Transformaciones geométricas: traslación, rotación y más

¿Sabías que cada vez que tu personaje se mueve, salta o cambia de tamaño en un videojuego estás presenciando transformaciones geométricas en acción? La geometría no vive solo en los libros: es parte esencial del diseño de tus juegos favoritos. Cada traslación que te mueve de un lado a otro, cada rotación que gira la cámara, la reflexión que ves en el agua y la homotecia que hace que un objeto se vea más grande o pequeño en pantalla son transformaciones que hacen que todo se vea y se sienta realista.

Contenido del tema

¿Qué es una transformación geométrica?

Las transformaciones geométricas es un procedimiento aplicado a una figura dada obteniendo otra denominada imagen.

Clasificación de las transformaciones

Las transformaciones geométricas son muy interesantes ya que por medio de estos procedimientos pueden generarse imágenes congruentes o semejantes.

Los tipos de transformaciones geométricas que generan imágenes congruentes son conocidas con el nombre de:

Traslación.
Rotación y
Reflexión.

La transformación geométrica encargada de crear imágenes semejantes es conocida como Homotecia.

Traslación

Son transformaciones geométricas encargada del desplazamiento que puede aplicarse a cualquier figura, como un punto, segmento, polígono, cubo, círculo u otra figura tridimensional. Para realizarlo, necesitas conocer los valores h y k.

Nota: Este post se enfocará en la traslación en el plano cartesiano.

¿Qué representa h y k ?

La traslación es un tipo de transformación que desplaza un punto A (x, y) del plano en otro A´( x + h, y + k ) que es la imagen.

Donde h representa el desplazamiento horizontal y k el vertical en unidades.

¿Qué pasa con h y k al ser positivos o negativos?

Cuando h es positivo, el desplazamiento horizontal (en el eje de las abscisas) es realizado hacia la derecha; pero, si h es negativo, su desplazamiento es a la izquierda.

Cuando k es positivo, el desplazamiento vertical (en el eje de las ordenadas) es hecho hacia arriba; en cambio, si k es negativo, el movimiento es hacia abajo.

¿Cómo debes hacer la traslación?

A continuación, verás dos ejemplos: en el primero se explica cómo trasladar un punto y, en el segundo, cómo trasladar un romboide.

Ejemplo 1. Trasladar un punto

Trasladar el punto D (3,2) tres unidades positiva verticalmente y cuatro unidades positiva horizontalmente.

Procedimiento:

Número 1. Identificar h y k.

h = 4 y k = 3

Número 2. Al trasladar el punto D se transforma en D´

Aplicando: D´( x + h, y + k )

D´ (3 + 4, 2 + 3)

D´ (7,2).

Observa el resultado del traslado del punto D, donde su imagen es D´.

Plano cartesiano que muestra la traslacion horizontal de un punto D ubicado en las coordenadas (3, 2) hacia un punto D prima en las coordenadas (7, 2) mediante una flecha punteada azul — Representacion grafica de la traslacion horizontal de un punto sobre un plano cartesiano.

Ejemplo 2. Trasladar un romboide

Trasladar el romboide ABCD, -7unidades horizontalmente y -3 unidades verticalmente.

Plano cartesiano que muestra un romboide ABCD con vertices en las coordenadas correspondientes y un enunciado superior para trasladarlo -7 unidades horizontalmente y -3 unidades verticalmente — Traslacion de un romboide en un sistema de coordenadas cartesianas.

Procedimiento:

Número 1. Valores h y k.

h = -7 y k = -3

Número 2. Determinar la imagen de cada vértice del romboide.

*Figura* *(vértices del romboide)*	*( x – 7, y – 3* )**	*Imagen*
A (2,4)	( 2 – 7, 4 – 3)	( -5, 1)
B (4,7)	( 4 – 7, 7 – 3 )	( -3, 4 )
C (8,7)	( 8 – 7, 7 – 3 )	( 1, 4 )
D (6,4)	( 6 – 7, 4 – 3 )	( -1, 1 )

Plano cartesiano que muestra la traslacion del romboide original ABCD hacia la nueva posicion A'B'C'D'. — Traslacion completada de un romboide en el plano cartesiano con lineas de guia entre sus vertices correspondientes.

