Factorial

Binomio de Newton

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Binomio de Newton

El binomio de Newton es una de las herramientas más poderosas del álgebra, ya que permite expandir potencias de binomios sin necesidad de multiplicar término por término, ahorrando tiempo en cálculos que de otro modo serían muy largos.

Además de su utilidad práctica, esta fórmula conecta directamente con la combinatoria y con el famoso triángulo de Pascal, lo que la convierte en un puente entre distintas áreas de las matemáticas.

A continuación, podrás repasar su definición, ver ejemplos resueltos paso a paso y poner en práctica lo aprendido con una serie de ejercicios.

1. ¿Qué es el Binomio de Newton?

El binomio de Newton llamado también Teorema del Binomio es un teorema que establece cómo expandir una potencia de un binomio utilizando combinatoria. Su enunciado general es:

$$(a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} a^i b^{n-i}$$

Escribir algunos términos de la sumatoria ayuda a comprender mejor cómo funciona este teorema:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n$$

Para pasar de un término a otro en la expansión, nota que los exponentes de a disminuyen mientras que los exponentes de b aumentan. También nota que los coeficientes de cada término corresponden a combinaciones. Recuerda que C(n,0) representa el número de formas de elegir 0 objetos de un conjunto de n objetos.

Otra manera de interpretar los coeficientes del binomio de Newton es reconocerlos como los números del triángulo de Pascal.

Observa las expansiones de: $$(a+b)^n$$ mostrada en la imagen, los coeficientes de cada término del desarrollo son exactamente los números de la fila correspondiente del triángulo de Pascal.

Debes tener mucho cuidado al trabajar con binomios de la forma: $$(a − b)^n$$ Es necesario recordar que el segundo término es negativo para llevar a cabo la expansión correctamente:

$$(a-b)^n = (a+(-b))^n$$

2. Ejemplos resueltos paso a paso

A continuación, encontrarás cuatro ejemplos resueltos paso a paso sobre el binomio de Newton. Analiza cuidadosamente cada procedimiento e intenta resolver cada ejercicio por tu cuenta antes de revisar la solución.

Ejemplo # 1

Desarrolla el siguiente binomio utilizando el binomio de Newton.

$$(m-n)^7$$

Solución:

$$(m-n)^7 = \binom{7}{0}m^7 + \binom{7}{1}m^6(-n)^1 + \binom{7}{2}m^5(-n)^2 + \binom{7}{3}m^4(-n)^3 + \binom{7}{4}m^3(-n)^4 + \binom{7}{5}m^2(-n)^5 + \binom{7}{6}m^1(-n)^6 + \binom{7}{7}(-n)^7$$

$$(m-n)^7 = m^7 – 7m^6n + 21m^5n^2 – 35m^4n^3 + 35m^3n^4 – 21m^2n^5 + 7mn^6 – n^7$$

Ejemplo # 2

¿Cuál es el coeficiente del término x⁶y¹¹ en la expansión del binomio (x + y)¹⁷?

Solución: El binomio de Newton permite calcular únicamente el coeficiente que se necesita, sin desarrollar toda la expansión.

$$\binom{17}{11} = \frac{17!}{11!\,6!} = \frac{17\times16\times15\times14\times13\times12}{6\times5\times4\times3\times2\times1} = 12\,376$$

Ejemplo # 3

¿Cuál es el coeficiente de x⁶ en la expansión de (3 − 2x)⁸?

Solución: Para este problema se debe calcular el término completo, ya que el 3 y el −2 dentro del binomio también afectan el coeficiente de x⁶.

$$\binom{8}{6}\cdot3^{2}\cdot(-2)^{6}x^{6} = 28\times9\times64\,x^{6} = 16\,128\,x^{6}$$

El coeficiente es 16 128.

Ejemplo # 4

La versión expandida de (3x − 2)⁵ es:

$$(3x-2)^5 = \binom{5}{0}(3x)^5 + \binom{5}{1}(3x)^4(-2)^1 + \binom{5}{2}(3x)^3(-2)^2 + \binom{5}{3}(3x)^2(-2)^3 + \binom{5}{4}(3x)^1(-2)^4 + \binom{5}{5}(-2)^5$$

$$(3x-2)^5 = 243x^5 – 810x^4 + 1080x^3 – 720x^2 + 240x – 32$$

3. Ejercicios resueltos de Binomio de Newton

1. ¿Cuál es el coeficiente de x⁴ en la expansión de (x − 3)⁶?

