Circunferencia trigonométrica

¿Has escuchado el término circunferencia trigonométrica? y te has preguntado ¿Porqué la llaman así? Bueno es muy sencillo gracias a su forma se puede dibujar una serie de triángulos rectángulos y a partir de toda esta geometría se definen las razones trigonométricas como el seno, coseno, tangente y sus inversa, debido al surgimiento de estas razones a la circunferencia se le da el nombre de Circunferencia Trigonométrica

 

Circunferencia trigonométrica

También es llamada circunferencia unitaria, su centro está localizado en el origen del plano cartesiano y posee un radio cuyo valor es la unidad radio = 1 , por esta razón es llamada también circunferencia unitaria. Observa la siguiente figura

 

Fíjate que la figura anterior es una circunferencia unitaria ya que el centro de la misma está dibujada sobre el origen del plano cartesiano y posee un radio = 1, también puedes notar que el sistema de eje cartesiano divide a la circunferencia en cuatro regiones o partes iguales, cada región es llamada cuadrante con una numeración específica, la semirrecta horizontal o el semi lado del eje “x” es el lado inicial de todos los ángulos, cabe destacar que los ángulos formados en la circunferencia unitaria son llamados Ángulos en posición normal porque el vértice del ángulo coincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial es coincidente con el semi lado del eje “x”

Observe la siguiente figura

El ángulo α posee el lado inicial   y lado final este lado es llamado radio y se le asigna la letra “r” las coordenadas del lado final es el punto Q (x,y) y estas coordenadas se proyectan sobre los ejes cartesianos, aquí se puede apreciar la formación de un triángulo rectángulo, al seguir realizando más rotaciones surgen más triángulos rectángulos.

Entonces en una circunferencia unitaria o circunferencia trigonométrica es aplicable el teorema de Pitágoras por la existencia de triángulos rectángulos, y siempre se debe cumplir que:

Para todo punto Q (x,y) perteneciente a una circunferencia unitaria:

x2 + y2 = 1

Ejemplo

Diga si los puntos  y pertenecen o no a la circunferencia unitaria

1
2Se identifica los valores de y

 

3Se aplica la definición: x2 + y2 = 1

Se sustituye los valores de en la definición

4Al dar como resultado =1, el punto pertenece a la circunferencia unitariaM ∈ Circunferencia unitaria
 
1 
2Se identifica los valores de x  e y= 2       = 3
3Se aplica la definición: x2 + y2 = 1

Se sustituye los valores de en la definición

4Al dar como resultado =13 distinto de 1, el punto no pertenece a la circunferencia unitariaN ∉ Circunferencia unitaria

La circunferencia trigonométrica posee Ángulos cuadrantales y son ángulos donde el lado final llega a coincidir con los semi ejes del plano cartesiano, los ángulos cuadrantales son 4 y ellos son 0°, 90°,180°, 270° y 360°

Razones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria

Con la distancia del radio igual a 1, se puede determinar las razones trigonométricas del  ángulo α o del arco HQ

RazonesFórmulasGráfica
1seno

2coseno

3tangente

4cosecante

5secante

6cotangente

 

 

Ejemplo

Determine las razones trigonométricas de α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto

1Se extraen las valores de y   
2Cálculo del seno

3Cálculo del coseno

4Cálculo de la tangente

5Cálculo de la cosecante

6Cálculo de la secante

7Cálculo de la cotangente

Signo de las razones trigonométricas

El signo de las razones trigonométricas depende de los valores x  e  y, según sus valores se ubican en cualquiera de los cuadrantes de la circunferencia unitaria, entonces los signos según la ubicación del lado final del ángulo es la siguiente:

CuadranteRazones trigonométricas
seno αcoseno αtangente αcosecante αsecante αcotangente α
I++++++
II++
III++
IV++

Ejercicios de circunferencia trigonométrica

  1.  Determine en cada si el punto pertenece a la circunferencia unitaria
    a.A(-3,2)b.B(-5,0)c.C(0,2)
    d.e.f.
    g.h.i.
    j.k.l.
  2. Determine el valor de la coordenada que falta, si el punto pertenece a la circunferencia unitaria. Al lado de cada punto indica el cuadrante
    a.cuadranteb.IV cuadrantec. III cuadrante
    d.III cuadrantee.II cuadrantef.I cuadrante 
  3. Determine el valor de las razones trigonométricas para α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto dado
    a.b.c.
    d.e.f.
    g.h.i.

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