Rotación

Son transformaciones geométricas que consiste en girar todos los puntos de una figura alrededor de un punto fijo. Debes poseer dos elementos el centro de rotación y el ángulo.

¿Cómo realizar la rotación?

A continuación, te presento un ejemplo en el que aprenderás a rotar un romboide, explicado paso a paso. Verás cómo, siguiendo cada indicación, es posible comprender y aplicar este tipo de transformación de manera sencilla y precisa.

Ejemplo. Rotar un romboide

Rote el romboide ABCD a un ángulo de 140° sentido antihorario con centro O.

Plano cartesiano que muestra un romboide ABCD con vertices en el cuadrante superior derecho y un punto de rotacion O ubicado a la izquierda, acompañado de un enunciado superior para rotar la figura 140 grados en sentido antihorario — Rotacion geometrica de un romboide alrededor de un centro de giro dado en un plano cartesiano.

Primero. Unir cada vértice del romboide con el centro O.

Segundo. Rota en sentido antihorario los cuatro segmentos AO, DO, CO y BA a 140° y describe la imagen de cada vértice.

Plano cartesiano que ilustra el proceso de rotación de 140 grados en sentido antihorario de los cuatro segmentos que unen el centro O con los vértices de un romboide ABCD, mostrando las trayectorias de arco y los puntos de destino A', B', C' y D' indicados con flechas discontinuas y texto de instrucciones superior — Diagrama geométrico que visualiza el procedimiento de rotación de 140° antihorario para los segmentos que conectan el centro O con cada vértice de un romboide, determinando las nuevas posiciones de sus imágenes.

Tercero. Unir los puntos A´, B´, C´ y D´ para formar la imagen del romboide.

Plano cartesiano que muestra dos romboides, el original ABCD y su imagen A'B'C'D' tras una rotación de 140° alrededor del punto O, con líneas de trazos que conectan los vértices correspondientes y un ángulo de 140° marcado en el origen. El texto en la parte superior indica el paso tres: unir los puntos A', B', C' y D' para formar la imagen del romboide — Diagrama geométrico que ilustra el tercer paso del proceso de rotación de un romboide: unir los puntos de la imagen A’, B’, C’ y D’ para formar el romboide rotado.

Reflexión

Llamada también simetría axial, este tipo de transformación refleja una figura respecto a una recta denominada eje de reflexión o eje de simetría, generando una imagen con las mismas distancias de la figura al eje. Los elementos para materializar una reflexión son dos el objeto y el eje de simetría (segmento).

¿Cómo debes realizar una reflexión?

Te voy a mostrar cómo realizar la reflexión de un triángulo, explicada a través de un ejemplo práctico. Paso a paso, descubrirás cómo se transforma la figura y cómo identificar su imagen reflejada de forma sencilla.

Ejemplo. Reflexión de un triángulo

Dado el triángulo ABC y su eje de reflexión m. Encuentre su imagen reflejada.

Plano cartesiano que muestra el problema planteado para realizar la reflexion de un triangulo ABC sobre un eje de simetria oblicuo denominado m, con texto instructivo en la parte superior — Representacion grafica de un ejercicio de simetria axial donde se solicita encontrar la imagen reflejada de un triangulo respecto a una recta dada.

Paso # 1. Trazar rectas perpendiculares segmentadas desde el eje de simetría hacia cada vértice. Para el trazo perpendicular utiliza una regla y un cartabón o escuadra.

Plano cartesiano que muestra el primer paso de una reflexión geométrica, donde se trazan rectas perpendiculares segmentadas desde cada vértice del triángulo ABC hacia el eje de simetría m. El texto superior indica trazar dichas rectas utilizando regla y escuadra — Diagrama geométrico que ilustra el primer paso para realizar una reflexión: trazar líneas perpendiculares y segmentadas desde los vértices hacia el eje de simetría.