2. Calcula la siguiente suma.

$$\sum_{i=0}^{6} \binom{6}{i}$$

3. Contrae el siguiente polinomio usando el binomio de Newton.

$$16x^4 – 32x^3 + 24x^2 – 8x + 1$$

Respuestas

1. El coeficiente es: $$\binom{6}{2}\cdot(-3)^{2}x^{4} = 15\times9 = 135$$

    2. Esto pide C(6,0) + C(6,1) + … + C(6,6), que es la suma de todos los coeficientes de (a + b)⁶.

    $$1+6+15+20+15+6+1 = 64$$

    3. Como el último término es +1 y la potencia del primer término es 4 (un número par), el binomio tiene la forma (? − 1)⁴, ya que una potencia par de un binomio con signo negativo produce un último término positivo. Como el primer término es 16x⁴ y (2x)⁴ = 16x⁴, el primer factor debe ser 2x. Por lo tanto, el binomio es (2x − 1)⁴.

    4. Preguntas frecuentes de Binomio de Newton

    2. ¿Para qué sirve el binomio de Newton?

    Sirve para expandir potencias de binomios sin multiplicar término por término, lo que ahorra tiempo en expresiones con exponentes grandes.

    3. ¿Cómo se calculan los coeficientes de una expansión binomial?

    Se calculan usando la fórmula de combinaciones $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$, donde n es el exponente del binomio y r indica la posición del término.

    5. ¿Qué ocurre con los exponentes de a y b al expandir un binomio?

    El exponente de a disminuye en cada término, mientras que el exponente de b aumenta, de modo que la suma de ambos exponentes siempre es igual a n.

    7. ¿Se puede hallar un solo término de la expansión sin desarrollar todo el binomio?

    Sí. Basta con identificar la posición del término deseado y aplicar la fórmula de combinaciones únicamente a ese término.

    9. ¿El binomio de Newton funciona para cualquier valor de n?

    La versión clásica del teorema aplica para cualquier número entero no negativo n.

    5. Actividades de Binomio de Newton

    Parte I. Determinar:

    1.

    $$\quad (p+q)^5$$

    2.

    $$\quad (x-4y)^6$$

    3.

    $$\quad (3x+2y)^6$$

    4.

    ¿Cuál es el coeficiente de x⁵ en (x − 2)⁸?

    5.

    ¿Cuál es el coeficiente de x⁴y⁵ en (x + y)⁹?

    6.

    ¿Cuál es el coeficiente de x⁴ en (3x − 2)⁷?

    7.

    ¿Cuál es el coeficiente de y³ en (2y − 3)⁵?

    8.

    ¿Cuál es el coeficiente de x³y⁵ en (3x + y)⁸?

    9.

    ¿Cuál es el coeficiente de x⁴y³ en (4x + 3y)⁷?

    Parte II. Calcula las siguientes sumas:

    10.

    $$\quad \sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i}$$

    11.

    $$\quad \sum_{i=0}^{13} \binom{13}{i}$$

    12.

    $$\quad \sum_{i=0}^{11} \binom{11}{i}$$

    Contrae los siguientes polinomios utilizando el binomio de Newton.

    13.

    $$\quad 16x^4 – 96x^3 + 216x^2 – 216x + 81$$

    14.

    $$\quad x^8 – 8x^7y + 28x^6y^2 – 56x^5y^3 + 70x^4y^4 – 56x^3y^5 + 28x^2y^6 – 8xy^7 + y^8$$

    15.

    $$\quad 729x^6 – 1458x^5y + 1215x^4y^2 – 540x^3y^3 + 135x^2y^4 – 18xy^5 + y^6$$

    Respuestas

    $$ \begin{aligned} 1.\;&p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5\\[4pt] 2.\;&x^6-24x^5y+240x^4y^2-1280x^3y^3+3840x^2y^4-6144xy^5+4096y^6\\[4pt] 3.\;&729x^6+2916x^5y+4860x^4y^2+4320x^3y^3+2160x^2y^4+576xy^5+64y^6\\[4pt] 4.\;&448\\[4pt] 5.\;&126\\[4pt] 6.\;&-136080\\[4pt] 7.\;&1080\\[4pt] 8.\;&4536\\[4pt] 9.\;&483840\\[4pt] 10.\;&1024\\[4pt] 11.\;&8192\\[4pt] 12.\;&2048\\[4pt] 13.\;&(2x-3)^4\\[4pt] 14.\;&(x-y)^8\\[4pt] 15.\;&(9x-y)^6 \end{aligned} $$

    Combinatoria

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    Combinatoria
    Combinatoria

    La combinatoria es una herramienta fundamental de la teoría combinatoria: permiten calcular de cuántas formas distintas se puede elegir un grupo de elementos sin que el orden importe. En este post podrás repasar la definición del concepto, la diferencia con las permutaciones, ver ejemplos resueltos paso a paso y practicar con una serie de ejercicios.

