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Propiedades de la probabilidad: reglas clave con ejemplos

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Recta de 0 a 1 con suceso imposible y seguro, y barra con P(A) = 0,35 y P(Ā) = 0,65 que suman 1.

¿Puede una probabilidad valer 1,5 o −0,2? No, porque la probabilidad sigue unas reglas. Son las propiedades de la probabilidad.

Una mano introduciéndose en un recipiente de cristal transparente lleno de papeletas blancas para realizar un sorteo aleatorio, representando el marco de las propiedades de la probabilidad
Imagen ilustrativa sobre las propiedades de la probabilidad aplicada a experimentos aleatorios como un sorteo con papeles en una urna de cristal.

En este post aprenderás cuáles son, cómo se aplican al suceso contrario y a la unión de sucesos, y cómo detectar resultados imposibles.

¿Cuáles son las propiedades de la probabilidad?

La probabilidad P(A) es un número que mide cuán posible es que ocurra un suceso A. Para que un valor sea una probabilidad, debe cumplir estas propiedades:

PropiedadSe escribeQué significa
Valor0 ≤ P(A) ≤ 1Nunca es negativa ni mayor que 1
Seguro e imposibleP(E) = 1 y P(∅) = 0Lo seguro vale 1; lo imposible, 0
ContrarioP(Ā) = 1 − P(A)Un suceso y su contrario suman 1
UniónSe explica abajoDepende de si son incompatibles
InclusiónSi A está en B, P(A) ≤ P(B)Un suceso incluido no es más probable

Probabilidad de la unión

Si A y B son incompatibles, solo sumas. Si son compatibles, restas la intersección para no contarla dos veces.

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$
$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$

Ejemplos claros

1 · Seguro e imposible. Con un dado, todos los resultados son menores que 7 y ninguno es 7.

$$P(\text{menor que }7)=\frac{6}{6}=1 \qquad P(\text{salir }7)=\frac{0}{6}=0$$

2 · Contrario. La probabilidad de que llueva mañana es 0,35. Su contrario es «no llueve».

$$P(\overline{A})=1-0{,}35=0{,}65$$

3 · Unión de incompatibles. «Salir 1» y «salir 6» no pueden ocurrir a la vez, así que solo sumas.

$$P(1 \cup 6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

4 · Unión de compatibles. «Par» es {2, 4, 6} y «múltiplo de 3» es {3, 6}. El 6 está en ambos, así que lo restas una vez.

$$P(\text{par} \cup \text{múltiplo de }3)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

5 · Inclusión. «Salir 6» está dentro de «salir par», así que no puede ser más probable.

$$P(6)=\frac{1}{6} \leq P(\text{par})=\frac{3}{6}$$

Error frecuente

1: obtener una probabilidad mayor que 1 o negativa. Si te sale 1,3 o −0,2, hay un error de cálculo, porque el valor debe estar entre 0 y 1.

2: confundir imposible con poco probable. Ganar un sorteo con muchos participantes es poco probable, pero posible. Solo es imposible lo que vale exactamente 0.

3: sumar sin comprobar. Si los sucesos son compatibles, sumar P(A) y P(B) cuenta dos veces la intersección. Resta siempre P(A ∩ B).

Comprueba lo aprendido

  1. ¿Cuáles de estos valores pueden ser una probabilidad? a) 0,9; b) −0,3; c) 5/4.
  1. Si P(A) = 0,72, ¿cuánto vale la probabilidad del contrario de A?
  1. A y B son incompatibles, con P(A) = 0,5 y P(B) = 0,3. Calcula P(A ∪ B).

Respuestas

Ver soluciones
  1. Solo a). El valor b) es negativo y c) vale 1,25, que es mayor que 1.
  2. P(Ā) = 1 − 0,72 = 0,28.
  3. Al ser incompatibles, solo sumas: P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

Mini-quiz propiedades de la probabilidad

Elige una respuesta en cada pregunta. Verás la corrección al instante; cuando termines las cinco, pulsa «Calificar».

1. ¿Entre qué valores se mueve siempre la probabilidad de un suceso?

2. Al lanzar un dado equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de «salir un número mayor que 6»?

3. La probabilidad de aprobar un examen es 0,85. ¿Cuál es la de no aprobarlo?

4. Si el suceso A está contenido en el suceso B y P(B) = 0,4, ¿qué cumple P(A)?

5. Si A y B son compatibles, con P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,3, ¿cuánto vale P(A ∪ B)?

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Sigue aprendiendo

Para dominar estos conceptos, te recomiendo dar estos dos pasos clave:

  1. Domina las bases: Repasa los tipos de sucesos (seguro, imposible y contrario) y la estructura del espacio muestral para afianzar tus fundamentos.
  2. Experimenta con datos reales: Pon a prueba cada regla teórica explorando cómo se aplican estas propiedades en la probabilidad experimental.

