¿La división larga de polinomios es de esos procedimientos que entiendes en la teoría, pero se te enreda apenas cambian los signos? Esta evaluación interactiva está diseñada justamente para ese momento: convertir la teoría en dominio real, paso a paso, sin que un simple error de signo eche a perder todo tu trabajo.
En esta actividad resolverás cuatro divisiones de polinomios completas, y no solo marcarás la respuesta final: identificarás el primer término del cociente, revisarás la resta intermedia —el paso donde más se pierden puntos por errores de signo— y finalmente escribirás el cociente y el resto completos de cada ejercicio. Cada campo te da retroalimentación inmediata, así que sabrás en el momento si vas por buen camino, sin esperar hasta el final para descubrir en qué paso exacto te equivocaste.
¿Por qué vale la pena practicar así? Porque la división de polinomios es la base de temas que verás más adelante en tu formación: factorización, teorema del resto, teorema del factor, funciones racionales y hasta el estudio de asíntotas en cálculo. Si el algoritmo te queda firme ahora, esos temas te resultarán mucho más sencillos cuando lleguen.
Además, la evaluación incluye pistas progresivas para cada problema, por si te atoras en algún paso, y una solución completa desarrollada paso a paso que puedes revisar después de intentarlo, para entender exactamente dónde estuvo tu error y por qué ocurrió. Es una forma de practicar sin miedo a equivocarte: cada intento es una oportunidad real de aprender, no una nota definitiva ni un juicio sobre tu capacidad.
Ya sea que estés preparando un examen, repasando para la universidad o simplemente quieras confirmar que dominas el algoritmo, esta evaluación te da la práctica estructurada y guiada que necesitas. Tómate tu tiempo, usa las pistas si las necesitas, y comprueba cuánto sabes.
Evaluación de la división larga de polinomios
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Las operaciones con funciones son la herramienta que te permite construir funciones nuevas y más completas a partir de funciones más simples, tal como combinas ingredientes para preparar una receta.
Piensa en un negocio de venta de empanadas: los ingresos dependen del número de empanadas vendidas y los costos dependen de los ingredientes y el arriendo del local. Si quieres saber la ganancia, necesitas restar dos funciones: la de ingresos menos la de costos. Si quieres saber el costo por empanada, necesitas dividir dos funciones. Situaciones como esta aparecen constantemente en economía, física, biología e ingeniería, por eso las operaciones con funciones son uno de los pilares del pensamiento matemático en la educación media.
En esta guía aprenderás, de forma progresiva, a sumar, restar, multiplicar y dividir funciones, a calcular el dominio de la función resultante, y a interpretar las funciones exponenciales y logarítmicas junto con sus gráficas. Además, resolverás ejercicios paso a paso y practicarás con una batería de actividades.
Terminología
Función: relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango.
Dominio de una función: conjunto de todos los valores de x para los cuales la función está definida.
Operación entre funciones: proceso de combinar dos o más funciones mediante suma, resta, producto o cociente para construir una nueva función.
Función exponencial: función de la forma f(x) = a^x, con a > 0 y a ≠ 1, en la que la variable independiente aparece en el exponente.
Función logarítmica: función inversa de la exponencial, de la forma f(x) = log_a(x), que indica el exponente al que se debe elevar la base a para obtener x.
Asíntota: recta a la que la gráfica de una función se aproxima cada vez más, sin llegar a tocarla.
Restricción de dominio: condición que excluye ciertos valores de x, generalmente porque anulan un denominador o generan una raíz de índice par de un número negativo.
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Explicaciones paso a paso
Resolución de ejercicios
Preparación para exámenes
Seguimiento personalizado
Precios accesibles
No importa si comienzas desde cero o solo necesitas reforzar un tema específico; adaptamos cada clase a tus necesidades.
Así como puedes sumar, restar, multiplicar o dividir dos números reales, también puedes hacerlo con dos funciones. La idea central es sencilla: para operar dos funciones f y g, primero evalúas cada una en el mismo valor de x y luego aplicas la operación entre esos dos resultados.
Por ejemplo, si f(x) representa la temperatura del aire y g(x) representa la sensación térmica adicional por el viento, la función (f + g)(x) te da la sensación térmica total para cada instante x.
Suma y resta de funciones
La suma de dos funciones f y g se define evaluando ambas funciones en el mismo x y sumando sus resultados:
$$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$
De manera análoga, la resta se define como:
$$(f-g)(x) = f(x) – g(x)$$
El dominio de (f + g)(x) y de (f − g)(x) es la intersección de los dominios de f y de g; es decir, la función resultante solo está definida donde ambas funciones originales lo están.
$$D_{(f+g)} = D_{(f-g)} = D_f \cap D_g$$
Producto de funciones
El producto de dos funciones se obtiene multiplicando sus valores para un mismo x:
$$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$
Al igual que en la suma y la resta, el dominio del producto es la intersección de los dominios de las funciones originales.
$$D_{(f \cdot g)} = D_f \cap D_g$$
Cociente de funciones
El cociente de dos funciones se obtiene dividiendo sus valores para un mismo x, siempre que la función del denominador no se anule:
El dominio del cociente es la intersección de los dominios de f y g, excluyendo además los valores de x que anulan a g(x). Esta es la operación en la que más cuidado debes tener, porque un valor que anule el denominador debe eliminarse del dominio aunque no genere problema en el numerador.
$$D_{(f/g)} = (D_f \cap D_g) – \{x : g(x) = 0\}$$
La siguiente tabla resume las reglas de dominio para cada operación:
Operación
Notación
Dominio resultante
Suma
(f + g)(x)
Intersección de los dominios de f y g
Resta
(f − g)(x)
Intersección de los dominios de f y g
Multiplicación
(f • g)(x)
Intersección de los dominios de f y g
Cociente
(f / g)(x)
Intersección de los dominios de f y g, excluyendo los valores donde g(x) = 0
Ejemplo resuelto: relaciona las funciones con su resultado
Dadas f(x) = x − 2 y g(x) = 3x + 1, calcular cada operación solicitada:
a) (f + g)(x): sumas los términos semejantes.
$$(f+g)(x) = (x-2)+(3x+1) = 4x – 1$$
b) (f · g)(x): aplicas la propiedad distributiva (multiplicación de binomios).
Para el cociente, el denominador no debe anularse; al resolver x² + 3x − 2 = 0 con la fórmula general obtienes dos raíces irracionales que se excluyen del dominio:
Antes de operar, factoriza el numerador de f: 4x² − 1 es una diferencia de cuadrados, (2x − 1)(2x + 1). Al simplificar con el denominador, f(x) se reduce a 2x − 1, pero conserva la restricción original x ≠ −1/2, pues ese valor anula el denominador antes de simplificar.
La función h(x) tiene una raíz de índice par, así que el radicando no puede ser negativo: x + 1 ≥ 0, es decir, el dominio de h es [−1, +∞). La función g(x) es polinómica, con dominio en todos los reales.
Para el cociente debes excluir además los valores donde g(x) = 0, es decir x = 3 y x = −3; como x = −3 ya queda fuera del dominio [−1, +∞), la única exclusión adicional es x = 3:
Las funciones exponenciales y logarítmicas describen fenómenos de crecimiento y decrecimiento muy comunes en la naturaleza y en la tecnología, como el interés compuesto, el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva o la escala de Richter.
La función exponencial: tiene la forma general f(x) = a^x, con a > 0 y a ≠ 1.
$$f(x) = a^x, \quad a>0,\ a\neq 1$$
Su dominio es todos los reales, su rango es (0, +∞), y su gráfica tiene una asíntota horizontal en y = 0.
La función logarítmica: es la inversa de la exponencial y tiene la forma f(x) = log_a(x).
$$f(x) = \log_a(x), \quad x>0,\ a>0,\ a\neq 1$$
Su dominio es (0, +∞), su rango es todos los reales, y su gráfica tiene una asíntota vertical en x = 0.
Transformaciones de la gráfica: desplazamientos y reflexiones
Al sumar una constante fuera de la función, la gráfica se desplaza verticalmente.
