Cálculo de área y volumen de un poliedro regular

Cálculo de área y volumen de un poliedro regular

Diseñador de interioresSi estás buscando el cálculo de área y volumen de un poliedro regular estás en el lugar correcto. Comencemos con este ejemplo de la vida diaria: El señor Rafael es un diseñador de interiores, en su último contrato tuvo que remodelar un apartamento pequeño. El cliente le exigió un diseño moderno y funcional con la intención de aprovechar al máximo los espacios de las paredes, techos y rincones. Para ello, calculó con precisión las áreas y volúmenes de diferentes elementos decorativos, para así asegurarse que todos encajen sin desperdiciar espacios. Finalmente seleccionó los muebles, camas y comedor con una estética agradable y ajustada a la comodidad del paso en el lugar.

Los cálculos de las áreas y volúmenes son esenciales en la toma de decisiones de un diseñador, ya que permite conocer la distribución correcta de los muebles, la elección de los materiales y la optimización del espacio. Por medio del cálculo tú también puedes crear un ambiente armónico y funcional en tu habitación o en cualquier espacio de tu hogar.

Poliedros

Son figuras geométricas tridimensionales compuesto por polígonos.

Elementos

Es muy importante conocer y aprenderse todos los elementos del poliedro, ya que facilita una mejor interpretación y por ende una buena aplicación en el cálculo. A continuación, los elementos del poliedro:

Poliedro-cubo
Figura # 1

I. Vértices. Son puntos donde coinciden las caras de un poliedro.

Los puntos: A, B, C, D, E, F, G, H son los vértices de la figura # 1.

II. Aristas. Son los lados de las caras del poliedro.

El segmento $$ \overline{AB}$$ es una arista.

III. Caras. Es cada superficie o área del polígono que compone a ese poliedro.

BGFC es una cara o superficie del poliedro.

IV. Ángulo diedro. Es un ángulo formado con dos caras que comparten una arista en común.

Ejemplo

Caras:

AHGB y AHED

Arista en común: $$ \overline{AH}$$

Ángulo diedro:

90°

Caras:

GHEF y AHED

Arista en común: $$ \overline{HE}$$

Ángulo diedro:

90°

V. Ángulo triedro. Es un ángulo formado por tres caras o tres planos los cuales comparten un mismo vértice.

En el vértice E concurren 3 caras: EDCF, GHEF, AHED allí se forma un ángulo triedro.

VI. Ángulo poliedro. Es el ángulo formado a partir de tres o más caras siempre y cuando compartan un mismo vértice.

Para la figura # 1, en cualquier vértice concurren 3 planos, es decir, se forma un ángulo triedro que es lo mismo a un ángulo poliedro.

Diagonal. Es un segmento trazado desde un vértice de una cara a otro vértice de otra cara.

El segmento $$ \overline{FA}$$ es una diagonal del poliedro.

Área total. Es la sumatoria de todas las áreas o caras del poliedro, por medio de fórmulas.

Volumen total. Es todo el espacio tridimensional del poliedro, calculado por medio de fórmulas según el tipo de poliedro.

Poliedros regulares

Sabiendo que los poliedros es una composición de polígonos, un poliedro regular está formado por polígonos regulares de ángulos poliedros y diedros iguales.

Clasificación

Existen un total de 5 poliedros regulares los cuales desempeñan un papel fundamental. Estos cuerpos geométricos son esenciales tanto en el estudio matemático como en aplicaciones prácticas, como el diseño de estructuras arquitectónicas y la modelación de estructuras cristalinas y moleculares. Los cinco poliedros regulares son el tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro. Es un poliedro formado por cuatro triángulos equiláteros, 6 aristas y 4 vértices. No posee diagonales.

Tetrágono

 

Fórmulas

ÁreaVolumen
Fórmula 1Fórmula 2
Fórmula 3
Donde:

L = longitud de la cara

h = altura del poliedro

Hexaedro. Conocido también con el nombre de cubo, es un poliedro compuesto por 6 cuadrados de las mismas dimensiones, 12 aristas, 8 vértices y 4 diagonales.

