¿Qué son los monomios y por qué aparecen siempre que calculas un área, un volumen o un precio?
Imagina que vas a poner baldosas cuadradas en un suelo y todavía no has medido el lado. Lo llamas x. Cada baldosa cubre un área x · x, es decir, x², y con tres filas de dos baldosas tendrías 6x². Acabas de escribir un monomio sin darte cuenta.
Los monomios son los «ladrillos» del álgebra: con ellos se construyen los polinomios, las ecuaciones y las funciones que verás en toda la ESO y el Bachillerato. Entenderlos bien ahora te ahorrará muchos errores después.
Conocimientos previos
- Operaciones con números enteros y regla de los signos.
- Concepto de potencia (base y exponente), por ejemplo 2³ = 8.
- Idea de variable: una letra que representa un número.
- Propiedades básicas de las potencias de igual base (las repasaremos).
Objetivo de aprendizaje
Al terminar podrás:
- Reconocer un monomio e identificar su coeficiente y su parte literal.
- Calcular el grado de un monomio y decidir si dos monomios son semejantes.
- Sumar, restar, multiplicar, dividir y elevar monomios sin cometer los errores más típicos.
- Aplicar los monomios a áreas, volúmenes y valores numéricos.
¿Qué es un monomio? Definición y ejemplos
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término: un número multiplicado por una o varias letras, y esas letras tienen exponentes que son números naturales (0, 1, 2, 3…).
En forma general, un monomio con una variable se escribe así:
Aquí a es un número cualquiera (el coeficiente), x es la variable y n es un número natural (el exponente).
Partes de un monomio: coeficiente y parte literal
- Coeficiente: el número que multiplica a las letras. Si no se escribe, vale 1 (o −1 si hay un signo menos).
- Parte literal: las letras junto con sus exponentes.
- Variables: las letras distintas que aparecen.
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Variables |
| 5x³ | 5 | x³ | x |
| −2ab | −2 | ab | a, b |
| x | 1 | x | x |
| −y² | −1 | y² | y |
| 0,5m²n | 0,5 | m²n | m, n |
| 7 | 7 | (no tiene) | ninguna |
¿Qué NO es un monomio?
Para que una expresión sea un monomio, las letras solo pueden estar multiplicadas y con exponentes enteros no negativos. Estos casos no lo son:
| Expresión | ¿Monomio? | Motivo |
| 3/x | No | La letra está en el denominador: equivale a 3x⁻¹ (exponente negativo). |
| √x | No | Equivale a x elevado a ½ (exponente no entero). |
| 2x + 1 | No | Es una suma de dos términos (un binomio). |
| √7 · x | Sí | √7 es solo un número: es el coeficiente. |
| x²y³ | Sí | Producto de letras con exponentes naturales. |
Piensa un momento: ¿es 4x⁻² un monomio? (Pista: mira el signo del exponente).
Grado de un monomio
El grado de un monomio (grado absoluto) es la suma de los exponentes de su parte literal. Recuerda que una letra sin exponente escrito tiene exponente 1.
Ejemplo: el monomio 4x²y³ tiene grado 2 + 3 = 5.
Casos especiales del grado
- Una constante distinta de cero (como 9 o −4) tiene grado 0.
- El monomio 0 no tiene grado definido.
- El grado respecto a una variable solo mira el exponente de esa letra: en 4x²y³ el grado en x es 2 y en y es 3.
Interpretación: el grado indica «cuántas dimensiones» tiene la cantidad. Una longitud es de grado 1 (x), un área de grado 2 (x²) y un volumen de grado 3 (x³).
Monomios semejantes: cuándo se pueden agrupar
Dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal (mismas letras y mismos exponentes). Solo pueden diferir en el coeficiente.
Fíjate en que el orden de las letras no importa: yx² y x²y son la misma parte literal.
Operaciones básicas con monomios
Suma y resta de monomios
Solo puedes sumar o restar monomios semejantes. Se suman los coeficientes y la parte literal se mantiene igual:
Ejemplo con monomios semejantes:
Si no son semejantes, la suma se queda indicada: 3x² + 5x no se puede simplificar a un solo monomio.
