números enteros

¿Alguna vez te has preguntado por qué algunos números tienen un signo negativo delante o qué significan los números que aparecen en los pisos subterráneos de un edificio? ¡La respuesta está en los números enteros!

Los números enteros están presentes en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando revisas un extracto bancario, los depósitos se representan con cantidades positivas y los retiros con cantidades negativas. También puedes encontrarlos en los paneles de los elevadores, donde los números positivos indican los pisos por encima del nivel del suelo y los negativos señalan los pisos subterráneos.

A continuación, aprenderás a comprender y utilizar los números enteros mediante ejemplos prácticos y simulaciones interactivas que te permitirán explorar este tema de una manera divertida y sencilla.

Definición

Subconjuntos notables en Z

El conjunto Ζ está formado por 3 subconjuntos denominados: subconjuntos notables, ellos son:

I.- El conjunto de los enteros positivos, conocidos como Ζ⁺:

Ζ⁺{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,…}

II.- El conjunto de los enteros negativos, conocidos como Ζ^– :

Ζ^– ={…,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1}

III.- El conjunto de todos los números enteros sin el 0, denotado como Ζ^*:

Ζ^* {…,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,…}

De esta forma se cumple que:

y

Números enteros en la recta numérica

El conjunto de los números Ζ en la recta numérica es relevante ya que permite:

1. Visualizar la posición.

2. Apreciar el orden de los números, facilitando la comparación y la comprensión de operaciones matemáticas básica como la suma y la resta.

También puedes ubicar números enteros en el plano cartesiano

Representación en la recta numérica

Para representar los números enteros en una la recta numérica debes cumplir con el siguiente procedimiento:

1. Dibujar una recta.

2. En la mitad de la recta, marca un punto para ubicar el número cero.

3. Crea una escala uniforme, por ejemplo de 1 en 1, 2 en 2, 5 en 5 dependiendo de la situación.

4. A la derecha ubica los enteros positivos.

5. A la izquierda ubica los enteros negativos.

Números enteros opuestos

Al ubicar los números enteros en la recta numérica, podrás identificar fácilmente pares de números opuestos. Cada par está formado por un número a la derecha del cero (0) y su opuesto a la izquierda, ambos equidistantes del origen.

Se dice que dos números enteros son opuestos sólo si equidistan de cero y poseen diferentes signos.

Valor absoluto

Dos ciclistas parten del origen; el de azul se dirige hacia el este y el de rojo hacia el oeste. En un instante dado, se encuentran a 500 m y 300 m del origen, respectivamente. Estas posiciones se representan como +500m y −300m, según la dirección de su movimiento. El ciclista azul recorrió 500 m y el ciclista rojo 300 m. Por lo tanto, 500 m y 300 m corresponden a los valores absolutos de +500m y −300m, ya que el valor absoluto refleja únicamente la magnitud del desplazamiento, sin considerar la dirección.

El valor absoluto es la distancia medida desde el cero de la recta numérica a cualquier entero positivo o negativo. Se representa por medio de dos barras verticales llamadas barras de valor absoluto. Si a ∈ Ζ, el valor absoluto de a se escribe así: |a|.

En física verás esta idea aplicada a posición y desplazamiento con signo

La imagen a continuación, muestra un ejemplo del valor absoluto entre una persona y una casa.

Es importante señalar que el valor absoluto de cero es cero, ya que no existe distancia alguna desde el origen. Su representación es: |0| = 0.

A jugar con valor absoluto

En esta simulación interactiva explorarás el concepto de valor absoluto a través de tres escenarios dinámicos.

Primero. La separación entre una casa y una persona. 

Segundo. Diferencia de temperatura.

Tercero. La distancia vertical entre un pez y un ave.

Aprenderás a medir distancias en una recta numérica, comprenderás cómo el valor absoluto representa la distancia de un número al cero.

Orden y comparación de números enteros

Al comparar dos números enteros siempre se cumple las siguientes relaciones:

La primera ventaja al configurar una recta numérica con números enteros es facilitar la identificación de cuál número es mayor o menor. El entero que esté más a la derecha es el mayor, mientras que el que esté más a la izquierda es el menor.

Observa las siguientes ilustraciones:

Sucede que: a > b, también se puede expresar como b < a

• a < b o b > a

• a = b

Ejemplo

Grafica sobre la recta numérica los siguientes números enteros: -1, 4, -6, 2 y 5.

¿Cuál de los números -6 y -1 está más a la derecha?

El -1 está más a la derecha que -6.

Entonces, -1 > -6  o  -6 < -1

¿Qué número está más a la derecha el 5 o el 2?

