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Ángulos entres dos rectas paralelas y una secante

8 octubre, 2024 por Javier Guzmán

Si estás buscando ángulos entre dos rectas paralelas y una secante estás en el lugar correcto. Este tema con mucha frecuencia se presenta en la vida cotidiana, te contaré una breve historia donde un trabajador tomará una decisión acertada.

El señor Enrique es un jardinero y es contratado en un conjunto cerrado para que diseñe un jardín armonioso, ubicado en el sendero diagonal que cruza dos caminos paralelos. Lo primero que él hace es pedir que le muestren el plano y luego se dirige al lugar para tomar una decisión. Finalmente, selecciona los ángulos internos y externos generados por todas las caminerías para plantar flores, creando así hermosos rincones coloridos y acogedores llenos de fragancias placenteras.

Términos fundamentales para una mejor comprensión del tema

Lo primero, antes de entrar con el tema es muy importante que conozcas ciertas terminologías básicas que te ayudan a conducirte a una mejor comprensión. Estos términos son:

I. Rectas paralelas

Lo primero que debes saber es que las rectas paralelas son líneas separadas por cierta distancia que tienen la misma dirección pero no se intersecan.

II. Rectas secantes

Seguidamente, la recta secante es aquella que se interseca con otra tocándola en un punto. Observa la imagen la recta secante es la de color rojo e interseca en un punto en ambas rectas paralelas.

III. Ángulos congruentes

Luego, dos o más ángulos son congruentes sólo si poseen las mismas amplitudes. En la imagen se muestran ángulos de colores rojos y verdes congruentes.

Por lo tanto:

α ≅ γ

λ ≅ β

IV. Ángulos suplementarios

Posteriormente, dos o más ángulos son suplementarios sólo si la suma de todas sus amplitudes es igual a 180° sexagesimales.

La imagen muestra dos ángulos, súmalos y si el resultado es 180°, entonces son suplementarios.

V. Ángulos opuestos por el vértice

Finalmente, si se forman cuando dos rectas o segmentos se intersecan en un punto, ese punto es el vértice de los ángulos formados y el ángulo opuesto es aquel que está al frente del otro. Todo ángulo opuesto es congruente.

Cuando la transversal interseca con el segmento horizontal, se presenta cuatro ángulos en la imagen. Allí puedes ver claramente que los ángulos rojos son opuestos por el vértice, y lo mismo ocurre con los ángulos verdes.

VI. Ángulos consecutivos

Dos o más ángulos son consecutivos siempre y cuando tengan el mismo vértice y un lado en común.

Ángulos formados por dos rectas y una secante

Cuando trazas dos rectas paralelas y una secante que las intersecta se forman un total de ocho ángulos. Cuatro de ellos están ubicados en el interior de las rectas paralelas, y el restante, en el exterior a estas rectas.

Nombres de los ángulos

Esos ocho ángulos llegan a recibir distintos nombres según la posición que ocupan. Algunos de ellos son congruentes, y otros son suplementarios.

I. Ángulos alternos internos

En primer lugar, son ángulos internos ubicados en lados opuestos de la transversal, este grupo de ángulos internos son congruentes.

Son alternos internos los ángulos:

∠3 y ∠6

∠4 y ∠5

II. Ángulos alternos externos

Estos ángulos están ubicados en lados opuestos de la transversal, este tipo de ángulos son congruentes.

Son alternos externos los ángulos:

∠1 y ∠8

∠2 y ∠7

III. Ángulos correspondientes

Son correspondientes cuando se selecciona un ángulo interno y otro externo del mismo lado de la transversal, estos tipos de ángulos son congruentes.

Son correspondientes los ángulos:

Lado izquierdo de la transversal: ∠1 y ∠5 ; ∠3 y ∠7

Lado derecho de la transversal: ∠2 y ∠6 ; ∠4 y ∠8

IV. Ángulos conjugados internos

Son ángulos internos ubicados en el mismo lado de la transversal. Estos tipos de ángulos son suplementarios, compuesto de un ángulo agudo y otro obtuso.