    1. ¿Qué es la combinatoria?

    La combinatoria es la parte de las matemáticas que te enseña a contar cuántas posibilidades existen en una situación, sin tener que hacer una lista enorme y revisarla una por una.

    Piénsalo así: si tienes 3 camisetas y 2 pantalones, ¿de cuántas formas distintas puedes combinarlos? Podrías probarte cada combinación, pero la combinatoria te da un truco más rápido para saberlo al instante, usando simples multiplicaciones y sumas.

    Con estas herramientas puedes resolver preguntas como:

    • ¿De cuántas formas se pueden sentar tus amigos en una fila?
    • ¿Cuántas contraseñas diferentes puedes crear con ciertas letras y números?
    • ¿De cuántas maneras puedes elegir un equipo de 3 personas entre 10?

    2. ¿Cuál es la diferencia entre combinatoria y permutación?

    Las combinaciones hacen referencia al número de formas en que se puede elegir un subconjunto de elementos dentro de un conjunto más amplio, sin importar el orden en que se seleccionen.

    Para diferenciarlas de las permutaciones, observa la siguiente tabla, que compara situaciones donde el orden importa y donde no importa:

    CombinatoriaPermutación
    Formas de elegir a los integrantes de un comité dentro de un grupo más grande.Formas de asignar cargos específicos en un club: presidente, vicepresidente, tesorero, etc.
    Formas de escoger un número determinado de ingredientes para una pizza entre una lista más amplia de opciones.Formas de elegir y acomodar bolas de helado sobre un cono.
    Formas de seleccionar libros de una lista de lectura.Formas de elegir y ordenar la lectura de los libros seleccionados de una lista.

    La manera más sencilla de diferenciar una combinatoria de una permutación es recordar que, en una combinación, el orden no importa.

    Los integrantes de un comité pueden elegirse en cualquier orden, mientras que a los oficiales de un club se les asigna un cargo específico, por lo que el orden sí es relevante.

    Conviene tener cuidado con el uso cotidiano de estas palabras, ya que muchas veces se emplean de forma incorrecta: por ejemplo, la «combinación» de un candado en realidad no es una combinatoria, sino una permutación, porque el orden de los números sí importa.

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    3. Ejemplos resueltos paso a paso

    A continuación, encontrarás cuatro ejemplos resueltos paso a paso. Lee con atención cada situación y, antes de consultar la solución, intenta resolverla por tu cuenta. (El símbolo ! representa el factorial)

    Situación # 1

    ¿De cuántas maneras se pueden elegir tres sabores diferentes de helado de una selección de 16 sabores para colocarlos en un bol?

    Solución: Primero se calcula el número de permutaciones de un subconjunto de 3 sabores dentro de los 16 disponibles, utilizando la fórmula:

    $$\frac{16!}{(16-3)!} = 16 \times 15 \times 14 = 3360$$

    Como en este caso el orden no importa, ese resultado incluye las $$3!$$ formas de organizar cada combinación de 3 sabores. Por lo tanto, para hallar el número de combinaciones, ese resultado debe dividirse entre 3!:

    $$\frac{3360}{3!} = \frac{3360}{6} = 560$$

    La notación y la fórmula general para la combinatoria se expresa así:

    $$\binom{n}{r} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

    donde n representa el número de elementos del conjunto y r representa el número de elementos del subconjunto que se selecciona.

    Situación # 2

    Evalúa las siguientes expresiones:

    1. $$\binom{9}{4}$$
    2. $$\binom{9}{0}$$
    3. $$\binom{9}{9}$$
    4. $$\binom{12}{8}$$
    5. Explica por qué las respuestas de los puntos 2 y 3 son iguales.

