La circunferencia: Conceptos, ecuaciones y aplicaciones

¿Te has preguntado alguna vez cómo la circunferencia está presente en el diseño de pistas circulares que crean los ingenieros o en los logos perfectamente redondeados que elaboran los diseñadores gráficos?
Detrás de todas esas formas se encuentra la circunferencia, una figura fundamental en la geometría analítica que conecta el arte visual con el razonamiento matemático.
En este post aprenderás qué es la circunferencia, cómo se obtiene su ecuación y cómo aplicarla en contextos reales, de manera clara, práctica y paso a paso. 🧮

¿Qué es una circunferencia?

En geometría analítica, la circunferencia es definida como el conjunto de todos los puntos de un plano situado a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro. Esa distancia constante recibe el nombre de radio, y determina el tamaño de la circunferencia.

En otras palabras, si todos los puntos están exactamente a la misma distancia del centro, forman una figura perfectamente redonda: la circunferencia.

Donde:

C (h, k): Centro.

h y k : Coordenadas del centro.

P (x, y): Es el punto por donde pasa la circunferencia.

r : Radio.

Su ecuación más utilizada es llamada ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Cuando el centro de la circunferencia está ubicado en el origen del plano cartesiano, su ecuación es: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Ecuación ordinaria y ecuación general de la circunferencia

Al expandir la ecuación ordinaria, se obtiene la ecuación general de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Cómo hallar el centro y el radio de una circunferencia en la ecuación general

A partir de la ecuación general$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$ Puedes obtener el centro y el radio, donde:

Entonces, para calcular el centro (C) y el radio (r) debes aplicar:

Aplicaciones de la circunferencia en la vida cotidiana

Las circunferencias no son solo figuras en la pizarra o en el cuaderno. En la vida cotidiana, aparecen en contextos que quizás no habías notado:

• Ingeniería civil: diseño de rotondas, túneles y estructuras circulares.
• Deportes: trazados en el campo de fútbol, análisis de trayectorias de pelotas o ruedas en movimiento.
• Astronomía: modelos de órbitas planetarias casi circulares.
• Diseño gráfico: construcción de logotipos y figuras simétricas.

Comprender esta figura plana te permite apreciar cómo las matemáticas está involucrada en muchas situaciones.

Ejercicios de la circunferencia resueltos paso a paso

Solución:

Fórmula ordinaria: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Al reemplazar:

$$x^{2}+y^{2}=4^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=16$$

$$x^{2}+y^{2}-16=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Al sustituir:

$$x^{2}+y^{2}=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=\frac{3}{4}$$

Se transforma la expresión en forma lineal

$$4x^{2}+4y^{2}=3$$

Ecuación:

$$4x^{2}+4y^{2}-3=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y+3 \right )^{2}=2^{2}$$

Desarrollo:

$$x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9=4$$

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$$

Ecuación de la circunferencia

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Al sustituir los valores queda así:

$$\left (x+\frac{1}{2}  \right )^{2}+\left ( y+\frac{5}{6} \right )^{2}=\left ( \frac{5}{6} \right )^{2}$$

Se aplica productos notables, potenciación y se iguala a cero:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}+\frac{5y}{3}+\frac{25}{36}=\frac{25}{36}$$

$$x^{2}+y^{2}+x+\frac{5y}{3}+\frac{1}{4}=0$$

Se saca mínimo común múltiplo (m.c.m.) a los denominadores:

m.c.m.=12

$$\frac{12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3}{12}=0$$

Despeje:

$$12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3=0$$

Dividir entre 3:

$$4x^{2}+4y^{2}+4x+5y+1=0$$

Ecuación:

$$4x^{2}+4y^{2}+4x+5y+1=0$$

Solución:

Calculo del radio aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$$d=r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Sustitución de las coordenadas del punto y centro:

$$d=r=\sqrt{(2-0)^{2}+(-3-0)^{2}}=\sqrt{13}$$

Cálculo de la ecuación:

$$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=\left ( \sqrt{13} \right )^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=13$$

$$x^{2}+y^{2}-13=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-13=0$$

Solución:

Punto medio del diámetro es igual al punto centro de la circunferencia:

$$C=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$

Reemplazar las coordenadas de ambos puntos:

$$C=\left ( \frac{-4+6}{2},\frac{7-1}{2} \right )$$

Centro de la circunferencia:

$$C\left ( 1,3 \right )$$

Cálculo del radio:

B(6,-1); C(1,3)

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=(\sqrt{41})^{2}$$

$$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41$$

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y-31=0$$

Gráfica:

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y-31=0$$

Solución:

Punto medio del diámetro es igual al punto centro de la circunferencia:

$$C=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$

$$C=\left ( \frac{-3+7}{2},\frac{5-3}{2} \right )$$

$$C\left ( 2,1 \right )$$

Cálculo del radio:

A(−3,5); C(2,1)

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-2  \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=(\sqrt{41})^{2}$$

$$\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=41$$

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-36=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-36=0$$

Solución:

Se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$$d=r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y+3 \right )^{2}=\left ( 3\sqrt{5} \right )^{2}$$

$$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=45$$

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y-35=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y-35=0$$

Solución:

Se grafica el centro C(-1,-5)

Como es tangente al eje “y” su radio es:$$r=1$$

Como se tiene el radio y centro, se aplica la ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x+1  \right )^{2}+\left ( y+5 \right )^{2}=1$$

$$x^{2}+y^{2}+2x+10y+25=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+2x+10y+25=0$$

Gráfica:

Solución:

Se grafican los datos dados:

Cálculo del radio:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (0-5  \right )^{2}+\left ( 0+2 \right )^{2}=r^{2}$$

$$25+4=r^{2}$$

$$r=\sqrt{29}$$

Cálculo de la ecuación:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=29$$

$$x^{2}+y^{2}-10x+4y=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-10x+4y=0$$

Solución:

Radio:

$$r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Cálculo de la ecuación aplicando la ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x+4  \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=16$$

$$x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0$$

Solución:

Graficar los puntos dados:

Conclusión: Como es tangente a una recta y se tiene el centro A(0,-2), se calcula el radio que va desde el centro hasta el punto tangente a la recta, es decir se aplica la fórmula de la distancia entre un punto a una recta.