Cuando sumas o restas una constante dentro del argumento, la gráfica se desplaza horizontalmente
Siempre que antecede un signo negativo, la gráfica se refleja respecto a un eje.
A continuación se analizará cada función a partir de las funciones base e^x, y log(x):
1) f(x) = e^x + 1: es la gráfica de e^x desplazada 1 unidad hacia arriba. Su asíntota horizontal pasa de y = 0 a y = 1, su dominio es todos los reales y su rango es (1, +∞).
2) f(x) = 1 − e^x: primero se refleja e^x respecto al eje x (obteniendo −e^x) y luego se desplaza 1 unidad hacia arriba. Su asíntota horizontal es y = 1, su dominio es todos los reales y su rango es (−∞, 1).
3) f(x) = 1 + log(x): es la gráfica de log(x) desplazada 1 unidad hacia arriba. Conserva la asíntota vertical en x = 0 y su dominio sigue siendo x > 0.
4) f(x) = ln(x − 2): es la gráfica de ln(x) desplazada 2 unidades hacia la derecha. Su asíntota vertical se traslada a x = 2 y su dominio pasa a ser x > 2.
5) f(x) = 2 + ln(x + 1): es la gráfica de ln(x) desplazada 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. Su asíntota vertical se traslada a x = −1 y su dominio pasa a ser x > −1.
Errores comunes al operar con funciones
Olvidar restringir el dominio del cociente: aunque el cociente se pueda simplificar algebraicamente, los valores que anulan el denominador original siempre se excluyen.
Confundir el producto (f · g)(x) con la composición (f ∘ g)(x): el producto multiplica los resultados; la composición evalúa una función dentro de la otra.
No verificar el dominio de las raíces de índice par al combinar funciones: el radicando debe ser mayor o igual a cero.
Simplificar una expresión racional y olvidar la restricción que existía antes de simplificar (como en el caso de (4x² − 1)/(2x + 1)). Calcular la intersección de dominios solo de manera intuitiva, sin resolver explícitamente las desigualdades o ecuaciones que definen cada
Aplicaciones de las operaciones con funciones en la vida cotidiana
Costos totales: la función de costo total es la suma de la función de costos fijos y la función de costos variables.
Utilidad o ganancia: se calcula como la resta entre la función de ingresos y la función de costos.
Área y volumen: al combinar funciones de longitud, se obtienen funciones de área o volumen mediante el producto.
Velocidad promedio: se obtiene como el cociente entre la función de distancia y la función de tiempo.
Crecimiento poblacional e interés compuesto: se modelan con funciones exponenciales.
Escalas de medición como el pH, los decibeles y la magnitud sísmica: se modelan con funciones logarítmicas.
Conclusión
Las operaciones con funciones —suma, resta, producto y cociente— te permiten construir modelos matemáticos más completos a partir de relaciones simples, siempre teniendo en cuenta que el dominio de la función resultante depende de los dominios originales y, en el caso del cociente, de los valores que anulan el denominador. Junto con las funciones exponenciales y logarítmicas, estas herramientas son la base para modelar fenómenos de crecimiento, costos, física y muchas otras situaciones reales. Dominar estos procedimientos te preparará tanto para tus evaluaciones de bachillerato como para cursos posteriores de cálculo.
Preguntas frecuentes
¿Qué son las operaciones con funciones?
Son procedimientos que permiten combinar dos o más funciones —mediante suma, resta, producto o cociente— para obtener una nueva función, evaluando cada función original en el mismo valor de x.
¿Cómo se suma dos funciones?
Se suman evaluando ambas funciones en el mismo x y sumando sus resultados: (f + g)(x) = f(x) + g(x). El dominio resultante es la intersección de los dominios de f y g.
¿Cómo se calcula el dominio de una función suma o resta?
Se halla la intersección de los dominios de las dos funciones originales; es decir, el conjunto de valores de x donde ambas funciones están definidas simultáneamente.
¿Qué diferencia hay entre el producto y el cociente de funciones?
El producto multiplica los valores de las dos funciones para un mismo x y no impone restricciones adicionales de dominio. El cociente divide esos valores y exige que la función del denominador no se anule, por lo que su dominio excluye esos valores.
¿Por qué el dominio del cociente de funciones excluye los ceros del denominador?
Porque la división entre cero no está definida en los números reales. Aunque la expresión resultante se pueda simplificar algebraicamente, el valor que anula el denominador original se mantiene excluido del dominio.
¿Qué es una función exponencial?
Es una función de la forma f(x) = a^x, con base a mayor que cero y distinta de 1, en la que la variable independiente aparece en el exponente. Su dominio son todos los reales y su rango es (0, +∞).
¿Qué es una función logarítmica?
Es la función inversa de la exponencial, de la forma f(x) = log_a(x). Indica el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x. Su dominio es (0, +∞) y su rango son todos los reales.
¿Cuál es la relación entre las funciones exponencial y logarítmica?
Son funciones inversas entre sí: si f(x) = a^x, entonces su inversa es f⁻¹(x) = log_a(x). Por eso sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x.
¿Cómo afecta una constante sumada a e^x o a ln(x) en su gráfica?
Sumar una constante fuera de la función desplaza la gráfica verticalmente (hacia arriba si es positiva, hacia abajo si es negativa). Sumar o restar una constante dentro del argumento desplaza la gráfica horizontalmente.
¿Para qué sirven las operaciones con funciones en la vida real?
Permiten modelar situaciones como la utilidad de un negocio (ingresos menos costos), la velocidad promedio (distancia entre tiempo), el crecimiento poblacional o el interés compuesto (funciones exponenciales), entre muchas otras aplicaciones.
Actividades
Resuelve los siguientes ejercicios. A continuación de cada enunciado se muestra la respuesta, para que puedas verificar tu procedimiento.
Sean f(x) = 2x + 3 y g(x) = x − 5. Halla (f + g)(x).
$$(f+g)(x) = 3x-2$$
Sean f(x) = 2x + 3 y g(x) = x − 5. Halla (f − g)(x).
$$(f-g)(x) = x+8$$
Sean f(x) = x + 4 y g(x) = x − 4. Halla (f · g)(x) simplificada.
$$(f\cdot g)(x) = x^2-16$$
Sean f(x) = 6x y g(x) = 2x. Halla (f / g)(x) y su dominio.
La división de polinomios es la operación inversa a la multiplicación: si conoces el área total de un terreno rectangular expresada como un polinomio, y ya conoces uno de sus lados, la división te permite encontrar el lado que falta.
En este artículo podrás repasar qué es la división de polinomios, aprender el método paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se dividen dos polinomios paso a paso?
Dividir dos polinomios sigue una lógica parecida a la división larga de números. El proceso se repite hasta que el resto obtenido tenga un grado menor que el divisor, momento en el cual ya no se puede seguir dividiendo.
1️⃣ Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor; ese resultado es un término del cociente.
2️⃣ Se multiplica ese término del cociente por todo el divisor, y el resultado se resta del dividendo.
3️⃣ Se repite el proceso con el nuevo resto obtenido, hasta que su grado sea menor que el del divisor.
El resultado siempre puede comprobarse con la relación: Dividendo = Divisor × Cociente + Resto.
Ejemplo # 1: división exacta
Retomando el terreno rectangular de área (x² + 10x + 21) y lado (x + 7) del artículo sobre multiplicación de polinomios, encuentra el lado que falta dividiendo:
4. Un terreno rectangular tiene un área de (x² + 10x + 21) y uno de sus lados mide (x + 3). Encuentra el lado que falta.
$$(x^2+10x+21) \div (x+3) = x+7$$
5. Divide (2x³ + 3x² − 4x + 1) entre (x + 2).
$$C(x) = 2x^2-x-2 \qquad R(x) = 5$$
¿Quieres aprender a sumar, restar y multiplicar con polinomios? clica en 👉 Más
Preguntas frecuente
1. ¿Qué es la división de polinomios?