Paso # 2. Utiliza una regla para medir la distancia entre cada vértice y el eje de reflexión.

Plano cartesiano que ilustra el segundo paso para reflejar un triángulo, mostrando el uso de una regla graduada alineada sobre la perpendicular trazada entre el vértice A y el punto intersección G en el eje de simetría m, con instrucciones en la parte superior para medir la distancia entre cada vértice y el eje de reflexión — Diagrama geométrico que muestra el segundo paso del procedimiento de simetría axial: medir con una regla la distancia desde cada vértice del triángulo hasta el eje de reflexión.

Paso # 3. Ubicar los vértices imágenes al otro lado del eje de reflexión.

Plano cartesiano que muestra el tercer paso de una reflexión geométrica, donde se ubican los vértices imágenes A', B' y C' al otro lado del eje de simetría m, manteniendo la misma distancia medida perpendicularmente. El texto superior indica ubicar los vértices imágenes al otro lado del eje de reflexión — Diagrama geométrico que ilustra el tercer paso para realizar una reflexión: ubicar los puntos simétricos de los vértices al otro lado del eje de simetría.

¡A jugar con las transformaciones geométricas: traslaciones, rotaciones y reflexiones!

Llegó el momento de poner en practica lo que ya conoces hasta ahora.

Selecciona el tipo de transformación y observa como se ven las imágenes.

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Homotecia

Se trata de un proceso que genera una imagen de distinto tamaño pero su forma la mantiene. Es conocida también con el nombre dilatación y se construye a partir de un centro fijo (centro de homotecia) y un factor de escala (razón).

Características

La homotecia presenta varias características importantes, entre las que se destacan:

Posee un centro llamado centro de homotecia. Es el punto donde se proyectan y se trazan segmentos hasta los vértices de la imagen.
Un factor de escala k. Llamada también razón de homotecia, determina si la imagen es ampliada o reducida y además indica la orientación de la misma.
Si el factor de escala es:
k > 1, la imagen es ampliada alejándose del punto homotecia.
0 < k < 1, la imagen es reducida acercándose al punto homotecia
k < 0, la imagen es invertida respecto al centro cambiando su orientación. Esta puede quedar reducida, ampliada o quedar al mismo tamaño.
k = 0, Todos los puntos de la imagen queda ubicada en el centro de homotecia. Es decir, no se genera una imagen visible.
k = 1, La imagen coincide con la figura dada.
Cambia el tamaño de la imagen pero no su forma, generando imágenes semejantes.
Las longitudes de la figura es proporcional con las longitudes de la imagen.

A continuación, apreciarás los distintos factores de escala:

Ampliada: k > 1

Rducida: 0 < k < 1

Esquema que muestra los conceptos de factor de escala para figuras ampliadas y reducidas mediante un triángulo original rojo y dos triángulos homotéticos azul y morado en un plano con respecto a un centro H, indicando los valores de k — Representación gráfica de los factores de escala (ampliación y reducción) en una transformación de homotecia geométrica.

Imagen invertida: k < 0

Esquema geometrico de una homotecia inversa que muestra un triangulo original EFG en la parte superior izquierda y su figura homotetica invertida en la parte inferior derecha al otro lado del centro de homotecia H, con la condicion k menor a 0 y el valor k igual a -1 indicado en la imagen — Representacion grafica de una homotecia inversa donde el factor de escala k es menor a cero, produciendo una imagen invertida respecto al centro de homotecia.

No se genera imagen visible: k = 0

Esquema geometrico que muestra un triangulo EFG en la parte superior izquierda y un punto H con puntos colapsados en la parte inferior derecha, acompañado del texto superior que indica que no se genera imagen visible cuando el factor de escala k es igual a cero — Representacion grafica de una homotecia con factor de escala k igual a cero, donde la figura se reduce a un punto sin generar una imagen visible.