Idea clave
Sumar monomios es como sumar objetos del mismo tipo: 3 manzanas + 5 manzanas = 8 manzanas, pero 3 manzanas + 5 peras no son «8 manzanaperas».
Multiplicación de monomios
Para multiplicar, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:
Ejemplo con varias letras:
División de monomios
Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales (el del numerador menos el del denominador):
Ojo: el cociente es un monomio solo si el exponente de cada letra del numerador es mayor o igual que el del denominador. Si no, aparece un exponente negativo y deja de ser un monomio.
Potencia de un monomio
Al elevar un monomio a un exponente, se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes de las letras:
Recuerda la regla de signos: un número negativo elevado a un exponente par da positivo; a un exponente impar, negativo.
Resumen de las propiedades de las potencias que necesitas
| Operación | Regla | Ejemplo |
| Producto de igual base | se suman los exponentes | x² · x³ = x⁵ |
| Cociente de igual base | se restan los exponentes | x⁶ ÷ x² = x⁴ |
| Potencia de una potencia | se multiplican los exponentes | (x²)³ = x⁶ |
| Exponente 1 y exponente 0 | x¹ = x y x⁰ = 1 (x ≠ 0) | 5x⁰ = 5 |
Valor numérico de un monomio
El valor numérico se obtiene sustituyendo las letras por números y calculando. Presta atención a los paréntesis cuando el número es negativo.
Aplicaciones reales de los monomios
- Geometría: el área de un cuadrado de lado a es a²; el volumen de un cubo es a³; el área de un círculo es πr² (monomio con coeficiente π).
- Física: la distancia con velocidad constante es d = vt (monomio de grado 2 en v y t) y la energía cinética es ½mv².
- Economía cotidiana: si cada entrada cuesta 2,5 €, pagar por n entradas es 2,5n, un monomio de grado 1.
- Informática y diseño: al escalar una imagen por un factor k, su área se multiplica por k², otro monomio.
Errores comunes con los monomios
| Error típico | Por qué está mal | Lo correcto |
| 3x² + 2x² = 5x⁴ | En la suma los exponentes no se tocan | 3x² + 2x² = 5x² |
| x · x = 2x | Multiplicar no es sumar: se suman los exponentes | x · x = x² |
| (2x)² = 2x² | El 2 también se eleva al cuadrado | (2x)² = 4x² |
| −x² = (−x)² | −x² es −(x·x); (−x)² es (−x)(−x) | −x² = −1·x² y (−x)² = x² |
| 3x + 2y = 5xy | No son semejantes: no se pueden agrupar | 3x + 2y se deja igual |
| x⁶ ÷ x² = x³ | Se restan exponentes, no se dividen | x⁶ ÷ x² = x⁴ |
| El grado de 5x²y es 2 | Falta el exponente 1 de y | El grado es 2 + 1 = 3 |
Resumen: lo esencial sobre los monomios
Monomio: producto de un número (coeficiente) por letras con exponentes naturales (parte literal).
Grado: suma de los exponentes de la parte literal.
Semejantes: misma parte literal; solo ellos se suman o restan (se suman los coeficientes).
Producto: se multiplican coeficientes y se suman exponentes.
Cociente: se dividen coeficientes y se restan exponentes.Potencia: se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes.
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¿Qué error de la tabla te ha pasado alguna vez? ¿Con qué operación con monomios te atascas más?
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Nivel 1 · Básico: reconocer monomios
Problema 1. Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado de −7x³y².
Paso 1. Escribe el monomio y localiza el número que multiplica a las letras.
Paso 2. El coeficiente es −7 y la parte literal es x³y².
Paso 3. El grado es la suma de los exponentes.
Respuesta: coeficiente −7, parte literal x³y², grado 5.
Problema 2. Indica cuáles son monomios: (a) 6x²y; (b) 5/x; (c) 2x + 3; (d) √7·x; (e) x elevada a ½.
Paso 1. Revisa que solo haya productos y exponentes naturales. En (a) se cumple.
