Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas? En este artículo comprenderás que es muy fácil. ¿Qué nombre recibe el lado del triángulo opuesto al ángulo recto?, ¿Porqué existen lados del triángulo que le denominan opuesto?. Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en un triángulo rectángulo y para poderlas aplicarlas correctamente se hace necesario tener un buen conocimiento acerca de los triángulos rectángulo y un buen dominio del teorema de Pitágoras.
Contenido
Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo
Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.
Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento 
es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo 
rectángulo. Donde el segmento 
es la hipotenusa = r , el segmento 
es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento 
es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente = x y la medida del cateto opuesto = y . Ver la figura de abajo
Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.
|
|
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
Entonces en el triángulo de la figura # 1 se definen las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, ellas son:
| Fórmulas | ||
| 1 |  |  |
| 2 |  |  |
| 3 |  |  |
| 4 |  |  |
| 5 |  |  |
| 6 |  |  |
Ejemplo
Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo 
| 1 |  | |
| 2 | 
| 
|
| 3 | Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa 
| |
| 4 | Se aplica el cálculo de las razones:
| |
Valores de las razones trigonométricas
Aquí encontrarás los valores de las razones trigonométricas de ángulos complementarios de un triángulo rectángulo
Al decir ángulos complementarios se refiere a dos ángulos que sumados debe dar como resultado igual a 90°, es decir 
Observa el triángulo ACB posee dos ángulos denominados α y β
 | |||
| Leyenda | |||
| co = cateto opuesto ca = cateto adyacente h = hipotenusa | Rt = razón trigonométrica Rto = razón trigonométrica opuesta | ||
 | |||
| 1. |  |  | |
| 2. |  |  | |
| 3. |  |  | |
| 4. |  |  | |
| Observa por ejemplo la comparación #3: El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β. Entonces, esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario. | |||
Las relaciones complementarias quedan de la siguiente manera:
| 1 |  | 2 |  | 3 |  |
 |  |  |
Como la relación de ángulos complementarios es: el valor de β queda de la siguiente forma
Las relaciones que poseen el ángulo β también pueden escribirse así
| En grados | En radianes |
 |  |
 |  |
 |  |
Estas relaciones también son llamadas cofuncionales.
Ejemplo # 1
Observa las siguientes relaciones
1.  | 3.  | ||
2.  | 4. | ||
Ejemplo # 2
Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos
- El ángulo de 60° y el ángulo de 30° son complementarios, el valor de
- También los ángulos de 45° y 45° son complementarios, esto quiere decir que
Ejemplo # 3
Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ del siguiente triángulo rectángulo
Como los ángulos δ y α son complementarios, el sen α = cos ð aplicando, la razón trigonométrica el resultado es:
Sumando ambos ángulos queda:
Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α y ð son complementarios.
Casos para resolver triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.
Caso # 1 Cuando se conoce dos lados del triángulo
Existen dos formas para resolver este tipo de casos
Por el teorema de Pitágoras
Para determinar el lado que falta o el lado que se desconoce se aplica el teorema de Pitágoras y luego se determina la medida
Ejemplo
Resolver el triángulo 
cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen
 | ||
| 1. | Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y de los ángulos α y β Como se conoce dos lados del triángulo se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa
| |
| 2. | Para calcular α
2. Se calcula el valor del ángulo, aplicando la inversa del seno.
| |
| 3. | Como  entonces son ángulos complementarios
| |
Por medio de razones trigonométricas
Ejemplo:
Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas
 | ||
| 1. | Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo
Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo
| |
| 2. | Como la sumatoria de los ángulos  entonces son complementarios
| |
| 3. | Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno
| |
Caso # 2 Triángulos compuestos
Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos
Ejemplo
Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas
 | ||
| 1. | Observa existen tres triángulos, en el triángulo
En el triángulo
Entonces se iguala los dos valores del lado
| |
| 2. | El valor del cateto adyacente del triángulo  es 
| |
| 3. | Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente
| |
| 4. | Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno
| |
| 5. | Calcular el ángulo del vértice B es decir  La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°
| |
se desconoce el valor del cateto adyacente 
del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente
obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de 
cateto adyacente del triángulo 
Área de un triángulo
El área de un triángulo es la medida de su superficie y se puede calcular de dos formas:
- Conocida las longitudes de la base y altura
- Conocida las longitudes de dos lados y su ángulo intermedio
Conocida las longitudes de la base y la altura del triángulo
Aquí se puede proceder de dos formas:
- Conociendo sólo el valor de la base y la altura del triángulo
- Conociendo el valor de los tres lados del triángulo
Conociendo sólo el valor de la base y la altura del triángulo
Es muy fácil sólo aplicar la fórmula para el cálculo del área de un triángulo, siempre y cuando el mismo posea las dimensiones de la base y altura.
Ejemplo
Determina el área del siguiente triángulo
Datos del triángulo:
= altura = h = 4 cm
= base = b = 
Conociendo el valor de los tres lados del triángulo
Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón
Donde s = semiperímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo es:
Ejemplo
Determina el área y perímetro del siguiente triángulo
Datos del triángulo:
= altura = a = 4 cm
= base = b = ≈ 5,7 cm
= hipotenusa = c = 7 cm
Se calcula el semiperímetro
Por lo tanto el perímetro es:
El área del triángulo es:
Conocida las longitudes de dos lados y su ángulo intermedio
Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos es aplicable las siguientes fórmulas del cálculo del área, observa la figura .
|  |
Ejemplo
Determina el área del siguiente triángulo
Datos del triángulo:
= a = 5 cm
= b = 5 cm
δ = 69°
La fórmula para calcular el área es:
Ejercicios de razones trigonométricas
- Determina en cada los valores de las 6 razones trigonométricas
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
- Debes construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dad para el ángulo β
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
- Hallar el valor de las siguientes expresiones
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
- Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo
a. 
b. 
d. 
e. 
f. 
g. 
- Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
- Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo
- Determine aplicando el teorema de Pitágoras
a. 
b. 
c. 
d. 
f. 
g. 
- Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa
a. a = 6,4 cm y c = 11,7 cm b. a = 12 cm y b = 10 cm d. a = 4,5 cm y b = 4,5 cm e. a = 2,5 cm y c = 5 cm f. b = 7,3 cm y c = 13,6 cm g. b = 9,6 cm y c = 14,5 cm - Determina los triángulos rectángulos
a. 
b. 
c. 
- Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros
a. 
b. 
d. 
e. 