Imagen coincide con la figura dada: k = 1

Esquema geometrico que muestra un triangulo EFG y un punto de centro H con lineas de proyeccion, indicando en el texto superior que la imagen coincide con la figura dada cuando el factor de escala k es igual a uno — Representacion grafica de una homotecia con factor de escala k igual a uno, donde la figura resultante coincide exactamente con el triangulo original.

¿Cómo debes realizar una homotecia?

A continuación, te mostraré, mediante un ejemplo, cómo aplicar una homotecia a un polígono paso a paso. Verás cómo identificar el centro de homotecia y cómo aplicar el factor de escala, de esta forma obtendrás la figura transformada con exactitud.

Ejemplo. Obtener la imagen de un polígono por homotecia

El centro es el punto C con un factor de escala 1/5.

Ejemplo que muestra un poligono violeta con vertices J, K, L, M y N, acompañado de un punto de centro C situado en la parte inferior derecha, y un texto superior que indica obtener la imagen de un poligono por homotecia con centro en el punto C y un factor de escala de un quinto — Representacion grafica de un ejercicio para obtener la imagen homotetica de un poligono a partir de un centro dado y un factor de escala especifico.

Para realizar la homotecia debes llevar a cabo los siguientes pasos:

I. Dibuja segmentos desde cada vértice del polígono hasta el punto C.

Diagrama geometrico que muestra el primer paso para realizar una homotecia en un poligono JKLMN de color violeta, con lineas finas trazadas desde cada uno de sus vertices hacia el punto de centro C, y un texto superior que indica dibujar segmentos desde cada vertice del poligono hasta el punto C — Representacion grafica del primer paso de un procedimiento de homotecia, mostrando los segmentos trazados desde los vertices del poligono hasta el centro de homotecia.

II. Mide cada longitud y lo multiplicas por el factor de escala 1/5, para obtener las longitudes desde el punto centro “C” a cada vértice imagen.

Longitud del centro a la figura	Multiplicación con el factor de escala 1/5 = 0.2	Longitud del centro a la imagen
$$\overline{CM}=9.09cm$$	$$9.09cm\cdot 0.2cm=$$	$$1.82cm$$
$$\overline{CL}=10.92cm$$	$$10.92cm\cdot 0.2cm=$$	$$2.18cm$$
$$\overline{CK}=7.14cm$$	$$7.14cm\cdot 0.2cm=$$	$$1.43cm$$
$$\overline{CJ}=9.49cm$$	$$9.49cm\cdot 0.2cm=$$	$$1.90cm$$
$$\overline{CN}=4.91cm$$	$$4.91cm\cdot 0.2cm=$$	$$0.98cm$$

III. Marcar los vértices imagen.

Diagrama geometrico que muestra el tercer paso para realizar una homotecia en un poligono JKLMN de color violeta, con puntos marcados sobre los segmentos que representan los vertices imagen J', K', L', M' y N' cerca del centro C, y un texto superior que indica marcar los vertices imagen — Representacion grafica del tercer paso de un procedimiento de homotecia, mostrando la marcacion de los vertices resultantes de la transformacion sobre las lineas de proyeccion.

IV. Unir los vértices para obtener el polígono M´L´K´J´N´ imagen por homotecia del polígono dado.

Diagrama geométrico que muestra el cuarto y último paso para realizar una homotecia en un polígono JKLMN de color violeta, con los vértices imagen unidos para formar el polígono resultante M'L'K'J'N' cerca del centro C, y un texto superior que indica unir los vértices para obtener el polígono imagen — Representación gráfica del cuarto paso de un procedimiento de homotecia, mostrando la unión de los vértices imagen para completar la figura geométrica reducida.

¡A jugar con la Homotecia!

Pon en practica todo lo que ya conoces y diviértete jugando con la homotecia.

En el botón rojo seleccionas el factor de escala, en caso que la imagen no se vea, no te preocupes debes arrastrar o mover el área de la simulación para encontrarla.

