Si lanzas una moneda 10 veces, ¿saldrán justo 5 caras y 5 cruces? Muchas veces no. Sin embargo, si la lanzas miles de veces, la proporción de caras se acerca a la mitad. En este post aprenderás qué es la probabilidad experimental, cómo calcularla con la frecuencia relativa y qué explica la ley de los grandes números.
¿Qué es la probabilidad experimental?
La probabilidad experimental es la probabilidad de un suceso estimada con resultados reales: repites un experimento aleatorio varias veces y observas cuántas veces ocurre ese suceso.
Necesitas dos datos: la frecuencia absoluta (las veces que ocurre el suceso) y el número total de repeticiones. Al dividirlos obtienes la frecuencia relativa:
$$f_r=\frac{\text{frecuencia absoluta}}{\text{número de repeticiones}}$$
La frecuencia relativa siempre está entre 0 y 1. Si la multiplicas por 100, la obtienes en porcentaje.
La ley de los grandes números
Con pocas repeticiones, la frecuencia relativa cambia mucho de una serie a otra. Con muchas repeticiones, se estabiliza y se acerca a la probabilidad teórica. Eso afirma la ley de los grandes números. No dice que las caras y las cruces se igualen en cantidad, sino que su proporción se acerca a lo esperado.
Probabilidad teórica y probabilidad experimental
Aspecto
Probabilidad teórica
Probabilidad experimental
Cómo se obtiene
Razonando con los casos favorables y posibles, si son igualmente probables
Repitiendo el experimento y contando los resultados
¿Cambia?
No, siempre da el mismo valor
Sí, varía de una serie a otra
Obtener un 6 con un dado
1/6 ≈ 0,167
Por ejemplo, 12 de 60 tiradas: 0,2
Cinco ejemplos resueltos de probabilidad experimental
Ejemplo 1: lanzar una moneda
Lanzas una moneda 40 veces y obtienes cara en 18 ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad experimental de cara?
Frecuencia absoluta de cara: 18.
Número de repeticiones: 40.
Divide ambos valores:
$$f_r(\text{cara})=\frac{18}{40}=0{,}45$$
Es experimental porque sale de resultados observados. La probabilidad es 0,45 (45 %), cerca del valor teórico 0,5.
Ejemplo 2: comparar con un dado
En 60 tiradas de un dado, el 6 sale 12 veces. Calcula su frecuencia relativa y compárala con la probabilidad teórica.
$$f_r(6)=\frac{12}{60}=0{,}2$$
$$P(6)=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$$
La diferencia es de unas 0,033. Con solo 60 tiradas, una pequeña diferencia es normal.
Ejemplo 3: más lanzamientos, más estabilidad
Imagina tres series de lanzamientos de una moneda: 10 lanzamientos con 7 caras, 100 con 56 y 1000 con 508. Calcula la frecuencia relativa de cada serie.
$$f_r=\frac{7}{10}=0{,}7$$
$$f_r=\frac{56}{100}=0{,}56$$
$$f_r=\frac{508}{1000}=0{,}508$$
Las distancias a 0,5 son 0,2; 0,06 y 0,008. A más lanzamientos, el valor se acerca a 0,5: así actúa la ley de los grandes números.
Ejemplo 4: tiros libres
Una jugadora encesta 36 de 50 tiros libres. Estima la probabilidad de que enceste el siguiente y cuántos encestes esperarías en 100 tiros.
$$f_r=\frac{36}{50}=0{,}72$$
$$0{,}72\times 100=72$$
No hay casos igualmente probables que contar, así que se usa la experiencia. Esperarías unos 72 encestes, aproximadamente: es una estimación, no una garantía.
Ejemplo 5: control de calidad
En una fábrica se revisan 250 lápices y 5 tienen la mina rota. Estima la probabilidad de que un lápiz sea defectuoso y cuántos esperarías en un lote de 5000.
$$f_r=\frac{5}{250}=0{,}02$$
$$0{,}02\times 5000=100$$
La probabilidad experimental es 0,02 (2 %). En el lote se esperan unos 100 lápices defectuosos.
Error frecuente
Tres errores frecuentes con la probabilidad experimental
Error 1: «Si salieron muchas cruces seguidas, ahora toca cara». Cada lanzamiento es independiente: la moneda no recuerda lo anterior y la probabilidad de cara sigue siendo 0,5. La proporción se acerca a 0,5 porque las nuevas repeticiones diluyen la racha, no porque el azar la compense.
Error 2: «Con 10 lanzamientos tiene que salir 5 y 5». Con pocas repeticiones es normal que haya diferencias grandes. La ley de los grandes números habla de muchas repeticiones.
Error 3: «La frecuencia relativa es la probabilidad exacta». Es una estimación: cambia si repites la serie. Razona así: cuantas más repeticiones, mejor es la estimación.
Comprueba lo aprendido
Clasifica cada situación como probabilidad teórica o experimental: a) una bolsa tiene 3 bolas rojas y 7 azules, así que P(roja) = 3/10 sin sacar ninguna; b) tras 90 tiradas de una chincheta, cayó con la punta hacia arriba 33 veces; c) al encuestar a 120 estudiantes, 30 dijeron que prefieren matemáticas.
Calcula la frecuencia relativa de cruz si en 25 lanzamientos de una moneda salieron 11 cruces.
Razona: dos amigos lanzan una moneda 100 veces cada uno y obtienen 47 y 52 caras. ¿Es raro que sus resultados no coincidan?
Primera
1. a) Teórica: se razona con los casos favorables y posibles. b) Experimental: sale de tiradas reales. c) Experimental: sale de una encuesta realizada.
Segunda
2. Frecuencia relativa de cruz = 11/25 = 0,44, es decir, 44 %.
Tercera
3. No es raro. La probabilidad experimental varía de una serie a otra. Aquí se obtienen 0,47 y 0,52, y ambos valores están cerca de 0,5.
Simulador Plinko: deja caer bolas y mira cómo se ordena el azar
El simulador Plinko-Probabilidad, de PhET Interactive Simulations (Universidad de Colorado Boulder), te permite dejar caer bolas por una cuadrícula triangular de clavijas. Las bolas se acumulan en recipientes y puedes pasar a una vista de histograma para comparar su distribución con la distribución binomial ideal. También puedes ajustar la probabilidad binaria.
No lanza monedas ni dados: sirve para contrastar resultados experimentales con una distribución teórica. Piensa en la probabilidad binaria como en una moneda equilibrada o trucada.
Predice antes de explorar
Si dejas caer pocas bolas, ¿crees que su distribución se parecerá a la distribución ideal? ¿Qué pasará cuando dejes caer muchas más? Escribe tu hipótesis y compruébala después.
⚡ ¡Descubre la probabilidad con Plinko!
Observa cómo las canicas caen a través de filas de clavos para formar distribuciones estadísticas. Experimenta con diferentes configuraciones y descubre las leyes de la probabilidad y el azar.
1. ¿Cuántas veces hay que repetir un experimento para que la frecuencia relativa sea fiable?
No existe un número mágico. Cuantas más repeticiones haces, más estable y fiable es la estimación. Con 10 lanzamientos hay mucha variación; con cientos o miles, la frecuencia relativa se acerca mucho más a la probabilidad teórica. Lo importante es repetir siempre en las mismas condiciones y anotar todos los resultados.
2. ¿Para qué sirve la probabilidad experimental si ya existe la teórica?
Sirve cuando no puedes contar casos igualmente probables, como en una chincheta, un tiro libre, un defecto de fábrica o una encuesta. También permite comprobar si un dado o una moneda están equilibrados, comparando lo que sale con lo que dice la teoría.
3. ¿Cómo simulo lanzamientos de moneda sin tener una moneda?
Usa una hoja de cálculo. Escribe =ALEATORIO.ENTRE(0;1) en una columna y arrástrala hacia abajo: 0 representa cruz y 1, cara. Con CONTAR.SI cuentas las caras y las divides entre el total de filas. Recalcula varias veces y compara las frecuencias relativas.
Actividades de probabilidad experimental
Reconocer
Define con tus palabras frecuencia absoluta y frecuencia relativa.
¿Cuáles de estos valores no pueden ser una frecuencia relativa: 0,35; 1,2; −0,1; 1; 0? Justifica tu respuesta.
Aplicar
Lanzas un dado 30 veces y el 3 sale 4 veces. Calcula la frecuencia relativa del 3.
Durante 40 días anotas si llueve a las 8 de la mañana y llueve 6 días. Calcula la probabilidad experimental de lluvia a esa hora.
Una moneda se lanza 200 veces y la frecuencia relativa de cara es 0,46. ¿Cuántas caras salieron?
Comparar
Una bolsa tiene 4 bolas rojas y 6 verdes. Calcula la probabilidad teórica de sacar una roja. Después sacas una bola 50 veces, devolviéndola cada vez, y salen 17 rojas: calcula la probabilidad experimental y compáralas.
Interpretar
Tres series de lanzamientos de una moneda dan estos resultados: 13 caras en 20, 106 en 200 y 1011 en 2000. Calcula las frecuencias relativas y explica qué serie se acerca más a 0,5 y por qué.
Justificar
Una compañera dice: «Lancé un dado 6 veces y no salió el 6, así que en el próximo tiene que salir». ¿Qué le respondes?
Diseñar
Explica cómo comprobarías si una moneda está equilibrada: cuántas veces la lanzarías, qué calcularías y qué resultado te haría sospechar.
Corregir un error
Marcos lanza una moneda 8 veces, obtiene 3 caras y afirma: «La probabilidad de cara es exactamente 3/8, así que la moneda está trucada». Señala sus dos errores.
Respuestas
Ver respuestas de las actividades
1. Frecuencia absoluta: número de veces que ocurre un suceso. Frecuencia relativa: esa cantidad dividida entre el total de repeticiones.
2. No pueden ser 1,2 ni −0,1, porque la frecuencia relativa está siempre entre 0 y 1. Los valores 0,35; 1 y 0 sí son posibles.
3. 4/30 = 2/15 ≈ 0,133.
4. 6/40 = 0,15, es decir, 15 %.
5. 0,46 × 200 = 92 caras.
6. Teórica: 4/10 = 0,4. Experimental: 17/50 = 0,34. La diferencia es 0,06; con solo 50 extracciones es una variación normal.
7. 13/20 = 0,65; 106/200 = 0,53; 1011/2000 = 0,5055. La tercera serie se acerca más a 0,5, porque tiene muchas más repeticiones, como indica la ley de los grandes números.
8. (Ejemplo de respuesta) Cada tirada es independiente: el dado no recuerda lo que salió antes. En el siguiente lanzamiento, la probabilidad del 6 sigue siendo 1/6. Haber fallado seis veces no «obliga» a que salga.
9. (Ejemplo de respuesta) La lanzaría muchas veces, por ejemplo 200, y anotaría las caras. Calcularía la frecuencia relativa de cara. Si, aun con muchas repeticiones, se aleja claramente de 0,5, sospecharía que no está equilibrada; con pocos lanzamientos no puedo concluir.
10. Error 1: 3/8 = 0,375 es una estimación (frecuencia relativa), no la probabilidad exacta. Error 2: con solo 8 lanzamientos no se puede concluir que la moneda esté trucada; hay que repetir muchas más veces.
Las fracciones compuestas aparecen con más frecuencia de lo que imaginas: cuando un electricista calcula la resistencia total de dos cables conectados en paralelo, cuando un cocinero ajusta una receta a la mitad de sus ingredientes fraccionarios, o cuando divides el tiempo libre de tu tarde entre varias actividades.
¿Alguna vez viste una fracción como esta y sentiste que “algo no cuadraba”?
Si tu respuesta es sí, este artículo es para ti. Aquí aprenderás, paso a paso, qué es una fracción compuesta, en qué se diferencia de un número mixto y cómo resolverla sin confusiones.
Al terminar esta lección podrás:
Reconocer una fracción compuesta y diferenciarla de otros tipos de fracciones.
Resolver fracciones compuestas usando dos métodos distintos.
Aplicar las fracciones compuestas a situaciones reales (electricidad, física, finanzas).
Detectar y corregir los errores más comunes al operarlas.
