¿Cómo describes el suceso «sacar par o mayor que 3» al lanzar un dado? Con las operaciones con sucesos, que combinan sucesos para formar otros nuevos.
En este post aprenderás qué son la unión, la intersección y el complementario, cómo reconocerlos en un enunciado y cómo calcular su probabilidad.
¿Qué son las operaciones con sucesos?
Un suceso es un conjunto de resultados de un experimento aleatorio. Las operaciones con sucesos combinan dos de ellos, A y B, para crear un suceso nuevo. Su característica más importante es que cada una traduce una palabra del lenguaje cotidiano: «o», «y» o «no».
| Operación | Símbolo | Palabra clave | El nuevo suceso ocurre cuando… |
| Unión | A ∪ B | o | ocurre A, ocurre B o ocurren los dos |
| Intersección | A ∩ B | y | ocurren A y B a la vez |
| Complementario | Ā | no | no ocurre A |
Sucesos compatibles e incompatibles
Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si no comparten ningún resultado (A ∩ B = ∅). Si comparten alguno, son compatibles.
Cómo se calcula la probabilidad
En la unión se resta la intersección, porque sus resultados se contarían dos veces. En el complementario, la probabilidad se resta de 1.
Ejemplos claros
1 · Unión. Al lanzar un dado, A = «salir par» = {2, 4, 6} y B = «salir mayor que 3» = {4, 5, 6}. Reúne ambos sin repetir: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}.
2 · Intersección. Con los mismos sucesos, los resultados comunes son A ∩ B = {4, 6}.
3 · Complementario. Un autobús llega puntual con probabilidad 0,8. Su complementario es «no llegar puntual».
4 · Unión con datos. En una clase de 30 alumnos, 18 practican fútbol (F), 12 baloncesto (B) y 5 ambos. Resta los 5 contados dos veces.
5 · Incompatibles. En el dado, C = «salir 1» y D = «salir más de 4» = {5, 6} son incompatibles (C ∩ D = ∅): solo sumas.
Error frecuente
- Sumar sin restar. P(A) + P(B) cuenta dos veces los resultados comunes. Resta siempre P(A ∩ B).
- Confundir «o» con «y». «Par o mayor que 3» es {2, 4, 5, 6}; «par y mayor que 3», solo {4, 6}.
- mezclar incompatibles y contrarios. Los contrarios son incompatibles y además completan todos los resultados; «salir 1» y «salir 6» son incompatibles, pero no contrarios.
Comprueba lo aprendido
Al lanzar un dado, M = «salir múltiplo de 3» y N = «salir impar».
- Escribe M ∪ N y M ∩ N.
- ¿Son M y N compatibles o incompatibles? Justifica.
- Describe con palabras y con números el complementario de N.
Respuestas
Ver soluciones
Respuestas (M = {3, 6} y N = {1, 3, 5}):
- M ∪ N = {1, 3, 5, 6} y M ∩ N = {3}.
- Son compatibles, porque comparten el resultado.
- El complementario de N es «salir par» = {2, 4, 6}.
Mini-quiz de autoevaluación
Elige una respuesta en cada pregunta. Verás la corrección al instante; cuando termines las cinco, pulsa «Calificar».
1. Al lanzar un dado, A = {1, 2} y B = {2, 3}. ¿Qué resultados forman A ∪ B?
2. ¿Qué palabra de un enunciado indica que debes hallar una intersección?
3. Si P(A) = 0,35, ¿cuánto vale la probabilidad del complementario de A?
4. Si P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2, ¿cuánto vale P(A ∪ B)?
5. ¿Cuándo son incompatibles dos sucesos?
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Sigue aprendiendo
¿Con ganas de más? Antes de operar conviene dominar los tipos de sucesos y el espacio muestral. Después, pon la teoría a prueba con datos reales en probabilidad experimental.
Resumen final
Recuerda estas ideas esenciales:
- La unión (A ∪ B) equivale a «o»; la intersección (A ∩ B), a «y»; el complementario (Ā), a «no».
- Al calcular P(A ∪ B) restas P(A ∩ B) para no contar dos veces los resultados comunes.
- Se cumple P(Ā) = 1 − P(A), y dos sucesos incompatibles no comparten ningún resultado.
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👇 Contar mi experienciaPreguntas frecuentes de operaciones con sucesos
La diferencia A − B es el suceso que ocurre cuando pasa A, pero no pasa B. Está formada por los resultados de A que no están en B. Por ejemplo, con A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6}, el resultado es A − B = {2}.
Dibuja un rectángulo para el espacio muestral y un círculo para cada suceso. La unión se sombrea con los dos círculos completos y la intersección, solo con la zona donde se solapan. El complementario de A es todo lo que queda dentro del rectángulo y fuera del círculo A.
Resulta el suceso seguro, que contiene todos los resultados posibles y tiene probabilidad 1. En cambio, la intersección de un suceso y su contrario es el suceso imposible, con probabilidad 0, porque nunca pueden ocurrir a la vez.
Actividades de operaciones con sucesos
En una urna hay diez bolas numeradas del 1 al 10. Se extrae una al azar. Sean A = «salir múltiplo de 2», B = «salir mayor que 6» y C = «salir menor que 4».
- Indica si cada frase describe una unión, una intersección o un complementario: a) «sale múltiplo de 2 o mayor que 6»; b) «sale múltiplo de 2 y mayor que 6»; c) «no sale múltiplo de 2».
- Escribe por extensión A ∪ B.
- Escribe por extensión A ∩ B.
- Escribe Ā y el complementario de B.
- ¿Son compatibles A y C? ¿Y B y C? Justifica cada respuesta.
- Calcula P(A ∪ B) con la fórmula.
- Calcula la probabilidad del complementario de B.
- En una baraja española de 40 cartas hay 10 oros, 12 figuras y 3 figuras de oros. Calcula la probabilidad de sacar oros o figura.
- Explica por qué P(B ∪ C) se calcula sumando P(B) y P(C) sin restar nada, y halla su valor.
- Un compañero calcula P(A ∪ B) = 0,6 + 0,7 = 1,3, sabiendo que P(A ∩ B) = 0,4. Detecta el error, explícalo y corrígelo.
Respuestas
Ver soluciones
- a) Unión; b) intersección; c) complementario.
- A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {7, 8, 9, 10}, así que A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}.
- A ∩ B = {8, 10}.
- Ā = {1, 3, 5, 7, 9} y el complementario de B es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- A y C son compatibles, porque comparten el 2. B y C son incompatibles, porque B ∩ C = ∅.
- Hay 5 casos de A, 4 de B y 2 comunes:
- Se resta de 1:
- Se suman oros y figuras, y se restan las figuras de oros (contadas dos veces):
- Ejemplo de respuesta: B y C son incompatibles (B ∩ C = ∅), así que no hay resultados repetidos que restar.
- Ejemplo de respuesta: el compañero olvidó restar P(A ∩ B), así que contó dos veces los resultados comunes. Además, una probabilidad nunca puede ser mayor que 1.
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