Medidas de posición No Central para datos agrupados: Cuartiles, Deciles y Percentiles

¿Sabías que las medidas de posición no central son esenciales para interpretar cómo se distribuyen los datos en una población?

Cuando analizas calificaciones, tiempos deportivos o resultados de encuestas, no basta con conocer el promedio; también importa en qué lugar se encuentra un valor respecto a los demás.

Las medidas de posición no central, como los cuartiles, deciles y percentiles, nos permiten identificar esa posición relativa, ayudándonos a entender si un resultado está entre los más bajos, promedio o destacados.

En esta guía aprenderás qué son, cómo calcularlas paso a paso para datos agrupados y cómo interpretarlas correctamente en situaciones reales.

Medidas de localización

Concepto

Las medidas de localización, también conocidas como medidas de posición, son herramientas estadísticas que permiten comprender y describir dónde se sitúan las observaciones dentro de un conjunto de datos.

Clasificación

Las medidas de localización como se sabe son estadísticos que indican la posición de los datos dentro de una distribución.

Su finalidad es ubicar valores representativos o puntos de referencia que describen cómo se distribuyen los datos.

Se clasifican en dos grandes grupos: Medidas de tendencia central y medidas de posición no central.

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de posición central dividen el conjunto de datos en dos partes iguales, e indican el valor que representa el centro o punto medio de un conjunto de datos.

Su intención es resumir el conjunto con un solo valor representativo, mostrando hacia dónde tienden los datos.

Medidas de posición no central

Son utilizados para determinar qué tan alto o bajo está un valor respecto al total dividiendo al conjunto de datos en más de dos partes iguales.

Medidas de Posición No Central

También son llamados Cuantiles, estas medidas como ya se sabe tienen la función de dividir un conjunto de datos en más de dos partes iguales. Para ello, es indispensable que las observaciones se encuentren ordenadas de forma ascendente. Su utilidad radica en que permiten identificar la distribución de los datos en diferentes segmentos, ofreciendo una visión más detallada de su comportamiento.

Clasificación

Las medidas de posición no central se clasifican en:

1. Cuartiles,
2. Deciles y
3. Percentiles.

Cuartiles (Q)

Son tres valores (Q₁, Q₂ y Q₃) que dividen un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Esto genera cuatro segmentos de datos, cada uno con una proporción similar de elementos, lo cual permite identificar la distribución de los datos en diferentes rangos.

Q₁ (Primer Cuartil): Es el valor por debajo del cual se encuentra el 25% de los datos.

Q₂ (Segundo Cuartil): Valor por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos. El Cuartil 2 siempre coincide con la mediana (Q₂ = M_e)

Q₃ (Tercer Cuartil): Representa el valor por debajo del cual se encuentra el 75% de los datos.

Fórmula

Para calcular los cuartiles cuando se dispone de una tabla de distribución de frecuencias con datos agrupados en intervalos, es necesario determinar primero su posición utilizando la siguiente expresión:

$$P=\frac{n\cdot k}{4}$$

Y finalmente se calcula  el Cuartil Q_k para datos agrupados:

$$Q_{k}=L_{i}+\frac{\frac{n\cdot k}{4}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Donde:

k = Cuartil que se desea hallar, su valor es 1, 2 o 3.

L_I = Límite inferior del intervalo representativo.

f_I = Frecuencia absoluta del intervalo.

F_I-1  = Frecuencia absoluta acumulada anterior a la frecuencia absoluta acumulada al intervalo representativo.

a = Amplitud de cada intervalo.

Deciles (D)

Son nueve valores (D₁, D₂,…,D₉) que dividen un conjunto de datos ordenados en forma ascendente en diez partes iguales.

Esta situación crea 10 segmentos de datos, cada uno conteniendo una proporción similar de elementos, permitiendo una identificación más granular de la distribución de los datos.

D₁ (Primer Decil): Es el valor por debajo del cual se encuentra el 10% de los datos.

D₂ (Segundo Decil): Es el Valor por debajo del cual se encuentra el 20% de los datos. El Cuartil 2 siempre coincide con la mediana (D₂ = M_e)

D₉ (Noveno Decil): Constituye el valor por debajo del cual se encuentra el 90% de los datos.

