8ºGrado

La división de polinomios es la operación inversa a la multiplicación: si conoces el área total de un terreno rectangular expresada como un polinomio, y ya conoces uno de sus lados, la división te permite encontrar el lado que falta.

En este artículo podrás repasar qué es la división de polinomios, aprender el método paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.

¿Cómo se dividen dos polinomios paso a paso?

Dividir dos polinomios sigue una lógica parecida a la división larga de números. El proceso se repite hasta que el resto obtenido tenga un grado menor que el divisor, momento en el cual ya no se puede seguir dividiendo.

El resultado siempre puede comprobarse con la relación: Dividendo = Divisor × Cociente + Resto.

Ejemplo # 1: división exacta

Retomando el terreno rectangular de área (x² + 10x + 21) y lado (x + 7) del artículo sobre multiplicación de polinomios, encuentra el lado que falta dividiendo:

Solución:

El otro lado del terreno mide (x + 3), y la división es exacta, ya que el resto es cero.

Ejemplo # 2: división con resto

Divide los siguientes polinomios:

Solución:

Como el resto (2x − 1) tiene un grado menor que el divisor, la división termina aquí:

Términos clave

División de polinomios: operación que consiste en hallar un cociente y un resto al dividir un polinomio (dividendo) entre otro (divisor).

Resto de una división: polinomio que queda al finalizar la división; su grado siempre es menor que el del divisor.

Ejercicios resueltos

1. Divide (x² − 9) entre (x − 3).

2. Divide (x³ − 6x² + 11x − 6) entre (x − 1).

3. Divide (x⁴ + x³ − 5x² + 17x − 15) entre (x² − 2x + 3).

4. Un terreno rectangular tiene un área de (x² + 10x + 21) y uno de sus lados mide (x + 3). Encuentra el lado que falta.

5. Divide (2x³ + 3x² − 4x + 1) entre (x + 2).

Preguntas frecuente

Lectura recomendada:

Explora la división de polinomios con GeoGebra: utiliza esta calculadora gráfica para representar polinomios, analizar sus gráficas y reforzar la comprensión de los resultados obtenidos en los ejercicios.

Conclusión

Dividir polinomios requiere paciencia y orden: dividir el término principal, multiplicar, restar y repetir hasta que el resto ya no se pueda seguir dividiendo.

Esta operación, inversa a la multiplicación, es especialmente útil para factorizar polinomios, simplificar expresiones racionales y resolver problemas donde se conoce el resultado de una multiplicación y hace falta encontrar uno de sus factores.

Actividades

1. Divide el siguiente polinomio entre el binomio indicado.

Respuesta

2. Realiza la división del siguiente polinomio.

Respuesta

3. Divide el siguiente polinomio entre el polinomio indicado.

Respuesta

4. Un rectángulo tiene un área representada por el siguiente polinomio. Si uno de sus lados mide x+4, determina la medida del otro lado.

Respuesta

5. Efectúa la siguiente división de polinomios.

Respuesta

6. Divide el siguiente polinomio entre el binomio indicado.

Respuesta

7. Realiza la siguiente división de polinomios.

Respuesta

8. Divide el siguiente polinomio entre el divisor indicado.

Respuesta

9. Una empresa fabrica un panel rectangular cuya superficie está representada por el siguiente polinomio. Si el ancho mide x+5. Determina el largo.

Respuesta

10. Divide el siguiente polinomio entre el binomio indicado.

Respuesta

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La multiplicación de polinomios aparece de forma natural al calcular áreas: si el largo y el ancho de un terreno rectangular dependen de una misma variable x, su área total se obtiene multiplicando los dos polinomios que representan esas dimensiones.

En este artículo podrás repasar qué es la multiplicación de polinomios, aprender sus distintos casos paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.

¿Cómo se multiplican dos polinomios término por término?

La multiplicación de polinomios se apoya en la propiedad distributiva y en las reglas de los exponentes. Existen tres casos, según el tipo de expresiones que se multipliquen.

