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¿Qué son los monomios y por qué aparecen siempre que calculas un área, un volumen o un precio?

Imagina que vas a poner baldosas cuadradas en un suelo y todavía no has medido el lado. Lo llamas x. Cada baldosa cubre un área x · x, es decir, x², y con tres filas de dos baldosas tendrías 6x². Acabas de escribir un monomio sin darte cuenta.

Estudiante colocando baldosas cuadradas en un suelo de lado desconocido x, con una cinta métrica y una libreta donde aparece x² — Cada baldosa cuadrada de lado x cubre un área de x²; con seis baldosas, el área total es el monomio 6x².

Los monomios son los «ladrillos» del álgebra: con ellos se construyen los polinomios, las ecuaciones y las funciones que verás en toda la ESO y el Bachillerato. Entenderlos bien ahora te ahorrará muchos errores después.

Conocimientos previos

Operaciones con números enteros y regla de los signos.
Concepto de potencia (base y exponente), por ejemplo 2³ = 8.
Idea de variable: una letra que representa un número.
Propiedades básicas de las potencias de igual base (las repasaremos).

Objetivo de aprendizaje

Al terminar podrás:

Reconocer un monomio e identificar su coeficiente y su parte literal.
Calcular el grado de un monomio y decidir si dos monomios son semejantes.
Sumar, restar, multiplicar, dividir y elevar monomios sin cometer los errores más típicos.
Aplicar los monomios a áreas, volúmenes y valores numéricos.

¿Qué es un monomio? Definición y ejemplos

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término: un número multiplicado por una o varias letras, y esas letras tienen exponentes que son números naturales (0, 1, 2, 3…).

En forma general, un monomio con una variable se escribe así:

$$a\,x^{n}$$

Aquí a es un número cualquiera (el coeficiente), x es la variable y n es un número natural (el exponente).

Partes de un monomio: coeficiente y parte literal

Coeficiente: el número que multiplica a las letras. Si no se escribe, vale 1 (o −1 si hay un signo menos).
Parte literal: las letras junto con sus exponentes.
Variables: las letras distintas que aparecen.

Diagrama del monomio 7x³y² con flechas que señalan el coeficiente 7, la parte literal x³y² y los exponentes 3 y 2 — Anatomía de un monomio: coeficiente, parte literal y exponentes.

Monomio	Coeficiente	Parte literal	Variables
5x³	5	x³	x
−2ab	−2	ab	a, b
x	1	x	x
−y²	−1	y²	y
0,5m²n	0,5	m²n	m, n
7	7	(no tiene)	ninguna

¿Qué NO es un monomio?

Para que una expresión sea un monomio, las letras solo pueden estar multiplicadas y con exponentes enteros no negativos. Estos casos no lo son:

Expresión	¿Monomio?	Motivo
3/x	No	La letra está en el denominador: equivale a 3x⁻¹ (exponente negativo).
√x	No	Equivale a x elevado a ½ (exponente no entero).
2x + 1	No	Es una suma de dos términos (un binomio).
√7 · x	Sí	√7 es solo un número: es el coeficiente.
x²y³	Sí	Producto de letras con exponentes naturales.

Piensa un momento: ¿es 4x⁻² un monomio? (Pista: mira el signo del exponente).

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Grado de un monomio

El grado de un monomio (grado absoluto) es la suma de los exponentes de su parte literal. Recuerda que una letra sin exponente escrito tiene exponente 1.

$$\text{grado}\left(a\,x^{n}y^{m}\right)=n+m$$

Ejemplo: el monomio 4x²y³ tiene grado 2 + 3 = 5.

Cuatro tarjetas con los monomios 5x², 4x²y³, −xyz⁴ y 9 y su grado: 2, 5, 6 y 0 respectivamente — El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras.

Casos especiales del grado

Una constante distinta de cero (como 9 o −4) tiene grado 0.
El monomio 0 no tiene grado definido.
El grado respecto a una variable solo mira el exponente de esa letra: en 4x²y³ el grado en x es 2 y en y es 3.

Interpretación: el grado indica «cuántas dimensiones» tiene la cantidad. Una longitud es de grado 1 (x), un área de grado 2 (x²) y un volumen de grado 3 (x³).

Monomios semejantes: cuándo se pueden agrupar

Dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal (mismas letras y mismos exponentes). Solo pueden diferir en el coeficiente.

Dos recuadros: a la izquierda monomios semejantes 3x²y, −5x²y y ½yx²; a la derecha no semejantes 3x²y, 3xy² y 3x² — Dos monomios son semejantes cuando comparten la misma parte literal.

