La combinatoria es una herramienta fundamental de la teoría combinatoria: permiten calcular de cuántas formas distintas se puede elegir un grupo de elementos sin que el orden importe. En este post podrás repasar la definición del concepto, la diferencia con las permutaciones, ver ejemplos resueltos paso a paso y practicar con una serie de ejercicios.
1. ¿Qué es la combinatoria?
La combinatoria es la parte de las matemáticas que te enseña a contar cuántas posibilidades existen en una situación, sin tener que hacer una lista enorme y revisarla una por una.
Piénsalo así: si tienes 3 camisetas y 2 pantalones, ¿de cuántas formas distintas puedes combinarlos? Podrías probarte cada combinación, pero la combinatoria te da un truco más rápido para saberlo al instante, usando simples multiplicaciones y sumas.
Con estas herramientas puedes resolver preguntas como:
- ¿De cuántas formas se pueden sentar tus amigos en una fila?
- ¿Cuántas contraseñas diferentes puedes crear con ciertas letras y números?
- ¿De cuántas maneras puedes elegir un equipo de 3 personas entre 10?
2. ¿Cuál es la diferencia entre combinatoria y permutación?
Las combinaciones hacen referencia al número de formas en que se puede elegir un subconjunto de elementos dentro de un conjunto más amplio, sin importar el orden en que se seleccionen.
Para diferenciarlas de las permutaciones, observa la siguiente tabla, que compara situaciones donde el orden importa y donde no importa:
| Combinatoria | Permutación |
|---|---|
| Formas de elegir a los integrantes de un comité dentro de un grupo más grande. | Formas de asignar cargos específicos en un club: presidente, vicepresidente, tesorero, etc. |
| Formas de escoger un número determinado de ingredientes para una pizza entre una lista más amplia de opciones. | Formas de elegir y acomodar bolas de helado sobre un cono. |
| Formas de seleccionar libros de una lista de lectura. | Formas de elegir y ordenar la lectura de los libros seleccionados de una lista. |
La manera más sencilla de diferenciar una combinatoria de una permutación es recordar que, en una combinación, el orden no importa.
Los integrantes de un comité pueden elegirse en cualquier orden, mientras que a los oficiales de un club se les asigna un cargo específico, por lo que el orden sí es relevante.
Conviene tener cuidado con el uso cotidiano de estas palabras, ya que muchas veces se emplean de forma incorrecta: por ejemplo, la «combinación» de un candado en realidad no es una combinatoria, sino una permutación, porque el orden de los números sí importa.
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3. Ejemplos resueltos paso a paso
A continuación, encontrarás cuatro ejemplos resueltos paso a paso. Lee con atención cada situación y, antes de consultar la solución, intenta resolverla por tu cuenta. (El símbolo ! representa el factorial)
Situación # 1
¿De cuántas maneras se pueden elegir tres sabores diferentes de helado de una selección de 16 sabores para colocarlos en un bol?
Solución: Primero se calcula el número de permutaciones de un subconjunto de 3 sabores dentro de los 16 disponibles, utilizando la fórmula:
$$\frac{16!}{(16-3)!} = 16 \times 15 \times 14 = 3360$$
Como en este caso el orden no importa, ese resultado incluye las $$3!$$ formas de organizar cada combinación de 3 sabores. Por lo tanto, para hallar el número de combinaciones, ese resultado debe dividirse entre 3!:
$$\frac{3360}{3!} = \frac{3360}{6} = 560$$
La notación y la fórmula general para la combinatoria se expresa así:
$$\binom{n}{r} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$
donde n representa el número de elementos del conjunto y r representa el número de elementos del subconjunto que se selecciona.
Situación # 2
Evalúa las siguientes expresiones:
- $$\binom{9}{4}$$
- $$\binom{9}{0}$$
- $$\binom{9}{9}$$
- $$\binom{12}{8}$$
- Explica por qué las respuestas de los puntos 2 y 3 son iguales.