Es la operación que consiste en hallar un cociente y un resto al dividir un polinomio, llamado dividendo, entre otro, llamado divisor.
2. ¿Cómo se sabe cuándo detener el proceso de la división de polinomios?
Se detiene cuando el grado del resto obtenido es menor que el grado del divisor; en ese punto ya no se puede seguir dividiendo.
3. ¿Qué relación existe entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto?
Siempre se cumple que Dividendo = Divisor × Cociente + Resto, lo que permite comprobar si una división está bien hecha.
4. ¿Qué ocurre si el resto de una división de polinomios es cero?
Significa que la división es exacta, es decir, que el divisor es un factor del dividendo.
5. ¿Qué grado tiene el cociente de una división de polinomios?
Su grado es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
6. ¿Qué se hace si el polinomio dividendo no está completo?
Se completan con coeficiente cero los términos de los grados que falten, para no cometer errores al restar durante el proceso.
7. ¿Cuál es la diferencia entre la división de polinomios y la regla de Ruffini?
La regla de Ruffini es un método abreviado que solo funciona cuando el divisor es un binomio de la forma (x − k); la división general de polinomios funciona para divisores de cualquier grado.
8. ¿Se puede dividir un polinomio entre otro de mayor grado?
Si el divisor tiene mayor grado que el dividendo, el cociente es cero y el resto es el mismo polinomio dividendo.
9. ¿Cómo se comprueba que una división de polinomios está bien hecha?
Se multiplica el divisor por el cociente obtenido, se le suma el resto, y el resultado debe coincidir exactamente con el dividendo original.
10. ¿En qué situaciones reales se aplica la división de polinomios?
Se aplica, por ejemplo, para encontrar una dimensión desconocida de un terreno a partir de su área total, o para simplificar expresiones algebraicas complejas.
Lectura recomendada:
Explora la división de polinomios con GeoGebra: utiliza esta calculadora gráfica para representar polinomios, analizar sus gráficas y reforzar la comprensión de los resultados obtenidos en los ejercicios.
Conclusión
Dividir polinomios requiere paciencia y orden: dividir el término principal, multiplicar, restar y repetir hasta que el resto ya no se pueda seguir dividiendo.
Esta operación, inversa a la multiplicación, es especialmente útil para factorizar polinomios, simplificar expresiones racionales y resolver problemas donde se conoce el resultado de una multiplicación y hace falta encontrar uno de sus factores.
Actividades
1. Divide el siguiente polinomio entre el binomio indicado.
$$
\frac{x^2-16}{x-4}
$$
Respuesta
$$
\frac{x^2-16}{x-4}=x+4
$$
2. Realiza la división del siguiente polinomio.
$$
\frac{x^3-9x^2+26x-24}{x-2}
$$
Respuesta
$$
\frac{x^3-9x^2+26x-24}{x-2}=x^2-7x+12
$$
3. Divide el siguiente polinomio entre el polinomio indicado.
La multiplicación de polinomios aparece de forma natural al calcular áreas: si el largo y el ancho de un terreno rectangular dependen de una misma variable x, su área total se obtiene multiplicando los dos polinomios que representan esas dimensiones.
En este artículo podrás repasar qué es la multiplicación de polinomios, aprender sus distintos casos paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se multiplican dos polinomios término por término?
La multiplicación de polinomios se apoya en la propiedad distributiva y en las reglas de los exponentes. Existen tres casos, según el tipo de expresiones que se multipliquen.
Constante por polinomio: se multiplica la constante por cada uno de los coeficientes del polinomio.
Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de la variable en cada caso.
Polinomio por polinomio: se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo, y luego se suman los términos semejantes del resultado.
En todos los casos, el grado del polinomio resultante es igual a la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
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Explicaciones paso a paso
Resolución de ejercicios
Preparación para exámenes
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Precios accesibles
No importa si comienzas desde cero o solo necesitas reforzar un tema específico; adaptamos cada clase a tus necesidades.
Solución: Se multiplica cada término de P(x) por todos los de Q(x).
$$P(x)\cdot Q(x) = 6x^4+4x^3-8x^2-9x^2-6x+12$$
Se agrupan los términos semejantes:
$$P(x)\cdot Q(x) = 6x^4+4x^3-17x^2-6x+12$$
Términos clave
Multiplicación de polinomios: operación que combina dos o más polinomios multiplicando todos sus términos entre sí y sumando los resultados semejantes.
Propiedad distributiva: propiedad que permite multiplicar un término por una suma, distribuyendo la multiplicación entre cada sumando.
5. Multiplica los polinomios T(x) = 2x² − x + 3 y U(x) = x² + 2x − 1.
$$T(x)\cdot U(x) = 2x^4+3x^3-x^2+7x-3$$
6. Un terreno rectangular tiene un largo de (x + 7) metros y un ancho de (x + 3) metros. Encuentra el polinomio que representa su área.
$$\text{Área} = (x+7)(x+3) = x^2+10x+21$$
¿Quieres aprender a sumar, restar y dividir con polinomios? clica en 👉 Más
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es la multiplicación de polinomios?
Es la operación que combina dos o más polinomios multiplicando todos sus términos entre sí y sumando después los términos semejantes del resultado.
2. ¿Cómo se multiplica una constante por un polinomio?
Se multiplica la constante por cada uno de los coeficientes del polinomio, sin alterar la parte variable de los términos.
3. ¿Cómo se multiplica un monomio por un polinomio?
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de la variable.
4. ¿Cómo se multiplican dos polinomios completos entre sí?
Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo, y luego se suman los términos semejantes obtenidos.
5. ¿Qué grado tiene el polinomio resultante de una multiplicación?
Su grado es igual a la suma de los grados de los dos polinomios que se multiplican.
6. ¿Qué es la propiedad distributiva y cómo se aplica aquí?
Es la propiedad que permite multiplicar un término por una suma distribuyendo la multiplicación entre cada sumando; es la base de la multiplicación de polinomios.
7. ¿Cómo se simplifica el resultado después de multiplicar dos polinomios?
Se agrupan y suman los términos semejantes que resulten de la multiplicación, igual que en una suma de polinomios.
8. ¿Qué es un producto notable y cómo se relaciona con la multiplicación de polinomios?
Un producto notable es un caso particular de multiplicación de polinomios, como (a+b)(a−b) = a² − b², que sigue un patrón fijo y permite resolver la multiplicación más rápido.
9. ¿La multiplicación de polinomios es conmutativa?
Sí, multiplicar P(x) por Q(x) da el mismo resultado que multiplicar Q(x) por P(x).
10. ¿En qué situaciones reales se aplica la multiplicación de polinomios?
Se aplica, por ejemplo, al calcular el área de un terreno rectangular cuyas dimensiones dependen de una misma variable, o al modelar volúmenes y otras cantidades compuestas.
Conclusión
La multiplicación de polinomios se reduce a aplicar la propiedad distributiva con cuidado y a sumar correctamente los exponentes de la variable en cada término. Ya sea multiplicando una constante, un monomio o un polinomio completo, el procedimiento es siempre el mismo en esencia.
Esta operación es clave para calcular áreas, volúmenes y modelos donde dos cantidades variables se combinan de forma multiplicativa.