Fíjate en que el orden de las letras no importa: yx² y x²y son la misma parte literal.

Operaciones básicas con monomios

Suma y resta de monomios

Solo puedes sumar o restar monomios semejantes. Se suman los coeficientes y la parte literal se mantiene igual:

$$a\,x^{n}+b\,x^{n}=(a+b)\,x^{n}$$

Ejemplo con monomios semejantes:

$$3x^{2}+5x^{2}=8x^{2}$$

Si no son semejantes, la suma se queda indicada: 3x² + 5x no se puede simplificar a un solo monomio.

Idea clave

Sumar monomios es como sumar objetos del mismo tipo: 3 manzanas + 5 manzanas = 8 manzanas, pero 3 manzanas + 5 peras no son «8 manzanaperas».

Multiplicación de monomios

Para multiplicar, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

$$\left(a\,x^{m}\right)\cdot\left(b\,x^{n}\right)=a\,b\,x^{m+n}$$

Ejemplo con varias letras:

$$\left(3x^{2}y\right)\cdot\left(-4xy^{3}\right)=-12\,x^{3}y^{4}$$

Rectángulo de lados 3x y 2x dividido en seis cuadrados de área x² cada uno, que suman un área de 6x² — Multiplicar 3x por 2x da 6x²: seis cuadrados de área x².

División de monomios

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales (el del numerador menos el del denominador):

$$\frac{a\,x^{m}}{b\,x^{n}}=\frac{a}{b}\,x^{m-n}$$

$$\frac{12x^{5}}{3x^{2}}=4x^{3}$$

Ojo: el cociente es un monomio solo si el exponente de cada letra del numerador es mayor o igual que el del denominador. Si no, aparece un exponente negativo y deja de ser un monomio.

Potencia de un monomio

Al elevar un monomio a un exponente, se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes de las letras:

$$\left(a\,x^{m}\right)^{p}=a^{p}\,x^{m\cdot p}$$

$$\left(-2x^{3}\right)^{3}=(-2)^{3}\,x^{9}=-8x^{9}$$

Recuerda la regla de signos: un número negativo elevado a un exponente par da positivo; a un exponente impar, negativo.

Resumen de las propiedades de las potencias que necesitas

Operación	Regla	Ejemplo
Producto de igual base	se suman los exponentes	x² · x³ = x⁵
Cociente de igual base	se restan los exponentes	x⁶ ÷ x² = x⁴
Potencia de una potencia	se multiplican los exponentes	(x²)³ = x⁶
Exponente 1 y exponente 0	x¹ = x y x⁰ = 1 (x ≠ 0)	5x⁰ = 5

Valor numérico de un monomio

El valor numérico se obtiene sustituyendo las letras por números y calculando. Presta atención a los paréntesis cuando el número es negativo.

$$-5x^{3}y^{2}\ \text{con}\ x=-2,\ y=3\ \Rightarrow\ -5\cdot(-2)^{3}\cdot 3^{2}=-5\cdot(-8)\cdot 9=360$$

Aplicaciones reales de los monomios

Geometría: el área de un cuadrado de lado a es a²; el volumen de un cubo es a³; el área de un círculo es πr² (monomio con coeficiente π).
Física: la distancia con velocidad constante es d = vt (monomio de grado 2 en v y t) y la energía cinética es ½mv².
Economía cotidiana: si cada entrada cuesta 2,5 €, pagar por n entradas es 2,5n, un monomio de grado 1.
Informática y diseño: al escalar una imagen por un factor k, su área se multiplica por k², otro monomio.

Errores comunes con los monomios

Error típico	Por qué está mal	Lo correcto
3x² + 2x² = 5x⁴	En la suma los exponentes no se tocan	3x² + 2x² = 5x²
x · x = 2x	Multiplicar no es sumar: se suman los exponentes	x · x = x²
(2x)² = 2x²	El 2 también se eleva al cuadrado	(2x)² = 4x²
−x² = (−x)²	−x² es −(x·x); (−x)² es (−x)(−x)	−x² = −1·x² y (−x)² = x²
3x + 2y = 5xy	No son semejantes: no se pueden agrupar	3x + 2y se deja igual
x⁶ ÷ x² = x³	Se restan exponentes, no se dividen	x⁶ ÷ x² = x⁴
El grado de 5x²y es 2	Falta el exponente 1 de y	El grado es 2 + 1 = 3

Resumen: lo esencial sobre los monomios

Monomio: producto de un número (coeficiente) por letras con exponentes naturales (parte literal).