Cubo

Fórmulas.

ÁreaVolumen
Fórmula 4Fórmula 5
Donde:

L = longitud de la cara

 

Octaedro. Es un poliedro formado por 8 triángulos equiláteros, 12 aristas, 6 vértices y 3 diagonales.

Octaedro

Fórmulas.

ÁreaVolumen
Fórmula 6Fórmula 7
Donde:

L = longitud de la cara

h = altura del poliedro

 

Dodecaedro. Es un poliedro formado por 12 pentágonos regulares, 30 aristas, 20 vértices y 15 diagonales.

Dodecaedro

Fórmulas.

ÁreaVolumen
Fórmula 9Fórmula 10
Donde:

L = longitud de la cara

 

Icosaedro. Es un poliedro formado por 20 triángulos equiláteros, 30 aristas, 12 vértices y 30 diagonales.

Icosaedro

Fórmula.

ÁreaVolumen
Fórmula 11Fórmula 12
Donde:

L = longitud de la cara

 

Ejemplos resueltos

I. El área neta de un octaedro es de seis raiz cuadrada de tres cm2, calcula su volumen.

Datos:

AT = seis raiz cuadrada de tres cm2

V = ?

Fórmulas:

Fórmula 6

Fórmula 8

Solución:

Solución del octaedro

II. Determinar el área y volumen de un tetraedro, donde la longitud de la arista es de 4cm.

Datos:

AT = ?

V = ?

L = 4 cm

Fórmulas:

Fórmula 1

Fórmula 3

Solución:

Solución del tetraedro

III. El volumen de un hexaedro es de 729cm3. Calcula la dimensión de la arista y su área total.

Datos:

V = 729cm3

a = ?

AT = ?

Fórmulas:

Fórmula 4 Fórmula 5

Solución:

Solución del hexaedro

IV. Determinar la altura de un tetraedro, donde la longitud de la arista es de raíz cuadrada de cinco cm y su volumen es 1/6 cm3

Datos:

h = ?

L = raíz cuadrada de cinco cm

VT = 1/6 cm3

Fórmulas: Se hace el despeje de la altura (h)

Fórmula del volumen del tetraedro con h

 

Solución: Se sustituye en la fórmula para determinar la altura. En la segunda línea del procedimiento se racionaliza el denominador.

Solución del tetraedro la altura


Actividades

A. Resolver los siguientes problemas

I. Calcular el área total de un tetraedro, si su altura es raíz cuadrada de seis cm y su volumen es nueve cuartos raíz cuadrada de dos .

II. ¿Cuál es la altura de un tetraedro si el valor de su volumen es de 5/3 cm3.

III. La altura de un octaedro es de 3cm y su área total es tres raíz cuadrada de seis cm2. ¿Cuál es su volumen?.

IV. Hallar el volumen de un hexaedro si su área total es 12cm2.

B. Trabaja con el software GeoGebra y construye un tetraedro de arista 4cm

a. Selecciona el botón de herramienta “Polígono regular” dale clic en el origen del plano cartesiano luego le das clic hasta llegar a 4, allí se forman automáticamente dos puntos con su nombre. (longitud de la arista).

b. Selecciona 3 vértices y cliquea «Ok».

c. Desplázate al menú Vista y selecciona «Vista gráfica 3D».

d. Dirígete a la barra de «Entrada» y escribe «Tetraedro».

e. Selecciona Tetraedro (<Punto>, <Punto>).

f. Les das el nombre de los puntos formados en el paso a.

g. Listo tienes el Tetraedro.

h. Selecciona el botón de herramienta “Volumen” y toca el Tetraedro.

De esta forma obtienes el volumen de este poliedro.

Ahora que conoces más acerca del cálculo de área y volumen de un poliedro regular no olvides poner en práctica lo aprendido. Recuerda compartir y comentar nuestro contenido, de esta manera nos ayudas a seguir creciendo.

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