Actividades
1. Multiplica el monomio por el siguiente polinomio.
$$
5(4x^2-3x+6)
$$
Rta.:
$$
20x^2-15x+30
$$
2. Multiplica el siguiente monomio por el polinomio.
$$
-3x(5x^3-2x^2+4x-7)
$$
Rta.:
$$
-15x^4+6x^3-12x^2+21x
$$
3. Calcula el producto de los siguientes polinomios.
$$
P(x)=x^2+5\qquad Q(x)=x^2-5
$$
Rta.:
$$
P(x)\cdot Q(x)=x^4-25
$$
4. Opera los siguientes polinomios.
$$
A(x)=x+6\qquad B(x)=x-6
$$
Rta.:
$$
A(x)\cdot B(x)=x^2-36
$$
5. Desarrolla el siguiente producto de polinomios.
$$M(x)=3x^2+2x-1\qquad N(x)=x^2-x+4$$
Rta.:
$$M(x)\cdot N(x)=3x^4-x^3+9x^2+9x-4$$
6. Un jardín rectangular tiene un largo de (x+8) metros y un ancho de (x+5) metros. Determina el polinomio que representa su área.
$$
A(x)=(x+8)(x+5)
$$
Rta.:
$$
A(x)=x^2+13x+40
$$
7. Multiplica el siguiente monomio por el polinomio.
$$
7x^2(x^3-2x+5)
$$
Rta.:
$$
7x^5-14x^3+35x^2
$$
8. Halla el producto de los siguientes binomios.
$$
R(x)=2x+5\qquad S(x)=3x-4
$$
Rta.:
$$
R(x)\cdot S(x)=6x^2+7x-20
$$
9. Multiplica los siguientes polinomios.
$$
F(x)=x^2+3x+2\qquad G(x)=x+4
$$
Rta.:
$$
F(x)\cdot G(x)=x^3+7x^2+14x+8
$$
10. Una empresa fabrica cajas cuya longitud es (x+4) cm, el ancho es (x+2) cm y la altura es x cm. Determina el polinomio que representa el volumen de la caja.
La resta de polinomios permite calcular la diferencia entre dos expresiones algebraicas, algo tan común como averiguar la ganancia de un negocio restando los costos a los ingresos, cuando ambos se representan como polinomios en función de las unidades vendidas.
En este artículo podrás repasar qué es la resta de polinomios, aprender el método paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se restan dos polinomios sin equivocarse con los signos?
Restar un polinomio de otro consiste en sumarle al primero (el minuendo) el opuesto del segundo (el sustraendo). El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus coeficientes.
El procedimiento tiene tres pasos: primero, se cambia el signo de cada término del sustraendo; segundo, se agrupan los términos semejantes entre el minuendo y el sustraendo ya cambiado de signo; tercero, se suman los coeficientes de cada grupo, igual que en una suma de polinomios.
Es fundamental cambiar el signo de todos los términos del sustraendo, no solo del primero: este es el error más frecuente al restar polinomios.
Términos claves
Resta de polinomios: operación que consiste en sumar al minuendo el opuesto del polinomio sustraendo.
Polinomio opuesto: polinomio que se obtiene al cambiar el signo de todos los coeficientes de otro polinomio.
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Explicaciones paso a paso
Resolución de ejercicios
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A continuación encontrarás tres ejemplos de resta de polinomiosresueltos y explicadospaso a paso. Cada procedimiento muestra cómo cambiar correctamente los signos del segundo polinomio, agrupar los términos semejantes y obtener el resultado final de forma clara y sencilla.
Ejemplo # 1
Resta los siguientes polinomios:
$$P(x) = 5x^3+4x-2 \qquad Q(x) = 2x^3-3x^2+6$$
Solución: Se cambia el signo de cada término de Q(x) y se suma con P(x).
$$P(x)-Q(x) = 5x^3+4x-2-2x^3+3x^2-6$$
$$P(x)-Q(x) = 3x^3+3x^2+4x-8$$
Ejemplo # 2
Resta los siguientes polinomios, en los que varios términos se cancelan:
La resta de polinomios no es conmutativa: restar en el orden opuesto da el resultado con el signo cambiado. Usando los mismos polinomios del Ejemplo # 1:
$$Q(x)-P(x) = 2x^3-3x^2+6-5x^3-4x+2$$
$$Q(x)-P(x) = -3x^3-3x^2-4x+8$$
Como puede verse, el resultado es exactamente el opuesto del obtenido en P(x) − Q(x).
¿Quieres aprender a restar, multiplicar y dividir con polinomios? clica en 👉 Más.
Ejercicios resueltos
Resta los siguientes polinomios:
1. P(x) = 7x³ − 2x + 9 y Q(x) = 4x³ + 5x² − 3.
$$P(x)-Q(x) = 3x^3-5x^2-2x+12$$
2. R(x) = 3x⁴ + 6x² − x y S(x) = 3x⁴ − 2x² + 4x − 5..
$$R(x)-S(x) = 3x^3-5x^2-2x+12$$
3. T(x) = 8x² + 5 y U(x) = 3x³ − 4x² + 2x.
$$T(x)-U(x) = -3x^3+12x^2-2x+5$$
4. Con los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula U(x) − T(x).
$$U(x)-T(x) = 3x^3-12x^2+2x-5$$
5. Resta los polinomios V(x) = (3/4)x² + 2 y W(x) = (1/4)x² − 6.
$$V(x)-W(x) = \tfrac{1}{2}x^2+8$$
6. El ingreso de una empresa por vender x unidades es I(x) = 5x² + 40x, y su costo de producción es C(x) = 2x² + 15x + 100. Encuentra el polinomio que representa la ganancia, es decir, I(x) − C(x).
Es la operación que consiste en sumarle al minuendo el opuesto del polinomio sustraendo, es decir, el mismo polinomio con todos sus signos cambiados.
2. ¿Cómo se calcula el opuesto de un polinomio?
Se cambia el signo de cada uno de sus coeficientes, sin alterar la parte variable de los términos.
3. ¿Por qué es importante cambiar el signo de todos los términos del sustraendo?
Porque si solo se cambia el signo del primer término, el resultado de la resta será incorrecto; el cambio de signo debe aplicarse a cada término, sin excepción.
4. ¿Es la resta de polinomios conmutativa?
No. Restar P(x) − Q(x) da un resultado que es exactamente el opuesto de restar Q(x) − P(x).
5. ¿Qué ocurre cuando se restan dos polinomios con términos exactamente iguales?
Esos términos se cancelan entre sí, dando como resultado un coeficiente cero en ese grado, lo que puede reducir el grado del polinomio resultante.
6. ¿Cómo se restan polinomios con coeficientes fraccionarios?
Se cambia el signo de las fracciones del sustraendo y luego se suman con las del minuendo, usando las reglas normales de suma de fracciones.
7. ¿El grado del polinomio resultante puede cambiar al restar?
Sí, si los términos de mayor grado de ambos polinomios son iguales, se cancelan y el grado del resultado disminuye.
8. ¿Cómo se relaciona la resta de polinomios con la suma?
La resta se define en términos de la suma: restar un polinomio equivale a sumar su opuesto.
9. ¿Se puede restar un polinomio de mayor grado a uno de menor grado?
Sí, sin ningún problema; el resultado tendrá, en general, el grado del polinomio de mayor grado involucrado.
10. ¿En qué situaciones reales se usa la resta de polinomios?
Se usa, por ejemplo, para calcular la ganancia de un negocio restando costos a ingresos, o para hallar la diferencia entre dos cantidades que dependen de una misma variable.
Conclusión
Restar polinomios se apoya en una sola idea clave: cambiar el signo de todos los términos del sustraendo antes de sumar. Con esa precaución, el resto del proceso es idéntico al de una suma de polinomios.
Esta operación es especialmente útil para calcular diferencias entre cantidades variables, como la ganancia de un negocio o la variación entre dos mediciones que dependen de una misma variable.