El número 5 está más cercano a la derecha.

Por lo tanto, 5 > 2  o  2 < 5

Ordena de mayor a menor

+5, +4, +2, -1, -6

A jugar con: Orden y Comparación números enteros

En esta simulación interactiva aprenderás a comparar números utilizando signos como mayor que (>), menor que (<) e igual (=).

Te invitamos a dejar tu comentario abajo. Cuéntanos qué aprendiste, qué te gustó más o si te surgió alguna duda. ¡Tu opinión es muy importante para nosotros!

Operaciones con números enteros

Al realizar operaciones básicas con números enteros, es necesario conocer ciertas reglas y procedimientos debido a la presencia de números negativos.

Adición de dos números enteros de igual signo

Observa la imagen y saca tus propias conclusiones.

¿Cuántas fichas guardó un jugador en su bolsa?

Respuesta:

Guardó -15 fichas.

Antes que veas la definición de la adición de dos números enteros de igual signo, es importante que sepas que en cualquier situación que involucre desplazamientos dirigidos hacia el este, o al oeste deben sumarse porque marchan hacia una misma dirección.

Lee con atención los siguientes escenarios:

Escenario # 1:

Observa en la recta numérica como David avanza +3 km y +1 km al este, el se dirige en la misma dirección, por lo tanto hay que sumar ambos desplazamientos.

Entonces, David está a 4km de su colegio.

(+3) + (+1) = |+3| + |+1| = 3 + 1 = +4

Escenario # 2:

Observa, aquí Daniel se moviliza con su bicicleta 2 km al oeste y después avanza 3 km en la misma dirección, lo que quiere decir que hay que sumar ambos desplazamientos.

Entonces Daniel está localizado a 5km de su casa.

(-2) + (-3) = |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5

Pero a la respuesta se le antepone el signo negativo, quedando de la siguiente forma:

(-2) + (-3) = -5

Definición de dos números enteros

Ejemplo. Efectúe las siguientes sumas sin hacer uso de la recta numérica:

(+5) + (+3) =

(-3) + (-6) =

Solución.

Se saca el valor absoluto de cada número entero.

|+5| = 5 ; |+3| = 3 ; |-3| = 3 ; |-6| = 6

Se opera anteponiendo el mismo signo

5 + 3 = +8

3 + 6 = +9

Cuando termines los ejercicios verifica tus resultados con la calculadora científica

Adición de dos números enteros de distintos signos

Observa la imagen, un jugador introduce dos fichas rojas y dos amarillas, de acuerdo con la figura, el puntaje total se obtiene mediante la expresión:

(-5) + 3 = -2

Definición de dos números enteros de distintos signos

Por ejemplo, (-10) + 8, se determinan los valores absolutos así:

(-10) + 8 = -2

¿Por qué?

Debes aplicarle valor absoluto a cada cantidad:

|-10| + |8|= 10 – 8 = 2

Pero a la respuesta se le antepone el signo negativo porque -10 es el número de mayor valor absoluto.

Propiedades de la adición de números enteros

En la adición de números enteros existen cinco propiedades, ellas son las siguientes:

Clausurativa. Llamada también propiedad cerrada ya que al sumar números enteros el resultado queda encerrado en el conjunto de los números enteros. Ejemplo:

(-4) + 3 = -1

-1 ∈ Ζ

Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado. Ejemplo:

(-8) + (-2) = (-2) + (-8)= -10

Asociativa. No importan como se agrupa tres o más números el resultado es el mismo.

[(-3) + 4] + 5 = (-3) + [ 4 +5 ] = 6

Elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma ya que no cambia el valor del número con el que suma.

(-12) + (0) = -12

Inverso aditivo u opuesto. Al sumar el inverso del número el resultado siempre es cero.

(-4) + 4 = 0

(-6) + 6 = 0

Números enteros con simulaciones interactivas: A jugar sumando números enteros

Ahora que ya conoces cómo sumar números enteros con distintos e iguales signos, es el momento de desafiar tus conocimientos. Ingresa y cuéntanos en comentarios al final de este post.

Sustracción de números enteros

La sustracción m – n = o, m es el minuendo, n el sustraendo y o es llamada diferencia.

Es la suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Es decir, m – n = m + (-n).

Ejemplo: Resolver la siguiente sustracción: (-12) – 4 =

(-12) + ( 4) = – 8

Observa que se expresó la resta como una adición entre el minuendo, -12 y el opuesto del sustraendo, -4.