En todos los casos, el grado del polinomio resultante es igual a la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ejemplo # 1. Constante por polinomio

Multiplica:

$$5\cdot(2x^3-4x+1)$$

Solución:

$$5\cdot(2x^3-4x+1) = 10x^3-20x+5$$

Ejemplo # 2. Monomio por polinomio

Operar:

$$3x^2\cdot(2x^3-4x+1)$$

Solución:

$$3x^2\cdot(2x^3-4x+1) = 6x^5-12x^3+3x^2$$

Ejemplo # 3. Polinomio por polinomio

Multiplica los siguientes polinomios:

Solución: Se multiplica cada término de P(x) por todos los de Q(x).

Se agrupan los términos semejantes:

Términos clave

Multiplicación de polinomios: operación que combina dos o más polinomios multiplicando todos sus términos entre sí y sumando los resultados semejantes.

Propiedad distributiva: propiedad que permite multiplicar un término por una suma, distribuyendo la multiplicación entre cada sumando.

Ejercicios resueltos

1. Multiplica 6 por el polinomio (3x² − 5x + 2).

$$6\cdot(3x^2-5x+2) = 18x^2-30x+12$$

2. Multiplicar −4x por (2x³ + 3x² − x + 5).

3. Multiplique P(x) = x² + 4 y Q(x) = x² − 4.

$$P(x)\cdot Q(x) = x^4-16$$

4. Multiplica R(x) = x + 3 y S(x) = x − 3.

$$R(x)\cdot S(x) = x^2-9$$

5. Multiplica los polinomios T(x) = 2x² − x + 3 y U(x) = x² + 2x − 1.

$$T(x)\cdot U(x) = 2x^4+3x^3-x^2+7x-3$$

6. Un terreno rectangular tiene un largo de (x + 7) metros y un ancho de (x + 3) metros. Encuentra el polinomio que representa su área.

$$\text{Área} = (x+7)(x+3) = x^2+10x+21$$

Preguntas frecuentes

Conclusión

La multiplicación de polinomios se reduce a aplicar la propiedad distributiva con cuidado y a sumar correctamente los exponentes de la variable en cada término. Ya sea multiplicando una constante, un monomio o un polinomio completo, el procedimiento es siempre el mismo en esencia.

Esta operación es clave para calcular áreas, volúmenes y modelos donde dos cantidades variables se combinan de forma multiplicativa.

Actividades

La resta de polinomios permite calcular la diferencia entre dos expresiones algebraicas, algo tan común como averiguar la ganancia de un negocio restando los costos a los ingresos, cuando ambos se representan como polinomios en función de las unidades vendidas.

En este artículo podrás repasar qué es la resta de polinomios, aprender el método paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.

¿Cómo se restan dos polinomios sin equivocarse con los signos?

Restar un polinomio de otro consiste en sumarle al primero (el minuendo) el opuesto del segundo (el sustraendo). El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus coeficientes.

El procedimiento tiene tres pasos: primero, se cambia el signo de cada término del sustraendo; segundo, se agrupan los términos semejantes entre el minuendo y el sustraendo ya cambiado de signo; tercero, se suman los coeficientes de cada grupo, igual que en una suma de polinomios.

Es fundamental cambiar el signo de todos los términos del sustraendo, no solo del primero: este es el error más frecuente al restar polinomios.

Términos claves

Resta de polinomios: operación que consiste en sumar al minuendo el opuesto del polinomio sustraendo.

Polinomio opuesto: polinomio que se obtiene al cambiar el signo de todos los coeficientes de otro polinomio.

Ejemplos explicados paso a paso

A continuación encontrarás tres ejemplos de resta de polinomios resueltos y explicados paso a paso. Cada procedimiento muestra cómo cambiar correctamente los signos del segundo polinomio, agrupar los términos semejantes y obtener el resultado final de forma clara y sencilla.

Ejemplo # 1

Resta los siguientes polinomios:

Solución: Se cambia el signo de cada término de Q(x) y se suma con P(x).

$$P(x)-Q(x) = 3x^3+3x^2+4x-8$$

Ejemplo # 2

Resta los siguientes polinomios, en los que varios términos se cancelan:

Solución:

$$P(x)-Q(x) = -7x^2+6$$

Ejemplo # 3

La resta de polinomios no es conmutativa: restar en el orden opuesto da el resultado con el signo cambiado. Usando los mismos polinomios del Ejemplo # 1:

$$Q(x)-P(x) = -3x^3-3x^2-4x+8$$

Como puede verse, el resultado es exactamente el opuesto del obtenido en P(x) − Q(x).