Actividades
1. Calcula la diferencia entre los siguientes polinomios.
$$A(x)=9x^3-4x+7\qquad B(x)=5x^3+2x^2-8$$
Rta.:
$$
A(x)-B(x)=4x^3-2x^2-4x+15
$$
2. Determina el resultado de restar los siguientes polinomios.
$$M(x)=6x^4+3x^2-5x\qquad N(x)=2x^4-7x^2+x+9$$
Rta.:
$$
M(x)-N(x)=4x^4+10x^2-6x-9.
$$
3. Efectúa la siguiente resta de polinomios.
$$F(x)=7x^2-9\qquad G(x)=2x^3-5x^2+4x$$
Rta.:
$$
F(x)-G(x)=-2x^3+12x^2-4x-9
$$
4. Utilizando los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula la diferencia en el orden indicado.
$$
G(x)-F(x)
$$
Rta.:
$$
G(x)-F(x)=2x^3-12x^2+4x+9
$$
5. Resta los siguientes polinomios con coeficientes fraccionarios.
6. El ingreso mensual de una tienda está representado por el polinomio I(x), mientras que el costo de operación está dado por C(x). Determina la utilidad calculando I(x) – C(x).
$$I(x)=8x^2+25x\qquad C(x)=3x^2+10x+80$$
Rta.:
$$
I(x)-C(x)=5x^2+15x-80
$$
7. Determina la diferencia:
$$H(x)=10x^5-4x^3+6x-2\qquad J(x)=3x^5+x^3-8x+5$$
Rta.:
$$
H(x)-J(x)=7x^5-5x^3+14x-7
$$
8. Realiza la resta de los siguientes polinomios.
$$R(x)=12x^3-7x^2+4\qquad S(x)=5x^3+2x^2-6x-1$$
Rta.:
$$R(x)-S(x)=7x^3-9x^2+6x+5$$
9. Calcula la diferencia:
$$L(x)=4x^4-3x^2+8x+1\qquad K(x)=x^4+5x^2-2x-6$$
Rta.:
$$L(x)-K(x)=3x^4-8x^2+10x+7$$
10. El valor de la producción de una fábrica está representado por el polinomio P(x) y los gastos de fabricación por G(x). Determina el polinomio que representa la diferencia P(x) – G(x).
La suma de polinomios permite combinar de forma ordenada dos o más expresiones algebraicas en una sola, algo que ocurre, por ejemplo, al sumar los costos variables de dos proveedores distintos para calcular el gasto total de un proyecto, o al combinar las áreas de dos terrenos cuyas dimensiones dependen de una misma variable.
En este artículo podrás repasar qué es la suma de polinomios, aprender el método paso a paso y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se suman dos polinomios sin perder ningún término?
Sumar dos polinomios es una operación que consiste en combinar sus términos semejantes, es decir, aquellos que tienen exactamente la misma variable elevada al mismo exponente. Solo se pueden sumar los coeficientes de términos semejantes; términos con distinto grado permanecen separados en el resultado.
El procedimiento tiene tres pasos: primero, se ordenan ambos polinomios de mayor a menor grado; segundo, se agrupan los términos semejantes; tercero, se suman los coeficientes de cada grupo. Si algún término no tiene pareja en el otro polinomio, simplemente se copia tal cual en el resultado.
El grado del polinomio resultante normalmente coincide con el mayor de los grados de los polinomios originales, aunque puede ser menor si los coeficientes de mayor grado llegan a cancelarse entre sí.
Ejemplo # 1
Suma los siguientes polinomios:
$$P(x) = 4x^3-2x+5 \qquad Q(x) = 3x^3+5x^2-7$$
Solución: Se agrupan los términos semejantes y se suman sus coeficientes.
$$P(x)+Q(x) = (4x^3+3x^3) + 5x^2 – 2x + (5-7)$$
$$P(x)+Q(x) = 7x^3+5x^2-2x-2$$
Ejemplo # 2
Suma los siguientes polinomios, en los que algunos términos se cancelan:
5. Suma los polinomios S(x) = (1/2)x² + 3 y T(x) = (1/4)x² − 5.
$$S(x)+T(x) = \tfrac{3}{4}x^2-2$$
6. Un proveedor A cobra (2x² + 50) dólares por fabricar x unidades, y un proveedor B cobra (3x + 120) dólares por un servicio adicional. Encuentra el polinomio que representa el costo total combinado.
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Preguntas frecuentes de suma de polinomios
1. ¿Qué es la suma de polinomios?
Es la operación que combina los términos semejantes de dos o más polinomios para obtener un único polinomio resultante.
2. ¿Cómo se identifican los términos semejantes en una suma de polinomios?
Son términos que comparten exactamente la misma variable elevada al mismo exponente; solo el coeficiente puede ser diferente.
3. ¿Es necesario ordenar los polinomios antes de sumarlos?
No es obligatorio, pero ordenarlos de mayor a menor grado facilita identificar los términos semejantes y reduce errores.
4. ¿Qué pasa si dos polinomios no tienen los mismos grados?
Los términos que no tienen pareja en el otro polinomio simplemente se copian tal cual en el resultado final.
5. ¿El grado del polinomio resultante puede ser menor que el de los originales?
Sí, esto ocurre cuando los coeficientes de mayor grado de ambos polinomios se cancelan entre sí al sumarse.
6. ¿Se pueden sumar más de dos polinomios a la vez?
Sí, el procedimiento es el mismo: se agrupan y suman los términos semejantes de todos los polinomios involucrados.
7. ¿Cómo se suman polinomios con coeficientes fraccionarios?
Se suman las fracciones de los términos semejantes usando las reglas normales de suma de fracciones, buscando un común denominador si es necesario.
8. ¿La suma de polinomios es conmutativa?
Sí, sumar P(x) + Q(x) da exactamente el mismo resultado que sumar Q(x) + P(x).
9. ¿La suma de polinomios es asociativa?
Sí, al sumar tres o más polinomios, el resultado no cambia sin importar el orden en que se agrupen las sumas.
10. ¿En qué situaciones reales se aplica la suma de polinomios?
Se aplica, por ejemplo, al combinar costos de distintos proveedores, sumar áreas de terrenos o combinar cantidades que dependen de una misma variable.
Conclusión
Sumar polinomios se reduce, en el fondo, a una tarea de organización: ordenar los términos, identificar cuáles son semejantes y sumar sus coeficientes con cuidado.
Este procedimiento sencillo es la base de operaciones más avanzadas, como la resta y la resolución de ecuaciones polinómicas, y aparece constantemente en situaciones donde hace falta combinar cantidades que dependen de una misma variable, como costos, áreas o cantidades de materiales.
Recursos recomendados: Si deseas profundizar en el estudio de los polinomios, consulta el artículo de Wikipedia. También puedes utilizar la Calculadora Gráfica de Desmos para representar dos polinomios y observar cómo se comporta gráficamente su suma.
Actividades
1. Suma: $$
P(x)=4x^3-5x+6
$$ $$
Q(x)=2x^3+3x^2-4
$$ Respuesta: $$
6x^3+3x^2-5x+2
$$ 2. Calcula la suma de: $$
P(x)=5x^4-2x^2+8
$$ $$
Q(x)=3x^4+6x-7
$$ Respuesta: $$
8x^4-2x^2+6x+1
$$ 3. Encuentra la suma de: $$
P(x)=6x^2-3
$$ $$
Q(x)=2x^3-4x^2+7x+5
$$ Respuesta: $$
2x^3+2x^2+7x+2
$$ 4. Suma: $$
A(x)=5x^2-3x+4
$$ $$
B(x)=-x^2+6x-2
$$ $$
C(x)=2x^2-5x+7
$$ Respuesta: $$
6x^2-2x+9
$$ 5. Calcula: $$
S(x)=\frac{3}{4}x^2+8
$$ $$
T(x)=\frac{1}{4}x^2-6
$$ Respuesta: $$
x^2+2
$$ 6. Una empresa A cobra:$$4x^2+80$$ Dólares por fabricar un lote de productos, mientras que una empresa B cobra:$$5x+140$$ Dólares por el transporte. Determina el costo total. Respuesta: $$
4x^2+5x+220
$$ 7. Suma los polinomios: $$
M(x)=2x^5-3x^3+x-8
$$ $$
N(x)=x^5+4x^3-5x+9
$$ Respuesta: $$
3x^5+x^3-4x+1
$$ 8. Determina la suma de: $$
P(x)=7x^4-2x^2+3x-1
$$ $$
Q(x)=x^4+5x^2-8x+6
$$ Respuesta: $$
8x^4+3x^2-5x+5
$$ 9. Calcula: $$
A(x)=3x^3+2x^2-6
$$ $$
B(x)=-5x^3+x-4
$$ $$
C(x)=4x^3-2x^2+5
$$ Respuesta: $$
2x^3+x-5
$$ 10. Una fábrica tiene un costo de producción dado por:$$6x^2+45x+300$$ Y un costo de mantenimiento de:$$2x^2-15x+90$$ Determina el costo total. Respuesta:$$8x^2+30x+390$$
Las operaciones con polinomios están presentes en situaciones tan comunes como calcular el interés de una cuenta de ahorros, estimar el costo total de una compra con descuentos escalonados o programar el movimiento de un objeto en un videojuego.