Solución: Todas las notaciones de los puntos 1 a 4 corresponden a la fórmula de combinatoria. También pueden evaluarse con una calculadora científica o graficadora. Los puntos 2 y 3 están escritos en la notación que usa la calculadora, así que para esos dos se emplea directamente la calculadora, y para los otros dos se aplica la fórmula.
$$\binom{9}{4} = \frac{9!}{4!\,5!} = \frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1} = \frac{3024}{24} = 126$$
$$\binom{9}{0} = 1$$
$$\binom{9}{9} = 1$$
$$\binom{12}{8} = \frac{12!}{8!\,4!} = \frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1} = \frac{11880}{24} = 495$$ En el punto 2 se cuentan las formas de elegir 0 elementos entre 9 opciones: solo existe una manera de hacerlo, que es no elegir ninguno. En el punto 3 se cuentan las formas de elegir los 9 elementos entre 9 opciones: la única manera de lograrlo es elegirlos todos. Por eso siempre hay exactamente una forma de elegir cero elementos o de elegir todos los elementos de un conjunto.
Situación # 3
¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 6 jugadores a partir de una clase de 22 estudiantes?
Solución: Este problema puede expresarse con la notación C(22, 6) y luego resolverse aplicando la fórmula:
$$\binom{22}{6} = \frac{22!}{6!\,16!} = \frac{22\times21\times20\times19\times18\times17}{720} = \frac{53\,721\,360}{720} = 74\,613$$
Situación # 4
Una lotería consiste en extraer 6 bolas de un total de 42. El premio depende únicamente de los números obtenidos, sin importar el orden en que aparezcan. Por ello, las combinaciones 6, 12, 18, 24, 30 y 36, y 36, 6, 30, 12, 24 y 18, se consideran idénticas. ¿Cuántas combinaciones diferentes de 6 números pueden obtenerse al extraer 6 bolas de un total de 42?
Solución: El orden no importa por lo tanto, se utiliza la fórmula de la combinatoria.
$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$
$$\binom{42}{6} = \frac{42!}{6!\,36!} = \frac{42\times41\times40\times39\times38\times37}{720} = \frac{3\,776\,965\,920}{720} = 5\,245\,786$$
En consecuencia, existen 5 245 786 formas distintas en que pueden salir sorteadas las seis bolas ganadoras entre los 42 números disponibles.
4. Ejercicio resueltos
Evalúa lo siguiente utilizando la fórmula o la función de combinaciones de la calculadora.
- $$\binom{6}{4}$$
- $$\binom{18}{11}$$
- $$\binom{14}{6}$$
- ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 4 estudiantes a partir de un club de 18 integrantes?
- ¿Cuántas pizzas de 4 sabores se pueden preparar si hay 11 opciones de sabores disponibles?
Respuestas
$$\binom{6}{4} = 15$$
$$\binom{18}{11} = 31\,824$$
$$\binom{14}{6} = 3\,003$$
$$\binom{18}{4} = \frac{18!}{4!\,14!} = \frac{18\times17\times16\times15}{24} = \frac{73\,440}{24} = 3060$$
$$\binom{11}{4} = \frac{11!}{4!\,7!} = \frac{11\times10\times9\times8}{24} = \frac{7920}{24} = 330$$
5. Preguntas frecuentes de la combinatoria
1. ¿Qué es una combinación en matemáticas?
Es el número de formas en que se puede elegir un subconjunto de elementos a partir de un conjunto más amplio, sin importar el orden de la selección.
2. ¿Cuál es la diferencia entre una combinación y una permutación?
En una combinación el orden no importa, mientras que en una permutación el orden sí es relevante para diferenciar un resultado de otro.
3. ¿Cuál es la fórmula para calcular combinaciones?
La fórmula general es $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$, donde n es el total de elementos y r es el tamaño del subconjunto elegido.
4. ¿Por qué se dice que en las combinaciones el orden no importa?
Porque un mismo grupo de elementos se considera un único resultado, sin importar en qué secuencia hayan sido seleccionados.
5. ¿Cuánto vale C(n, 0) y por qué?
Siempre vale 1, ya que solo existe una manera de no elegir ningún elemento del conjunto.