Son conjugados internos los ángulos:

Lado izquierdo de la transversal: ∠3 y ∠5

Lado derecho de la transversal: ∠4 y ∠6

V. Ángulos conjugados externos

Son ángulos externos que están en el mismo lado de la transversal, y son suplementarios.

Son conjugados externos los ángulos:

Lado izquierdo de la transversal: ∠1 y ∠7

Lado derecho de la transversal: ∠2 y ∠8

Ejemplo: ángulos entre dos rectas paralelas y una secante

Observa cada situación, debes tener claro cuando los ángulos son congruentes y suplementarios.

➡ Si m∠1 = 120°, entonces m∠8 = 120° ya que son ángulos alternos externos.

➡ La medida del ángulo m∠2 = 60°, esto quiere decir que m∠6 = 60°, debido a que son ángulos correspondientes.

➡ m∠7 = 60°, esto quiere decir que m∠1 = 120° porque son ángulos conjugados externos.

➡ m∠5 = 120°, la amplitud de la m∠3 = 60° porque son ángulos conjugados internos.

➡ m∠3 = 60°, la abertura de m∠6 = 60° porque son ángulos alternos internos.

Ejercicio resuelto

A continuación, te presento un ejercicio resuelto paso a paso de dos rectas paralelas y dos transversales. El enunciado es el siguiente:

Calcular las medidas de los ángulos indicados en la imagen.

Solución:

En la recta transversal “l” lado izquierdo.

➡ El ángulo de 38° y λ son conjugados internos, por lo tanto son suplementarios.

180° = 38° + λ

λ = 180° – 38° = 142°

λ = 142°

➡ Los ángulos 38° y ω son alternos internos, por tanto son congruentes. ω = 38°

➡ El ángulo opuesto al vértice de λ es Φ. por ende son congruentes.

λ ≅ Φ

Φ = 142°

Recta transversal “l” lado derecho.

➡ Ambos ángulos ω y β son correspondientes, entonces, son congruentes.

ω ≅ β

ω = 38° β = 38°

Analizando las dos rectas transversales.

➡ Las rectas “l”, ”m«, “q” forman un triángulo con ángulos conocidos ω = 38° y 40°, y ángulo desconocido θ.

Se aplica la propiedad # 1 de los triángulos «suma de los ángulos internos de un triángulo».

180° = ω + 40° + θ

180° = 38° + 40° + θ

θ = 102°

➡ Los ángulos θ y α, son opuestos al vértice.

α = 102°

En la recta transversal “m” lado derecho.

➡ Al sumar los ángulos α + β se hace correspondiente con σ

α + β = 102° + 38° = 140°

Entonces,

σ = 140°

➡ Los ángulos σ y ψ son opuestos al ángulo, por lo tanto:

ψ = 140°

➡ σ y γ son conjugados internos.

180° = 140° + γ

γ = 180° – 140°

γ = 40°

Comprobación

En los tres puntos donde intersecan las rectas secantes se comprueba el resultado aplicando el ángulo completo.

360° = 40° + 102° + 38° + 40° +102° + 38°

360°= 360°

360° = 142° + 38° + 142° + 38°

360° =360°

360° = 40° + 140° + 40° + 140°

360° = 360°

Actividades

Analiza cada enunciado y responde.

Considera que los ángulos son formados por dos rectas paralelas y una transversal.

I. Si el ∠A y el ∠B son alternos externos, y la m∠A = 24°. ¿Cuál es el valor de la abertura del ∠B?.

II. El ∠P y el ∠Q son ángulos conjugados internos, y la m∠Q = 41°. Determina la m∠P.

III. Los ángulos ∠F y el ∠G son alternos internos, y la m∠F = 122°. ¿Cuánto mide el ∠G?.

IV. Los ángulos ∠R y el ∠S son alternos internos, y el valor de un ángulo suplementario a uno de ellos mide 135°. ¿Cuánto miden el ángulo ∠R y el ∠S respectivamente?.

Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

I. Los ángulos correspondientes siempre son congruentes.

II. Los ángulos conjugados externos son complementarios.

III. Los ángulos alternos internos son suplementarios.

IV. Los ángulos alternos externos siempre son agudos.

Determina la medida de los ángulos indicados.

m∠EBH

m∠BED

m∠EBD

m∠DBG

m∠ABC

m∠IEB

m∠GDF

m∠KGL

Finalmente, ahora que ya sabes más acerca de los ángulos entre dos rectas paralelas y una secante es momento que pongas manos a la obra y practiques cada lo aprendido. No olvides comentar y compartir.

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

Cálculo de área y volumen de un poliedro regular

6 octubre, 2024 por Javier Guzmán

Si estás buscando el cálculo de área y volumen de un poliedro regular estás en el lugar correcto. Comencemos con este ejemplo de la vida diaria: El señor Rafael es un diseñador de interiores, en su último contrato tuvo que remodelar un apartamento pequeño. El cliente le exigió un diseño moderno y funcional con la intención de aprovechar al máximo los espacios de las paredes, techos y rincones. Para ello, calculó con precisión las áreas y volúmenes de diferentes elementos decorativos, para así asegurarse que todos encajen sin desperdiciar espacios. Finalmente seleccionó los muebles, camas y comedor con una estética agradable y ajustada a la comodidad del paso en el lugar.

Los cálculos de las áreas y volúmenes son esenciales en la toma de decisiones de un diseñador, ya que permite conocer la distribución correcta de los muebles, la elección de los materiales y la optimización del espacio. Por medio del cálculo tú también puedes crear un ambiente armónico y funcional en tu habitación o en cualquier espacio de tu hogar.

Poliedros

Son figuras geométricas tridimensionales compuesto por polígonos.

Elementos

Es muy importante conocer y aprenderse todos los elementos del poliedro, ya que facilita una mejor interpretación y por ende una buena aplicación en el cálculo. A continuación, los elementos del poliedro:

I. Vértices. Son puntos donde coinciden las caras de un poliedro.

Los puntos: A, B, C, D, E, F, G, H son los vértices de la figura # 1.

II. Aristas. Son los lados de las caras del poliedro.

El segmento $$ \overline{AB}$$ es una arista.

III. Caras. Es cada superficie o área del polígono que compone a ese poliedro.

BGFC es una cara o superficie del poliedro.

IV. Ángulo diedro. Es un ángulo formado con dos caras que comparten una arista en común.

Ejemplo

Caras:

AHGB y AHED

Arista en común: $$ \overline{AH}$$

Ángulo diedro:

90°

Caras:

GHEF y AHED

Arista en común: $$ \overline{HE}$$

Ángulo diedro:

90°

V. Ángulo triedro. Es un ángulo formado por tres caras o tres planos los cuales comparten un mismo vértice.

En el vértice E concurren 3 caras: EDCF, GHEF, AHED allí se forma un ángulo triedro.

VI. Ángulo poliedro. Es el ángulo formado a partir de tres o más caras siempre y cuando compartan un mismo vértice.

Para la figura # 1, en cualquier vértice concurren 3 planos, es decir, se forma un ángulo triedro que es lo mismo a un ángulo poliedro.

Diagonal. Es un segmento trazado desde un vértice de una cara a otro vértice de otra cara.

El segmento $$ \overline{FA}$$ es una diagonal del poliedro.

Área total. Es la sumatoria de todas las áreas o caras del poliedro, por medio de fórmulas.

Volumen total. Es todo el espacio tridimensional del poliedro, calculado por medio de fórmulas según el tipo de poliedro.

Poliedros regulares

Sabiendo que los poliedros es una composición de polígonos, un poliedro regular está formado por polígonos regulares de ángulos poliedros y diedros iguales.

Clasificación

Existen un total de 5 poliedros regulares los cuales desempeñan un papel fundamental. Estos cuerpos geométricos son esenciales tanto en el estudio matemático como en aplicaciones prácticas, como el diseño de estructuras arquitectónicas y la modelación de estructuras cristalinas y moleculares. Los cinco poliedros regulares son el tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro. Es un poliedro formado por cuatro triángulos equiláteros, 6 aristas y 4 vértices. No posee diagonales.