Ejercicios resueltos

Resta los siguientes polinomios:

Preguntas frecuentes

Conclusión

Restar polinomios se apoya en una sola idea clave: cambiar el signo de todos los términos del sustraendo antes de sumar. Con esa precaución, el resto del proceso es idéntico al de una suma de polinomios.

Esta operación es especialmente útil para calcular diferencias entre cantidades variables, como la ganancia de un negocio o la variación entre dos mediciones que dependen de una misma variable.

Actividades

Las operaciones con polinomios están presentes en situaciones tan comunes como calcular el interés de una cuenta de ahorros, estimar el costo total de una compra con descuentos escalonados o programar el movimiento de un objeto en un videojuego.

Dominar la suma, la resta, la multiplicación y la división de polinomios permite resolver estos problemas de forma ordenada y sin perderse en el camino. En este artículo podrás repasar la definición de un polinomio, aprender cada una de las cuatro operaciones básicas paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.

¿Qué es un polinomio y por qué aparece en tantos cálculos cotidianos?

Un polinomio es una expresión algebraica que se construye a partir de una o más variables, combinadas únicamente mediante sumas, restas, multiplicaciones y exponentes enteros no negativos. Aunque parezca un concepto puramente abstracto, los polinomios aparecen todo el tiempo en la vida cotidiana, por ejemplo en la planificación financiera.

Situación cotidiana

Una ecuación polinómica puede utilizarse para calcular el interés que generará un depósito inicial en una cuenta de ahorros a una tasa dada. Si una cuenta con un depósito inicial de Bs 5.000 gana un interés simple del 4 % anual, la siguiente expresión permite calcular el interés acumulado en tres años:

$$\text{Interés} = (5000)(0{,}04)(3) = 600$$

Es decir, la cuenta acumularía Bs 600 de intereses durante los tres años.

De manera formal, se llama polinomio, en la variable x, a cualquier expresión algebraica de la forma:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0$$

donde:

Por ejemplo, el polinomio siguiente es de grado 4, tiene cinco términos, y sus coeficientes son 5, −3, 2, −1 y 7:

$$P(x) = 5x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 7$$

En cambio, la siguiente expresión no es un polinomio, porque el exponente de la variable x es negativo, y los polinomios solo admiten exponentes enteros no negativos: $$3x^{-1} + 2x^2 – 4$$

Términos relevantes

• Polinomio: expresión algebraica formada por la suma de varios términos, cada uno con un coeficiente real y una variable elevada a un exponente entero no negativo.

• Grado de un polinomio: el mayor exponente de la variable que aparece en los términos no nulos del polinomio.

• Coeficiente: número real que multiplica a la variable en cada término del polinomio.

• Término independiente: el coeficiente de grado cero, es decir, el término del polinomio que no tiene variable.

• Cociente y resto: resultados de dividir un polinomio entre otro; el resto siempre tiene un grado menor que el divisor.

Igualdad de polinomios

Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si tienen los mismos coeficientes en cada grado, sin importar el orden en que estén escritos sus términos.

Los siguientes polinomios son iguales, ya que tienen exactamente los mismos términos, solo que en distinto orden:

$$P(x) = 5x^3-2x^2+4x-1 \qquad Q(x) = 4x-2x^2+5x^3-1$$

En cambio, los siguientes polinomios no son iguales, porque su término independiente no coincide:

$$P(x) = 5x^3-2x^2+4x-1 \qquad R(x) = 5x^3-2x^2+4x-3$$

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios, se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Suma los siguientes polinomios:

$$P(x) = 3x^3+4x-5 \qquad Q(x) = 5x-2x^2+3x^3$$

1. Se ordenan los polinomios, si no lo están:

$$Q(x) = 3x^3-2x^2+5x$$

$$P(x)+Q(x) = (3x^3+4x-5) + (3x^3-2x^2+5x)$$

2. Se agrupan los monomios del mismo grado:

$$P(x)+Q(x) = 3x^3+3x^3-2x^2+4x+5x-5$$

3. Se suman los monomios semejantes:

$$P(x)+Q(x) = 6x^3-2x^2+9x-5$$

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Usando los mismos polinomios P(x) y Q(x) del ejemplo anterior:

