¿Has escuchado el término circunferencia trigonométrica? y te has preguntado ¿Porqué la llaman así? Bueno es muy sencillo gracias a su forma se puede dibujar una serie de triángulos rectángulos y a partir de toda esta geometría se definen las razones trigonométricas como el seno, coseno, tangente y sus inversa, debido al surgimiento de estas razones a la circunferencia se le da el nombre de Circunferencia Trigonométrica.

Circunferencia trigonométrica

La figura # 2 es una circunferencia unitaria ya que el centro de la misma está dibujada sobre el origen del plano cartesiano de radio = 1, también puedes notar que el sistema de eje cartesiano divide a la circunferencia en cuatro regiones iguales, cada región es llamada cuadrante, con una numeración del 1 al 4 escrito en números romanos en el sentido antihorario, la semirrecta horizontal o el semi lado del eje “x” es el lado inicial de todos los ángulos, cabe destacar que los ángulos formados en la circunferencia unitaria son llamados Ángulos en posición normal porque el vértice del ángulo coincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial es coincidente con el semi lado del eje “x”

En la figura # 3 el ángulo α posee como lado inicial   y lado final este lado es llamado radio y se le asigna la letra “r” las coordenadas del lado final es el punto Q (x,y) y estas coordenadas se proyectan sobre los ejes cartesianos, aquí se puede apreciar la formación de un triángulo rectángulo, al seguir realizando más rotaciones surgen más triángulos rectángulos.

Entonces en una circunferencia unitaria o circunferencia trigonométrica es aplicable el teorema de Pitágoras por la existencia de triángulos rectángulos.

Siempre se debe cumplir que para todo punto Q (x,y) perteneciente a una circunferencia unitaria:

x² + y² = 1

Sabiendo que:

“x”es la longitud del cateto adyacente  y  “y”es la longitud del cateto opuesto.

 ➡  Ejemplo: Determine si los puntos y pertenecen o no a la circunferencia unitaria.

Solución:

• Se inicia el estudia el estudio con el punto

Según el punto M los valores de las coordenadas es:  ∧

Se aplica la definición: x² + y² = 1

Al dar como resultado 1=1, el punto pertenece a la circunferencia unitaria. 😀

M ∈ Circunferencia unitaria.

• Se estudia el estudio el punto

Según el punto N los valores de las coordenadas es:  x = 2       y = 3

Se aplica la definición: x² + y² = 1

Al dar como resultado 13 ≠ 1 el punto no pertenece a la circunferencia unitaria. 🙁

La circunferencia trigonométrica posee Ángulos cuadrantales y son ángulos donde el lado final llega a coincidir con los semi ejes del plano cartesiano, los ángulos cuadrantales son 4 y ellos son 0°, 90°,180°, 270° y 360°.

Razones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria

En la figura # 4 se muestra la circunferencia unitaria, allí se puede apreciar la distancia del radio igual a 1, y el  ángulo α de arco .

Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente

 ➡ 

Ejemplo: Determine las razones trigonométricas de α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto

Solución:

y   

Cálculo del seno        

Cálculo del coseno        

Cálculo de la tangente   

Cálculo de la cosecante               

Cálculo de la secante 

Cálculo de la cotangente       

Signo de las razones trigonométricas

El signo de las razones trigonométricas depende de los valores x  e  y, según sus valores se ubican en cualquiera de los cuadrantes de la circunferencia unitaria, entonces los signos según la ubicación del lado final del ángulo es la siguiente:

Actividades

Determine en cada si el punto pertenece a la circunferencia unitaria.

• A(-3,2)
• 
• 
• 
• B(-5,0)
• C(0,2)
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Determine el valor de la coordenada que falta, si el punto Q pertenece a la circunferencia unitaria. Al lado de cada punto indica el cuadrante.

•   I cuadrante
• IV cuadrante
• III cuadrante
• II cuadrante
• I cuadrante

Determine el valor de las razones trigonométricas para α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto dado.