2. Terminología clave
Término
Definición corta
Ejemplo
Fracción simple
Fracción cuyo numerador y denominador son números enteros.
$$\dfrac{3}{4}$$
Fracción compuesta
Fracción en la que el numerador, el denominador o ambos contienen a su vez otra fracción.
$$\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}}$$
Fracción principal
La línea de división más larga; separa la fracción compuesta en su numerador general y denominador general.
La línea central de $$\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}}$$
Fracción recíproca (inversa)
Fracción que resulta de intercambiar numerador y denominador.
El recíproco de $$\dfrac{3}{5}$$ es $$\dfrac{5}{3}$$
Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El menor número que es múltiplo de dos o más denominadores a la vez.
Una fracción compuesta (también llamada fracción compleja o fracción de fracciones) es aquella en la que el numerador, el denominador o ambos son, a su vez, fracciones u operaciones entre fracciones.
Su forma general es:
$$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}$$
donde a, b, c y d son números enteros, con:
b≠0
c≠0 y
d≠0
En esencia, una fracción compuesta representa una división entre dos fracciones. Recuerda que la línea de fracción siempre puede leerse como “dividido entre”:
Una fracción compuesta es, en el fondo, una división encubierta entre dos fracciones (o entre una fracción y un número entero).🤔 Pregunta reflexiva: Si ya sabes dividir fracciones, ¿por qué crees que a una fracción compuesta se le sigue llamando “fracción” y no simplemente “una división”?
🧠 Mini quiz:
¿Cuál de las siguientes es una fracción compuesta? a) $$\dfrac{5}{8}$$ b) $$\dfrac{\frac{2}{3}}{7}$$ c) $$3\dfrac{1}{4}$$ d) $$0{,}75$$
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: B, porque su numerador es una fracción.
4. ¿Cómo resolver una fracción compuesta?
Lo primero que debes realizar es resolver todas las operaciones presentes, como sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de fracciones, también puedes aplicar el mínimo común múltiplo (m.c.m.).
Cuando la fracción compuesta es pequeña como estas:
Divídelas aplicando el método de la Doble C.
4.1. Método de la doble C: transformar la fracción compuesta en una fracción simple
El método de la doble C (también conocida método de la oreja, ley del sándwich o de la tortilla) permite dividir una fracción compuesta de una forma rápida.
Su procedimiento es el siguiente:
Multiplica el numerador de la fracción superior por el denominador de la fracción inferior (formando una C grande)
Multiplica el denominador de la fracción superior por el numerador de la fracción inferior (creándose una C pequeña)
Simplificar.
👀 ¡Observa con atención la fracción compuesta!
Viste cómo se formó la doble C. ¿No te parece que también tiene forma de oreja? 👂😄
¡Quizás a partir de ahora no olvidarás tan fácilmente la doble C!
💡 ¿Has encontrado otra imagen curiosa para representar este procedimiento? Puedes escribirnos al final de este artículo, en los comentarios.
4.2. Método del m.c.m.
Cuando el numerador y el denominador de la fracción compleja contienen muchas sumas o restas de fracciones de diferentes denominadores, conviene usar el método del mínimo común múltiplo (m.c.m.), ya que permite eliminar simultáneamente los denominadores, facilitando y haciendo más ordenado el proceso de resolución.
Para resolver: $$\dfrac{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}}$$ con el método del m.c.m., ¿cuál es el m.c.m. correcto de los denominadores 4, 6 y 12? a) 24. b) 12. c) 48. d) 72.
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: C
4. Aplicaciones reales de las fracciones compuestas
Electricidad: la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo se calcula con una fracción compuesta: $$R_{eq}=\dfrac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$$.
Óptica: la ecuación del lente delgado relaciona la distancia focal con fracciones dentro de fracciones al despejar variables.
Finanzas: el cálculo de tasas de interés compuestas fraccionadas por periodos parciales del año utiliza expresiones equivalentes a fracciones compuestas.
Cocina: ajustar una receta que pide $$\frac{3}{4}$$ de taza para $$\frac{1}{2}$$ de las porciones originales exige dividir fracciones, lo que genera una fracción compuesta.
Programación y ciencia de datos: las fracciones continuas (usadas para aproximar números irracionales) son cadenas de fracciones compuestas.
Contexto: dos llaves de agua en paralelo llenan un tanque; llave A tarda $$\frac{1}{3}$$ Y llave B $$\frac{1}{6}$$ del tanque por hora, tiempo conjunto en horas: $$\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=$$ Rpta: $$\boxed{2}$$
1. ¿Una fracción compuesta es lo mismo que un número mixto?
No. El número mixto tiene una parte entera y una fracción $$2\frac{1}{3}$$ la fracción compuesta tiene una fracción dentro de otra fracción. Encuesta rápida: ¿tú también los confundías antes de leer este artículo? Coméntalo abajo.
2. ¿Por qué al dividir por una fracción el resultado a veces es mayor que el número original?
Porque dividir entre una fracción menor que 1 equivale a multiplicar por un número mayor que 1 (su recíproco).
3. ¿Qué pasa si el denominador de la fracción compuesta es 0?
La expresión no está definida; nunca se puede dividir entre cero, ni siquiera dentro de una fracción compuesta.
4. ¿Es obligatorio simplificar el resultado final?
En matemáticas se espera presentar el resultado en su forma irreducible, salvo que el ejercicio indique lo contrario.
5. ¿Las fracciones compuestas solo se usan en el colegio?
No; se usan en electricidad (resistencias en paralelo), óptica, finanzas y programación, como viste en la sección de aplicaciones.
6. ¿Cómo compruebo si mi resultado es correcto?
Convierte las fracciones originales a decimales con calculadora y verifica que el decimal de tu resultado coincida.
7. ¿Puedo tener una fracción compuesta con tres niveles (una fracción dentro de una fracción dentro de otra fracción)?
Sí, se llaman fracciones continuas y se resuelven trabajando siempre desde el nivel más interno hacia afuera.
8. ¿Qué error cometen más los estudiantes al usar el método del m.c.m
Multiplicar solo un término por el m.c.m. y olvidar los demás, lo que altera el resultado final.
9. ¿En qué se diferencia una fracción compuesta de una razón compuesta?
La fracción compuesta es una operación entre fracciones; la razón compuesta compara más de dos magnitudes distintas. No son el mismo concepto, aunque comparten la palabra “compuesta”.
10. ¿Cuál método es “mejor”: Doble C, o usar el m.c.m.?
La doble C es utilizada cuando tienes una fracción compleja y el m.c.m. es para cuando existan múltiples operaciones con fracciones complejas.
Los porcentajes están en todas partes: en el descuento de la tienda, en el porcentaje de batería de tu celular, en las noticias sobre inflación y hasta en el marcador de un partido de fútbol cuando se habla de «posesión de balón». Aprender a manejarlos con seguridad es una de las herramientas matemáticas más útiles para la vida diaria.
Imagina esta situación: en una tienda ves dos ofertas para el mismo tipo de zapatillas. La primera tienda ofrece un 30% de descuento sobre un precio de $180.000. La segunda tienda ofrece un descuento directo de $50.000 sobre el mismo precio original. ¿Cuál oferta te conviene más? Sin saber calcular porcentajes, es imposible responder con seguridad.
Objetivo de aprendizaje: Al terminar este artículo podrás:
1. Explicar qué es un porcentaje y por qué es una forma especial de fracción.
2. Convertir entre fracciones, decimales y porcentajes.
3. Calcular el porcentaje de cualquier cantidad y también la cantidad total o el porcentaje cuando faltan otros datos.
4. Resolver problemas de aumento y descuento porcentual, incluyendo interés simple.
5. Reconocer y evitar los errores más comunes al trabajar con porcentajes.
3. Terminología clave
Antes de avanzar, familiarízate con las palabras clave que usaremos a lo largo de todo el artículo. Este glosario visual te servirá como referencia rápida cada vez que lo necesites.
Ícono
Término
Definición corta
Ejemplo
📊
Porcentaje
Razón que expresa una parte de cada cien.
25% significa 25 de cada 100 unidades.
🔢
Razón
Comparación entre dos cantidades mediante una división.
3 de cada 4 estudiantes aprobaron.
➗
Fracción
Representa una parte de un todo dividido en partes iguales.
1/2 es la mitad de algo.
🔟
Decimal
Número con parte fraccionaria expresado con coma o punto decimal.
0,5 equivale a la mitad.
🧮
Base o total
Cantidad de referencia sobre la cual se calcula el porcentaje.
El total de estudiantes del curso.
📈
Aumento porcentual
Incremento de una cantidad, expresado en porcentaje.
El precio subió un 8%.
📉
Descuento porcentual
Reducción de una cantidad, expresada en porcentaje.
La camiseta tiene 20% de descuento.
💰
Interés
Dinero generado por un capital durante un tiempo, expresado en porcentaje.
El banco paga 5% anual.
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El siguiente mapa muestra cómo se relaciona el porcentaje con sus formas equivalentes (fracción, decimal, razón) y con sus principales aplicaciones (aumento, descuento, interés). Todo porcentaje se calcula siempre sobre una base o total, que representa el 100%.
Figura 1. El porcentaje y sus formas equivalentes.
4. Desarrollo del contenido
4.1 ¿Qué es un porcentaje?
La palabra porcentaje viene del latín “per centum”, que significa «por cada cien». Un porcentaje es, entonces, una forma de expresar una parte de cada cien unidades de una cantidad total.
El símbolo % se lee «por ciento» y siempre representa una razón cuyo denominador es 100. Por ejemplo, 45% significa 45 de cada 100, es decir, la fracción 45/100.
Esta fórmula es la base de todo lo que veremos en el artículo: siempre hay una parte, un total (o base) y un porcentaje que los relaciona.
Figura 2. Un porcentaje es siempre «partes de cada 100»: aquí se muestran el 25% y el 60% coloreados en una cuadrícula de 100 cuadros.
Este modelo de la cuadrícula es muy útil al inicio: si divides cualquier cantidad en 100 partes iguales, el porcentaje te dice exactamente cuántas de esas partes debes tomar.
✅ Resumen:
Un porcentaje es una razón con denominador 100. El símbolo % siempre indica «de cada cien». Todo porcentaje relaciona tres elementos: la parte, el total y el propio porcentaje.
🤔Pregunta reflexiva:
Si en tu salón de clases el 50% de los estudiantes prefiere las matemáticas sobre otras materias, ¿qué información necesitas para saber cuántos estudiantes son exactamente?
✅ Mini-comprobación 1: ¿Qué representa el símbolo % en la expresión 30%?
a) 30 de cada 100
b) 30 de cada 10
c) 30 dividido entre 3
d) 30 elevado al cuadrado
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: a) — 30% significa 30 de cada 100, es decir, la fracción 30/100.
4.2 Conversión entre fracciones, decimales y porcentajes
Como un porcentaje es una fracción con denominador 100, puedes convertirlo fácilmente a decimal o a fracción, y viceversa. Estas tres formas representan siempre la misma cantidad, solo que escritas de manera distinta.
De porcentaje a decimal
Para pasar de porcentaje a decimal, divide entre 100 (es decir, mueve la coma dos lugares a la izquierda).
$$18\% = \frac{18}{100} = 0{,}18$$
De decimal a porcentaje
Para pasar de decimal a porcentaje, multiplica por 100 (mueve la coma dos lugares a la derecha) y añade el símbolo %.
$$0{,}07 \times 100 = 7\%$$
De fracción a porcentaje
Para pasar de fracción a porcentaje, primero divide el numerador entre el denominador para obtener el decimal, y luego multiplica por 100.
La siguiente tabla resume las equivalencias más usadas, que conviene memorizar porque aparecen constantemente en la vida diaria:
Fracción
Decimal
Porcentaje
1/2
0,5
50%
1/4
0,25
25%
3/4
0,75
75%
1/5
0,2
20%
1/10
0,1
10%
1/3
0,333…
≈ 33,3%
1
1
100%
✅ Resumen:
Porcentaje, decimal y fracción son tres formas de escribir la misma cantidad: decimal → porcentaje (×100) y porcentaje → decimal (÷100). Para fracciones, primero se convierte a decimal.
🤔Pregunta reflexiva:
Si un producto cuesta lo mismo con un descuento de «1/4 del precio» que con un descuento de «25%», ¿por qué son exactamente lo mismo?