Dominar la suma, la resta, la multiplicación y la división de polinomios permite resolver estos problemas de forma ordenada y sin perderse en el camino. En este artículo podrás repasar la definición de un polinomio, aprender cada una de las cuatro operaciones básicas paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Qué es un polinomio y por qué aparece en tantos cálculos cotidianos?
Un polinomio es una expresión algebraica que se construye a partir de una o más variables, combinadas únicamente mediante sumas, restas, multiplicaciones y exponentes enteros no negativos. Aunque parezca un concepto puramente abstracto, los polinomios aparecen todo el tiempo en la vida cotidiana, por ejemplo en la planificación financiera.
Situación cotidiana
Una ecuación polinómica puede utilizarse para calcular el interés que generará un depósito inicial en una cuenta de ahorros a una tasa dada. Si una cuenta con un depósito inicial de Bs 5.000 gana un interés simple del 4 % anual, la siguiente expresión permite calcular el interés acumulado en tres años:
$$\text{Interés} = (5000)(0{,}04)(3) = 600$$
Es decir, la cuenta acumularía Bs 600 de intereses durante los tres años.
De manera formal, se llama polinomio, en la variable x, a cualquier expresión algebraica de la forma:
n es un número natural o cero, llamado grado del polinomio. Es el mayor exponente de la variable que aparece en los términos no nulos del polinomio.
an, a(n-1), …, a1, a0 son números reales, con an ≠ 0 si n ≠ 0, llamados coeficientes del polinomio.
an·x^n, a(n-1)·x^(n-1), …, a0 son los términos del polinomio.
a0 es el coeficiente de grado cero, o término independiente.
Por ejemplo, el polinomio siguiente es de grado 4, tiene cinco términos, y sus coeficientes son 5, −3, 2, −1 y 7:
$$P(x) = 5x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 7$$
En cambio, la siguiente expresión no es un polinomio, porque el exponente de la variable x es negativo, y los polinomios solo admiten exponentes enteros no negativos: $$3x^{-1} + 2x^2 – 4$$
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Polinomio: expresión algebraica formada por la suma de varios términos, cada uno con un coeficiente real y una variable elevada a un exponente entero no negativo.
Grado de un polinomio: el mayor exponente de la variable que aparece en los términos no nulos del polinomio.
Coeficiente: número real que multiplica a la variable en cada término del polinomio.
Término independiente: el coeficiente de grado cero, es decir, el término del polinomio que no tiene variable.
Cociente y resto: resultados de dividir un polinomio entre otro; el resto siempre tiene un grado menor que el divisor.
Igualdad de polinomios
Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si tienen los mismos coeficientes en cada grado, sin importar el orden en que estén escritos sus términos.
Los siguientes polinomios son iguales, ya que tienen exactamente los mismos términos, solo que en distinto orden:
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Usando los mismos polinomios P(x) y Q(x) del ejemplo anterior:
$$P(x)-Q(x) = (3x^3+4x-5) – (3x^3-2x^2+5x)$$
$$P(x)-Q(x) = 3x^3+4x-5-3x^3+2x^2-5x$$
$$P(x)-Q(x) = 3x^3-3x^3+2x^2+4x-5x-5$$
$$P(x)-Q(x) = 2x^2-x-5$$
Multiplicación de polinomios
En esta sección encontrarás, cómo se realiza la multiplicación de una constante por un polinomio, la multiplicación de un monomio por un polinomio y, finalmente, la multiplicación de dos polinomios.
1. Multiplicación de una constante por un polinomio
El resultado es otro polinomio del mismo grado, cuyos coeficientes son el producto de los coeficientes originales por esa constante.
$$4\cdot(3x^3-2x^2+5x-3) = 12x^3-8x^2+20x-12$$
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por cada uno de los monomios que forman el polinomio.
1. A la izquierda se coloca el dividendo; si el polinomio no está completo, se dejan huecos (coeficiente cero) en los lugares que correspondan. A la derecha se coloca el divisor.
2. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor:
$$x^5 \div x^2 = x^3$$
3. Se multiplica cada término del divisor por ese resultado y se resta del dividendo. Se repite el proceso con el nuevo resto obtenido:
$$x^4 \div x^2 = x^2$$
$$x^3 \div x^2 = x$$
$$7x^2 \div x^2 = 7\ \text{(ajustado en cada resta sucesiva)}$$
4. Al repetir el proceso, se obtiene un cociente de x³ + 3x² + 4x + 6, con un resto de 5x − 9, ya que este último tiene un grado menor que el divisor y, por lo tanto, no se puede seguir dividiendo:
$$C(x) = x^3+3x^2+4x+6 \qquad R(x) = 5x-9$$
Se puede comprobar el resultado verificando que Q(x)·C(x) + R(x) sea igual al dividendo original P(x).
Ejercicios resueltos paso a paso
1. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y Q(x) = x³ − 4x² + 7x − 5, calcula P(x) + Q(x).
Las operaciones con polinomios (sumar, restar, multiplicar y dividir) siguen reglas ordenadas que, una vez interiorizadas, se vuelven mecánicas: agrupar términos semejantes para sumar y restar, distribuir cuidadosamente para multiplicar, y repetir un proceso de división y resta para dividir.
Dominar estas cuatro operaciones no solo es la base para temas más avanzados del álgebra, como la factorización o la resolución de ecuaciones polinómicas, sino que también resulta útil en situaciones cotidianas que van desde las finanzas personales hasta la programación y la ingeniería.
La mejor forma de afianzar estas destrezas es practicando con ejercicios variados, como los que se presentaron en este post.
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es un polinomio?
Es una expresión algebraica formada por la suma de términos, cada uno compuesto por un coeficiente real y una variable elevada a un exponente entero no negativo.
2. ¿Cómo se suman dos polinomios?
Se ordenan los polinomios, se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
3. ¿Cómo se restan dos polinomios?
Se suma al primer polinomio el opuesto de cada término del segundo, es decir, se cambia el signo de todos los términos del sustraendo y luego se suman los términos semejantes.
4. ¿Cómo se multiplica un polinomio por un monomio?
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, aplicando la propiedad distributiva.
5. ¿Cómo se multiplican dos polinomios entre sí?
Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo y luego se suman los términos semejantes del resultado.
6. ¿Qué grado tiene el polinomio resultante de una multiplicación?
Su grado es igual a la suma de los grados de los dos polinomios que se multiplican.
7. ¿Cómo se dividen dos polinomios?
Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor, se multiplica ese resultado por todo el divisor, se resta del dividendo y se repite el proceso hasta que el resto tenga un grado menor que el divisor.
8. ¿Qué es el resto de una división de polinomios?
Es el polinomio que queda al final de la división, cuyo grado es siempre menor que el grado del divisor.
9. ¿Cuándo son iguales dos polinomios?
Cuando tienen exactamente los mismos coeficientes en cada grado, sin importar el orden en que estén escritos sus términos.
10. ¿Por qué una expresión con exponentes negativos o fraccionarios no es un polinomio?
Porque, por definición, los polinomios solo permiten exponentes enteros no negativos en sus variables.
