polinomio de un sólo termino. Por ejemplo:
  • Binomio: Es un polinomio formado por dos términos. Ejemplo:
  • Trinomio: Es un polinomio formado por tres términos. Ejemplo:
  • Polinomio nulo: Llamado también polinomio cero y se da cuando su coeficiente es igual a cero. Ejemplo:
  • Polinomio constante: Es aquél polinomio que posee sólo un término constante. Ejemplo:
  • Polinomio de identidad: Es un polinomio donde cada valor de la variable “x” se obtiene la misma cantidad. Ejemplo:

 😯  NOTA IMPORTANTE: El nombre a una expresión algebraica de más de tres términos es llamado Polinomio.

Grado de un polinomio

Existen dos grados que se considera en un polinomio y se le denominan grado relativo y grado absoluto.

Grado relativo

El grado relativo va dirigida específicamente a una variable, el grado es el mayor exponente que tiene esa variable.

Ejemplo, observa la siguiente expresión:

  1. Es un trinomio porque posee tres términos o tres monomios.
  2. El grado relativo respecto a la variable x es 5.
  3. El grado relativo respecto a la variable y es 8.
  4. El grado relativo respecto a la variable z es 4.

Grado absoluto

El grado absoluto de un polinomio es el exponente más grande que posee un término, si existen varias variables se suman todos sus exponentes y si posee sólo una se considera el término que posea el exponente mayor.

Ejemplo, observa la siguiente expresión:

  1. Es un polinomio porque posee más de tres términos.
  2. El grado absoluto es 5, ya que el primer término es el mayor de todos

  1. Es un polinomio ya que posee más de tres términos.
  2. El grado absoluto es 12, ya que el cuarto término al sumar todos sus exponentes es mayor a todos los otros términos.

Ejemplo:

Clasifique los siguientes polinomios según el número de términos. Determina el grado absoluto y relativo respecto a cada variable.

a.

b.

c.

d.

Solución:

Cantidad de términosClasificaciónGrados relativosGrado absoluto
a2BinomioPara x = 5

Para y = 2

7
b3TrinomioPara a = 3

Para b = 3

4
c3TrinomioPara a = 3

Para b = 1

4
d5PolinomioPara a = 4

Para b = 3

Para c = 2

Para d = 1

4

Clasificación de los polinomios según sus grados

Según el grado del polinomio se puede clasificar como:

  • Primer grado.
  • Segundo grado.
  • Tercer grado y así sucesivamente.

La escritura de estos polinomios es de la siguiente forma:

  • Primer grado se escribe: P(x)=axb, donde son constante.
  • Segundo grado se escribe: Q(x)=ax2bx c
  • Tercer grado: R(s)=ax3bx2cx+d

Polinomios completos e incompletos

Un polinomio P(x)=anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0  es completo si todos sus bases o coeficientes son distintos a cero.

Es incompleto cuando unos de los coeficientes es igual a cero, en este caso una de las potencias no está en la expresión.

Completar polinomios

Un polinomio incompleto es cuando falta un término del polinomio, para identificarlo debes observar primero el grado del polinomio, luego contar regresivamente hasta llegar al término independiente que es un número que visiblemente no posee variable y si la posee su exponente es igual a cero.

Luego se vuelve escribir los términos que se tiene y el término que no se encuentre se completa con cero (0) con su variable y su exponente respectivo, este cero es el coeficiente de ese término.

Ejemplo # 1: Completa el siguiente polinomio.

El grado del polinomio es 4, contando regresivamente se observa que faltaría dos términos, el término de exponente 3 y el de exponente 2. A estos términos se completan con cero (0). Observa como queda el polinomio:

Ejemplo # 2: Indique el polinomio incompleto y complete.

El polinomio incompleto es P(x), entonces queda así:

Orden de los polinomios

Los términos de un polinomios pueden ser ordenados de forma:

  • Decreciente o
  • Creciente.
En la forma decreciente se escribe primero el término de mayor grado, luego se escriben los demás términos de mayor a menor.

Ejemplo:

⇒ Ordene el siguiente polinomio de forma decreciente:

⇒ Queda:

En la forma creciente se escribe primero el término independiente, luego se escriben los demás términos de menor a mayor hasta el término de mayor grado.

Ejemplo: 

⇒ Ordene el siguiente polinomio de forma creciente:

⇒ Queda:


Actividades

Identifica si los siguientes planteamientos son verdaderos o falsos.

  • El grado absoluto de un polinomio es la sumatoria de todos los exponentes seleccionando el término con mayor exponente.
  • Entre los términos de un binomio no existe signo de suma o de resta.
  • El grado relativo de un polinomio respecto a una variable es la sumatoria de dicha variable.
  • Un trinomio está formado por tres términos.

Identifica el grado del polinomio y los grados relativos de las variables a y b.

Crea un polinomio con las siguientes condiciones.

  • Binomio con dos variables y grado absoluto 10.
  • Trinomio con tres variables y grado absoluto 6.

Identifica cuáles de las siguientes funciones son polinómicas.

Calcula los valores numéricos de las funciones polinómicas dadas para los valores que se indican.

Identifica en cada uno de los polinomios dados, la cantidad de términos, términos del polinomio, coeficientes numéricos, coeficiente literal, término independiente y grado del polinomio.

Observa cada polinomio y si existe términos semejantes reduzca a un solo término.

Clasifica los siguientes polinomios según el número de términos

Reduzca aplicando términos semejantes, complete y ordene de forma decreciente los siguientes polinomios.

Ahora que ya conoces un poco más acerca de la introducción a los polinomios refuerza el tema resolviendo las actividades propuestas. Además, si te gustó este contenido no olvides compartir, seguramente será muy útil a tus compañeros de clases. Déjanos tu comentario y si necesitas algún contenido en especial háznoslo saber, estamos para ayudarte.

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