✅ Mini-comprobación 2: ¿Cuál es el equivalente en porcentaje de la fracción 2/5?
a) 20%
b) 25%
c) 40%
d) 50%
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: c) — 2/5 = 0,4, y 0,4 × 100 = 40%.
4.3 Cálculo del porcentaje de una cantidad
Una de las operaciones más comunes es calcular qué cantidad representa un porcentaje de un total dado. Por ejemplo: ¿cuánto es el 20% de $150.000?
La fórmula general despeja la parte (P) a partir del porcentaje (p) y el total o cantidad base (C):
$$P = \frac{p}{100}\times C$$
Método 1: multiplicación directa
Convierte el porcentaje a decimal y multiplícalo por el total.
Para calcular mentalmente, es útil partir de porcentajes fáciles: el 10% se obtiene dividiendo entre 10, el 1% dividiendo entre 100, y el 50% dividiendo entre 2. A partir de ahí puedes combinar. Por ejemplo, para hallar el 15% de 200: el 10% de 200 es 20, el 5% es la mitad de eso, es decir 10, así que el 15% es 20 + 10 = 30.
✅ Resumen:
El porcentaje de una cantidad se calcula con P = (p/100) × C. Puedes usar multiplicación directa, regla de tres, o trucos de cálculo mental basados en 10%, 5% y 1%.
🤔Pregunta reflexiva:
¿Cómo calcularías mentalmente y rápido el 30% de una cantidad, usando el truco del 10%?
✅ Mini-comprobación 3: ¿Cuánto es el 15% de $80.000?
a) $8.000
b) $12.000
c) $15.000
d) $20.000
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: b) — 15% de 80.000 = 0,15 × 80.000 = $12.000.
4.4 Cálculo del total o del porcentaje cuando faltan otros datos
No siempre buscamos la parte. A veces conocemos la parte y el porcentaje, y necesitamos hallar el total; otras veces conocemos la parte y el total, y necesitamos hallar el porcentaje. Ambos casos se resuelven despejando la fórmula original.
Hallar el total conociendo la parte y el porcentaje
Si sabes que 45 estudiantes representan el 30% del curso, ¿cuántos estudiantes hay en total?
Hallar el porcentaje conociendo la parte y el total
Si 18 de 40 preguntas de un examen fueron respondidas correctamente, ¿qué porcentaje representa eso?
$$p = \frac{P}{C}\times 100$$
$$p = \frac{18}{40}\times 100 = 45\%$$
✅ Resumen:
Existen tres variantes del mismo problema: hallar la parte, hallar el total o hallar el porcentaje. Las tres fórmulas se derivan de la misma relación P = (p/100) × C, solo despejando la incógnita que corresponda.
🤔Pregunta reflexiva:
Si un vendedor te dice que ya vendió «60 unidades, que son el 40% de su meta», ¿cómo calculas cuál es su meta total sin usar calculadora?
✅ Mini-comprobación 4: En un curso de 25 estudiantes, 10 usan lentes. ¿Qué porcentaje del curso usa lentes?
a) 25%
b) 35%
c) 40%
d) 50%
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: c) — p = (10/25) × 100 = 40%.
4.5 Aumento y descuento porcentual
Dos de las aplicaciones más frecuentes de los porcentajes en la vida real son los aumentos (subidas de precio, crecimiento de población, inflación) y los descuentos (ofertas, rebajas).
Fórmula del aumento porcentual
Si una cantidad inicial aumenta en un porcentaje p, la cantidad final se calcula así:
$$C_f = C_i \left(1+\frac{p}{100}\right)$$
Ejemplo: un producto de $60.000 sube su precio un 12%.
Un error extendido es pensar que un aumento del 10% seguido de un descuento del 10% deja la cantidad igual que al principio. No es así, porque el segundo porcentaje se calcula sobre una base distinta (el nuevo valor, no el original).
Figura 3. Un aumento del 10% seguido de un descuento del 10% no devuelve el precio original: se pasa de 100 a 110, y luego a 99.
La investigación en didáctica de las matemáticas señala que este tipo de confusión —tratar el 100% como si fuera siempre la misma base— es uno de los errores más frecuentes entre estudiantes de distintos niveles, e incluso aparece en la formación inicial de futuros docentes.
Aplicaciones reales
Comercio: cálculo de rebajas, IVA y recargos.
Economía: variación del índice de precios (inflación) mes a mes.
Demografía: crecimiento o disminución de la población de una ciudad.
Tecnología: porcentaje de batería restante o de progreso de una descarga.
✅ Resumen:
El aumento porcentual multiplica por (1 + p/100) y el descuento por (1 − p/100). Los cambios porcentuales sucesivos no se suman ni se restan directamente, porque cada uno se calcula sobre una base diferente.
🤔Pregunta reflexiva:
Si una tienda anuncia «50% de descuento adicional sobre el precio ya rebajado un 30%», ¿el descuento total es del 80%? Justifica tu respuesta.
✅ Mini-comprobación 5: Un artículo de $100.000 sube 20% y luego baja 20% sobre el nuevo precio. ¿Cuál es el precio final?
a) $100.000
b) $96.000
c) $104.000
d) $120.000
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: b) — 100.000 × 1,20 = 120.000; luego 120.000 × 0,80 = 96.000. El precio final es menor al original.
4.6 Interés simple: una aplicación cotidiana
El interés simple es la ganancia (o el costo) que genera un capital durante un período de tiempo, calculada siempre sobre el capital inicial. Se usa en ahorros, préstamos y tarjetas de crédito.
$$I = C \times \frac{r}{100} \times t$$
Donde I es el interés generado, C es el capital inicial, r es la tasa de interés anual (en porcentaje) y t es el tiempo en años.
Ejemplo: si depositas $500.000 en una cuenta de ahorros con una tasa del 4% anual durante 3 años, el interés generado será:
Al cabo de los 3 años, tendrás el capital inicial más el interés generado, es decir, $560.000.
✅ Resumen:
El interés simple se calcula multiplicando el capital por la tasa (en decimal) y por el tiempo. A diferencia del interés compuesto, siempre se calcula sobre el mismo capital inicial, sin acumular sobre los intereses ya generados.
🤔Pregunta reflexiva:
¿Por qué crees que los bancos casi siempre usan interés compuesto (y no simple) para los préstamos a largo plazo?
✅ Mini-comprobación 6: ¿Cuál es el interés generado por un capital de $200.000 al 5% anual durante 2 años?
a) $10.000
b) $20.000
c) $40.000
d) $50.000
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: b) — I = 200.000 × (5/100) × 2 = 20.000.
4.7 Errores comunes al trabajar con porcentajes
Conocer los errores más frecuentes te ayuda a evitarlos. Estos son los más habituales entre estudiantes, de acuerdo con estudios sobre didáctica del porcentaje:
Confundir puntos porcentuales con porcentaje de cambio. Pasar de 20% a 25% es un aumento de «5 puntos porcentuales», pero el aumento porcentual real es del 25% (5/20 × 100), no del 5%.
Sumar o restar porcentajes sucesivos directamente, como en el ejemplo del aumento y descuento del 10% visto antes.
Olvidar convertir el porcentaje a decimal antes de multiplicar, usando por error el número entero (por ejemplo, multiplicar por 20 en vez de por 0,20).
Usar la base equivocada al calcular un descuento: aplicar el porcentaje sobre el precio final en vez del precio original, o viceversa.
Tratar el 100% como si fuera siempre «todo» en cualquier contexto, sin identificar correctamente cuál es la cantidad de referencia (la base) en cada problema.
Diversos estudios de didáctica de las matemáticas con estudiantes de secundaria básica muestran que la mayoría asocia el porcentaje principalmente con la idea de «descuento» y con la relación parte-todo, pero tiene dificultades para cambiar de esa representación numérica a otras formas como la fracción o el decimal, lo que confirma la importancia de practicar las conversiones vistas en la sección 4.2.
✅ Resumen:
Los errores más comunes surgen de confundir la base sobre la que se calcula el porcentaje, de sumar cambios porcentuales sucesivos como si fueran directamente aditivos, y de olvidar convertir el porcentaje a su forma decimal antes de operar.
🤔Pregunta reflexiva:
Piensa en una noticia reciente que hayas escuchado sobre «aumento de puntos porcentuales» en una encuesta o índice económico. ¿Se explicó correctamente la diferencia con el porcentaje de cambio?
✅ Mini-comprobación 7: Una encuesta pasó de un 40% de aprobación a un 44%. ¿Cuál es el aumento en puntos porcentuales y cuál el porcentaje de cambio?
a) 4 puntos porcentuales y 4% de cambio
b) 4 puntos porcentuales y 10% de cambio
c) 10 puntos porcentuales y 4% de cambio
d) 44 puntos porcentuales y 40% de cambio
Muéstrame la respuestaRespuesta correcta: b) — La diferencia directa es 44 − 40 = 4 puntos porcentuales. El porcentaje de cambio es (4/40) × 100 = 10%.
5. Simulador interactivo
Para practicar de forma visual e interactiva, te recomendamos el applet de GeoGebra «Porcentajes (actividad de balones)», diseñado específicamente para estudiantes de secundaria.
6. Bloques de ejercicios y práctica
6.1 Ejemplos resueltos
A continuación, 10 ejemplos resueltos paso a paso, de menor a mayor complejidad y con contextos variados: vida cotidiana, tecnología y estudios de caso.
Ejemplo 1
Calcula el 10% de $250.000 (cálculo mental básico).
El 10% se obtiene dividiendo entre 10.
$$250\,000 \div 10 = 25\,000$$
Ejemplo 2
Un teléfono celular tiene 40% de batería. Si la batería máxima es de 4.000 mAh, ¿cuántos mAh le quedan?
Un producto tecnológico sube de precio un 8% y, tres meses después, baja un 8% sobre el nuevo precio. Si el precio original era $500.000, ¿cuál es el precio final? (Verifica si vuelve al valor original.)
Primero se aplica el aumento del 8%:
$$C_1 = 500\,000 \times 1{,}08 = 540\,000$$
Luego se aplica el descuento del 8% sobre el nuevo precio:
$$C_2 = 540\,000 \times 0{,}92 = 496\,800$$
No vuelve al precio original.
6.2 Problemas resueltos
A continuación, 10 problemas resueltos con nivel de dificultad incremental, que combinan varios pasos y conceptos.
Problema 1
Un examen tiene 20 preguntas. Si un estudiante respondió correctamente el 85%, ¿cuántas preguntas respondió bien y cuántas mal?
¡Excelente trabajo! Hoy aprendiste algo nuevo y eso ya es un gran logro.
Problema 4
Un salario de $1.800.000 recibe un aumento del 7%. Al mes siguiente, por un ajuste, se le descuenta un 3% sobre el nuevo salario. ¿Cuál es el salario final?
Muéstrame la respuesta
$$C_1 = 1\,800\,000\times 1{,}07 = 1\,926\,000$$
$$C_2 = 1\,926\,000\times 0{,}97 = 1\,868\,220$$
Rep. $1.868.220
¡Muy bien! Estás demostrando que con práctica puedes lograrlo.
Problema 5
En un curso de 32 estudiantes, el 37,5% practica algún deporte. De ellos, la mitad practica fútbol. ¿Cuántos estudiantes practican fútbol?
¡Felicitaciones! Un paso más hacia el dominio de este tema.
Problema 6
Dos tiendas venden el mismo producto de $200.000. La tienda A da 25% de descuento. La tienda B da 15% de descuento y, además, un 10% adicional sobre el nuevo precio. ¿Cuál tienda ofrece el mejor precio final?
Muéstrame la respuestaTienda A:
$$200\,000\times 0{,}75 = 150\,000$$
Tienda B (descuentos sucesivos, no se suman):
$$200\,000\times 0{,}85\times 0{,}90 = 153\,000$$
Rep. La tienda A tiene mejor precio: $150.000 frente a $153.000
¡Genial! Tu razonamiento te llevó hasta la solución.
Problema 7
Un capital de $3.000.000 se invierte al 6% de interés simple anual. ¿Cuánto tiempo se necesita para que el interés generado sea de $540.000?