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Actividades

I. Diga ¿Cuánto es h y k?

Plano cartesiano que muestra una actividad de geometria con dos figuras geometricas congruentes, un cuadrilatero original ABCD en color marron y su imagen trasladada A'B'C'D' en color azul, acompañado de un texto superior que indica la pregunta sobre cuanto valen h y k — Representacion grafica de traslacion en el plano cartesiano donde se pide determinar los componentes del vector de traslacion h y k.

II. ¿Cuánto es el ángulo de rotación de esta transformación?

Plano cartesiano que muestra una actividad de geometria con un cuadrado original ABCD en color rojo y su imagen rotada A'B'C'D' en color azul respecto al centro de rotacion O, acompañado de un texto superior que pregunta cuanto es el angulo de rotacion de esta transformacion — Representacion grafica de rotacion en el plano cartesiano donde se solicita determinar el angulo de la transformacion geometrica.

III. Dibuja la imagen de la siguiente figura, donde la recta m es el eje de reflexión.

Plano cartesiano con una cuadricula que muestra un poligono compuesto de color violeta y una recta horizontal inferior etiquetada como m, acompañado de un texto superior que indica dibujar la imagen de la siguiente figura donde la recta m es el eje de reflexion — Simetria axial donde se solicita dibujar la figura reflejada respecto a un eje horizontal m.

IV. Los vértices de un rombo son: A(10,4); B(12,7); C(14,4); y D(12,1). Si los vértices imágenes por la traslación es: A´(11,5); B´(13,8); C´(15,5); y D´(13,2). ¿Cuánto se trasladó verticalmente y horizontalmente?.

V. Le aplican una rotación al punto F(-2,1) con centro en el origen R y un ángulo “x”. La imagen del punto es F´(-6,5).¿Cuál es el valor del ángulo x?

VI. Traslada la figura a continuación h = 5 y k = 0

Plano cartesiano que muestra un cuadrilátero ABCD sombreado de color azul con vértices ubicados en las coordenadas indicadas, acompañado de un texto superior que solicita realizar una traslación de la figura dada utilizando los componentes de vector h igual a 5 y k igual a 0 — Representación gráfica de traslación geométrica en el plano cartesiano donde se pide desplazar la figura aplicando un vector con h igual a 5 y k igual a 0.

VII. Rota a 60° horario con centro en O, el siguiente cuadrilátero.

actividad-rotar-cuadrilatero-60-grados-horario

VIII Identifica el centro y el factor de homotecia en ambas imágenes.

Plano cartesiano con una cuadricula que muestra un poligono original JKLMN y su figura homotetica resultante J'K'L'M'N' de menor tamaño en color azul, acompañado de un texto superior que indica identificar el centro y el factor de homotecia en ambas imagenes

IX. Representa la homotecia con un factor de homotecia = 2

Plano cartesiano con una cuadricula que muestra un poligono irregular sombreado de color azul a la derecha y el centro de homotecia marcado como el punto C en el eje Y en las coordenadas cero, cinco, acompañado de un texto superior que indica representa la homotecia con un factor de homotecia igual a dos

X. Construye la homotecia con dos factores de escala: ½ y 1/5 de la siguiente figura.

Plano cartesiano con una cuadricula que muestra un poligono irregular sombreado en tono naranja claro en el primer cuadrante y el centro de homotecia marcado como el punto C en las coordenadas uno, uno, acompañado de un texto superior que indica construye la homotecia con dos factores de escala un medio y un quinto de la siguiente figura

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Preguntas frecuentes

1. ¿Cuál es la diferencia entre congruencia y semejanza?

En la traslación, la rotación y la reflexión la figura conserva forma y tamaño (congruente). En la homotecia conserva la forma, pero cambia el tamaño (semejante).

2. ¿Qué datos necesito para hacer cada transformación?

Traslación: los desplazamientos h y k. Rotación: el centro y el ángulo. Reflexión: el eje. Homotecia: el centro y el factor de escala.

3. ¿Qué pasa si el factor de la homotecia es negativo?

La figura se invierte respecto al centro y queda al otro lado. Si el valor absoluto es mayor que 1, además se amplía.

📌 Actualizado el 19 octubre, 2026 por Profesor Yohendy Guzmán

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