Actividades
Dados los polinomios:
$$ P(x)=4x^2-3x+5 $$
y
$$ Q(x)=2x^3-x^2+6x-4 $$
calcula:
$$ P(x)+Q(x) $$
Respuesta:
$$ 2x^3+3x^2+3x+1 $$
Sean los polinomios:
$$ P(x)=6x^2+x-7 $$
y
$$ R(x)=3x^2-5x+2 $$
determina:
$$ P(x)-R(x) $$
Respuesta:
$$ 3x^2+6x-9 $$
Dados los polinomios:
$$ A(x)=7x^2-2x+1 $$
y
$$ B(x)=5x^2+4x-6 $$
calcula:
$$ A(x)+B(x) $$
Respuesta:
$$ 12x^2+2x-5 $$
Utilizando los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula:
$$ 2A(x)-B(x) $$
Respuesta:
$$ 9x^2-8x+8 $$
Dados los polinomios:
$$ S(x)=\frac12x^2+3 $$
$$ T(x)=\frac32x^2+5 $$
$$ U(x)=2x^2-4 $$
calcula:
$$ S(x)+T(x)+U(x) $$
Respuesta:
$$ 4x^2+4 $$
Con los mismos polinomios del ejercicio anterior, determina:
La regla de Ruffini es como encontrar el atajo perfecto en una ruta larga: en lugar de recorrer todas las calles de la ciudad (la división larga tradicional), permite llegar al mismo destino en muchos menos pasos. Este método resulta clave en ingeniería, economía y programación, campos en los que a menudo hace falta dividir polinomios rápidamente para simplificar modelos o resolver ecuaciones. En esta guía podrás descubrir qué es la regla de Ruffini, cuándo conviene usarla y cómo aplicarla paso a paso con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Qué es la Regla de Ruffini y cuándo conviene usarla?
La regla de Ruffini es una alternativa a la división larga de polinomios. Se puede utilizar para dividir un polinomio entre un posible factor de la forma (x − k). Sin embargo, esta regla no puede utilizarse para dividir entre polinomios de mayor grado, como uno cuadrático.
Ejemplos resueltos de la regla de Ruffini
Los siguientes ejemplos resueltos muestran tres de las aplicaciones más importantes de la regla de Ruffini. A través de ellos, podrás aprender a dividir un polinomio entre un binomio lineal, comprobar si un número es una solución de un polinomio y verificar si un binomio lineal es un factor.
Cada ejercicio está desarrollado paso a paso para que comprendas el procedimiento y puedas aplicarlo con seguridad en ejercicios similares.
Dividir un polinomio entre un binomio lineal
Divide f(x) entre (x − 3):
$$f(x) = 3x^4 – 5x^3 – 19x^2 + 23x – 6$$
Solución: Usando la regla de Ruffini, la configuración es la siguiente. Primero se colocan los coeficientes de f(x) y, en la esquina superior izquierda, el número k del divisor (x − k); en este caso, k = 3.
Los pasos son los siguientes:
1. Bajar el primer coeficiente.
2. Multiplicar ese coeficiente por el número k (en el recuadro superior izquierdo) y colocar el resultado bajo el siguiente coeficiente.
3. Sumar esos dos últimos números.
4. Repetir los pasos 2 y 3 para los coeficientes restantes.
Para «leer» la respuesta, se interpretan los números finales así: el último número es el resto, y los anteriores son los coeficientes del polinomio cociente.
Se puede llegar a las siguientes conclusiones:
x = 3 es una solución, porque el resto es cero.
El polinomio cociente es 3x³ + 4x² − 7x + 2.
Con esto, el polinomio dividendo se puede factorizar así:
$$3x^4-5x^3-19x^2+23x-6 = (x-3)(3x^3+4x^2-7x+2)$$
Verificar si un número es una solución de un polinomio
Determina si x = 5 es una solución de:
$$p(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$$
Solución: Usando la regla de Ruffini:
El resto es 264, por lo que x = 5 no es una solución.
Si se sustituye x = 5 directamente en p(x), es decir p(5), se obtiene también 264. Esto conecta con el teorema del resto: si un polinomio f(x) se divide entre (x − k), el resto de esa división es igual a f(k).
Verificar si un binomio lineal es un factor de un polinomio
Determina si (2x − 3) es un factor de:
$$f(x) = 4x^4-13x^2+9$$
Solución: El factor (2x − 3) no está en la forma (x − k), así que primero hay que igualar el posible factor a cero para hallar la solución que representa: 2x − 3 = 0, de donde x = 3/2. Por lo tanto, se coloca 3/2 en la esquina superior izquierda. Además, no todos los términos están representados en este polinomio; cuando esto ocurre, se colocan ceros en las posiciones correspondientes. En este ejemplo, hacen falta ceros para el término x³ y el término x.
Esto significa que x = 3/2 es un cero de f(x) y que su binomio correspondiente, (2x − 3), sí es un factor. El cociente obtenido es 4x³ + 6x² − 4x − 6.
Teorema del resto
Si f(k) = R, entonces R es también el resto de dividir f(x) entre (x − k). Dicho de otro modo: para conocer el resto de una división entre (x − k), basta con evaluar el polinomio en x = k, sin necesidad de completar toda la división.
El Teorema del resto establece que el resto de dividir un polinomio f(x) entre (x − k) es igual a f(k).
Ejercicios resueltos paso a paso
Ejercicio # 1
Resuelve por la regla de Ruffini:
$$(x^4-5x^2+8) \div (x-2)$$
Solución: Como el polinomio no es completo, primero se agregan con coeficiente cero los términos que faltan (en este caso, el término x³ y el término x).
El cociente es x³ + 2x² − x − 2 y el resto es 4.
Ejercicio # 2
Divide x³ + 7x² + 9x − 20 entre (x + 4). Escribe el polinomio resultante con el resto (si lo hay).
Solución: Usando la regla de Ruffini, se divide entre −4.
La respuesta es x² + 3x − 3, con resto −8.
Ejercicio # 3
Dividir 4x⁴ − 4x³ + 7x² + 3x − 4 entre (x + 1/2). Escribe el polinomio resultante con el resto (si lo hay).
Solución: Usando la regla de Ruffini, se divide entre −1/2.
La respuesta es 4x³ − 6x² + 10x − 2, con resto −3.
Ejercicio # 4
¿Es 5 una solución para f(x) = x³ − 8x² + 75? Si es así, encuentra los ceros reales (soluciones) del polinomio resultante.
Solución: Se coloca un marcador de posición cero para el término x, ya que no está presente. Se divide entre 5.
El polinomio resultante es x² − 3x − 15. Aunque no es un factor de segundo grado con raíces enteras, se puede usar la fórmula cuadrática para hallar las otras raíces.
Determinar la división aplicando la regla de Ruffini:
(2x⁴ + 3x³ − 11x² − 9x + 6) : (x − 2).
Solución:
C(x) = 2x³ + 7x² + 3x − 3 ; R = 0
Preguntas frecuentes de la regla de Ruffini
1. ¿Qué es la regla de Ruffini?
Es un método abreviado para dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x − k), que utiliza únicamente los coeficientes del polinomio en lugar de escribir cada término.
2. ¿Cuándo conviene usar la regla de Ruffini en lugar de la división larga?
Conviene usarla siempre que el divisor sea un binomio de primer grado, ya que el procedimiento es mucho más rápido y ordenado que la división larga tradicional.
3. ¿Para qué tipo de divisores funciona la regla de Ruffini?
Funciona únicamente para divisores de la forma (x − k) o, de forma equivalente, (ax − b), donde se despeja primero el valor de k.
4. ¿Qué es el teorema del resto y cómo se relaciona con la regla de Ruffini?
El teorema del resto establece que el resto de dividir f(x) entre (x − k) es igual a f(k). La regla de Ruffini permite comprobar este resultado de forma rápida.
5. ¿Qué significa que el resto de una división sea cero?
Significa que el binomio (x − k) es un factor exacto del polinomio, y que x = k es una raíz o solución de dicho polinomio.
6. ¿Se puede usar la regla de Ruffini con un divisor de la forma (ax − b)?
Sí. Primero se iguala ax − b a cero para hallar el valor de k = b/a, y luego se aplica la regla de Ruffini normalmente usando ese valor.
7. ¿Qué se hace si el polinomio no tiene todos sus términos?
Se completa el polinomio agregando un coeficiente cero en cada posición faltante antes de aplicar la regla de Ruffini.