Fórmula

Para determinar  el Decil D_k para datos agrupados, debes aplicar la siguiente expresión:

$$D_{k}=L_{i}+\frac{\frac{n\cdot k}{10}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Donde:

k = Decil que necesitas encontrar, su valor es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Percentiles (P)

Son noventa y nueve valores (P₁, P₂, P₃, P₄, P₅,…, P₉₉) que tienen como finalidad dividir el conjunto de datos en cien partes iguales.

Cada una de estas partes contiene aproximadamente el mismo porcentaje de observaciones, proporcionando una visión extremadamente detallada de la distribución de los datos.

P₁ (Primer Percentil): Define el valor por debajo del cual se encuentra el 1% de los datos.

P₁₀ (Décimo Percentil): Indica el valor por debajo del cual se encuentra el 10% de los datos (El Percentil 10  coincide con el Decil 1 (P₁₀ = D₁)

P₂₅ (Vigésimo quinto Percentil): Es el valor que marca el límite inferior para el 25% de los datos (concuerda con el Primer Cuartil, Q₁) .

P₅₀ (Quincuagésimo Percentil): Es el valor central, por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos. Este percentil coincide con la mediana, el segundo Cuartil (Q₂) y el quinto Decil (D₅).

P₇₅ ​(Septuagésimo Quinto Percentil): Representa el valor por debajo del cual se encuentra el 75% de los datos (coincide con el Tercer Cuartil, Q₃).

P₉₉ (Nonagésimo Noveno Percentil): Es el valor por debajo del cual se encuentra el 99% de los datos.

Fórmula

La fórmula para calcular el percentil P_k es la siguiente:

$$P_{k}=L_{i}+\frac{\frac{n\cdot k}{100}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Tiempo en responder correos electrónicos

Solución

n = 100 (Total de datos)

a = 10 (Amplitud del intervalo de clase)

Cálculo de los Cuantiles

A continuación, el cálculo del Percentil 73, Cuartil 3 y Decil 2.

Percentil (P₇₃) y su interpretación

Cálculo de la posición:

$$P=\frac{100\cdot 73}{100}=73$$

En la columna de frecuencia absoluta acumulada se ubica el valor ≥ 73, de esta forma se puede determinar el intervalo del Percentil 73 que es = [20 – 30).

Calculo del P₇₃ :

$$P_{73}=20+\frac{73-40}{35}\cdot 10$$

$$P_{73}=20+\frac{33}{35}\cdot 10$$

$$P_{73}=20+0,9428\cdot 10$$

$$P_{73}=20+9,428$$

$$P_{73}=29,428\,minutos$$

Interpretación: El 73% de los empleados tarda 29,428 minutos o menos en responder a los correos de los clientes.

Cuartil 3 (Q₃) e interpretación

Posición:

$$P=\frac{100\cdot 3}{4}=75$$

Con el valor de la posición se busca en la columna de frecuencia absoluta acumulada el valor ≥ 75. Por lo tanto, el intervalo del Cuartil 3 es = [20 – 30).

Q₃ :

$$Q_{3}=20+\frac{75-40}{35}\cdot 10$$

$$Q_{3}=20+\frac{35}{35}\cdot 10$$

$$Q_{3}=20+1\cdot 10$$

$$Q_{3}=20+10$$

$$Q_{3}=30\,minutos$$

Interpretación: El 75% de los empleados tarda 30 minutos o menos en responder a los correos. Esto significa que el 25% de los empleados más rápidos (Q1) tarda 30 minutos o menos, y el 25% restante tarda más de 30 minutos (ubicados entre el valor de Q₃ y el valor máximo)

Cálculo e interpretación del Decil 2 (D₂)

Posición:

$$P=\frac{100\cdot 2}{10}=20$$

Según la posición (P=20), el intervalo del Decil 2 es = [10, 20)

D_2:

$$D_{2}=10+\frac{20-15}{25}\cdot 10$$

$$D_{2}=10+\frac{5}{25}\cdot 10$$

$$D_{2}=10+0,2\cdot 10$$

$$D_{2}=10+2$$

$$D_{2}=12\,minutos$$

Interpretación: El 20% de los empleados tarda 12 minutos o menos en responder a los correos, es decir, son este 20% es grupo.