Muéstrame la respuestaSe despeja el tiempo de la fórmula del interés simple:
Una encuesta a 250 personas mostró que el 60% prefiere café y el resto prefiere té. Si de quienes prefieren té, el 20% lo toma sin azúcar, ¿cuántas personas toman té sin azúcar?
¡Excelente! Resolver problemas es aprender a pensar, y lo estás haciendo muy bien.
Problema 9
El precio de un boleto de avión subió de $320.000 a $368.000. Un mes después bajó a $340.480. Calcula el porcentaje de aumento inicial y el porcentaje de descuento posterior.
Rep. Aumento del 15% y descuento posterior del 7,5%
¡Muy bien! Cada ejercicio que resuelves te hace un poco más fuerte en matemáticas.
Problema 10
Una empresa reparte utilidades: el 45% para reinversión, el 30% para los socios y el resto para un fondo de reserva. Si las utilidades totales son $80.000.000, ¿cuánto dinero va al fondo de reserva?
Muéstrame la respuestaEl porcentaje del fondo de reserva es el complemento hasta 100%:
¡Bravo! Tu esfuerzo y tus conocimientos dieron resultado.
8. Conclusión
Los porcentajes son una herramienta matemática que usamos constantemente, muchas veces sin darnos cuenta. A lo largo de este artículo aprendiste a interpretarlos, convertirlos entre sus distintas formas, calcularlos en cualquiera de sus variantes y aplicarlos a situaciones reales como descuentos, aumentos e intereses.
9. Preguntas frecuentes (FAQs)
1. ¿Un porcentaje puede ser mayor a 100%?
Sí. Un porcentaje mayor a 100% ocurre cuando la parte supera al total original, típicamente en contextos de crecimiento. Por ejemplo, si una empresa duplicó sus ventas, el crecimiento fue del 100% (pasó de ser el 100% a ser el 200% del valor inicial).
2. ¿Es lo mismo un aumento del 50% que multiplicar por 1,5?
Sí, exactamente. Aumentar una cantidad en un 50% equivale a multiplicarla por (1 + 50/100) = 1,5. Este es uno de los atajos más útiles para resolver problemas rápidamente.
3. Si algo baja 50% y luego sube 50%, ¿vuelve a su valor original?
No, y este es uno de los errores conceptuales más frecuentes. Si partes de 100 y bajas 50%, obtienes 50. Si a 50 le subes 50%, obtienes 75, no 100, porque el segundo porcentaje se calculó sobre una base menor.
4. ¿Por qué 100% siempre representa «todo»?
Porque 100% es, por definición, la totalidad de la cantidad de referencia (100 de cada 100). Sin embargo, cuál es esa «cantidad de referencia» cambia según el problema, y ese es el punto donde más se confunden los estudiantes.
5. ¿Cuál es la diferencia entre puntos porcentuales y porcentaje de cambio?
Los puntos porcentuales son la resta directa entre dos porcentajes (por ejemplo, de 20% a 25% hay 5 puntos porcentuales de diferencia). El porcentaje de cambio, en cambio, se calcula como (diferencia / valor inicial) × 100, y en este caso sería del 25%, no del 5%.
6. ¿Cómo calculo un porcentaje sin calculadora?
Usa los porcentajes de referencia: el 10% se obtiene dividiendo entre 10, el 1% dividiendo entre 100 y el 50% dividiendo entre 2. Combinando estos valores puedes construir casi cualquier porcentaje mentalmente.
7. ¿El IVA se suma directamente al precio con una simple multiplicación?
Sí: si el IVA es del 19%, el precio final se calcula multiplicando el precio sin IVA por 1,19. El error común es sumar el 19% como un valor fijo en vez de calcularlo proporcionalmente sobre el precio base.
8. ¿Los descuentos sucesivos se pueden sumar directamente (por ejemplo, 20% + 10% = 30%)?
No. Cada descuento se aplica sobre el precio ya rebajado por el anterior, así que el descuento total real siempre es menor a la simple suma de los porcentajes.
9. ¿Qué diferencia hay entre interés simple e interés compuesto?
El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. El interés compuesto se calcula sobre el capital más los intereses previamente generados, por lo que crece más rápido con el tiempo. En este artículo trabajamos solo el interés simple.
10. Encuesta rápida: ¿cuál de estos errores has cometido alguna vez?
Marca mentalmente (o en tu cuaderno) cuál de estos te ha pasado: (a) sumar descuentos sucesivos directamente, (b) confundir puntos porcentuales con porcentaje de cambio, (c) olvidar convertir el porcentaje a decimal, (d) aplicar el porcentaje sobre la base equivocada. Reconocerlo es el primer paso para no repetirlo.
10 Actividades prácticas propuestas
Resuelve las siguientes 10 actividades por tu cuenta. Solo se muestra la respuesta final; el desarrollo queda como práctica para ti.
Parte I
Calcula el 12% de $340.000.
Rpta: $40.800
Convierte 0,08 a porcentaje.
Rpta: 8%
Convierte la fracción 9/25 a porcentaje.
Rpta: 36%
Un short cuesta $65.000 con 30% de descuento. Calcula el precio final.
Rpta: $45.500
Un salario de $1.200.000 aumenta un 5%. Calcula el nuevo salario.
Rpta: $1.260.000
45 estudiantes representan el 60% de un curso. ¿Cuántos estudiantes tiene el curso en total?
Rpta: 75 estudiantes
De 500 productos fabricados, 35 salieron defectuosos. ¿Qué porcentaje representan los defectuosos?
Rpta: 7%
Calcula el interés simple de un capital de $2.000.000 al 4% anual durante 2 años.
Rpta: $160.000
Un producto sube 10% y luego baja 10% sobre el nuevo precio. Si el precio original es $50.000, ¿cuál es el precio final?
Rpta: $49.500
Una ciudad tenía 120.000 habitantes y disminuyó un 4%. Calcula la nueva población.
Rpta: 115.200 habitantes
Parte II
Actividad individual
Elabora un registro de una semana con al menos 5 situaciones reales donde hayas visto o usado porcentajes (compras, redes sociales, noticias, batería del celular, calificaciones, etc.). Para cada una, identifica cuál es la base o total y calcula la parte correspondiente.
Actividad colaborativa (trabajo en equipo)
En grupos de 3 o 4 estudiantes, diseñen una «tienda simulada» con 5 productos y precios inventados. Cada grupo debe aplicar distintos descuentos y aumentos (incluyendo al menos un caso de descuentos sucesivos) y calcular los precios finales. Luego, intercambien sus tiendas con otro grupo para que verifiquen los cálculos.
Actividad de aplicación real (proyecto corto)
Investiguen el precio de un producto tecnológico (celular, audífonos, consola) en dos tiendas distintas, físicas o en línea. Calculen qué porcentaje de descuento ofrece cada una respecto a un precio de referencia, determinen cuál oferta conviene más y presenten sus resultados en una infografía sencilla o en una diapositiva.
La radicación es una operación matemática esencial que se utiliza tanto en aritmética como en álgebra. Es la operación inversa de la potenciación: mientras la potenciación eleva un número a una potencia, la radicación busca un número que, al elevarlo a cierto exponente, dé como resultado otro número determinado. En este post didáctico aprenderás qué son las propiedades de la radicación, cómo aplicarlas paso a paso y verás ejemplos concretos para que los puedas usar en tus estudios o explicaciones.
¿Qué es la radicación?
Antes que veas las propiedades, es bueno recordar que:
La raíz n-ésima de un número a se escribe como $$\sqrt[n]{a}$$
Significa encontrar un número que, elevado a la potencia n, da como resultado el radicando a.
Por ejemplo: $$\sqrt[3]{27}=3$$
Porque: $$3^{3}=27$$
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Se expresa en forma de potencia: $$\left ( \sqrt[3]{2} \right )^{4}=\left ( 2^{\frac{1}{3}} \right )^{4}=2^{\frac{4}{3}}$$
Expresando en forma radical queda: $$2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^{4}}=\sqrt[3]{16}$$
Ejemplo 4: Con otro factor $$(3\sqrt{2})^{2}$$
Elevar cada factor al cuadrado $$(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}\cdot (\sqrt{2})^{2}=9\cdot 2=18$$
ATENCIÓN
Esta propiedad no es válida si dentro del radical existe suma o resta: $$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$
Ejemplo de una situación incorrecta: $$\sqrt{25+9}=\sqrt{25}+\sqrt{9}=5+3=8$$
¿Para qué sirve la radicación?
La radicación sirve para que domines sus propiedades y puedas simplificar expresiones complejas, lo que te permitirá resolver problemas matemáticos con mayor claridad y fluidez.
Saber identificar cuándo aplicar estas propiedades —y cuándo no hacerlo, como ocurre en el caso de sumas o restas dentro de una raíz— es fundamental para construir un aprendizaje sólido en álgebra y en análisis matemático.
Las propiedades de la radicación no son reglas aisladas; tienen aplicaciones concretas en diferentes áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, se utilizan en:
Modelos de crecimiento y decrecimiento en ciencias e ingeniería
Comprender la radicación no solo mejora tu manejo algebraico, sino que también fortalece tu capacidad de analizar y modelar situaciones reales.
Aprende las propiedades de la radicación fácil y rápido
Antes de comenzar con los ejercicios, te invito a ver el siguiente video donde se explica, de manera clara y progresiva, las propiedades de la radicación y cómo aplicarlas correctamente. A lo largo de mi experiencia enseñando matemáticas, he comprobado que comprender el “por qué” detrás de cada propiedad facilita enormemente la resolución de problemas y evita errores comunes, especialmente cuando trabajas con productos, cocientes y potencias dentro de raíces. Observa con atención cada paso y luego intenta resolver los ejemplos por tu cuenta.
En este video aprenderás cómo aplicar la raíz de un producto, cociente y potencia con ejemplos resueltos paso a paso para fortalecer tu comprensión.
Ahora que has visto la explicación, es momento de poner en práctica lo aprendido resolviendo los ejercicios siguientes.
Ejemplos explicados paso a paso aplicando las propiedades de la radicación
Los ejercicios a continuación, integran las propiedades de la radicación: producto, cociente, raíz de una raíz, potencia de una raíz y su relación con exponentes fraccionarios.
La clave está en identificar la propiedad adecuada antes de operar.
Raíz de un producto.
$$\sqrt{18}$$
Solución:
Antes de aplicar la propiedad, debes descomponer el número en factores y buscar cuadrados perfectos.
Para este caso que es el número 18
¿Qué números multiplicados dan 18?
¿Alguno de ellos es un cuadrado perfecto?
👉 Si aún te cuesta descomponer números, puedes apoyarte en nuestra calculadora de descomposición.
Una raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario:
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$
Por ejemplo:
$$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}=2$$
5. ¿Qué propiedad permite introducir un factor dentro de un radical?
Un factor que está fuera de un radical puede introducirse elevándolo al índice de la raíz:
$$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}$$
Por ejemplo:
$$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot3}=\sqrt{12}$$
6. ¿Qué ocurre cuando una raíz está elevada a una potencia?
La potencia y el índice de la raíz pueden simplificarse:
$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$$
Por ejemplo:
$$\left(\sqrt{5}\right)^2=5$$
7. ¿Se pueden sumar o restar radicales diferentes?
No siempre. Para sumar o restar radicales, deben ser semejantes, es decir, tener el mismo índice y el mismo radicando después de simplificarlos.
Por ejemplo:
$$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$
Pero:
$$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$
no puede simplificarse como un solo radical.
8. ¿Qué sucede con la raíz de una potencia?
Cuando el índice de la raíz coincide con el exponente de la potencia, se puede simplificar:
$$\sqrt[n]{a^n}=a$$
si se cumplen las condiciones correspondientes al índice.
Por ejemplo:
$$\sqrt[3]{5^3}=5$$
9. ¿Se puede distribuir una raíz sobre una suma?
No. La propiedad distributiva no se aplica a la suma ni a la resta:
$$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$
Por ejemplo:
$$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
mientras que:
$$\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$$
Por eso, no son expresiones equivalentes.
10. ¿Para qué sirven las propiedades de la radicación?
