Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas? En este artículo comprenderás que es muy fácil. ¿Qué nombre recibe el lado del triángulo opuesto al ángulo recto?, ¿Porqué existen lados del triángulo que le denominan opuesto?. Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en un triángulo rectángulo y para poderlas aplicarlas correctamente se hace necesario tener un buen conocimiento acerca de los triángulos rectángulo y un  buen dominio del teorema de Pitágoras.

Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente y la medida del cateto opuesto . Ver la figura de abajo

Figura # 1

Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Figura # 2

Figura # 3

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Entonces en el triángulo   de la figura # 1 se definen las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, ellas son:

Fórmulas
1
2
3
4
5
6

Ejemplo

Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

1
2

3Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

 

4Se aplica el cálculo de las razones:

Valores de las razones trigonométricas 

Aquí encontrarás los valores de las razones trigonométricas de ángulos complementarios de un triángulo rectángulo

Al decir ángulos complementarios se refiere a dos ángulos que sumados debe dar como resultado igual a 90°, es decir

Observa el triángulo ACB posee dos ángulos denominados α  y  β

Leyenda
co = cateto opuesto

ca = cateto adyacente

h = hipotenusa

Rt = razón trigonométrica

Rto = razón trigonométrica opuesta

1.
2.
3.
4.
Observa por ejemplo la comparación #3:  El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y  el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Entonces, esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Las relaciones complementarias quedan de la siguiente manera:

123

Como la relación de ángulos complementarios es:  el valor de β queda de la siguiente forma

Las relaciones que poseen el ángulo β también pueden escribirse así

En gradosEn radianes

Estas relaciones también son llamadas cofuncionales.

Ejemplo # 1

Observa las siguientes relaciones

1.   3. 
2.   
4. 

Ejemplo # 2

Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos

  • El ángulo de 60° y  el ángulo de 30° son complementarios, el valor de
  • También los ángulos de 45° y 45° son complementarios, esto quiere decir que

Ejemplo # 3

Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ  del siguiente triángulo rectángulo

Como los ángulos δ  y  α  son complementarios, el sen α = cos ð aplicando, la razón trigonométrica el resultado es:

Sumando ambos ángulos queda:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α  ð son complementarios.

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

Caso # 1 Cuando se conoce dos lados del triángulo

Existen dos formas para resolver este tipo de casos

Por el teorema de Pitágoras

Para determinar el lado que falta o el lado que se desconoce se aplica el teorema de Pitágoras y luego se determina la medida

Ejemplo

Resolver el triángulo cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen

1.

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Como se conoce dos lados del triángulo se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

2.Para calcular α

  1. Determinar el valor de una razón trigonométrica

2. Se calcula el valor del ángulo, aplicando la inversa del seno.

3.Como entonces son ángulos complementarios

Por medio de razones trigonométricas

Ejemplo:

Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

1.

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo

2.Como la sumatoria de los ángulos entonces son complementarios

3.Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Caso # 2 Triángulos compuestos

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos

Ejemplo

Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

1.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de  cateto adyacente del triángulo

    y 

2.El valor del cateto adyacente del triángulo es

3.Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

4.Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

5.Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Área de un triángulo

El área de un triángulo es la medida de su superficie y se puede calcular de dos formas:

  1. Conocida las longitudes de la base y altura
  2. Conocida  las longitudes de dos lados y su ángulo intermedio

Conocida las longitudes de la base y la altura del triángulo

Aquí se puede proceder de dos formas:

  1. Conociendo sólo el valor de la base y la altura del triángulo
  2. Conociendo el valor de los tres lados del triángulo

Conociendo sólo el valor de la base y la altura del triángulo

Es muy fácil sólo aplicar la fórmula para el cálculo del área de un triángulo, siempre y cuando el mismo posea las dimensiones de la base y altura.

Ejemplo

Determina el área del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

= altura = h = 4 cm

= base = b =

Conociendo el valor de los tres lados del triángulo

Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón

Donde s = semiperímetro del triángulo:

El perímetro del triángulo es:

Ejemplo

Determina el área y perímetro del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

= altura = a = 4 cm

= base = b = ≈ 5,7 cm

= hipotenusa = c = 7 cm

Se calcula el semiperímetro

 

 

Por lo tanto el perímetro es:

El área del triángulo es:

Conocida  las longitudes de dos lados y su ángulo intermedio

Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos es aplicable las siguientes fórmulas del cálculo del área, observa la figura .

Ejemplo

Determina el área del siguiente triángulo

Datos del triángulo:

=  a = 5 cm

=  b = 5 cm

δ = 69°

La fórmula para calcular el área es:

Ejercicios de razones trigonométricas

  1. Determina en cada los valores de las 6 razones trigonométricas
    a.b.
    c.d.
    e.f.

     

  2. Debes construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dad para el ángulo β
    a.b.c.
    d.e.f.
  3. Hallar el valor de las siguientes expresiones
    a.b.
    c.d.
    e.f.

     

  4. Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo
    a.b.
    d.e.
    f.g.
  5. Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso
    a.b.
    c.d.
    e.f.
  6. Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

  7. Determine aplicando el teorema de Pitágoras
    a.b.
    c.d.
    f.g.
  8. Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa
    a. a = 6,4 cm y c = 11,7 cmb.a = 12 cm y b = 10 cm
    d. a = 4,5 cm y b = 4,5 cme.a = 2,5 cm y c = 5 cm
    f. b = 7,3 cm y c = 13,6 cmg.b = 9,6 cm y c = 14,5 cm
  9. Determina los triángulos rectángulos 
    a.
    b.
    c.

     

  10. Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros
    a.
    b.
    d.
    e.

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