Sistema de ecuaciones: Método gráfico

El método gráfico es utilizado ampliamente en situaciones cotidianas que envuelven dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo, cuando sales de compra, al montar baldosas en un área específica. También es muy usado en la ingeniería, física, economía, salud, química, deporte, etc. Gracias a este método puedes ver los valores con mucha facilidad en un plano cartesiano.

Método gráfico

“Cuando se gráfica en el plano cartesiano el par de ecuaciones lineales siempre se obtiene dos rectas”

Formas para graficar una función lineal

Para graficar una función lineal de la forma, $$Ax + By = C\; \: o \: \: \: \: y = mx + b$$

Puedes utilizar dos formas principales que facilitan la representación de la recta en el plano cartesiano, estas dos formas son llamadas:

• Método de los interceptos.
• Método pendiente-intersección.

Método de los interceptos

El método de los interceptos, consiste en encontrar los puntos donde la recta corta los ejes x y y, y posteriormente unirlos.

Procedimiento

El método de los interceptos es un procedimiento sencillo que permite graficar una recta a partir de sus puntos de corte con los ejes coordenados. Para aplicarlo correctamente, es fundamental saber despejar variables y recordar que los interceptos se obtienen asignando el valor de cero a una de las variables en la ecuación.

Primero, se iguala x = 0 para hallar el intercepto con el eje y. Luego, se iguala y = 0 para encontrar el intercepto con el eje x. Estos dos puntos permiten trazar la recta en el plano cartesiano, ya que una recta queda completamente determinada por dos puntos.

Cuando se trabaja con un sistema de ecuaciones lineales, debes seguir los siguientes pasos:

1. Hallar el intercepto en y: Se asigna x = 0 y se despeja y. El punto es (0,y).
2. Hallar el intercepto en x: Se asigna y = 0 y se despeja x. El punto es (x,0).
3. Trazar la recta: Se ubican ambos puntos en el plano y se une con una regla.

Método pendiente-intersección

Este método es el más eficiente cuando la ecuación ya está despejada en la forma:$$y = mx + b$$

Donde:

m: Pendiente (razón de cambio o inclinación).

b: Ordenada al origen (punto de corte con el eje y).

Procedimiento

      1. Ubicar la ordenada al origen (b). Marcar el punto (0,b) directamente sobre el eje vertical y. Es es tu punto de partida.

      2. Aplicar la pendiente m como desplazamiento. La pendiente es una razón de cambio:$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

            2.1. Desde el punto (0,b) muévete horizontalmente tantas unidades como indique el denominador Δx.

            2.2. Luego, muévete verticalmente (hacia arriba si es positivo, hacia abajo si es negativo) tantas unidades como indique el numerador Δy.

            2.3. Marca el segundo punto en esa posición final.

     3. Trazar la recta. Une el punto (0,b) con el nuevo punto obtenido mediante el desplazamiento.

Solución:

Paso 1: Graficar b = 1 $$(0,1)$$

Paso 2: Aplicar la pendiente m = 2/3

Desde (0,1):

• Derecha (por ser positivo): 3
• Arriba (por ser positivo): 2

Nuevo punto: (3,3)

Paso 3: Unir los puntos trazando una recta.

Practica el método

Para fortalecer la comprensión del método pendiente–intersección, se recomienda utilizar la siguiente simulación interactiva, donde puedes modificar los valores de la pendiente m y la intersección b, y observar en tiempo real cómo cambia la gráfica de la recta.

Esta herramienta permite practicar de forma visual y dinámica, facilitando la identificación del punto de corte con el eje y  y el efecto de la pendiente como desplazamiento. A través de la exploración, puedes desarrollar una mejor intuición gráfica y consolida el aprendizaje de este método fundamental para representar funciones lineales.

Tipos de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Cuando se soluciona un sistema de ecuaciones lineales puede presentarse tres tipos de sistemas, ellos son:

1. Sistema compatible determinado.
2. Sistema incompatible.
3. Sistema compatible indeterminado.

Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones

Gráfica
Compatible determinado. Son rectas secantes. m≠m´
Compatible indeterminado. Son rectas coincidentes. m=m´ b=b´
Incompatible. Son rectas paralelas. m=m´ b≠b´

Compatible determinado

Llamado también determinado o consistente. Es compatible determinado cuando se obtiene una sola solución es decir, un punto por donde ambas rectas se interceptan. Observa el siguiente ejemplo:

Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones e indica el tipo de sistema.

A continuación, los pasos para resolver gráficamente el sistema de ecuaciones:

1° Hallar los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3

2° Hallar los puntos de corte de la segunda recta x + y = 1

3° Graficar ambas rectas utilizando los puntos de cortes.

a- Grafica los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3
Puntos: (0,3) y (-3,0)

b- Grafica los puntos de la segunda recta x + y = 1
Puntos: (0,1) y (1,0)

c- Traza la primera y la segunda recta utilizando sus puntos de cortes.

Como se obtuvo un punto entonces ambas rectas se interceptan en: (-1,2). Vea la gráfica

Tipo de sistema: Compatible determinado.

Incompatible

Llamado también inconsistente. Es incompatible cuando se forma dos rectas paralelas en este caso no existe soluciones. Observa el siguiente ejemplo:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones e indica su tipo de clasificación.

1° Hallar los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3

2° Hallar los puntos de corte de la primera recta –x + y = 5

3° Graficar ambas rectas utilizando los puntos de cortes.

a- Grafica los puntos de corte de la primera recta -x + y = 3 Puntos: (0,3) y (-3,0)

b- Grafica los puntos de la segunda recta x + y = 1 Puntos: (0,5) y (-5,0)

c- Traza la primera y la segunda recta por medio de sus puntos de cortes. Como ambas rectas son paralelas se le denomina: Incompatible

Compatible indeterminado

Llamado también indeterminado. Es compatible indeterminado si las rectas son las mismas, por tanto se obtiene infinita soluciones. Ejemplo:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones e indica su tipo de clasificación.

1° Hallar los puntos de corte de la primera recta 2x – y = 4

2° Hallar los puntos de corte de la primera recta

x	y
Cuando x = 0	Cuando y = 0
Se sustituye el valor de x = 0	Se sustituye el valor de y = 0
y = -4
	x = 2
Coordenada del primer punto de corte	Coordenada del segundo punto de corte
(0,-4)	(2,0)

3° Graficar ambas rectas utilizando los puntos de cortes.

a- Grafica los puntos de corte de la primera recta 2x – y = 4  Puntos: (0,-4) y (2,0)

b- Grafica los puntos de la segunda recta  Puntos: (0,-4) y (2,0)

c- Traza la primera y la segunda recta por medio de sus puntos de cortes. Observa que ambas rectas son iguales, por lo tanto se le denomina Compatible indeterminado.

Actividades

Aplica el método gráfico de resolución a los siguientes sistemas de ecuaciones e indica la clasificación de cada uno.

Observa las siguientes gráficas y responda:

1. ¿Tienen solución? Responda: Si o No.
2. Si la respuesta es afirmativa ¿Cuántas soluciones tienen?
3. ¿Tipo de sistema?

Resuelve el siguiente problema y aplica el método gráfico.

Dos números son tales que el doble del primero menos el segundo es 8 y la suma de los números es uno. ¿Cuáles son los números?

➡  Ahora que conoces más acerca del método gráfico, no dejes de profundizar en el tema y hacer ejercicios que te ayuden a reforzar. Si te gustó este contenido, comparte con tus amigos y compañeros de clases, será de gran ayuda.