Las propiedades de la radicación permiten simplificar, transformar y resolver expresiones con radicales de una manera más sencilla. Son especialmente útiles para operar con raíces, racionalizar expresiones y resolver problemas matemáticos.
¡Recuerda! Antes de aplicar una propiedad, verifica el índice, el radicando y las condiciones de la operación.
¿Alguna vez te has preguntado por qué algunos números tienen un signo negativo delante o qué significan los números que aparecen en los pisos subterráneos de un edificio? ¡La respuesta está en los números enteros!
Los números enteros están presentes en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando revisas un extracto bancario, los depósitos se representan con cantidades positivas y los retiros con cantidades negativas. También puedes encontrarlos en los paneles de los elevadores, donde los números positivos indican los pisos por encima del nivel del suelo y los negativos señalan los pisos subterráneos.
A continuación, aprenderás a comprender y utilizar los números enteros mediante ejemplos prácticos y simulaciones interactivas que te permitirán explorar este tema de una manera divertida y sencilla.
Definición
Es el conjunto de números denominado Z, formados por enteros positivos, enteros negativos y el número cero. Donde el cero es un entero que no es negativo ni positivo.
Representacion grafica y conceptual del conjunto de los numeros enteros Z, divididos en enteros negativos, enteros positivos y el cero.
Subconjuntos notables en Z
El conjunto Ζ está formado por 3 subconjuntos denominados: subconjuntos notables, ellos son:
I.- El conjunto de los enteros positivos, conocidos como Ζ+:
Ζ+{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,…}
II.- El conjunto de los enteros negativos, conocidos como Ζ– :
Ζ– ={…,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1}
III.- El conjunto de todos los números enteros sin el 0, denotado como Ζ*:
Ζ* {…,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,…}
De esta forma se cumple que:
Ζ+⊂ Ζ
Ζ–⊂ Ζ
Ζ*⊂ Ζ
y
Ζ = Ζ– ∪ {0} ∪ Ζ+
Números enteros en la recta numérica
El conjunto de los números Ζ en la recta numérica es relevante ya que permite:
Visualizar la posición.
Apreciar el orden de los números, facilitando la comparación y la comprensión de operaciones matemáticas básica como la suma y la resta.
Al ubicar los números enteros en la recta numérica, podrás identificar fácilmente pares de números opuestos. Cada par está formado por un número a la derecha del cero (0) y su opuesto a la izquierda, ambos equidistantes del origen.
Se dice que dos números enteros son opuestos sólo si equidistan de ceroy poseen diferentes signos.
Valor absoluto
Dos ciclistas parten del origen; el de azul se dirige hacia el este y el de rojo hacia el oeste. En un instante dado, se encuentran a 500 m y 300 m del origen, respectivamente. Estas posiciones se representan como +500m y −300m, según la dirección de su movimiento. El ciclista azul recorrió 500 m y el ciclista rojo 300 m. Por lo tanto, 500 m y 300 m corresponden a los valores absolutos de +500m y −300m, ya que el valor absoluto refleja únicamente la magnitud del desplazamiento, sin considerar la dirección.
Explicacion del concepto de valor absoluto utilizando el desplazamiento opuesto de dos ciclistas en una recta numerica.
El valor absoluto es la distancia medida desde el cero de la recta numérica a cualquier entero positivo o negativo. Se representa por medio de dos barras verticales llamadas barras de valor absoluto. Si a ∈ Ζ, el valor absoluto de a se escribe así: |a|.
La imagen a continuación, muestra un ejemplo del valor absoluto entre una persona y una casa.
Captura de pantalla de la simulación. Fuente: PhET Interactive Simulations.
Es importante señalar que el valor absoluto de cero es cero, ya que no existe distancia alguna desde el origen. Su representación es: |0| = 0.
A jugar con valor absoluto
En esta simulación interactiva explorarás el concepto de valor absoluto a través de tres escenarios dinámicos.
Primero. La separación entre una casa y una persona.
Segundo. Diferencia de temperatura.
Tercero. La distancia vertical entre un pez y un ave.
Aprenderás a medir distancias en una recta numérica, comprenderás cómo el valor absoluto representa la distancia de un número al cero.
⚡ ¡Explora las distancias en la recta numérica!
Desplázate por la recta numérica, mide la distancia entre dos números y descubre cómo calcular la separación entre posiciones de manera visual e interactiva.
Al comparar dos números enteros siempre se cumple las siguientes relaciones:
> Mayor qué.
< Menor qué.
= Igual a.
La primera ventaja al configurar una recta numérica con números enteros es facilitar la identificación de cuál número es mayor o menor. El entero que esté más a la derecha es el mayor, mientras que el que esté más a la izquierda es el menor.
Observa las siguientes ilustraciones:
Sucede que: a > b, también se puede expresar como b < a
Recta numerica de la relacion de orden donde a es mayor que b, expresado como a > b o b < a.
a < b o b > a
Relacion de orden entre dos constantes donde a es menor que b (a < b o b > a).
a = b
Punto sobre una recta donde a y b son iguales.
Ejemplo
Grafica sobre la recta numérica los siguientes números enteros: -1, 4, -6, 2 y 5.
Recta numerica con puntos rojos ubicados en los valores enteros -6, -1, 2, 4 y 5.
¿Cuál de los números -6 y -1 está más a la derecha?
El -1 está más a la derecha que -6.
Entonces, -1 > -6 o -6 < -1
¿Qué número está más a la derecha el 5 o el 2?
El número 5 está más cercano a la derecha.
Por lo tanto, 5 > 2 o 2 < 5
Ordena de mayor a menor
+5, +4, +2, -1, -6
A jugar con: Orden y Comparación números enteros
En esta simulación interactiva aprenderás a comparar números utilizando signos como mayor que (>), menor que (<) e igual (=).
Te invitamos a dejar tu comentario abajo. Cuéntanos qué aprendiste, qué te gustó más o si te surgió alguna duda. ¡Tu opinión es muy importante para nosotros!
⚡ ¡Descubre qué número es mayor!
Compara números de forma visual e interactiva. Explora sus valores, identifica cuál es mayor o menor y fortalece tu comprensión de las relaciones numéricas.
Al realizar operaciones básicas con números enteros, es necesario conocer ciertas reglas y procedimientos debido a la presencia de números negativos.
Adición de dos números enteros de igual signo
Observa la imagen y saca tus propias conclusiones.
¿Cuántas fichas guardó un jugador en su bolsa?
Captura de pantalla de la simulación. Fuente: PhET Interactive Simulations.
Respuesta:
Guardó -15 fichas.
Antes que veas la definición de la adición de dos números enteros de igual signo, es importante que sepas que en cualquier situación que involucre desplazamientos dirigidos hacia el este, o al oeste deben sumarse porque marchan hacia una misma dirección.
Lee con atención los siguientes escenarios:
Escenario # 1:
David sale de su colegio, camina 3 km hacia al este, luego se detiene por unos minutos para revisar su celular y posteriormente avanza 1 km hacia el este. ¿A qué distancia llegó David respecto a su colegio?
Observa en la recta numérica como David avanza +3 km y +1 km al este, el se dirige en la misma dirección, por lo tanto hay que sumar ambos desplazamientos.
Representacion en la recta numerica del desplazamiento combinado (+3) + (+1) = +4 hacia el Este.
Entonces, David está a 4km de su colegio.
(+3) + (+1) = |+3| + |+1| = 3 + 1 = +4
Escenario # 2:
Daniel sale de su casa en bicicleta y recorre 2 km hacia el oeste. Luego, hace una pausa para descansar y tomar agua. Después de unos minutos, continúa su trayecto y avanza otros 3 km en la misma dirección. ¿A qué distancia se encuentra ahora de su casa?
Representación en la recta numérica del desplazamiento combinado (-2) + (-3) = -5 hacia el Oeste.
Observa, aquí Daniel se moviliza con su bicicleta 2 km al oeste y después avanza 3 km en la misma dirección, lo que quiere decir que hay que sumar ambos desplazamientos.
Entonces Daniel está localizado a 5km de su casa.
(-2) + (-3) = |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5
Pero a la respuesta se le antepone el signo negativo, quedando de la siguiente forma:
(-2) + (-3) = -5
Definición de dos números enteros
Para efectuar la adición de dos números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos y el resultado se le antepone el mismo signo.
Ejemplo. Efectúe las siguientes sumas sin hacer uso de la recta numérica:
Adición de dos números enteros de distintos signos
Observa la imagen, un jugador introduce dos fichas rojas y dos amarillas, de acuerdo con la figura, el puntaje total se obtiene mediante la expresión:
Captura de pantalla de la simulación. Fuente: PhET Interactive Simulations.
(-5) + 3 = -2
Definición de dos números enteros de distintos signos
Es restar sus valores absolutos y la respuesta se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto.
Por ejemplo, (-10) + 8, se determinan los valores absolutos así:
(-10) + 8 = -2
¿Por qué?
Debes aplicarle valor absoluto a cada cantidad:
|-10| + |8|= 10 – 8 = 2
Pero a la respuesta se le antepone el signo negativo porque -10 es el número de mayor valor absoluto.
Propiedades de la adición de números enteros
En la adición de números enteros existen cinco propiedades, ellas son las siguientes:
Clausurativa. Llamada también propiedad cerrada ya que al sumar números enteros el resultado queda encerrado en el conjunto de los números enteros. Ejemplo:
(-4) + 3 = -1
-1 ∈ Ζ
Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado. Ejemplo:
(-8) + (-2) = (-2) + (-8)= -10
Asociativa. No importan como se agrupa tres o más números el resultado es el mismo.
[(-3) + 4] + 5 = (-3) + [ 4 +5 ] = 6
Elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma ya que no cambia el valor del número con el que suma.
(-12) + (0) = -12
Inverso aditivo u opuesto. Al sumar el inverso del número el resultado siempre es cero.
(-4) + 4 = 0
(-6) + 6 = 0
Números enteros con simulaciones interactivas:A jugar sumando números enteros
Ahora que ya conoces cómo sumar números enteros con distintos e iguales signos, es el momento de desafiar tus conocimientos. Ingresa y cuéntanos en comentarios al final de este post.
⚡ ¿Listo para interactuar con las matemáticas?
Explora las operaciones en la recta numérica, desplázate entre los números y descubre cómo representar y resolver operaciones matemáticas de forma visual e interactiva.
La sustracción m–n=o, m es el minuendo, n el sustraendo y o es llamada diferencia.
Es la suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Es decir, m–n= m + (-n).
Ejemplo: Resolver la siguiente sustracción: (-12) – 4 =
(-12) + ( 4) = – 8
Observa que se expresó la resta como una adición entre el minuendo, -12 y el opuesto del sustraendo, -4.
Ejemplos
Determinar el minuendo, el sustraendo y la diferencia de:
I. (-10) – 12
Minuendo = -10
Sustraendo = 12
Para obtener la diferencia se saca el opuesto del sustraendo que es -12
(-10) + (-12) = -22
La diferencia es -22
II. 18 – 25
Minuendo = 18
Sustraendo = 25
Para obtener la diferencia se saca el opuesto del sustraendo que es -25
18 + (-25) = -7
Multiplicación de números enteros
Existen momentos donde todos los sumandos son iguales, precisamente allí es oportuno usar la multiplicación, ya que ayuda a simplificar la expresión y generar una respuesta mucho más rápida, por ejemplo:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 70
10 x 7 = 70
En una multiplicación de números enteros mx n = o, donde m y n son llamados factores y o producto.
Al multiplicar números enteros se debe tener en cuenta la ley de los signos de la multiplicación, y es la siguiente:
( + ) ⋅ ( + ) = ( + )
( + ) ⋅ ( – ) = ( – )
( – ) ⋅ ( + ) = ( – )
( – ) ⋅ ( – ) = ( + )
Ejemplos
Resuelva las siguientes multiplicaciones.
(-4) × (+10) = -40
Observa que el producto es negativo por ser una multiplicación, allí se aplicó la ley de los signos (menos por más) generando un signo negativo.
(+8) × (+4) = +32
Ambos factores son positivos, por lo tanto su producto es positivo.
(-9) × (-2) = +18
Son factores que poseen el mismo signo negativo, resultando un producto positivo según la ley de signos.