Fórmulas

Área	Volumen


Donde: L = longitud de la cara h = altura del poliedro

Hexaedro. Conocido también con el nombre de cubo, es un poliedro compuesto por 6 cuadrados de las mismas dimensiones, 12 aristas, 8 vértices y 4 diagonales.

Fórmulas.

Área

Volumen

Donde:

L = longitud de la cara

Octaedro. Es un poliedro formado por 8 triángulos equiláteros, 12 aristas, 6 vértices y 3 diagonales.

Fórmulas.

Área	Volumen


Donde: L = longitud de la cara h = altura del poliedro

Dodecaedro. Es un poliedro formado por 12 pentágonos regulares, 30 aristas, 20 vértices y 15 diagonales.

Fórmulas.

Área

Volumen

Donde:

L = longitud de la cara

Icosaedro. Es un poliedro formado por 20 triángulos equiláteros, 30 aristas, 12 vértices y 30 diagonales.

Fórmula.

Área

Volumen

Donde:

L = longitud de la cara

Ejemplos resueltos

I. El área neta de un octaedro es de cm², calcula su volumen.

Datos:

A_T= cm²

V = ?

Fórmulas:

Solución:

II. Determinar el área y volumen de un tetraedro, donde la longitud de la arista es de 4cm.

Datos:

A_T = ?

V = ?

L = 4 cm

Fórmulas:

Solución:

III. El volumen de un hexaedro es de 729cm³. Calcula la dimensión de la arista y su área total.

Datos:

V = 729cm³

a = ?

A_T= ?

Fórmulas:

Solución:

IV. Determinar la altura de un tetraedro, donde la longitud de la arista es de cm y su volumen es 1/6 cm³

Datos:

h = ?

L = cm

V_T = 1/6 cm³

Fórmulas: Se hace el despeje de la altura (h)

Solución: Se sustituye en la fórmula para determinar la altura. En la segunda línea del procedimiento se racionaliza el denominador.

Actividades

A. Resolver los siguientes problemas

I. Calcular el área total de un tetraedro, si su altura es cm y su volumen es .

II. ¿Cuál es la altura de un tetraedro si el valor de su volumen es de 5/3 cm³.

III. La altura de un octaedro es de 3cm y su área total es cm². ¿Cuál es su volumen?.

IV. Hallar el volumen de un hexaedro si su área total es 12cm².

B. Trabaja con el software GeoGebra y construye un tetraedro de arista 4cm

a. Selecciona el botón de herramienta “Polígono regular” dale clic en el origen del plano cartesiano luego le das clic hasta llegar a 4, allí se forman automáticamente dos puntos con su nombre. (longitud de la arista).

b. Selecciona 3 vértices y cliquea «Ok».

c. Desplázate al menú Vista y selecciona «Vista gráfica 3D».

d. Dirígete a la barra de «Entrada» y escribe «Tetraedro».

e. Selecciona Tetraedro (<Punto>, <Punto>).

f. Les das el nombre de los puntos formados en el paso a.

g. Listo tienes el Tetraedro.

h. Selecciona el botón de herramienta “Volumen” y toca el Tetraedro.

De esta forma obtienes el volumen de este poliedro.

Ahora que conoces más acerca del cálculo de área y volumen de un poliedro regular no olvides poner en práctica lo aprendido. Recuerda compartir y comentar nuestro contenido, de esta manera nos ayudas a seguir creciendo.

Javier Guzmán

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Cómo calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj análogo: explicación paso a paso

11 septiembre, 2024 por Javier Guzmán

¿Sabes cómo calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj análogo? Si quieres conocer más acerca de este tema, aquí te lo explicamos paso a paso. Como bien sabes, la función principal de un reloj analógico es mostrar el tiempo. Sin embargo, gracias a sus manecillas también se puede observar los ángulos que estas forman en cualquier instante. El reloj no solo permite leer la hora, sino también permite entender la relación entre el tiempo y los ángulos.

Manecillas

Las manecillas es tan solo una pequeña parte de todos los elementos que componen un reloj analógico, conocerlas permitiría comprender el cálculo de los ángulos entre manecillas.