Grado: suma de los exponentes de la parte literal.

Semejantes: misma parte literal; solo ellos se suman o restan (se suman los coeficientes).

Producto: se multiplican coeficientes y se suman exponentes.

Cociente: se dividen coeficientes y se restan exponentes.Potencia: se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes.

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Ocho problemas resueltos paso a paso

Nivel 1 · Básico: reconocer monomios

Problema 1. Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado de −7x³y².

Paso 1. Escribe el monomio y localiza el número que multiplica a las letras.

$$-7\,x^{3}y^{2}$$

Paso 2. El coeficiente es −7 y la parte literal es x³y².

Paso 3. El grado es la suma de los exponentes.

$$\text{grado}=3+2=5$$

Respuesta: coeficiente −7, parte literal x³y², grado 5.

Problema 2. Indica cuáles son monomios: (a) 6x²y; (b) 5/x; (c) 2x + 3; (d) √7·x; (e) x elevada a ½.

Paso 1. Revisa que solo haya productos y exponentes naturales. En (a) se cumple.

Paso 2. En (b) la letra está en el denominador, lo que equivale a un exponente negativo.

$$\frac{5}{x}=5x^{-1}$$

Paso 3. (c) es una suma de dos términos; (d) es válido porque √7 es solo un número; en (e) el exponente es fraccionario.

$$x^{1/2}=\sqrt{x}$$

Respuesta: son monomios (a) y (d). No lo son (b), (c) y (e).

Nivel 2 · Intermedio: suma, resta y producto

Problema 3. Simplifica 7x²y − 3x²y + 2x²y.

Paso 1. Comprueba que son semejantes: todos tienen la parte literal x²y.

Paso 2. Suma y resta los coeficientes y conserva la parte literal.

$$7x^{2}y-3x^{2}y+2x^{2}y=(7-3+2)\,x^{2}y$$

Paso 3. Calcula el paréntesis.

$$(7-3+2)\,x^{2}y=6x^{2}y$$

Respuesta: 6x²y.

Problema 4. Calcula (−3a²b) · (5ab³) · (−2a).

Paso 1. Multiplica los coeficientes y aplica la regla de signos (dos negativos dan positivo).

$$(-3)\cdot 5\cdot(-2)=30$$

Paso 2. Suma los exponentes de la letra a (recuerda que a tiene exponente 1 en los otros factores).

$$a^{2}\cdot a\cdot a=a^{2+1+1}=a^{4}$$

Paso 3. Suma los exponentes de la letra b.

$$b\cdot b^{3}=b^{1+3}=b^{4}$$

Paso 4. Junta los resultados.

$$30\,a^{4}b^{4}$$

Respuesta: 30a⁴b⁴ (grado 8).

Nivel 3 · Intermedio-alto: cociente y potencia

Problema 5. Divide (−18x⁵y³z) ÷ (6x²y).

Paso 1. Divide los coeficientes.

$$\frac{-18}{6}=-3$$

Paso 2. Resta los exponentes de x.

$$\frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{5-2}=x^{3}$$

Paso 3. Resta los exponentes de y (en el denominador y vale y¹).

$$\frac{y^{3}}{y}=y^{3-1}=y^{2}$$

Paso 4. La letra z solo está en el numerador, así que se queda igual.

$$\frac{-18x^{5}y^{3}z}{6x^{2}y}=-3x^{3}y^{2}z$$

Respuesta: −3x³y²z.

Problema 6. Calcula (−2x²y³)⁴ y di cuál es su grado.

Paso 1. Eleva el coeficiente (exponente par, resultado positivo).

$$(-2)^{4}=16$$

Paso 2. Multiplica el exponente de cada letra por 4.

$$\left(x^{2}\right)^{4}=x^{8}\qquad\left(y^{3}\right)^{4}=y^{12}$$

Paso 3. Reúne el resultado y suma los exponentes para el grado.

$$16\,x^{8}y^{12}\quad\Rightarrow\quad\text{grado}=8+12=20$$

Respuesta: 16x⁸y¹², de grado 20.

Nivel 4 · Avanzado: contexto y operaciones combinadas

Problema 7. Una caja con forma de prisma tiene aristas de 2x cm, 3x cm y 5x cm. Halla su volumen en función de x y su valor para x = 2.

