La multiplicación de polinomios aparece de forma natural al calcular áreas: si el largo y el ancho de un terreno rectangular dependen de una misma variable x, su área total se obtiene multiplicando los dos polinomios que representan esas dimensiones.
En este artículo podrás repasar qué es la multiplicación de polinomios, aprender sus distintos casos paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se multiplican dos polinomios término por término?
La multiplicación de polinomios se apoya en la propiedad distributiva y en las reglas de los exponentes. Existen tres casos, según el tipo de expresiones que se multipliquen.
Constante por polinomio: se multiplica la constante por cada uno de los coeficientes del polinomio.
Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de la variable en cada caso.
Polinomio por polinomio: se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo, y luego se suman los términos semejantes del resultado.
En todos los casos, el grado del polinomio resultante es igual a la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
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Ejemplo # 1. Constante por polinomio
Multiplica:
$$5\cdot(2x^3-4x+1)$$
Solución:
$$5\cdot(2x^3-4x+1) = 10x^3-20x+5$$
Ejemplo # 2. Monomio por polinomio
Operar:
$$3x^2\cdot(2x^3-4x+1)$$
Solución:
$$3x^2\cdot(2x^3-4x+1) = 6x^5-12x^3+3x^2$$
Ejemplo # 3. Polinomio por polinomio
Multiplica los siguientes polinomios:
Solución: Se multiplica cada término de P(x) por todos los de Q(x).
Se agrupan los términos semejantes:
Términos clave
Multiplicación de polinomios: operación que combina dos o más polinomios multiplicando todos sus términos entre sí y sumando los resultados semejantes.
Propiedad distributiva: propiedad que permite multiplicar un término por una suma, distribuyendo la multiplicación entre cada sumando.
Ejercicios resueltos
1. Multiplica 6 por el polinomio (3x² − 5x + 2).
$$6\cdot(3x^2-5x+2) = 18x^2-30x+12$$
2. Multiplicar −4x por (2x³ + 3x² − x + 5).
3. Multiplique P(x) = x² + 4 y Q(x) = x² − 4.
$$P(x)\cdot Q(x) = x^4-16$$
4. Multiplica R(x) = x + 3 y S(x) = x − 3.
$$R(x)\cdot S(x) = x^2-9$$
5. Multiplica los polinomios T(x) = 2x² − x + 3 y U(x) = x² + 2x − 1.
$$T(x)\cdot U(x) = 2x^4+3x^3-x^2+7x-3$$
6. Un terreno rectangular tiene un largo de (x + 7) metros y un ancho de (x + 3) metros. Encuentra el polinomio que representa su área.
$$\text{Área} = (x+7)(x+3) = x^2+10x+21$$
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Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es la multiplicación de polinomios?
2. ¿Cómo se multiplica una constante por un polinomio?
3. ¿Cómo se multiplica un monomio por un polinomio?
4. ¿Cómo se multiplican dos polinomios completos entre sí?
5. ¿Qué grado tiene el polinomio resultante de una multiplicación?
6. ¿Qué es la propiedad distributiva y cómo se aplica aquí?
7. ¿Cómo se simplifica el resultado después de multiplicar dos polinomios?
8. ¿Qué es un producto notable y cómo se relaciona con la multiplicación de polinomios?
9. ¿La multiplicación de polinomios es conmutativa?
10. ¿En qué situaciones reales se aplica la multiplicación de polinomios?
Conclusión
La multiplicación de polinomios se reduce a aplicar la propiedad distributiva con cuidado y a sumar correctamente los exponentes de la variable en cada término. Ya sea multiplicando una constante, un monomio o un polinomio completo, el procedimiento es siempre el mismo en esencia.
Esta operación es clave para calcular áreas, volúmenes y modelos donde dos cantidades variables se combinan de forma multiplicativa.
Actividades
1. Multiplica el monomio por el siguiente polinomio.
$$ 5(4x^2-3x+6) $$Rta.:
$$ 20x^2-15x+30 $$2. Multiplica el siguiente monomio por el polinomio.
$$ -3x(5x^3-2x^2+4x-7) $$Rta.:
$$ -15x^4+6x^3-12x^2+21x $$3. Calcula el producto de los siguientes polinomios.
$$ P(x)=x^2+5\qquad Q(x)=x^2-5 $$Rta.:
$$ P(x)\cdot Q(x)=x^4-25 $$4. Opera los siguientes polinomios.
$$ A(x)=x+6\qquad B(x)=x-6 $$Rta.:
$$ A(x)\cdot B(x)=x^2-36 $$5. Desarrolla el siguiente producto de polinomios.
Rta.:
6. Un jardín rectangular tiene un largo de (x+8) metros y un ancho de (x+5) metros. Determina el polinomio que representa su área.
$$ A(x)=(x+8)(x+5) $$Rta.:
$$ A(x)=x^2+13x+40 $$7. Multiplica el siguiente monomio por el polinomio.
$$ 7x^2(x^3-2x+5) $$Rta.:
$$ 7x^5-14x^3+35x^2 $$8. Halla el producto de los siguientes binomios.
$$ R(x)=2x+5\qquad S(x)=3x-4 $$Rta.:
$$ R(x)\cdot S(x)=6x^2+7x-20 $$9. Multiplica los siguientes polinomios.
$$ F(x)=x^2+3x+2\qquad G(x)=x+4 $$Rta.:
$$ F(x)\cdot G(x)=x^3+7x^2+14x+8 $$10. Una empresa fabrica cajas cuya longitud es (x+4) cm, el ancho es (x+2) cm y la altura es x cm. Determina el polinomio que representa el volumen de la caja.
$$ V(x)=x(x+4)(x+2) $$Rta.:
$$ V(x)=x^3+6x^2+8x $$Descubre más desde LaProfematematiK "Dios es Bueno"
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