Funciones trigonométricas inversas

¿Sabías que las funciones trigonométricas inversas están presentes en la vida diaria? En muchas situaciones de la vida se puede presentar casos donde se requiere determinar la inclinación de algún objeto y no se cuenta con un instrumento para la medición de ángulos, en estos casos es necesario hacer uso de las razones trigonométricas para calcular el ángulo.

Funciones trigonométricas inversas

Imagínate que necesitas medir la inclinación de una escalera, y lo único que tienes disponibles es un lápiz y papel, entonces ha llegado el momento de calcular y hacer uso de las razones trigonométricas, lo primero que se debe hacer es medir las dimensiones de la altura de la escalera y la distancia hasta el punto de apoyo, lo segundo, sustituir los valores en la razón trigonométrica, y por ende, obtener ese resultado, y por último, es aplicarle la inversa para obtener el ángulo de inclinación.

Las funciones trigonométricas inversas son usadas para determinar los valores de los ángulos

La simbología usada para designar las inversas de las funciones trigonométricas es la siguiente:

Función trigonométrica  Función trigonométrica inversaSe leeFunción trigonométrica inversaSe lee
senoseno inverso de xarco seno
cosenocoseno inverso de xarco coseno
tangentetangente inversa de xarco tangente

Se debe tener en cuenta que:

 

Graficar funciones inversas

Para graficar funciones inversas debes tomar en consideración lo siguiente:

  1. Dibujar el plano cartesiano
  2. La escala en el eje “x” se dibuja en 1 en 1
  3. La escala en el eje “y” se dibuja los ángulos en radianes
  4. Crear la tabla de valores
  5. Graficar los puntos y trazar la curva

Función seno inverso o arcoseno

El dominio de la función del seno es el conjunto de los números reales y su rango está comprendido por el intervalo [-1,1].

A la gráfica del seno que es la imagen de abajo se le aplica el  criterio de la recta horizontal para comprobar si es inyectiva, la recta toca en más de 1 punto por lo tanto no es inyectiva.

Esto demuestra que la función seno no es inyectiva y, por tanto no es biyectiva.

Al no ser biyectiva la función del seno no permite inversa en todo el conjunto de los números reales.

Para que la función del seno permita inversa se debe restringir su dominio en el intervalo por lo tanto su rango se limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen de la gráfica de la función seno con la restricción.

Entonces se puede afirmar que::

     sí y sólo si        y 

Relación entre la función seno y la función arcoseno

 Función seno con restricciónFunción arcoseno
Intervalo del dominio eje “x
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcoseno

Ha llegado el momento de graficar la función del arcoseno, observa la tabla de valores, por ser la inversa del seno el dominio está comprendido en el intervalo [-1,1]

Observa que para x = 1/2

El ángulo obtenido en radianes es y en grados sexagesimales es 30°

Observe abajo la gráfica del arcoseno

Características de la función arcoseno

1El dominio es [ -1, 1]
2El rango es el intervalo
3No es periódica
4Es una función impar

Función coseno inverso o arcocoseno

La función del coseno su dominio es también el conjunto de los números reales   y el rango es el intervalo [-1,1].

Al aplicarle el  criterio de la recta horizontal se puede demostrar que la función no es inyectiva, y al no ser inyectiva obviamente no es biyectiva.

Entonces para que la función del coseno tenga inversa se debe restringir el dominio en el intervalo la cual le corresponde un rango como [-1,1], y el nombre de esta función inversa del coseno es llamada arcocoseno. Ver la gráfica de la función coseno con restricción en el dominio.

La función arcocoseno queda definida como:

     sí y sólo si         y 

Relación entre la función coseno y la función arcocoseno

 Función coseno con restricciónFunción arcocoseno
Intervalo del dominio eje “x
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcocoseno

Al igual que la función arcoseno se realiza la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el intervalo [-1,1]. Observa la gráfica de la función arcocoseno.

Características de la función arcocoseno

1El dominio es [ -1, 1]
2El rango es el intervalo
3No es periódica
4No es par ni impar

Función tangente inverso o arcotangente

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el dominio de la función tangente al intervalo y su rango quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe la gráfica de la función tangente con restricción en el dominio.

 

La función arcotangente finalmente queda definida como:

         sí y sólo si        y   

Relación entre la función tangente y la función arcotangente

 Función tangente con restricciónFunción arcotangente
Intervalo del dominio eje “x
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcotangente

Para realizar el gráfico de la función arcotangente, lo primero es realizar la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el conjunto de los . Observe la gráfica

Características de la función arcotangente

1El dominio es
2El rango es el intervalo
3No es periódica
4Es una función impar

Ejercicios

  1. Construye la gráfica de la función arcotangente, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Usa estos valores para la variable independiente . Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes
  2. Construya la gráfica del arcocoseno, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Los valores que vas a utilizar para la variable independiente son: . Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes
  3. Determina el valor exacto de cada ejercicio. Debes expresarlo en radianes y en grados sexagesimales
    a.f.
    b.g.
    c.h.
    d.i.
    e.j.
  4. Hallar el valor de de las siguientes expresiones
    a.d.
    b.e.
    c.f.
  5. Investiga las siguientes características de las funciones inversas:
    a. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcoseno? Si la respuesta es afirmativa indique las coordenadas?
    b. ¿La función arcoseno es biyectiva? y ¿Porqué?
    c. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcocoseno? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?
    d. ¿La función arcocoseno es sobreyectiva? y ¿Porqué?
    e. ¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcotangente? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?
    f. ¿La función arcotangente es sobreyectiva? y ¿Porqué?

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