$$P(x)-Q(x) = (3x^3+4x-5) – (3x^3-2x^2+5x)$$

$$P(x)-Q(x) = 3x^3+4x-5-3x^3+2x^2-5x$$

$$P(x)-Q(x) = 3x^3-3x^3+2x^2+4x-5x-5$$

$$P(x)-Q(x) = 2x^2-x-5$$

Multiplicación de polinomios

En esta sección encontrarás, cómo se realiza la multiplicación de una constante por un polinomio, la multiplicación de un monomio por un polinomio y, finalmente, la multiplicación de dos polinomios.

1. Multiplicación de una constante por un polinomio

El resultado es otro polinomio del mismo grado, cuyos coeficientes son el producto de los coeficientes originales por esa constante.

$$4\cdot(3x^3-2x^2+5x-3) = 12x^3-8x^2+20x-12$$

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

$$4x^2\cdot(3x^3-2x^2+5x-3) = 12x^5-8x^4+20x^3-12x^2$$

3. Multiplicación de dos polinomios

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo, y luego sumar los monomios del mismo grado.

El polinomio resultante tiene como grado la suma de los grados de los polinomios que se multiplican (2 + 3 = 5, en este caso).

División de polinomios

Observa los siguientes polinomios:

$$P(x) = x^5+x^4+x^3+7x^2+5x+9 \qquad Q(x) = x^2-2x+3$$

1. A la izquierda se coloca el dividendo; si el polinomio no está completo, se dejan huecos (coeficiente cero) en los lugares que correspondan. A la derecha se coloca el divisor.

2. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor:

$$x^5 \div x^2 = x^3$$

3. Se multiplica cada término del divisor por ese resultado y se resta del dividendo. Se repite el proceso con el nuevo resto obtenido:

$$x^4 \div x^2 = x^2$$

$$x^3 \div x^2 = x$$

$$7x^2 \div x^2 = 7\ \text{(ajustado en cada resta sucesiva)}$$

4. Al repetir el proceso, se obtiene un cociente de x³ + 3x² + 4x + 6, con un resto de 5x − 9, ya que este último tiene un grado menor que el divisor y, por lo tanto, no se puede seguir dividiendo:

$$C(x) = x^3+3x^2+4x+6 \qquad R(x) = 5x-9$$

Se puede comprobar el resultado verificando que Q(x)·C(x) + R(x) sea igual al dividendo original P(x).

Ejercicios resueltos paso a paso

1. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y Q(x) = x³ − 4x² + 7x − 5, calcula P(x) + Q(x).

Solución:

$$P(x)+Q(x) = (5x^2+3)+(x^3-4x^2+7x-5) = x^3+x^2+7x-2$$

2. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y V(x) = 2x² − 4, calcula P(x) − V(x).

Solución:

$$P(x)-V(x) = (5x^2+3)-(2x^2-4) = 3x^2+7$$

3. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y W(x) = 7x² + 2x − 4, calcula P(x) + W(x).

Solución:

$$P(x)+W(x) = (5x^2+3)+(7x^2+2x-4) = 12x^2+2x-1$$

4. Con los mismos polinomios P(x) y W(x) del ejercicio anterior, calcula 3P(x) − W(x).

Solución:

$$3P(x)-W(x) = 3(5x^2+3)-(7x^2+2x-4) = 15x^2+9-7x^2-2x+4 = 8x^2-2x+13$$

5. Dados los polinomios S(x) = (1/3)x² + 6, T(x) = (2/3)x² + 4 y U(x) = x² + 5, calcula S(x) + T(x) + U(x).

Solución:

$$S(x)+T(x)+U(x) = \left(\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}+1\right)x^2 + (6+4+5) = 2x^2+15$$

6. Con los mismos polinomios S(x), T(x) y U(x), calcula S(x) − T(x) + U(x).

Solución:

$$S(x)-T(x)+U(x) = \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}+1\right)x^2 + (6-4+5) = \tfrac{2}{3}x^2+7$$