Paso 2. En (b) la letra está en el denominador, lo que equivale a un exponente negativo.
Paso 3. (c) es una suma de dos términos; (d) es válido porque √7 es solo un número; en (e) el exponente es fraccionario.
Respuesta: son monomios (a) y (d). No lo son (b), (c) y (e).
Nivel 2 · Intermedio: suma, resta y producto
Problema 3. Simplifica 7x²y − 3x²y + 2x²y.
Paso 1. Comprueba que son semejantes: todos tienen la parte literal x²y.
Paso 2. Suma y resta los coeficientes y conserva la parte literal.
Paso 3. Calcula el paréntesis.
Respuesta: 6x²y.
Problema 4. Calcula (−3a²b) · (5ab³) · (−2a).
Paso 1. Multiplica los coeficientes y aplica la regla de signos (dos negativos dan positivo).
Paso 2. Suma los exponentes de la letra a (recuerda que a tiene exponente 1 en los otros factores).
Paso 3. Suma los exponentes de la letra b.
Paso 4. Junta los resultados.
Respuesta: 30a⁴b⁴ (grado 8).
Nivel 3 · Intermedio-alto: cociente y potencia
Problema 5. Divide (−18x⁵y³z) ÷ (6x²y).
Paso 1. Divide los coeficientes.
Paso 2. Resta los exponentes de x.
Paso 3. Resta los exponentes de y (en el denominador y vale y¹).
Paso 4. La letra z solo está en el numerador, así que se queda igual.
Respuesta: −3x³y²z.
Problema 6. Calcula (−2x²y³)⁴ y di cuál es su grado.
Paso 1. Eleva el coeficiente (exponente par, resultado positivo).
Paso 2. Multiplica el exponente de cada letra por 4.
Paso 3. Reúne el resultado y suma los exponentes para el grado.
Respuesta: 16x⁸y¹², de grado 20.
Nivel 4 · Avanzado: contexto y operaciones combinadas
Problema 7. Una caja con forma de prisma tiene aristas de 2x cm, 3x cm y 5x cm. Halla su volumen en función de x y su valor para x = 2.
Paso 1. El volumen es el producto de las tres aristas.
Paso 2. Multiplica coeficientes y suma exponentes.
Paso 3. Sustituye x = 2 (cuidado: el 2 se eleva al cubo).
Paso 4. Añade la unidad de volumen.
Respuesta: V = 30x³ cm³; para x = 2, V = 240 cm³.
Problema 8. Simplifica (6x³y²) · (−2xy)² ÷ (4x²y).
Paso 1. Resuelve primero la potencia: se eleva el −2 y se duplican los exponentes.
Paso 2. Multiplica por 6x³y².
Paso 3. Divide entre 4x²y.
Paso 4. Resultado final y grado.
Respuesta: 6x³y³, de grado 6.
Reto Monomios: ¿puedes aprobar el mini-quiz?
Con todo lo aprendido, ha llegado el momento de poner a prueba tus conocimientos. Responde este mini quiz de 10 preguntas y descubre al instante si dominas el tema o si necesitas repasar un poco más. ¡Acepta el reto y comprueba tu puntaje!
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un monomio?
2. ¿Cuál es el grado absoluto del monomio 5x²y³z?
3. ¿Cuál es el coeficiente del monomio −x²y?
4. Al calcular 3x² + 5x² se obtiene:
5. El resultado de (−4x³)•(2x⁴) es:
6. El resultado de 12x⁶ ÷ (4x²) es:
7. El resultado de (−3x²)³ es:
8. ¿Cuál de estos monomios es semejante a 4x²y?
9. ¿Cuál es el valor numérico de 2x²y cuando x = −3 e y = 2?
10. Un rectángulo tiene lados de 5x² cm y 3x cm. ¿Cuál es su área?
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Preguntas frecuentes (FAQs)
No. Piensa en 3 cajas + 2 cajas = 5 cajas: la «caja» (x²) no cambia, solo cuenta cuántas hay. Por eso 3x² + 2x² = 5x². Los exponentes se suman únicamente al multiplicar (x² · x³ = x⁵). Reto rápido: ¿cuánto es 4x³ + x³? Respuesta: 5x³.