    Solución: Todas las notaciones de los puntos 1 a 4 corresponden a la fórmula de combinatoria. También pueden evaluarse con una calculadora científica o graficadora. Los puntos 2 y 3 están escritos en la notación que usa la calculadora, así que para esos dos se emplea directamente la calculadora, y para los otros dos se aplica la fórmula.

    $$\binom{9}{4} = \frac{9!}{4!\,5!} = \frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1} = \frac{3024}{24} = 126$$

    $$\binom{9}{0} = 1$$

    $$\binom{9}{9} = 1$$

    $$\binom{12}{8} = \frac{12!}{8!\,4!} = \frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1} = \frac{11880}{24} = 495$$ En el punto 2 se cuentan las formas de elegir 0 elementos entre 9 opciones: solo existe una manera de hacerlo, que es no elegir ninguno. En el punto 3 se cuentan las formas de elegir los 9 elementos entre 9 opciones: la única manera de lograrlo es elegirlos todos. Por eso siempre hay exactamente una forma de elegir cero elementos o de elegir todos los elementos de un conjunto.

    Situación # 3

    ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 6 jugadores a partir de una clase de 22 estudiantes?

    Solución: Este problema puede expresarse con la notación C(22, 6) y luego resolverse aplicando la fórmula:

    $$\binom{22}{6} = \frac{22!}{6!\,16!} = \frac{22\times21\times20\times19\times18\times17}{720} = \frac{53\,721\,360}{720} = 74\,613$$

    Situación # 4

    Una lotería consiste en extraer 6 bolas de un total de 42. El premio depende únicamente de los números obtenidos, sin importar el orden en que aparezcan. Por ello, las combinaciones 6, 12, 18, 24, 30 y 36, y 36, 6, 30, 12, 24 y 18, se consideran idénticas. ¿Cuántas combinaciones diferentes de 6 números pueden obtenerse al extraer 6 bolas de un total de 42?

    Solución: El orden no importa por lo tanto, se utiliza la fórmula de la combinatoria.

    $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

    $$\binom{42}{6} = \frac{42!}{6!\,36!} = \frac{42\times41\times40\times39\times38\times37}{720} = \frac{3\,776\,965\,920}{720} = 5\,245\,786$$

    En consecuencia, existen 5 245 786 formas distintas en que pueden salir sorteadas las seis bolas ganadoras entre los 42 números disponibles.

    4. Ejercicio resueltos

    Evalúa lo siguiente utilizando la fórmula o la función de combinaciones de la calculadora.

    1. $$\binom{6}{4}$$
    2. $$\binom{18}{11}$$
    3. $$\binom{14}{6}$$
    4. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 4 estudiantes a partir de un club de 18 integrantes?
    5. ¿Cuántas pizzas de 4 sabores se pueden preparar si hay 11 opciones de sabores disponibles?

    Respuestas

    $$\binom{6}{4} = 15$$

    $$\binom{18}{11} = 31\,824$$

    $$\binom{14}{6} = 3\,003$$

    $$\binom{18}{4} = \frac{18!}{4!\,14!} = \frac{18\times17\times16\times15}{24} = \frac{73\,440}{24} = 3060$$

    $$\binom{11}{4} = \frac{11!}{4!\,7!} = \frac{11\times10\times9\times8}{24} = \frac{7920}{24} = 330$$

    5. Preguntas frecuentes de la combinatoria

    1. ¿Qué es una combinación en matemáticas?

    Es el número de formas en que se puede elegir un subconjunto de elementos a partir de un conjunto más amplio, sin importar el orden de la selección.

    2. ¿Cuál es la diferencia entre una combinación y una permutación?

    En una combinación el orden no importa, mientras que en una permutación el orden sí es relevante para diferenciar un resultado de otro.

    3. ¿Cuál es la fórmula para calcular combinaciones?

    La fórmula general es $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$, donde n es el total de elementos y r es el tamaño del subconjunto elegido.

    4. ¿Por qué se dice que en las combinaciones el orden no importa?

    Porque un mismo grupo de elementos se considera un único resultado, sin importar en qué secuencia hayan sido seleccionados.

    5. ¿Cuánto vale C(n, 0) y por qué?

    Siempre vale 1, ya que solo existe una manera de no elegir ningún elemento del conjunto.

    6. ¿Cuánto vale C(n, n) y por qué?

    También vale 1, porque la única forma de elegir todos los elementos de un conjunto es tomarlos todos.

    7. ¿Cómo se relaciona la fórmula de combinaciones con la de permutaciones?