7. Dados los polinomios P(x) = x⁴ − 3x² + 4 y Q(x) = x² − 3x + 2, calcula P(x)·Q(x).

Solución:

$$(x^4-3x^2+4)(x^2-3x+2) = x^6-3x^5+2x^4-3x^4+9x^3-6x^2+4x^2-12x+8$$

$$= x^6-3x^5-x^4+9x^3-2x^2-12x+8$$

8. Dados los polinomios P(x) = 2x² − 3x y Q(x) = 3x³ + 2x² − x + 4, calcula P(x)·Q(x).

Solución:

$$(2x^2-3x)(3x^3+2x^2-x+4) = 6x^5+4x^4-2x^3+8x^2-9x^4-6x^3+3x^2-12x$$

$$= 6x^5-5x^4-8x^3+11x^2-12x$$

9. Determina el cociente y el resto de:

$$(x^4-2x^3-6x^2+25x-22) \div (x^2+2x-3)$$

Solución:

$$C(x) = x^2-4x+5 \qquad R(x) = 3x-7$$

10. Determina el cociente y el resto de:

$$(x^6-4x^4+2x^2-5x) \div (x^2-x+2)$$

Solución:

$$C(x) = x^4+x^3-5x^2-7x+5 \qquad R(x) = 14x-10$$

Conclusión

Las operaciones con polinomios (sumar, restar, multiplicar y dividir) siguen reglas ordenadas que, una vez interiorizadas, se vuelven mecánicas: agrupar términos semejantes para sumar y restar, distribuir cuidadosamente para multiplicar, y repetir un proceso de división y resta para dividir.

Dominar estas cuatro operaciones no solo es la base para temas más avanzados del álgebra, como la factorización o la resolución de ecuaciones polinómicas, sino que también resulta útil en situaciones cotidianas que van desde las finanzas personales hasta la programación y la ingeniería.

La mejor forma de afianzar estas destrezas es practicando con ejercicios variados, como los que se presentaron en este post.

Preguntas frecuentes

Actividades

1. Dados los polinomios:

$$
P(x)=4x^2-3x+5
$$

y

$$
Q(x)=2x^3-x^2+6x-4
$$

calcula:

$$
P(x)+Q(x)
$$

Respuesta:

$$
2x^3+3x^2+3x+1
$$

2. Sean los polinomios:

$$
P(x)=6x^2+x-7
$$

y

$$
R(x)=3x^2-5x+2
$$

determina:

$$
P(x)-R(x)
$$

Respuesta:

$$
3x^2+6x-9
$$

3. Dados los polinomios:

$$
A(x)=7x^2-2x+1
$$

y

$$
B(x)=5x^2+4x-6
$$

calcula:

$$
A(x)+B(x)
$$

Respuesta:

$$
12x^2+2x-5
$$

4. Utilizando los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula:

$$
2A(x)-B(x)
$$

Respuesta:

$$
9x^2-8x+8
$$

5. Dados los polinomios:

$$
S(x)=\frac12x^2+3
$$

$$
T(x)=\frac32x^2+5
$$

$$
U(x)=2x^2-4
$$

calcula:

$$
S(x)+T(x)+U(x)
$$

Respuesta:

$$
4x^2+4
$$

6. Con los mismos polinomios del ejercicio anterior, determina:

$$
S(x)-T(x)+U(x)
$$

Respuesta:$$x^2-6$$

7. Multiplicar los siguientes polinomios:

$$P(x)=x^3-2x+1$$y$$Q(x)=x^2+x-3$$

Solución: $$x^5+x^4-5x^3-x^2+7x-3$$

8. Dados los polinomios:

$$
P(x)=3x^2-x
$$

y

$$
Q(x)=2x^3+x^2-4
$$

determina:

$$
P(x)\cdot Q(x)
$$

Respuesta:

$$
6x^5+x^4-2x^3-12x^2+4x
$$

9. Determina el cociente y el resto de:

$$
(x^4-3x^3+5x^2-7x+6)\div(x^2-x+2)
$$

Respuesta:

$$
\text{Cociente}=x^2-2x+1
$$

$$
\text{Resto}=-8x+4
$$

10. Determina el cociente y el resto de:

$$
(x^5+2x^4-3x^3+x^2-5)\div(x^2+2)
$$

Respuesta:

$$
\text{Cociente}=x^3+2x^2-5x-3
$$

$$
\text{Resto}=10x+1
$$