La resta de polinomios permite calcular la diferencia entre dos expresiones algebraicas, algo tan común como averiguar la ganancia de un negocio restando los costos a los ingresos, cuando ambos se representan como polinomios en función de las unidades vendidas.
En este artículo podrás repasar qué es la resta de polinomios, aprender el método paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se restan dos polinomios sin equivocarse con los signos?
Restar un polinomio de otro consiste en sumarle al primero (el minuendo) el opuesto del segundo (el sustraendo). El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus coeficientes.
El procedimiento tiene tres pasos: primero, se cambia el signo de cada término del sustraendo; segundo, se agrupan los términos semejantes entre el minuendo y el sustraendo ya cambiado de signo; tercero, se suman los coeficientes de cada grupo, igual que en una suma de polinomios.
Es fundamental cambiar el signo de todos los términos del sustraendo, no solo del primero: este es el error más frecuente al restar polinomios.
Términos claves
Resta de polinomios: operación que consiste en sumar al minuendo el opuesto del polinomio sustraendo.
Polinomio opuesto: polinomio que se obtiene al cambiar el signo de todos los coeficientes de otro polinomio.
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Ejemplos explicados paso a paso
A continuación encontrarás tres ejemplos de resta de polinomios resueltos y explicados paso a paso. Cada procedimiento muestra cómo cambiar correctamente los signos del segundo polinomio, agrupar los términos semejantes y obtener el resultado final de forma clara y sencilla.
Ejemplo # 1
Resta los siguientes polinomios:
$$P(x) = 5x^3+4x-2 \qquad Q(x) = 2x^3-3x^2+6$$
Solución: Se cambia el signo de cada término de Q(x) y se suma con P(x).
$$P(x)-Q(x) = 5x^3+4x-2-2x^3+3x^2-6$$
$$P(x)-Q(x) = 3x^3+3x^2+4x-8$$
Ejemplo # 2
Resta los siguientes polinomios, en los que varios términos se cancelan:
$$P(x) = 6x^4-5x^2+3x-1 \qquad Q(x) = 6x^4+2x^2+3x-7$$
Solución:
$$P(x)-Q(x) = (6-6)x^4+(-5-2)x^2+(3-3)x+(-1+7)$$
$$P(x)-Q(x) = -7x^2+6$$
Ejemplo # 3
La resta de polinomios no es conmutativa: restar en el orden opuesto da el resultado con el signo cambiado. Usando los mismos polinomios del Ejemplo A:
$$Q(x)-P(x) = 2x^3-3x^2+6-5x^3-4x+2$$
$$Q(x)-P(x) = -3x^3-3x^2-4x+8$$
Como puede verse, el resultado es exactamente el opuesto del obtenido en P(x) − Q(x).
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Ejercicios resueltos
Resta los siguientes polinomios:
1. P(x) = 7x³ − 2x + 9 y Q(x) = 4x³ + 5x² − 3.
$$P(x)-Q(x) = 3x^3-5x^2-2x+12$$
2. R(x) = 3x⁴ + 6x² − x y S(x) = 3x⁴ − 2x² + 4x − 5..
$$R(x)-S(x) = 3x^3-5x^2-2x+12$$
3. T(x) = 8x² + 5 y U(x) = 3x³ − 4x² + 2x.
$$T(x)-U(x) = -3x^3+12x^2-2x+5$$
4. Con los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula U(x) − T(x).
$$U(x)-T(x) = 3x^3-12x^2+2x-5$$
5. Resta los polinomios V(x) = (3/4)x² + 2 y W(x) = (1/4)x² − 6.
$$V(x)-W(x) = \tfrac{1}{2}x^2+8$$
6. El ingreso de una empresa por vender x unidades es I(x) = 5x² + 40x, y su costo de producción es C(x) = 2x² + 15x + 100. Encuentra el polinomio que representa la ganancia, es decir, I(x) − C(x).
$$\text{Ganancia} = (5x^2+40x)-(2x^2+15x+100) = 3x^2+25x-100$$
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es la resta de polinomios?
Es la operación que consiste en sumarle al minuendo el opuesto del polinomio sustraendo, es decir, el mismo polinomio con todos sus signos cambiados.
2. ¿Cómo se calcula el opuesto de un polinomio?
Se cambia el signo de cada uno de sus coeficientes, sin alterar la parte variable de los términos.
3. ¿Por qué es importante cambiar el signo de todos los términos del sustraendo?
Porque si solo se cambia el signo del primer término, el resultado de la resta será incorrecto; el cambio de signo debe aplicarse a cada término, sin excepción.