Actividades

Parte I: Completa la tabla de distribución de frecuencias y calcule los cuantiles a continuación:

• Percentil 5, 36, 78, 96
• Cuartiles 1, 2.
• Deciles 3, 9

Parte II. Lea atentamente y seleccione la opción correcta:

1.¿Cuál de las siguientes medidas de localización es la más sensible a los valores atípicos (outliers) en un conjunto de datos?

1. Mediana
2. Moda
3. Cuartil 1
4. Media Aritmética
5. Percentil 50

2.Si en un conjunto de datos el segundo cuartil (Q₂) es igual al percentil 50 P₅₀ y también al decil 5 (D₅), ¿a qué otra medida de tendencia central fundamental coincide siempre?

1. Moda
2. Media Aritmética
3. Rango
4. Mediana
5. Desviación Estándar

3.Una empresa de juguetes registra las edades de los niños a los que van dirigidos sus productos. Si el Decil 7 (D₇) de las edades es 8 años, ¿qué significa esto?

1. El 7% de los niños tiene 8 años o menos.
2. El 70% de los niños tiene 8 años o más.
3. El 30% de los niños tiene 8 años o menos.
4. El 70% de los niños tiene 8 años o menos.
5. El 8% de los niños tiene 7 años o menos.

4.Para calcular un cuantil (como un cuartil o percentil) en una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados, ¿cuál es el primer paso indispensable antes de aplicar la fórmula?

1. Calcular la media aritmética de los datos.
2. Determinar la desviación estándar del conjunto.
3. Ordenar los datos de forma descendente.
4. Hallar la posición del cuantil deseado.
5. Identificar la moda de la distribución.

5.En una distribución de datos perfectamente simétrica y unimodal (como la distribución normal), ¿qué relación se cumple entre sus medidas de tendencia central?

1. Moda < Mediana < Media
2. Media < Mediana < Moda
3. Moda = Mediana = Media
4. Mediana = 0 y Media = 0
5. Solo la Media y la Mediana son iguales, la Moda es diferente.

Parte III. Contesta Verdadero o Falso las siguientes afirmaciones:

1.Las medidas de localización solo incluyen la media, la mediana y la moda.

1. Verdadero.
2. Falso.

2.Si el Cuartil 2 (Q2) de un conjunto de datos es 15, significa que el 25% de los datos es igual o menor a 15.

1. Verdadero.
2. Falso.

3.En una distribución de datos simétrica, la media, la mediana y la moda siempre coinciden en el mismo valor.

1. Verdadero.
2. Falso.

4.Un «outlier» (valor atípico) es un punto de dato que se desvía significativamente del resto de los datos en un conjunto.

1. Verdadero.
2. Falso.

5.El Decil 9 (D₉) indica el valor por debajo del cual se encuentra el 99% de los datos.

1. Verdadero.
2. Falso.

Parte IV: Ordena la Lógica

Desafía tu comprensión del tema. Lee cuidadosamente las siguientes afirmaciones relacionadas con el cálculo y la interpretación de cuantiles. Luego, ordénalas en la secuencia lógica correcta para describir el proceso general de cómo se utilizan estas medidas.

Elementos a Ordenar:

1. Se interpretan los resultados para entender la posición relativa de los datos, como identificar el 25% más bajo o el 75% más alto.

2. Se aplica una fórmula específica (como la de interpolación para datos agrupados) para obtener el valor numérico del cuantil deseado.

3. Se seleccionan los cuantiles específicos (cuartiles, deciles o percentiles) que son relevantes para la pregunta de investigación.

4. Se identifican los datos y se organizan de forma ascendente, ya sea individualmente o en una tabla de distribución de frecuencias.

5. Se calcula la posición teórica del cuantil dentro del conjunto de datos ordenado.

Respuestas de las partes

II (1D; 2D; 3D; 4D; 5C)

III (1B; 2B; 3A; 4A; 5B)

IV (4, 3, 5, 2, 1)

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