Sí, ambos son monomios: un número solo es un monomio sin parte literal. El 7 tiene grado 0, porque se puede escribir como 7x⁰. El 0 es un monomio especial al que no se le asigna grado. ¿Verdadero o falso: «un monomio siempre tiene letras»? Falso.
No son lo mismo. En (−x)² el signo está dentro del paréntesis, así que se eleva al cuadrado: (−x)(−x) = x². En −x² solo se eleva la x y el signo menos se queda fuera: −(x · x) = −x². Pruébalo con x = 3: (−3)² = 9, pero −3² = −9.
Tener letras no basta: los exponentes deben ser números naturales. 5/x equivale a 5x⁻¹ (exponente negativo) y √x equivale a x elevada a ½ (exponente fraccionario). Ninguna de las dos es monomio. En cambio, x/5 sí lo es, porque equivale a (1/5)x, con coeficiente 1/5. ¿Te fijas en la diferencia: la letra abajo o el número abajo?
Actividades
Diez ejercicios progresivos para practicar todo el contenido. Las respuestas completas están al final, en un apartado separado. ¡Intenta resolverlos antes de mirar!
1. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio: (a) 9x⁴; (b) −y; (c) 6a²b³; (d) 15.
2. Señala cuáles son monomios y justifica: 7x³; 4/y; 2x + 5; −√3·ab; x⁻²; 0,5m²n.
3. Agrupa los monomios semejantes: 3x²y, −5xy², 2yx², 7x²y², 4xy², −x²y.
4. Simplifica: (a) 8a³ − 3a³ + 5a³; (b) 4xy − 7xy + 2xy. (c) Ana escribió 3x² + 2x² = 5x⁴. Explica el error y corrígelo.
5. Calcula: (a) (−2x³y)·(6xy²); (b) (5a)·(−a²)·(2a).
6. Calcula: (a) 28x⁷y⁴ ÷ (−7x³y); (b) 15a⁵b² ÷ (5a⁵b).
7. Calcula: (a) (−3a²b)³; (b) (½·x⁴)².
8. Halla el valor numérico de −2x²y³ para x = −3 e y = −1.
9. Un cubo tiene arista 3a. Halla su volumen y el área total de sus seis caras en función de a, y calcula ambos para a = 2.
10. Simplifica (−2x²y)³ · (3xy²) ÷ (−4x⁵y³) e indica el grado del resultado.
Respuestas
Ver soluciones
Ejercicio 1.
- (a) coeficiente 9, parte literal x⁴, grado 4.
- (b) coeficiente −1, parte literal y, grado 1.
- (c) coeficiente 6, parte literal a²b³, grado 2 + 3 = 5.
- (d) coeficiente 15, sin parte literal, grado 0.
Ejercicio 2.
Son monomios: 7x³, −√3·ab (el coeficiente −√3 es un número) y 0,5m²n. No son monomios: 4/y (letra en el denominador), 2x + 5 (suma de términos) y x⁻² (exponente negativo).
Ejercicio 3.
- Parte literal x²y: 3x²y, 2yx² y −x²y. Suma: 3 + 2 − 1 = 4, es decir, 4x²y.
- Parte literal xy²: −5xy² y 4xy². Suma: −5 + 4 = −1, es decir, −xy².
- 7x²y² no es semejante a ninguno de los otros.
Ejercicio 4.
(c) Ana sumó también los exponentes, pero en una suma solo se suman los coeficientes. Lo correcto es 3x² + 2x² = 5x².
Ejercicio 5.
Ejercicio 6.
En (b) los exponentes de a se restan: 5 − 5 = 0, y a⁰ = 1.
Ejercicio 7.
Ejercicio 8.
Ejercicio 9.
(El volumen y el área total coinciden numéricamente para a = 2, aunque tienen unidades distintas: cubos y cuadrados.)
Ejercicio 10.
El resultado es 6x²y², de grado 2 + 2 = 4.
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