4. ¿Es la resta de polinomios conmutativa?
No. Restar P(x) − Q(x) da un resultado que es exactamente el opuesto de restar Q(x) − P(x).
5. ¿Qué ocurre cuando se restan dos polinomios con términos exactamente iguales?
Esos términos se cancelan entre sí, dando como resultado un coeficiente cero en ese grado, lo que puede reducir el grado del polinomio resultante.
6. ¿Cómo se restan polinomios con coeficientes fraccionarios?
Se cambia el signo de las fracciones del sustraendo y luego se suman con las del minuendo, usando las reglas normales de suma de fracciones.
7. ¿El grado del polinomio resultante puede cambiar al restar?
Sí, si los términos de mayor grado de ambos polinomios son iguales, se cancelan y el grado del resultado disminuye.
8. ¿Cómo se relaciona la resta de polinomios con la suma?
La resta se define en términos de la suma: restar un polinomio equivale a sumar su opuesto.
9. ¿Se puede restar un polinomio de mayor grado a uno de menor grado?
Sí, sin ningún problema; el resultado tendrá, en general, el grado del polinomio de mayor grado involucrado.
10. ¿En qué situaciones reales se usa la resta de polinomios?
Se usa, por ejemplo, para calcular la ganancia de un negocio restando costos a ingresos, o para hallar la diferencia entre dos cantidades que dependen de una misma variable.
Conclusión
Restar polinomios se apoya en una sola idea clave: cambiar el signo de todos los términos del sustraendo antes de sumar. Con esa precaución, el resto del proceso es idéntico al de una suma de polinomios.
Esta operación es especialmente útil para calcular diferencias entre cantidades variables, como la ganancia de un negocio o la variación entre dos mediciones que dependen de una misma variable.
Actividades
1. Calcula la diferencia entre los siguientes polinomios.
$$ A(x)=9x^3-4x+7\qquad B(x)=5x^3+2x^2-8 $$Rta.:
$$ A(x)-B(x)=4x^3-2x^2-4x+15 $$2. Determina el resultado de restar los siguientes polinomios.
$$ M(x)=6x^4+3x^2-5x\qquad N(x)=2x^4-7x^2+x+9 $$Rta.:
$$ M(x)-N(x)=4x^4+10x^2-6x-9. $$3. Efectúa la siguiente resta de polinomios.
$$ F(x)=7x^2-9\qquad G(x)=2x^3-5x^2+4x $$Rta.:
$$ F(x)-G(x)=-2x^3+12x^2-4x-9 $$4. Utilizando los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula la diferencia en el orden indicado.
$$ G(x)-F(x) $$Rta.:
$$ G(x)-F(x)=2x^3-12x^2+4x+9 $$5. Resta los siguientes polinomios con coeficientes fraccionarios.
$$ P(x)=\frac{5}{6}x^2+3\qquad Q(x)=\frac{1}{3}x^2-5 $$Rta.:
$$ P(x)-Q(x)=\frac{1}{2}x^2+8 $$6. El ingreso mensual de una tienda está representado por el polinomio I(x), mientras que el costo de operación está dado por C(x). Determina la utilidad calculando I(x) – C(x).
$$ I(x)=8x^2+25x\qquad C(x)=3x^2+10x+80 $$Rta.:
$$ I(x)-C(x)=5x^2+15x-80 $$7. Encuentra la diferencia entre los siguientes polinomios.
$$ H(x)=10x^5-4x^3+6x-2\qquad J(x)=3x^5+x^3-8x+5 $$Rta.:
$$ H(x)-J(x)=7x^5-5x^3+14x-7 $$8. Realiza la resta de los siguientes polinomios.
$$ R(x)=12x^3-7x^2+4\qquad S(x)=5x^3+2x^2-6x-1 $$Rta.:
$$ R(x)-S(x)=7x^3-9x^2+6x+5 $$9. Calcula la diferencia entre los siguientes polinomios.
$$ L(x)=4x^4-3x^2+8x+1\qquad K(x)=x^4+5x^2-2x-6 $$Rta.:
$$ L(x)-K(x)=3x^4-8x^2+10x+7 $$10. El valor de la producción de una fábrica está representado por el polinomio P(x) y los gastos de fabricación por G(x). Determina el polinomio que representa la diferencia P(x) – G(x).
$$ P(x)=9x^3+30x+50\qquad G(x)=4x^3+12x+20 $$Rta.:
$$ P(x)-G(x)=5x^3+18x+30 $$Descubre más desde LaProfematematiK "Dios es Bueno"
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