Cálculo del radio, aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

$$d=r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

$$r=\frac{\left | 5(0)-12(-2)+2\right |}{\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}=\frac{\left | 24+2\right |}{13}=2$$

Cálculo de la ecuación:

$$x^{2}+(y+2)^{2}=4$$

$$x^{2}+y^{2}+4y=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}+4y=0$$

Solución:

Cálculo del radio aplicando la fórmula distancia de un punto a una recta:

$$d=r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Cálculo de la ecuación aplicando la ecuación ordinaria:

$$(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=4$$

$$x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0$$

Solución:

Radio:

$$ r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Ecuación:

$$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=25$$

$$x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$$

 Solución:

Como los tres puntos están en la circunferencia$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$Dicha ecuación se cumple para cada uno de los puntos.

Parte # 1

Sustitución de cada punto en la ecuación general:

D(3,4)

$$3^{2}+4^{2}+D(3)+E(4)+F=0$$
$$9+16+3D+4E+F=0$$
$$3D+4E+F=-25$$

C(11,4)

$$11^{2}+4^{2}+D(11)+E(4)+F=0$$
$$121+16+11D+4E+F=0$$
$$11D+4E+F=-137$$

B(7,-4)

$$7^{2}+(-4)^{2}+D(7)+E(-4)+F=0$$
$$49+16+7D-4E+F=0$$
$$7D-4E+F=-65$$

Parte # 2

Solución:

Para hallar la ecuación de la circunferencia, se requieren el centro (h, k) y el radio $(r)$. Dado que el centro equidista de los puntos de la circunferencia, este se sitúa sobre la mediatriz de cualquier segmento (cuerda) que una dos de esos puntos. La intersección de las mediatrices de dos cuerdas distintas define el centro de la circunferencia.

Se grafica y se unen los puntos A y B, B y C para comprender mejor la situación.

Calculo de la ecuación de la mediatriz  del segmento AB

Determinar el punto medio:

A(2,5); B(6,3)

$$M=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$
$$M=\left ( \frac{6+2}{2},\frac{3+5}{2} \right )=(4,4)$$
$$M(4,4)$$

Cálculo de la pendiente de la recta de la mediatriz:

Pendiente del segmento AB:

A(2,5); B(6,3)

$$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m_{1}=\frac{3-5}{6-2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$

$$m_{1}=-\frac{1}{2}$$

Pendiente de la mediatriz:

$$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$$

$$m_{2}=2$$

Ecuación punto-pendiente

$$M(4,4);m=2$$

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

$$y-4=2(x-4)$$

$$y=2x-8+4$$

Resultado:

$$y=2x-4$$

Calculo de la ecuación de la mediatriz  del segmento BC

Punto medio:

B(6,3); C(2,-5)

$$P=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$
$$P=\left ( \frac{2+6}{2},\frac{-5+3}{2} \right )=(4,-1)$$
$$P(4,-1)$$

Pendiente de la mediatriz

Pendiente del segmento BC:

B(6,3); C(2,-5)

$$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m_{1}=\frac{-5-3}{2-6}=\frac{-8}{-4}=2$$

$$m_{1}=2$$

Pendiente de la mediatriz:

$$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{2}$$

$$m_{2}=-\frac{1}{2}$$

Ecuación punto-pendiente

$$P(4,-1);m=-\frac{1}{2}$$

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

$$y+1=-\frac{1}{2}(x-4)$$

$$y=-\frac{1}{2}x+2-1$$

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Resultado:

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Puntos medios graficados:

Establecer un sistema de ecuaciones para determinar el punto (centro de la circunferencia) donde se intersecan ambas mediatrices

Se aplica el método de reducción:

$$
\begin{array}{rl}
\!\!\!\!\!\!\!^{-1}\! &
\left\{
\begin{array}{l}
y = 2x – 4 \\
y = -\tfrac{1}{2}x + 1
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{rcl}
-y &=& -2x + 4 \\[4pt]
\,y &=& -\tfrac{1}{2}x + 1 \\[4pt]
\hline
0 &=& -\tfrac{5}{2}x + 5
\end{array}
$$

$$\frac{5}{2}x=5$$

$$x=\frac{10}{5}$$

$$x=2$$

Reemplazar $$x=2$$En la primera ecuación y así obtener el valor de “y”

$$y=2(2)-4$$

$$y=0$$

Centro de la circunferencia$$I(2,0)$$

Cálculo del radio

$$I(2,0);C(2,-5)$$

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

$$r=\sqrt{(2-2)^{2}+(-5-0)^{2}}=\sqrt{25}=5$$

Ecuación de la circunferencia

$$r^{2}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

$$5^{2}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$

$$25=x^{2}-4x+4+y^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}-4x+4-25=0$$

$$x^{2}+y^{2}-4x-21=0$$

Resultado:

$$x^{2}+y^{2}-4x-21=0$$

Gráfica:

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