Propiedades de la multiplicación
Las propiedades de la multiplicación de números enteros es la siguiente:
Propiedad
Observación
Ejemplo
Clausurativa
m y n , el producto de mx n
(-3) x (9) = -27 = -27
Conmutativa
m y n se cumple mx n = nx m
(-1) x (-2) = (-2) x (-1)= +2
Asociativa
m, n, o se cumple (mx n)x o = mx (nx o)
[(-3) x 4] x 5 = (-3) x [ 4 x 5 ] = -60
Neutro
El elemento neutro de la multiplicación es 1
-5 x 1 = -5
Elemento nulo
El elemento nulo de la multiplicación es cero 0
-2 x 0 = 0
Distributiva
m, n, o se cumple mx (no) = mx nm x o
(-5) x (2 – 3) = (-5) x (2) + (-5) x (-3)= (-10)+(-15) = (-10) – 15 = -25
División de números enteros
El resultado de una división de números enteros no siempre resulta otro entero. En este post solo se considerará la división de dos números enteros resultando otro entero.
La escala que se muestra en la imagen a continuación está expresada en metros.
¿A qué altura se encuentra el ave más grande?
¿Qué profundidad aproximada tienen los peces?
El tiburón lleva 500m de profundidad y la ballena 750m ¿Qué diferencia de altura existe?
¿Qué distancia tiene la ballena más grande?
Representacion de altitudes y profundidades respecto al nivel del mar para resolver preguntas sobre enteros y distancias en metros.
Parte II
1. Analiza
¿Qué número entero existe a 4 unidades a la izquierda de -2?
¿Qué números enteros están entre -8 y -3?
¿Cuántos números enteros hay entre 5 y -5?
¿Qué número entero se encuentra 8 unidades a la derecha de -4?
2. Determinar el valor absoluto de los números enteros que representan la ubicación del ave y del tiburón, sabiendo que el nivel del mar es cero 0. Vea la figura océano.
Parte III
Crea una recta numérica y grafica los siguientes números enteros: -9, 7, -4, 10, 2. Luego ordénalos de mayor a menor.
Escribe el opuesto de los siguientes números enteros: -4, -6, 9, 12, 8.
Parte IV
Ordena, de menor a mayor, cada grupo de números:
-4, 2, 25, 0, -9, -13.
34, 5, -56, 13, 12, 6, -1.
Parte V
Completa cada expresión con los signos menor que “<”, mayor que “>” o igual “=”
5 ___-10
-3___ 5
|-3|___3
|-6|___|-4|
Parte VI
Resuelve cada operación.
(-72)/(-6)=
396/(-11)=
(-135)/9=
0/-4=
Parte VII
Responde verdadero o falso las siguientes afirmaciones:
El cociente de una división exacta es positivo, si el dividendo es negativo y el divisor negativo
En una división cuando el cociente es 0, es porque el divisor es cero.
Presentar un quiz sobre las rectas y los puntos notables del triángulo es una excelente oportunidad para fortalecer tu aprendizaje de forma activa y consciente. Más allá de ser una simple evaluación, este tipo de actividad te permite poner a prueba lo que realmente has comprendido, identificar en qué conceptos te sientes seguro y en cuáles necesitas reforzar un poco más.
Al responder un quiz, tu cerebro no solo recuerda definiciones, sino que relaciona ideas, analiza situaciones y aplica propiedades geométricas importantes, como la concurrencia de las rectas notables o la función de puntos como el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro. Esto favorece un aprendizaje más profundo y duradero, ya que no se trata de memorizar por memorizar, sino de comprender cómo y para qué se utilizan estos conceptos.
Otro beneficio clave de este quiz es que está diseñado con un número equilibrado de preguntas. Trece preguntas permiten evaluar los temas esenciales sin generar cansancio ni presión excesiva. Además, la variedad de ejercicios —desde reconocimiento básico hasta situaciones de aplicación— ayuda a desarrollar la confianza matemática, algo fundamental para avanzar en geometría.
Este tipo de actividad también te prepara para evaluaciones escolares, ya que mejora tu capacidad de leer con atención, analizar opciones y tomar decisiones con criterio. Cada intento es una oportunidad para aprender, incluso cuando te equivocas, porque el error también forma parte del proceso.
Finalmente, tu participación no termina al responder el quiz. Te invitamos a compartir tu experiencia en los comentarios: ¿qué pregunta te pareció más difícil?, ¿qué concepto te quedó más claro?, ¿qué tema te gustaría que expliquemos con más ejemplos? Tus comentarios nos ayudan a mejorar y a crear contenidos pensados realmente para ti.
Pon a prueba tus conocimientos
A continuación, el quiz de 13 preguntas sobre las rectas y los puntos notables del triángulo, pon mucha atención y lee atentamente cada una de ellas.
¿Alguna vez te has preguntado por qué en el colegio insisten tanto con fracciones y expresiones decimales, si en tu día a día lo que ves son precios, medidas, porcentajes o números en la pantalla del celular? Aunque no lo notes, estas dos formas de representar cantidades están en casi todo lo que usas: cuando divides el costo de una pizza con tus amigos, revisas la batería del teléfono, calculas cuánto te falta para completar un nivel en un videojuego o comparas tiempos, distancias o porcentajes en actividades que haces a diario. Cuando aprendes a transformar fracciones en decimales y a ubicarlos en la recta real, no solo estás resolviendo ejercicios: estás entendiendo cómo funcionan realmente los números que ves y usas todo el tiempo.
Expresiones decimales
La expresión decimal se obtiene cuando se divide el numerador entre el denominador de una fracción.
¿Por qué es importante convertir fracciones a expresiones decimales?
Es importante porque permite comparar, interpretar, graficar y facilitar operaciones matemáticas.
Por ejemplo, piensa en esto: ¿cuál te resulta más fácil de entender a simple vista la fracción o la expresión decimal?$$\frac{15}{4}=3,75$$
La mayoría diría que 3,75 porque es un número que puedes visualizar y comparar al instante.
Toda expresión decimal posee dos partes:
1. Una entera (a la izquierda de la coma decimal) y
2. Otra decimal (a la derecha de la coma)
Conversión de fracciones a expresión decimal
Existen dos formas para transformar una fracción a un número decimal, todo depende si son fracciones decimales o fracciones comúnes.
Fracciones Decimales: ¡La forma rápida!
Para convertir fracciones decimales, el proceso es muy sencillo y rápido: solo debes mover la coma decimal hacia la izquierda según la cantidad de ceros que tenga el denominador.
Procedimiento
1. Escribe primero el numerador. Es decir, el número que aparece en la parte superior de la fracción.
2. Observa cuántos ceros tiene el denominador (el número de abajo). Por ejemplo, 10 tiene un cero; 10 000 tiene cuatro, y así sucesivamente.
3. Desplaza la coma decimal. Hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tenga el denominador. Ese movimiento convierte la fracción en su equivalente decimal.
Recuerda
Todo número entero tiene una coma decimal «oculta» al final; por ejemplo, 24 es equivalente a 24,0.
Si necesitas mover la coma más lugares de los que tiene el número, simplemente añade ceros a la izquierda para completar el desplazamiento sin alterar su valor.
Ejemplo
Transforma 253/100 a decimal.
Fracciones Comunes (No Decimales): ¡A Dividir se ha Dicho!
Cuando se trata de fracciones comunes (aquellas que no tienen potencias de 10 en el denominador), debes dividir el numerador y el denominador hasta obtener un cociente decimal si es necesario.
Ejercicio resuelto
Convertir las siguientes fracciones a expresión decimal.
Es muy importante graficar las expresiones decimales en la recta numérica (a veces también llamada recta real). ¿Por qué? Porque esto permite visualizar de forma precisa su ubicación.
¿Qué ventajas ofrece?
1. Te ayuda a ver dónde “viven” los decimales entre los números enteros.
Cuando los ubicas en una recta, entiendes que números como 1,5 no están aislados, sino que se encuentran exactamente a medio camino entre 1 y 2. Esto hace que el número tenga más sentido, porque lo puedes visualizar.
2. Hace mucho más fácil comparar decimales.
Al ponerlos en la recta real, es evidente cuál número está más a la derecha (y por tanto es mayor). En lugar de confundirte con cifras decimales largas, solo miras su posición y listo: la comparación se vuelve visual e intuitiva.
Procedimiento para graficar
Para graficar expresiones decimales en la recta real debes seguir los siguientes pasos:
1. Ubicar en la recta real la parte entera de la expresión decimal.
2. Localiza la parte decimal del número, tomando en cuenta la cantidad de cifras decimales que tenga.
2.1 Si el número posee una cifra decimal (por ejemplo, 5,4), divide el segmento entre los enteros 5 y 6 en 10 partes iguales.
2.2 Si tiene dos cifras decimales (por ejemplo, 5,45), vuelve a dividir en 10 partes iguales entre 5,4 y 5,5.
Continúa este proceso tantas veces como cifras decimales tenga el número, para acercarte con mayor precisión a su valor en la recta numérica.
Ejemplo
Ubicar en la recta real la fracción 187/25 = 7,48
Solución
1. Ubicar en la recta real la parte entera (entre 7 y 8) y dividir en 10 partes iguales la distancia entre los enteros para localizar la primera parte decimal.
2. El decimal 7,48 está ubicado entre 7,4 y 7,5.
3. Dividir el segmento de 7,4 y 7,5 en 10 partes iguales para obtener la posición de las centésimas.
Clasificación de las expresiones decimales
Las expresiones decimales se clasifican de dos formas denominadas: limitada e ilimitada.
Observa la siguiente imagen:
Limitada
Son decimales finitos (tiene un finalización) debido a que en el resto de la división se obtiene cero (0).
Estos tipos de decimales se les llaman NúmeroDecimal exacto.
Por ejemplo:$$2,3\;;\; 5,034\;;\;0,625$$
😯 Curiosidad: Estos tipos de decimales se pueden transformar en fracciones decimales.
Ilimitada
Son decimales infinitos (no tiene fin), ya que por más que se continúe el proceso de la división, el resto siempre será un número distinto a cero (0).
La expresión decimal ilimitada se divide en: Periódica y No periódica.
Periódica
Son clasificados en dos tipos de decimales llamados: Periódico Puro y Periódico Mixto.
Número Decimal Periódico Puro
Se les llama periódico puro porque en el cociente surgen dígitos repetitivos consecutivamente, y es pura ya que el periodo comienza inmediatamente después de la coma.
A ese grupo de dígitos se denota con un arco o una pequeña línea colocada en la parte superior de ellos.
Ejemplo:
Otros ejemplos:
¿Cómo se obtienen los números decimal periódico puro?
Se obtiene a partir de fracciones irreducibles donde sus denominadores son números primos distintos a dos (2) y cinco (5).
¿Cómo se construyen?
Inicia con una fracción irreducible con denominadores diferentes de cero como 3, 7, 11, 13, etc., luego realizas la división del numerador entre el denominador.
Por ejemplo: transforma la siguiente expresión racional a decimal.
¡Qué fácil es hallar estos tipos de decimales ilimitados!
😯 Curiosidad:Cuando una fracción no produce un decimal terminado, sino uno infinito, ese decimal siempre termina repitiéndose. Es decir, todas las expresiones decimales infinitas que vienen de una fracción a/b son periódicas. Además, el bloque que se repite (el período) nunca puede ser más largo que b−1. Esa es la longitud máxima que podría tener la repetición.
Por ejemplo:
El denominador es 7, se aplica b-1 para conocer la mayor longitud posible del periodo.
7-1=6 es decir, que el decimal repetitivo puede tener hasta 6 cifras en su ciclo como máximo.
Número Decimal Periódico Mixto
Se les denomina mixta porque la parte decimal está compuesta por dígitos no periódicos y dígitos periódicos. Al grupo de decimales no periódicos se les llama anteperiodo. Ejemplo:
Donde el periodo es 67 y el anteperiodo es 34.
¿Se puede construir un número decimal periódico mixto?
Sí, se construye con fracciones irreducibles cuyos denominadores es la combinación de cualquier número primo (distinto a 2 ó 5) con 2 o con 5.
¿Cómo se construye?