8. ¿Qué grado tiene el polinomio cociente que se obtiene al aplicar la regla de Ruffini?
El polinomio cociente siempre tiene un grado inferior en una unidad al del polinomio dividendo original.
9. ¿Cómo se usa la regla de Ruffini para factorizar un polinomio?
Si al dividir por (x − k) el resto es cero, el polinomio se puede escribir como el producto de (x − k) por el polinomio cociente obtenido.
10. ¿La regla de Ruffini funciona para dividir entre polinomios cuadráticos o de mayor grado?
No. La regla de Ruffini solo funciona cuando el divisor es un binomio de primer grado, de la forma (x − k).
Lectura recomendada:
Si deseas profundizar en la historia y el fundamento de este procedimiento, consulta el artículo sobre la Regla de Ruffini en Wikipedia.
💬 Queremos conocer tu opinión:
¿Qué parte de la regla de Ruffini te resultó más difícil de comprender: encontrar la raíz, realizar la división o interpretar el residuo? Cuéntanos tu experiencia en los comentarios.
Actividades
Aplica la regla de Ruffini para resolver:
$$ (2x^4-3x^3-8x^2+12x-5)\div(x-1) $$
Respuesta:
$$2x^3-x^2-9x+3$$
$$\text{Resto}=-2$$
Divide:
$$ 3x^3-2x^2-11x+10 $$
entre
$$ (x-2) $$
Respuesta:
$$3x^2+4x-3$$
$$\text{Resto}=4$$
Divide:
$$ 2x^4+5x^3-3x^2-14x+8 $$
entre
$$ \left(x+\frac12\right) $$
Respuesta:
$$2x^3+4x^2-5x-\frac{23}{2}$$
$$\text{Resto}=\frac{55}{4}$$
¿Es 4 una solución de
$$ f(x)=x^3-6x^2+8x+16 $$
Si lo es, encuentra los ceros reales del polinomio resultante.
El método de sustitución es otra manera de poder resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Así que, quédate en este post que te ayudará a resolver fácilmente este método.
Como su nombre lo indica se trata de sustituir para poder hallar la solución.
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de cualquier ecuación y luego sustituir su valor en la otra, obteniéndose una nueva ecuación de una sola incógnita.
Pasos para aplicar el método de sustitución
Seleccionar una ecuación.
Realizar el despeje de cualquier variable “x” e “y”
Sustituir la expresión de esa variable en la otra ecuación.
Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación dada.
Comprobación.
Tipo de sistema.
Ejercicios resueltos de método de sustitución
Para resolver tus habilidades en este tema, te invitamos a ver los siguientes ejemplos resueltos paso a paso:
Ejemplo # 1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.
Solución
Paso # 1. Seleccionar una ecuación.
En este caso se escoge la primera ecuación que es:
Paso # 2. Despejar.
Para este ejemplo se despeja la “x”
Paso # 3. Sustituir la expresión de esa variable en la otra ecuación.
Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación dada.
Paso # 5. Comprobación.
Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.
Como el resultado es igual, los valores de “x” e “y” es correcto.
Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.
Punto de intersección de ambas rectas es:
Ejemplo # 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.
Solución
Paso # 1. Seleccionar una ecuación.
En este caso se escoge la segunda ecuación.
Paso # 2. Despejar.
Para este ejemplo se despeja la variable “y”
Paso # 3. Sustituir la expresión en la otra ecuación.
Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación.
Para este caso se selecciona la segunda ecuación.
Paso # 5. Comprobación.
Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la primera ecuación.
Como el resultado es igual, los valores de “x” e “y” es correcto.
Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.
Punto de intersección de ambas rectas es:
(-3,1)
Ejemplo # 3
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución y diga el nombre del sistema.
Solución
Paso # 1. Seleccionar una ecuación.
En este caso se toma la primera ecuación.
Paso # 2. Despejar.
Para este ejemplo se despeja la variable “x”
Paso # 3. Sustituir la expresión en la otra ecuación.
Paso # 4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación.
Para este caso se selecciona la primera ecuación.
Paso # 5. Comprobación.
Se sustituye los valores encontrados de x e y en cualquier ecuación para comprobar si es correcto sus resultados. Para este ejemplo se selecciona la segunda ecuación.
Como el resultado es idéntico los valores de “x” e “y” es correcto.
Paso # 6. El tipo de sistema es un compatible determinado ya que tiene una solución.
Punto de intersección de ambas rectas es:
(-2,-2)
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Utiliza el método de sustitución para determinar las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones y diga el nombre del sistema.
Determina los valores de los valores de los coeficientes A y B para que el sistema de ecuaciones tenga la solución indicada.
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¿Sabías que la suma y resta de monomios están presentes en problemas reales de ingeniería, economía e incluso tecnología?
Aprender a sumar y restar monomios no solo te ayudará a simplificar expresiones algebraicas, sino también a desarrollar el razonamiento lógico que usan los profesionales para modelar y resolver situaciones cotidianas.
Para dominar este tema, primero debes reconocer los monomios semejantes —aquellos que tienen las mismas variables y exponentes— y luego aplicar correctamente las propiedades de la potenciación.
Prepárate para descubrir lo fácil que puede ser manejar el álgebra cuando entiendes su lógica paso a paso.
Suma y resta de monomios
Los monomios deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, escribiendo siempre la misma parte literal. Todo este procedimiento es llamado reducción de términos semejantes.
Ejemplo
Determinar el perímetro del siguiente romboide.
Para calcular el perímetro (P) de este cuadrilátero debes sumar todas las medidas de sus lados. Según la propiedad del romboide, sus lados opuestos son congruentes, es decir, poseen las mismas dimensiones.
P = 15x2y3 + 27x2y3 + 15x2y3 + 27x2y3
Se aplica factor común:
P = (15 + 27 + 15 + 27)x2y3
Finalmente se suma todos los términos
P = 84x2y3
El perímetro del romboide es 84x2y3 unidades.
Ejemplo
Determinar el área de la región coloreada, sabiendo que el área del trapecio rectangular es AT = 10,5 d4e6 y el área del círculo AC = 3,14 d4e6.
La figura está compuesta por un trapecio rectangular y un círculo, para hallar el área coloreada se requiere restar los sectores de ambas figuras.
AS = AT– AC
Se sustituye los valores del área del trapecio rectangular y el área del círculo.
AS = 10,5 d4e6– 3,14 d4e6
Se aplica factor común:
AS = (10,5 – 3,14)d4e6
Se resta para obtener el área coloreada.
AS = 7,36 d4e6
El área coloreada es de 7,36 d4e6unidades cuadradas.
Ejemplo#3
Calcula la suma y la resta de los siguientes monomios y
Al sumar:
Al restar:
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Calcula el área total de cada imagen teniendo en consideración el valor de las distintas zonas.
Haz uso de una expresión algebraica para que representes el perímetro de la figura.
Determina el área de la parte coloreada
Parte III
Diga qué opciones son verdaderas o falsas, en caso de ser incorrecta, justifica.
Para sumar se requiere que los monomios sean semejantes, en la resta no es necesario que se cumpla esa condición.
La reducción de términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes de cada monomio, y también los exponentes de cada parte literal.
Al sumar o restar monomios no semejantes se deja indicada la operación.
Problemas:
El perímetro de un triángulo escaleno es 18.18ab, uno de sus lados mide 8.06ab y el otro 6ab. Determina la longitud del tercero.
El área total de la siguiente imagen es de 27m2y2. Calcula la región desconocida y selecciona la opción correcta.
Opciones:
AT = 27m2y2 + 18m2y2 – 3m2y2
AT = 27m2y2 – 18m2y2 + 3m2y2
AT = 27m2y2 + (18m2y2 + 3m2y2)
AT = 27m2y2 – (18m2y2 + 3m2y2)
Ahora que conoces un poco más acerca de la suma y resta de monomios es hora de poner en práctica lo aprendido. No olvides calificar, comentar y compartir esta información que será de gran ayuda para otros. Te invitamos a ver el artículo introducción a los polinomios. 😉
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