💡 Recurso recomendado:

Pon a prueba lo aprendido, resuelve ejercicios interactivos y lleva tu comprensión al siguiente nivel en el modulo de Estadística y Probabilidad de Khan Academy.

Resumen final

Recuerda estas ideas esenciales:

  • Toda probabilidad está entre 0 y 1: lo imposible vale 0 y lo seguro, 1.
  • La probabilidad del contrario se calcula como 1 − P(A).
  • En la unión, restas la intersección si los sucesos son compatibles.

Preguntas frecuentes de propiedades de la probabilidad

1. ¿Cuánto suman las probabilidades de todos los resultados posibles?

Suman exactamente 1, siempre que los resultados no puedan ocurrir a la vez. Por ejemplo, en un dado equilibrado cada cara tiene probabilidad 1/6 y, al sumar las seis caras, se obtiene 6/6 = 1, el valor del suceso seguro.

2. ¿Cómo calculo la probabilidad de «al menos uno» de un suceso?

Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguna vez y réstala de 1. Por ejemplo, al lanzar dos monedas, «ninguna cara» tiene probabilidad 1/4; entonces, la de «al menos una cara» es 1 − 1/4 = 3/4.

3. ¿Cómo paso una probabilidad de fracción a porcentaje?

Divide el numerador entre el denominador para obtener un decimal y multiplica por 100. Por ejemplo, 3/4 es 0,75 y 0,75 por 100 da un 75 %. Así, una probabilidad de 1 equivale a un 100 % y una de 0, a un 0 %.

Actividades de propiedades de la probabilidad

Resuelve en tu cuaderno. Expresa los resultados como fracción o decimal.

  1. Indica cuáles de estos valores pueden ser una probabilidad: 0; 1,2; 3/4; −1/5; 100 %.
  2. Clasifica cada suceso como seguro, imposible o ni uno ni otro: a) en una urna con solo bolas rojas, sacar una roja; b) en esa urna, sacar una azul; c) al lanzar un dado, salir par.
  3. Si P(A) = 0,18, calcula la probabilidad del contrario de A.
  4. Si P(A) = 2/5, calcula P(Ā).
  5. Dos sucesos incompatibles tienen P(A) = 0,25 y P(B) = 0,4. Calcula P(A ∪ B).
  6. Una ruleta tiene 10 sectores iguales numerados del 1 al 10. Calcula la probabilidad de «salir 2 o 9».
  7. En la misma ruleta, calcula la probabilidad de «salir múltiplo de 2 o mayor que 7».
  8. En un grupo, P(A) = 0,7, P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,4. Calcula P(A ∪ B) y la probabilidad de que no ocurra ni A ni B.
  9. Si P(A) = 0,3 y P(B) = 0,4, ¿puede ser P(A ∩ B) = 0,5? Justifica tu respuesta.
  10. Un alumno dice: «La probabilidad de que llueva es 0,4, así que la de que no llueva es 0,4 − 1 = −0,6». Detecta el error y corrígelo.

Respuestas

Ver soluciones

1. Pueden ser probabilidades 0, 3/4 y 100 % (que equivale a 1). No pueden serlo 1,2 (mayor que 1) ni −1/5 (negativo).

2. a) Seguro, porque todas las bolas son rojas. b) Imposible, porque no hay bolas azules. c) Ni uno ni otro: los resultados 2, 4 y 6 cumplen, pero 1, 3 y 5 no.

3. Se resta de 1:

$$P(\overline{A})=1-0{,}18=0{,}82$$

4. Se resta de 1:

$$P(\overline{A})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$$

5. Al ser incompatibles, solo se suma:

$$P(A \cup B)=0{,}25+0{,}4=0{,}65$$

6. Los resultados 2 y 9 no pueden darse a la vez:

$$P(2 \cup 9)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}$$

7. Los múltiplos de 2 son 5 (2, 4, 6, 8, 10), los mayores que 7 son 3 (8, 9, 10) y los comunes son 2 (8 y 10):

$$P=\frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{2}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

8. Primero se halla la unión y después su contrario:

$$P(A \cup B)=0{,}7+0{,}5-0{,}4=0{,}8$$
$$P(\text{ni }A\text{ ni }B)=1-0{,}8=0{,}2$$

9. Ejemplo de respuesta: no puede ser. La intersección A ∩ B está contenida en A, así que P(A ∩ B) no puede superar P(A) = 0,3. Por eso 0,5 es imposible.

10. Ejemplo de respuesta: el alumno restó al revés. El contrario se calcula como 1 − P(A), y una probabilidad nunca es negativa. Lo correcto es:

$$P(\text{no llueva})=1-0{,}4=0{,}6$$

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