Ejemplos

Determinar el minuendo, el sustraendo y la diferencia de:

I. (-10) – 12

Minuendo = -10

Sustraendo = 12

Para obtener la diferencia se saca el opuesto del sustraendo que es -12

(-10) + (-12) = -22

La diferencia es -22

II. 18 – 25

Minuendo = 18

Sustraendo = 25

Para obtener la diferencia se saca el opuesto del sustraendo que es -25

18 + (-25) = -7

Multiplicación de números enteros

Existen momentos donde todos los sumandos son iguales, precisamente allí es oportuno usar la multiplicación, ya que ayuda a simplificar la expresión y generar una respuesta mucho más rápida, por ejemplo:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 70

10 x 7 = 70

En una multiplicación de números enteros  m x  n = o, donde m y  n son llamados factores y o producto.

Al multiplicar números enteros se debe tener en cuenta la ley de los signos de la multiplicación, y es la siguiente:

( + ) ⋅ ( + ) = ( + )

( + ) ⋅ ( – ) = ( – )

( – ) ⋅ ( + ) = ( – )

( – ) ⋅ ( – ) = ( + )

Ejemplos

Resuelva las siguientes multiplicaciones.

(-4) × (+10) = -40

Observa que el producto es negativo por ser una multiplicación, allí se aplicó la ley de los signos (menos por más) generando un signo negativo.

(+8) × (+4) = +32

Ambos factores son positivos, por lo tanto su producto es positivo.

(-9) × (-2) = +18

Son factores que poseen el mismo signo negativo, resultando un producto positivo según la ley de signos.

Propiedades de la multiplicación

Las propiedades de la multiplicación de números enteros es la siguiente:

División de números enteros

El resultado de una división de números enteros no siempre resulta otro entero. En este post solo se considerará la división de dos números enteros resultando otro entero.

Antes de dividir, repasa cómo se hallan los divisores de un número y comprueba tus resultados con nuestra calculadora de divisibilidad.

La expresión para dividir dos números enteros puede darse de dos maneras:

m ÷ n

$$\frac{m}{n}$$

Al dividir números enteros debes considerar la ley de los signos de la división, que es la siguiente:

( + ) ÷ ( + ) = ( + )

( + ) ÷ ( – ) = ( – )

( – ) ÷ ( + ) = ( – )

( – ) ÷ ( – ) = ( + )

Ejemplos

Resuelva las siguientes divisiones.

( -4 ) ÷ ( +2 ) = -2

El cociente es negativo por la ley de signos.

$$\frac{-10}{-2}=+5$$

El resultado es positivo por la ley de los signos.

¡Sigue aprendiendo!

Después de los números enteros, el siguiente paso son las fracciones: lectura, clasificación y ejemplos. Y si quieres seguir fortaleciendo tus conocimientos y habilidades, explora más temas de matemáticas de 7° grado.

Actividades

Parte I

La escala que se muestra en la imagen a continuación está expresada en metros.

• ¿A qué altura se encuentra el ave más grande?
• ¿Qué profundidad aproximada tienen los peces?
• El tiburón lleva 500m de profundidad y la ballena 750m ¿Qué diferencia de altura existe?
• ¿Qué distancia tiene la ballena más grande?

Parte II

1. Analiza

• ¿Qué número entero existe a 4 unidades a la izquierda de -2?
• ¿Qué números enteros están entre -8 y -3?
• ¿Cuántos números enteros hay entre 5 y -5?
• ¿Qué número entero se encuentra 8 unidades a la derecha de -4?

2. Determinar el valor absoluto de los números enteros que representan la ubicación del ave y del tiburón, sabiendo que el nivel del mar es cero 0. Vea la figura océano.

Parte III

1. Crea una recta numérica y grafica los siguientes números enteros: -9, 7, -4, 10, 2. Luego ordénalos de mayor a menor.

2. Escribe el opuesto de los siguientes números enteros: -4, -6, 9, 12, 8.

Parte IV

Ordena, de menor a mayor, cada grupo de números:

• -4, 2, 25, 0, -9, -13.
• 34, 5, -56, 13, 12, 6, -1.

Parte V

Completa cada expresión con los signos menor que “<”, mayor que “>” o igual “=”

• 5 ___-10
• -3___ 5
• |-3|___3
• |-6|___|-4|

Parte VI

Resuelve cada operación.

• (-72)/(-6)=
• 396/(-11)=
• (-135)/9=
• 0/-4=

Parte VII

Responde verdadero o falso las siguientes afirmaciones:

• El cociente de una división exacta es positivo, si el dividendo es negativo y el divisor negativo
• En una división cuando el cociente es 0, es porque el divisor es cero.

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