    La combinación se obtiene dividiendo el número de permutaciones de un subconjunto entre el factorial del tamaño de ese subconjunto, para eliminar los reordenamientos repetidos.

    8. ¿Se puede usar una calculadora para hallar combinaciones?

    Sí, la mayoría de las calculadoras científicas y graficadoras incluyen una función de combinaciones, generalmente identificada como nCr.

    9. ¿La «combinación» de una caja fuerte es realmente una combinación matemática?

    No. Aunque se le llame así, en realidad es una permutación, porque el orden en que se ingresan los números sí importa.

    10. ¿En qué situaciones de la vida real se usan las combinaciones?

    Se aplican, por ejemplo, al formar comités, elegir ingredientes de una receta, seleccionar loterías o escoger un grupo de jugadores sin asignarles una posición específica.

    6. Actividades

    Parte I: Evalúa las siguientes combinatorias, con o sin calculadora.

    1.

    $$\binom{12}{9}$$

    2.

    $$\binom{11}{7}$$

    3.

    $$\binom{19}{11}$$

    4.

    Explica por qué: $$\binom{10}{6} = \binom{10}{4}$$

    5. Determina si cada situación corresponde a una permutación o a una combinatoria:

       a. Formas de acomodar a un grupo de estudiantes en una fila.

       b. Formas de seleccionar un grupo de estudiantes.

       c. Formas de acomodar libros en un estante.

       d. Formas de elegir libros para leer de una colección más amplia.

       e. Formas de seleccionar tres sabores distintos de yogur de una colección de diez sabores.

    Parte II: En cada uno de los siguientes escenarios, utiliza una combinatoria o una permutación, según corresponda, para responder la pregunta.

    6. El menú de una empresa de catering ofrece ocho tipos de aperitivos. ¿De cuántas maneras se pueden elegir cuatro de ellos?

    7. Solo hay espacio para ocho canciones en una lista de reproducción para entrenar. Si se cuenta con doce canciones favoritas, ¿de cuántas maneras se pueden elegir ocho de ellas para la lista? Ahora bien, ¿de cuántas maneras se pueden elegir si además importa el orden en que se reproducen?

    8. ¿De cuántas maneras se pueden formar dos equipos de seis jugadores cada uno a partir de un grupo de doce jugadores?

    9. En una heladería, cada helado se sirve con una elección de cuatro coberturas. Si hay catorce opciones de coberturas disponibles, ¿cuántas combinaciones de coberturas son posibles?

    10. ¿De cuántas maneras se pueden elegir cinco personas de un grupo de 35 para integrar un comité? ¿Qué ocurre si cada una de esas cinco personas debe ocupar un cargo específico dentro del comité?

    11. Un equipo de fútbol cuenta con 24 jugadores, de los cuales solo 11 juegan al mismo tiempo.

       a. ¿De cuántas maneras puede el entrenador elegir un grupo de 11 jugadores titulares, sin importar la posición?

       b. De esos 11 jugadores en cancha, uno ocupa la portería, cuatro juegan de defensas, cuatro de mediocampistas y dos de delanteros. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los 11 jugadores a estas posiciones?

       c. Considerando las respuestas de los puntos a y b, ¿de cuántas maneras puede el entrenador elegir a los 11 jugadores titulares y asignarlos a una posición en el campo? Supón que todos los jugadores pueden ocupar cualquier posición.

    Respuestas

    1. 220
    2. 330
    3. 75 582
    4. Porque elegir 6 elementos equivale a dejar sin elegir 4 elementos.
    5. a. Permutación b. Combinación c. Permutación d. Combinación e. Combinación
    6. 70
    7. Sin importar el orden: 495. Importando el orden: 19 958 400.
    8. 462
    9. 1 001
    10. Sin cargos: 324 632. Con cargos específicos: 38 955 840.
    11. a. 2 496 144 b. 34 650 c. 86 491 389 600

    Factorial de un número

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    factorial de un número

    El factorial de un número es una herramienta clave cuando se quiere saber de cuántas formas distintas puedes ordenar un conjunto de elementos. En este post verás su definición, solución de ejemplos paso a paso y practicarás con una serie de ejercicios para afianzar el concepto.

    1. ¿En qué consiste el factorial de un número?