Internamente estos instrumentos de medición poseen una serie de componentes interconectados, como engranajes, resortes, volante, piñones y rubíes sintéticos, encargados de entregar avances precisos a cada manecilla.

I. Minutero: es la manecilla más larga, recibe el movimiento circular hacia la derecha transmitida por una rueda de engranaje su finalidad es indicar los minutos.

II. Horario: es la manecilla más corta, movida por otra rueda de engranaje, su velocidad es mucho menor que el minutero y su objetivo es indicar las horas.

Relación angular y tiempo

Para entender la relación entre el tiempo y los ángulos en un reloj analógico, es necesario considerar una circunferencia y la división del día en 12 horas. A continuación, dos tipos de relaciones angulares y tiempo:

Relación entre el ángulo de una circunferencia y las horas

El ángulo de una circunferencia tiene un valor de 360° y 12 horas comprende la mitad de un día. Con estos datos se forma la relación del ángulo y las horas.

Cada hora representa un ángulo agudo de 30°. A continuación, vea la tabla y la imagen con algunas relaciones hora-ángulo:

Hora	Ángulo
1h	30°
3h	90°
5h	150°
9h	270°
10h	300°

Calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj: Relación entre el ángulo de una circunferencia y los minutos

Una hora equivale a 60 minutos más el dato del ángulo de la circunferencia se crea la nueva relación.

Entonces, cada minuto forma un ángulo de 6°. Vea la siguiente tabla:

Minuto	Ángulo
1´	6°
15´	90°
23´	138°
45´	270°
50´	300°

Avance del minutero

Al avanzar el minutero el horario hace lo mismo pero a un ritmo más lento. Esta situación crea la sensación que el horario se encuentra detenido, la realizada es que no es así. Para determinar el valor de este avance, es necesario aplicar las siguientes relaciones:

Al avanzar el minutero 1 minuto (es decir 6°), el horario rota tan solo 0,5°. A continuación, la siguiente imagen muestra cuando el minutero avanza 1 minuto y el horario 0,5°. ¿Qué hora indica?

Calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj

Utilizando las relaciones anteriores, es posible calcular con precisión los ángulos formados por las manecillas del minutero y el horario para cualquier momento.

Fórmulas

Donde:

x : horas.

y : minutos.

Calculadora de ángulos entre las manecillas de un reloj análogo

A continuación, te presento una herramienta que te ayudará en el proceso de aprendizaje de este tema. Nuestra recomendación es usar las tres fórmulas para determinar el ángulo entre las agujas del reloj, luego introduce el valor del tiempo en la calculadora para verificar el resultado calculado por ti.

Calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj: Determinar el ángulo entre manecillas cuando son:

I. En un tiempo a las 6:20

II. La abertura de las 10:20

III. El ángulo entre las manecillas de las 2:50

IV. Ángulo formado por el minutero y horario de las 10:10

V. La abertura de entre ambas agujas a las 10:37

VI. Para las 1:13

VII. Ángulo en el instante de las 2:27

VIII. Para el momento de las 9:48

IX. Abertura del horario y minutero a las 3:56

X. Ángulo formado por las dos manecillas cuando son las 12:09 (para el cálculo es 0:12)

Actividades

I. ¿Cuál es el ángulo agudo formado por el horario y el minutero si el reloj marca las 18:21?

II. ¿Cuál es el ángulo agudo formado por las manecillas del reloj cuando marcan las 14:17?

III. Determina el número de grados en el ángulo formado por las manecillas del reloj a las 10:07.

IV. Calcula el número de grados en el ángulo mayor formado por las manecillas del reloj a las 5 ¼.

V. ¿A qué hora entre las 12:00 y la 1:00, el horario y el minutero forman un ángulo de 165°?

VI. ¿Qué cantidad de radianes rotará el minutero del reloj de David en su día de descanso?

VII. Se forma un ángulo de 130°. ¿A qué hora entre las 3 y 4?

Ahora que ya sabes cómo calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj paso a paso ya puedes solucionar los ejercicios planteados. No olvides suscribirte a nuestro sitio web para que disfrutes de contenido de calidad, comenta y comparte.

Javier Guzmán

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