6. ¿Cuánto vale C(n, n) y por qué?
También vale 1, porque la única forma de elegir todos los elementos de un conjunto es tomarlos todos.
7. ¿Cómo se relaciona la fórmula de combinaciones con la de permutaciones?
La combinación se obtiene dividiendo el número de permutaciones de un subconjunto entre el factorial del tamaño de ese subconjunto, para eliminar los reordenamientos repetidos.
8. ¿Se puede usar una calculadora para hallar combinaciones?
Sí, la mayoría de las calculadoras científicas y graficadoras incluyen una función de combinaciones, generalmente identificada como nCr.
9. ¿La «combinación» de una caja fuerte es realmente una combinación matemática?
No. Aunque se le llame así, en realidad es una permutación, porque el orden en que se ingresan los números sí importa.
10. ¿En qué situaciones de la vida real se usan las combinaciones?
Se aplican, por ejemplo, al formar comités, elegir ingredientes de una receta, seleccionar loterías o escoger un grupo de jugadores sin asignarles una posición específica.
6. Actividades
Parte I: Evalúa las siguientes combinatorias, con o sin calculadora.
1.
$$\binom{12}{9}$$
2.
$$\binom{11}{7}$$
3.
$$\binom{19}{11}$$
4.
Explica por qué: $$\binom{10}{6} = \binom{10}{4}$$
5. Determina si cada situación corresponde a una permutación o a una combinatoria:
a. Formas de acomodar a un grupo de estudiantes en una fila.
b. Formas de seleccionar un grupo de estudiantes.
c. Formas de acomodar libros en un estante.
d. Formas de elegir libros para leer de una colección más amplia.
e. Formas de seleccionar tres sabores distintos de yogur de una colección de diez sabores.
Parte II: En cada uno de los siguientes escenarios, utiliza una combinatoria o una permutación, según corresponda, para responder la pregunta.
6. El menú de una empresa de catering ofrece ocho tipos de aperitivos. ¿De cuántas maneras se pueden elegir cuatro de ellos?
7. Solo hay espacio para ocho canciones en una lista de reproducción para entrenar. Si se cuenta con doce canciones favoritas, ¿de cuántas maneras se pueden elegir ocho de ellas para la lista? Ahora bien, ¿de cuántas maneras se pueden elegir si además importa el orden en que se reproducen?
8. ¿De cuántas maneras se pueden formar dos equipos de seis jugadores cada uno a partir de un grupo de doce jugadores?
9. En una heladería, cada helado se sirve con una elección de cuatro coberturas. Si hay catorce opciones de coberturas disponibles, ¿cuántas combinaciones de coberturas son posibles?
10. ¿De cuántas maneras se pueden elegir cinco personas de un grupo de 35 para integrar un comité? ¿Qué ocurre si cada una de esas cinco personas debe ocupar un cargo específico dentro del comité?
11. Un equipo de fútbol cuenta con 24 jugadores, de los cuales solo 11 juegan al mismo tiempo.
a. ¿De cuántas maneras puede el entrenador elegir un grupo de 11 jugadores titulares, sin importar la posición?
b. De esos 11 jugadores en cancha, uno ocupa la portería, cuatro juegan de defensas, cuatro de mediocampistas y dos de delanteros. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los 11 jugadores a estas posiciones?
c. Considerando las respuestas de los puntos a y b, ¿de cuántas maneras puede el entrenador elegir a los 11 jugadores titulares y asignarlos a una posición en el campo? Supón que todos los jugadores pueden ocupar cualquier posición.
Respuestas
- 220
- 330
- 75 582
- Porque elegir 6 elementos equivale a dejar sin elegir 4 elementos.
- a. Permutación b. Combinación c. Permutación d. Combinación e. Combinación
- 70
- Sin importar el orden: 495. Importando el orden: 19 958 400.
- 462
- 1 001
- Sin cargos: 324 632. Con cargos específicos: 38 955 840.
- a. 2 496 144 b. 34 650 c. 86 491 389 600
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