    El factorial de un número entero positivo consiste en multiplicarlo por todos los enteros positivos menores que él. La notación $6!$ se lee «seis factorial» y representa el producto:

    $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$

    Un caso especial que conviene recordar es que:

    $$0! = 1! = 1$$

    Para que lo comprendas mejor, piensa ¿cuántas formas existen de acomodar un conjunto vacío de objetos?, o bien un único objeto: en ambos casos solo hay una manera posible de ordenarlos, por eso ambos factoriales equivalen a 1.

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    2. Ejemplos resueltos paso a paso

    Situación # 1

    Evaluar:

    $$\frac{9!}{5!}$$

    Solución: Expandir el numerador y el denominador para identificar los factores comunes y simplificar la expresión.

    $$\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{5!}=9\times8\times7\times6=3024$$

    Situación # 2

    En un estante hay 5 libros de matemáticas diferentes, 3 libros de ciencias y 6 novelas. ¿De cuántas maneras se pueden organizar los libros si cada categoría permanece unida (es decir, todos los libros de matemáticas juntos, todos los de ciencias juntos y todas las novelas juntas)?

    Solución: Como hay 5 libros de matemáticas, podemos pensar en llenar 5 espacios: el primero con cualquiera de los 5 libros, el segundo con cualquiera de los 4 restantes, y así sucesivamente:

    $$5\times4\times3\times2\times1=120 \text{ formas}$$

    Los 3 libros de ciencias se pueden ordenar de:

    $$3\times2\times1=6 \text{ formas}$$

    Las 6 novelas se pueden ordenar de:

    $$6\times5\times4\times3\times2\times1=720 \text{ formas}$$

    Además, como hay tres categorías de libros que también pueden intercambiar su posición entre sí:

    $$3\times2\times1=6 \text{ formas}$$

    Por lo tanto, el total de maneras de organizar todos los libros es:

    $$120\times6\times720\times6=3,110,400$$

    3. Ejercicios resueltos

    Evalúa las siguientes expresiones con factoriales.

    $$\frac{11!}{8!}$$

    $$\frac{5\times9!}{4!\times 6!}$$

    ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 8 niños en una fila?

    ¿De cuántas maneras existen para organizar 2 libros de cocina, 4 libros de texto, 6 novelas y 3 libros de arte en un estante si cada grupo permanece junto?

    Respuestas

    1. $$\frac{11\times10\times9\times8!}{8!}=11\times10\times9=990$$
    2. $$\frac{5\times9\times8\times7\times6!}{4\times3\times2\times1\times6!}=\frac{2520}{24}=105$$
    3. $$8! = 40.320$$
    4. $$2!\times4!\times6!\times3!\times4!=2\times24\times720\times6\times24=4.976.640$$

    4. Preguntas frecuentes

    5. Actividades

    Evalúa las siguientes expresiones factoriales.

    1.

    $$\frac{6!}{2!\times 4!}=$$

    2.

    $$\frac{9!}{3!\times 6!}=$$

    3.

    $$\frac{5!\times 7!}{9!}=$$

    4.

    $$\frac{6!\times 9!}{13!}=$$

    5.

    ¿De cuántas maneras puede un entrenador de béisbol formar la alineación de sus diez jugadores titulares?

    6.

    ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra NÚMERO?

    7.

    ¿De cuántas formas se pueden alinear 10 autobuses escolares?

    8.

    ¿De cuántas maneras se pueden sentar siete niñas juntas en una misma fila?

    9.

    Si dos de las siete niñas del ejercicio anterior deben sentarse una junto a la otra, ¿de cuántas formas pueden acomodarse las 7 niñas en la fila de modo que esas dos siempre queden juntas?

    10.

    ¿De cuántas maneras pueden sentarse seis comensales alrededor de una mesa circular? (Pista: la respuesta no es 6!; recuerda que un arreglo circular se cuenta de forma distinta a uno lineal).

    11.

    ¿De cuántas maneras se pueden organizar 2 libros de cocina, 5 novelas y 3 libros de no ficción en un estante si cada categoría permanece unida?

    12.

    ¿De cuántas maneras pueden acomodarse tres profesores, tres estudiantes varones, cuatro estudiantes mujeres y un administrador, si los profesores deben sentarse juntos, los varones deben sentarse juntos y las mujeres deben sentarse juntas?

    Respuestas

    1.

    15

    2.

    84

    3.

    5/3

    4.

    6/143

    5.

    3 628 800

    6.

    720

    7.

    3 628 800

    8.

    5 040

    9.

    1 440

    10.

    120

    11.

    8 640

    12.

    20 736

    1