Crea una fracción irreducible, escribe un número en el numerador, luego combina dos factores primos (el primero distinto a 2 ó 5 y el segundo selecciona el 2 ó 5) y lo ubicas en el denominador. Observa los siguientes ejemplos:
No Periódica
Son expresiones decimales infinitos que no poseen un patrón periódico de sus cifras.
¿Quieres practicar más con un tutor Fracciones y expresiones decimales?
Podemos preparar una sesión personalizada con ejercicios guiados, resolución paso a paso y seguimiento del progreso.
1.Hallar expresiones decimales de las siguientes fracciones (máximo 4 decimales) y clasifícalas según el resultado en: número decimal exacto, periódicas puras o periódicas mixtas.
a)
95/100
d)
23/10000
g)
2/7
b)
5/3
e)
71/34
h)
5/100
c)
100/100
f)
28/1 000
i)
1/4
2.Representa en una recta numérica y ordena de forma descendente las siguientes expresiones:
a)
5/10
c)
¾
e)
-3/5
g)
-1/2
b)
0,3
d)
2,5
f)
-0,3
h)
0,6
3.Construye 5 fracciones que generen expresiones decimales periódicas. Justifique su respuesta.
¿Alguna vez has intentado convertir un decimal a fracción y terminas con ganas de fraccionar tu cuaderno en mil pedacitos? 😂 Tranquilo, no eres el único. A todos nos ha pasado. Los decimales parecen inofensivos… hasta que alguien dice: “¡Conviértelo en fracción!” y empieza el drama matemático. Pero aquí viene la buena noticia: detrás de cada decimal —sí, incluso ese 0.75 del precio de las empanadas— hay una fracción escondida, esperando que la descubras como si fuera un secreto de matemáticas nivel ninja. 🥷 En este post te voy a mostrar cómo pasar de decimal a fracción paso a paso, sin fórmulas imposibles ni ataques de pánico. Prometido: al final vas a mirar esos números con coma y decirles con orgullo, “¡Ya sé quiénes son en realidad!”
Conceptos clave: decimal, fracción y fracción generatriz
Antes de aprender a convertir un número decimal en fracción paso a paso, conviene tener claras algunas ideas básicas. En esta parte descubrirás qué es un número decimal, qué representa una fracción y cómo aparece la famosa fracción generatriz, esa que muestra la forma “real” que hay detrás de cualquier número decimal.
Comprender estos tres conceptos hará que el tema deje de parecer un rompecabezas y se convierta en una historia matemática fácil de seguir y llena de sentido.
Decimal
Un número decimal es una forma de escribir cantidades que no son enteras, es decir, que tienen una parte “con coma” que representa una fracción del número. Por ejemplo, en 3,75, el 3 es la parte entera y el 0,75 es la parte decimal.
Fracción
Una fracción es una forma de representar una parte de un todo que ha sido dividido en partes iguales. a/b Donde: a es el numerador (las partes que se toman) b se llama denominador (las partes que divide el todo) Por ejemplo, si te comiste un 1/2 de una pizza, significa que consumiste 1 pedazo de un total de 2 partes iguales.
Fracción generatriz
Es la fracción original (irreducible) que al dividir sus elementos (numerador entre el denominador) genera una expresión decimal. Por ejemplo: 0,35 = 35/100 = 7/20
Entonces, la fracción y el número decimal son distintas formas de expresar lo mismo. Observa la siguiente imagen:
Esquema conceptual que ilustra la correspondencia entre fracciones generatrices y numeros decimales mediante tres ejemplos matematicos.
En la información mostrada, las fracciones generatriz son: ½ , 5/14 y 7/3.
Mientras que los decimales generados por cada una de ellas son respectivamente:
Decimal exacto,
Periódico mixto y
Periódico puro.
Conversión de un decimal exacto a fracción
Para determinar la fracción generatriz de un número decimal exacto, debes expresar los decimales a una fracción decimal.
Antes de mencionar el procedimiento para la conversión te muestro las características de un decimal exacto.
Esquema que desglosa las partes de un numero decimal, identificando la parte entera y la parte decimal fijo.
Sigue estos 3 pasos para convertir un número decimal exacto en fracción:
Numerador: escribe el número sin la coma decimal.
Denominador: escribe un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Conversión de un decimal periódico mixto a una expresión racional
Para conseguir la fracción generatriz de un decimal periódico mixto, primero debes recordar que:
Ahora sí, el procedimiento para la transformación es el siguiente:
Escribe en el numerador la cifra decimal completa, expresada como un número entero, hasta finalizar el primer período.
Resta en el numerador la parte entera del número seguida de la parte decimal no periódica.
Escribe en el denominador tantos nueves (9) como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros (0) como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Simplifica la fracción hasta obtener su mínima expresión.
Ejemplo # 1.
Hallar la fracción generatriz del decimal 0,318181818…
Solución:
1: Escritura en el numerador la cifra decimal en forma entero.
2: Restar el numerador con la parte decimal no periódica y escribir en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguido de ceros según la parte decimal no periódica
De Decimal a Fracción: Juega y Aprende con Nuestra Simulación Interactiva
¡Es momento de poner a prueba tus conocimientos! Con nuestra simulación interactiva, en ella podrás experimentar con distintos números decimales, generar su fracción equivalente al instante y aprender a identificar si son decimales exactos, periódicos puros, mixtos o incluso irracionales. Es una forma visual, dinámica y divertida de dominar este tema.
¿Estás listo para comenzar la exploración?
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Simulador interactivo — GeoGebra
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Cuéntanos en los comentarios si lograste resolverlos todos
¿Alguna vez te has preguntado cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados y para qué sirven realmente en tu vida diaria?
Imagina que en tu grupo de amigos quieren saber cuál es la canción más escuchada de la semana o cuánto tiempo dedican al estudio antes de un examen. En lugar de revisar dato por dato, una tabla de frecuencias te permite organizar la información, descubrir patrones y tomar decisiones más inteligentes.
Aprender cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados paso a paso no solo te ayuda a resolver ejercicios en clase, sino también a entender mejor el mundo: desde los resultados deportivos hasta los hábitos de sueño o el uso del celular. ¡Vamos a descubrir cómo convertir los datos en información útil y clara!
Tabla de frecuencias
Es una herramienta estadística que permite organizar y resumir un conjunto de datos observados de una variable continua en una tabla. Denominada también distribución de frecuencias agrupadas.
Para obtener una distribución de frecuencias agrupadas debes construir intervalos representativos, para facilitar la manipulación e interpretación de los datos suministrados, considerando que:
Cada dato debe estar en un intervalo.
No puede quedar fuera ningún dato de las clases.
No puede existir espacios vacíos entre clases.
Los intervalos no se pueden superponer.
Términos fundamentales
Al trabajar con tablas de frecuencia, es fundamental entender la terminología para interpretar correctamente la información. A continuación, los términos que debes conocer:
I.Número de intervalos (I)
Define la cantidad de intervalos o clases en la tabla de frecuencia y se calcula aplicando la siguiente relación:
$$I=\sqrt{n}$$
II.Longitud de intervalo o amplitud de clase (A)
Es la medida del tamaño de cada intervalo y lo determinas aplicando la siguiente fórmula:
$$A=\frac{R}{I}$$
III.Intervalo de clase
Es un rango numérico donde el primer número es llamado límite inferior (Li) y el segundo límite superior (Ls) . El límite superior es generado por la suma de Li + A. El intervalo de clase es la primera columna en la tabla de frecuencias y puede presentarse de dos formas:
[Li , Ls ] Se encuentra todos los números desde Li hasta Ls.
[Li , Ls ) Contiene todos los números mayor o igual que Li y menores que Ls (donde Ls no se incluye en el intervalo).
¿Qué funciones cumple?
Agrupar datos muy numerosos.
Simplifica la presentación de los datos haciendo que la tabla sea fácil de leer.
Es la base para la construcción de gráficas.
IV.Marca de clase (xi)
Es el centro de cada intervalo de clase ubicado en la segunda columna de la tabla. Para obtener la marca de clase debes calcularlo aplicando la siguiente expresión:
$$x_{i}=\frac{L_{i}+L_{s}}{2}$$
¿Qué importancia tiene la marca de clase?
Es el valor representativo de todos los datos que están dentro del intervalo.
Es fundamental para el cálculo de forma de la media aritmética, la varianza y la desviación estándar para datos agrupados.
Su valor es utilizado en el eje horizontal para construir polígonos de frecuencia.
V.Rango (R)
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos y se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
$$R= V_{máx}- V_{min}$$
VI.Frecuencia absoluta del intervalo (fi)
Es el número de datos que se encuentran en cada intervalo.
VII. Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Es la sumatoria de las frecuencias absolutas fi de un intervalo de clase y todas las frecuencias absolutas de los intervalos de clase anteriores.
¿Para qué se utiliza la frecuencia absoluta acumulada?
Para el cálculo de las medidas de posición.
Muestra el total acumulado de datos hasta un cierto punto en la distribución.
Es utilizada para la verificación, ya que la última frecuencia absoluta acumulada siempre debe ser igual al número total de datos (n).
VIII.Frecuencia relativa (fr)
Es la razón entre la frecuencia absoluta fi y el total n de datos de la muestra, es decir:
$$f_{r}=\frac{f_{i}}{n}$$
La frecuencia relativa permite:
Comparar el peso de cada clase.
Facilita la comprensión del porcentaje en cada intervalo multiplicando por 100%.
$$P= f_{r}.100%$$
Donde:
$$P=porcentaje$$
IX.Frecuencia relativa acumulada (Fr)
Es la sumatoria de las frecuencias relativas fr de un intervalo de clase y todas las frecuencias relativas de clase anteriores.
Utilizada para construir gráficos de ojiva, también sirve como un dato de verificación ya que la última frecuencia relativa acumulada siempre debe ser igual a 1 o 100%.
Pasos a seguir de cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados
La construcción de una tabla de frecuencias para datos agrupados es un proceso más elaborado que las tablas de frecuencias para datos no agrupados, ya que implica la creación de intervalos. A continuación, los pasos que debes cumplir para su construcción:
Determinar la marca de clase, frecuencia absoluta, absoluta acumulada, frecuencia relativa.
Ejemplo. Construcción de una tabla de frecuencias para datos agrupados
En una encuesta realizada a un grupo de 25 clientes de un supermercado, se les preguntó sobre la cantidad de productos que compraron en su última visita, el resultado fue:
7
12
5
8
10
3
15
9
7
6
11
4
8
10
13
6
9
14
5
7
10
12
8
4
9
Solución
Ordenar los datos (menor a mayor)
3
4
4
5
5
5
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
10
10
10
11
12
12
13
14
15
Cálculo del rango
Vmáx = 15
Vmin = 3
$$R=15-3=12$$
$$R=12$$
Cálculo del número de intervalos
$$I=\sqrt{n}$$
$$I=\sqrt{25}$$
$$I=5$$
Amplitud
$$A= \frac{R}{I}$$
$$A= \frac{12}{5}$$
$$A=2,4$$
Se aproxima por defecto.
$$A=2$$
Construcción de los intervalos de clase
Vmin = Li = 3
A = 2
Primer intervalo. Li = 3 LS= Li + A LS= 3 + 2 = 5 $$[ 3, 5 )$$
Segundo intervalo. Li = 5 LS= Li + A LS= 5 + 2 = 7 $$[ 5, 7 )$$
Tercer intervalo. Li = 7 LS= Li + A LS= 7 + 2 = 9 $$[ 7, 9 )$$
Cuarto intervalo. Li = 9 LS= Li + A LS= 9 + 2 = 11 $$[ 9, 11 )$$
Quinto intervalo. Li = 11 LS= Li + A LS= 11 + 2 = 13 $$[ 11, 13 )$$
Sexto intervalo. Li = 13 LS= Li + A LS= 13 + 2 = 15 $$[ 13, 15 )$$
Tabla de frecuencias
I
xi
fi
Fi
fr
%
Fr
[3,5)
(3+5)/2=4
3
3
3/25=0.12
12
0.12
[5,7)
(5+7)/2=6
5
8
5/25=0.20
20
0.32
[7,9)
(7+9)/2=8
6
14
6/25=0.24
24
0.56
[9,11)
(9+11)/2=10
6
20
6/25=0.24
24
0.8
[11,13)
(11+13)/2=12
3
23
3/25=0.12
12
0.92
[13,15]
(13+15)/2=14
2
25
2/25=0.08
8
1
Total
25
1
100
NOTA: La última clase se ajusta a un intervalo cerrado para incluir el valor máximo (15).
¿Quieres practicar más con un tutor?
Podemos preparar una sesión personalizada con ejercicios guiados, resolución paso a paso y seguimiento del progreso.
Actividades de cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados
Representa en una tabla de distribución de frecuencias la siguiente situación:
¿De qué tamaño es la muestra?
¿Qué porcentaje de la distribución representa el intervalo de menor frecuencia? ¿Qué interpretación tiene?
¿Qué porcentaje de la distribución representa el intervalo de mayor frecuencia?, ¿qué interpretación le das?
Crea una conclusión respecto a la información sobre las edades de los docentes.
Resuelve la siguiente situación.
En un estudio reciente, se registró el tiempo (en minutos) que tardaron 40 clientes en ser atendidos en una sucursal bancaria durante las horas pico. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
3.2
8.5
15.1
10.7
6.8
12.3
4.9
9
14.8
7.3
5
9.8
10.1
13.5
6.2
8.8
16
9.5
5.8
11.2
7.9
14.1
6.5
8.2
4
10
13
7.5
5.5
9.2
11.8
8
11.5
4.5
12
6
7.1
11
10.5
14.5
Construye una tabla de distribución de frecuencias.
¿Sabías que usas fracciones todos los días sin darte cuenta? Las fracciones no solo están en las clases de matemáticas, también aparecen cuando juegas, compartes en redes sociales o ves tus series favoritas. Por ejemplo: al completar 3 de 4 misiones en un videojuego, ¡has avanzado las tres cuartas partes del reto! Y si 250 de tus 1 000 seguidores ven tu historia, eso significa que ¼ del total la ha visto. Las fracciones pueden parecer abstractas, pero tienen aplicaciones todo el tiempo en la vida diaria.
¿Qué es una fracción?
Es la representación de las partes que se escogen de un todo y se escribe así: Donde: a = es el numerador.b = el denominador.
¿Sabías que las fracciones se relacionan con los porcentajes? Por ejemplo, 1/2 equivale al 50 %.
¿Qué función cumple el numerador y el denominador en las fracciones?
El numerador indica las partes que se toman, mientras que, el denominador muestra el total de partes iguales que divide a un todo.
Ejemplo: En el día de hoy está de cumpleaños, Albert, Luis y Vinicio. La profesora de matemáticas fracciona el pastel en 3 partes iguales y toma una de ellas para dársela a Vinicio. Representa la fracción que recibió Vinicio.
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Vinicio recibió 1/3 del pastel, donde el numerador 1 representa una parte tomada y el denominador 3 expresa el total de partes iguales.
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Leer correctamente las fracciones ofrece muchas ventajas: permite razonar con mayor precisión, expresar ideas con claridad, participar con seguridad y comprender mejor distintas situaciones.
Representacion grafica de los beneficios pedagogicos asociados a la lectura adecuada de fracciones en el aprendizaje escolar.
Existen tres formas de leer una fracción, y todo depende del valor del denominador.
Para leerla correctamente, sigue estos pasos:
Identifica qué forma de fracción es.
Menciona el número del numerador.
Luego, di el nombre correspondiente al denominador.
A continuación, las tres formas de leer una fracción según el valor del denominador:
Uno (denominadores simples).
Dos (denominadores de potencias 10).
Tres (denominadores extensos).
Uno (denominadores simples)
Si el denominador posee valores comprendidos desde el 2 hasta el 9, su lectura es la siguiente:
Denominadores simples
Denominador
Lectura
Ejemplo
2
medio
5/2 cinco medios
3
tercio
7/3 siete tercios
4
cuarto
1/4 un cuarto
5
quinto
6/5 seis quintos
6
sexto
1/6 un sexto
7
séptimo
3/7 tres séptimos
8
octavo
1/8 un octavo
9
noveno
5/9 cinco novenos
Dos (denominadores de potencias 10)
Cuando el denominador es una potencia de 10, es decir, una unidad seguida de ceros (10, 100, 1 000, 10 000, etc.), las fracciones se leen utilizando los términos décimos, centésimos, milésimos, diezmilésimos, entre otros, según corresponda.
Denominadores de potencias 10
Denominador
Lectura
Ejemplo
10
décimas
3/10 tres décimas
100
centésimas
1/100 una centésimas
1 000
milésimas
7/1 000 siete milésimas
10 000
diezmilésimas
11/10 000 once diezmilésimas
100 000
cienmilésimas
1/100 000 cienmilésimas
1 000 000
una millonésima
5/1 000 000 cinco millonésimas
10 000 000
diezmillonésimas
3/10 000 000 tres diezmillonésimas
100 000 000
cienmillonésimas
13/100 000 000 trece cienmillonésimas
Tres (denominadores extensos)
Esta categoría incluye los denominadores que no son potencias de 10. Para leer estas fracciones, generalmente se añade el sufijo -avo al nombre del denominador, por ejemplo: onceavo, doceavo, quinceavo, entre otros.
Observación: En la tabla aparece D = denominador.
Denominadores extensos
D
Lectura
Ejemplo
11
onceavo
2/11 dos onceavo
13
treceavo
1/13 un treceavo
24
veinticuatroavo
1/24 un veinticuatroavo
105
cientocincoavo
2/105 dos cientocincoavo
600
seiscientosavo
7/600 siete seiscientosavo
1 700
milsetecientosavo
3/1 700 tres milsetecientosavo
45 000
cuarentaycincomilavo
1/45 000 un cuarentaycincomilavo
15
quinceavo
13/15 trece quinceavo
Clasificación de las fracciones
Las fracciones se clasifican dependiendo de los valores del numerador y del denominador. Ellos son los siguientes:
Se le da este nombre cuando el numerador posee el mismo valor que el denominador resultando un valor igual a 1, es decir:
a = b
Ejemplo: La profesora partió el pastel en tres partes iguales y le pidió a uno de los estudiantes que la fotografiaran. Escriba la fracción de esta situación.
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Respuesta: Observa que el pastel está dividido en tres partes iguales y se conservan las tres partes. Por lo tanto, el numerador es 3, porque representa las partes que se tienen, y el denominador es 3, porque indica el número total de partes iguales en que se dividió el pastel. La fracción que representa esta situación es:
Es decir, se tiene el pastel completo, equivalente a una unidad.
Fracciones propias
Sucede cuando el numerador < denominador, es decir: a < b.
Ejemplo: ¿Qué fracción de agua posee el envase que se muestra en la imagen?
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Respuesta: Posee 2/7
Fracciones impropias
Son impropias si se cumple que a > b, es decir, el numerador mayor que el denominador.
Por ejemplo: Luis y sus amigos pidieron 3 pizzas iguales para ver el juego de fútbol. Cada pizza estaba cortada en 3 partes iguales. ¿Cuántas partes se comieron?
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Luis y sus amigos se comieron todas las porciones de las dos primeras pizzas.
Es decir, consumieron 2 pizzas. Al sumar ambas fracciones unidad el resultado es:
La tercera pizza sólo se comió 1 de las tres porciones.
¿Cuántas partes se comieron?
Como es una fracción impropia se puede transformar en un número mixto, quedando de la siguiente forma:
$$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$$
Respuesta: Se comieron: $$\frac{7}{3}=2\, \frac{1}{3}\, \, \, pizzas$$
Fracciones nulas
Son aquellas que el numerador posee un valor igual a cero. Es decir, a = 0.
Ejemplo: Exprese la cantidad de líquido existente en el envase, sabiendo que el mismo está dividido en siete partes iguales.
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Respuesta: No posee líquido por lo tanto su contenido es: 0/7
Fracciones enteras
Es una fracción impropia en la que el numerador es un múltiplo exacto del denominador, lo que significa que al dividir se obtiene un número entero.
Repasa el concepto de número entero y refuerza tus conocimientos con ejemplos interactivos.
Ejemplo: Observe los envases graduados (cada uno dividido en 4 partes iguales) e interprete la cantidad total de líquido expresada como una fracción.
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Respuesta:
Cada cilindro posee: 2/4
Observa la imagen. ¿Qué interpretas? El líquido de los dos últimos envases fue vertido en los dos primeros, logrando así 2 envases completamente llenos.
Fuente: PhET Interactive Simulations.
Todo número entero es múltiplo de 1, entonces, toda fracción cuyo denominador es 1 es también una fracción entera. Por ejemplo:
Fracciones decimales
Las fracciones decimales poseen como denominador a la unidad seguida de ceros. Ejemplo:
😯 Curiosidad: Las fracciones propias e impropias se pueden convertir en fracciones decimales mediante la amplificación, siempre que los únicos factores primos de su denominador sean el 2, el 5 o ambos.
Ejemplo # 1: Transforma las siguientes fracciones a fracciones decimales: 8/50 ; -5/4 ; 1/2 ; 21/4.
Análisis: Al descomponer los denominadores de todas las fracciones poseen factores 2 y/o 5. Por esta razón pueden convertirse a fracción decimal.
Ejemplo # 2: Convierte las siguientes fracciones a fracciones decimales: 7/3 ; 54/11 ; 27/17.
Análisis: No se pueden convertir en fracciones decimales ya que la descomposición de sus denominadores no contienen factores 2 y/o 5.
Si quieres ver el proceso contrario, aprende a hallar la fracción generatriz
Fracciones complementarias
Es la suma de fracciones propias generando una fracción unidad. Por ejemplo:
Ejemplo: Camila tiene una barra de chocolate sabor a fresa dividida en 5 partes iguales. Ella se come 2/5 de la barra por la mañana y 1/5 por la tarde. ¿Se comió toda la barra de chocolate? Justifica tu respuesta.
Solución:
En el día se comió 3/5
Entonces, para saber si se comió toda la barra se resta la fracción unidad (barra de chicle) y la fracción consumida.
Respuesta: Camila no se comió toda la barra de chocolate dejó dos porciones de 5.
2/5
Interpretación: Al sumar ambas fracciones (consumida y la que dejó) genera la fracción unidad.
Entonces, ambas fracciones son complementarias, porque al sumarlas se obtiene el total (la unidad).
¡A jugar! ingresa al laboratorio de las fracciones
Llegó el momento de probar tus conocimientos, explora la simulación jugando, luego construye fracciones usando números e imágenes, cambia los numeradores y los denominadores de la fracción de tu preferencia y explica cómo afecta el valor de la fracción.
⚡ ¡Descubre el mundo de las fracciones!
Representa fracciones con figuras y números, compara distintas cantidades y descubre cómo las partes de un todo se relacionan entre sí mediante actividades visuales e interactivas.
Cuéntanos en los comentarios qué observaste al cambiar el numerador y el denominador en el simulador: ¿qué le pasa al valor de la fracción? ¡Tu experiencia ayuda a otros lectores!
Ahora que sabes leer y clasificar fracciones, da el siguiente paso y aprende sobre las fracciones equivalentes, cómo simplificarlas y amplificarlas con ayuda de una simulación. Descubre también cómo pasar de decimal a fracción y practica con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso. ¡Continúa fortaleciendo tus habilidades!
Actividades
Clasifica las siguientes fracciones como unidad, impropia o propia y transfórmalas a fracción decimal (las fracciones que permitan).
a)
3/5
g)
25/25
b)
7/3
h)
17/17
c)
92/12
i)
120/120
d)
310/98
j)
160/200
e)
5/6
k)
60/74
f)
123/325
l)
1 000/1 000
Completa cada fracción para que su clasificación sea la correspondiente.
a)
Unidad ___/23
g)
Entera 12/___
b)
Nula ___/55
h)
Decimal 46/___
c)
Decimal 39/___
i)
Unidad 105/___
d)
Impropia 13/___
j)
Entera ___/14
e)
Propia 15/___
k)
Impropia 34/___
f)
Decimal 37/___
l)
Propia ___/200
Halla la fracción complementaria.
a)
2/5
c)
5/83
e)
23/86
b)
3/7
d)
2/105
f)
2/200
Transforma las siguientes fracciones impropias en números mixtos.
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