Paso 1. El volumen es el producto de las tres aristas.

$$V=(2x)\cdot(3x)\cdot(5x)$$

Paso 2. Multiplica coeficientes y suma exponentes.

$$V=2\cdot3\cdot5\cdot x^{1+1+1}=30x^{3}$$

Paso 3. Sustituye x = 2 (cuidado: el 2 se eleva al cubo).

$$V=30\cdot 2^{3}=30\cdot 8=240$$

Paso 4. Añade la unidad de volumen.

$$V=240\ \text{cm}^{3}$$

Respuesta: V = 30x³ cm³; para x = 2, V = 240 cm³.

Problema 8. Simplifica (6x³y²) · (−2xy)² ÷ (4x²y).

Paso 1. Resuelve primero la potencia: se eleva el −2 y se duplican los exponentes.

$$(-2xy)^{2}=(-2)^{2}\,x^{2}y^{2}=4x^{2}y^{2}$$

Paso 2. Multiplica por 6x³y².

$$6x^{3}y^{2}\cdot 4x^{2}y^{2}=24\,x^{5}y^{4}$$

Paso 3. Divide entre 4x²y.

$$\frac{24x^{5}y^{4}}{4x^{2}y}=6\,x^{5-2}\,y^{4-1}$$

Paso 4. Resultado final y grado.

$$6x^{3}y^{3}\quad\Rightarrow\quad\text{grado}=6$$

Respuesta: 6x³y³, de grado 6.

Reto Monomios: ¿puedes aprobar el mini-quiz?

Con todo lo aprendido, ha llegado el momento de poner a prueba tus conocimientos. Responde este mini quiz de 10 preguntas y descubre al instante si dominas el tema o si necesitas repasar un poco más. ¡Acepta el reto y comprueba tu puntaje!

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un monomio?

2. ¿Cuál es el grado absoluto del monomio 5x²y³z?

3. ¿Cuál es el coeficiente del monomio −x²y?

4. Al calcular 3x² + 5x² se obtiene:

5. El resultado de (−4x³)•(2x⁴) es:

6. El resultado de 12x⁶ ÷ (4x²) es:

7. El resultado de (−3x²)³ es:

8. ¿Cuál de estos monomios es semejante a 4x²y?

9. ¿Cuál es el valor numérico de 2x²y cuando x = −3 e y = 2?

10. Un rectángulo tiene lados de 5x² cm y 3x cm. ¿Cuál es su área?

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Preguntas frecuentes (FAQs)

1. ¿Se suman los exponentes cuando sumo 3x² + 2x²? ¿Es 5x⁴?

No. Piensa en 3 cajas + 2 cajas = 5 cajas: la «caja» (x²) no cambia, solo cuenta cuántas hay. Por eso 3x² + 2x² = 5x². Los exponentes se suman únicamente al multiplicar (x² · x³ = x⁵). Reto rápido: ¿cuánto es 4x³ + x³? Respuesta: 5x³.

2. ¿El número 7 es un monomio? ¿Y el 0? ¿Qué grado tienen?

Sí, ambos son monomios: un número solo es un monomio sin parte literal. El 7 tiene grado 0, porque se puede escribir como 7x⁰. El 0 es un monomio especial al que no se le asigna grado. ¿Verdadero o falso: «un monomio siempre tiene letras»? Falso.

3. ¿(−x)² y −x² son lo mismo? ¿Por qué mi calculadora da resultados distintos?

No son lo mismo. En (−x)² el signo está dentro del paréntesis, así que se eleva al cuadrado: (−x)(−x) = x². En −x² solo se eleva la x y el signo menos se queda fuera: −(x · x) = −x². Pruébalo con x = 3: (−3)² = 9, pero −3² = −9.

4. ¿Es 5/x un monomio? ¿Y √x? Si tienen letras, ¿por qué no cuentan?

Tener letras no basta: los exponentes deben ser números naturales. 5/x equivale a 5x⁻¹ (exponente negativo) y √x equivale a x elevada a ½ (exponente fraccionario). Ninguna de las dos es monomio. En cambio, x/5 sí lo es, porque equivale a (1/5)x, con coeficiente 1/5. ¿Te fijas en la diferencia: la letra abajo o el número abajo?

Actividades

Diez ejercicios progresivos para practicar todo el contenido. Las respuestas completas están al final, en un apartado separado. ¡Intenta resolverlos antes de mirar!

1. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio: (a) 9x⁴; (b) −y; (c) 6a²b³; (d) 15.

2. Señala cuáles son monomios y justifica: 7x³; 4/y; 2x + 5; −√3·ab; x⁻²; 0,5m²n.

3. Agrupa los monomios semejantes: 3x²y, −5xy², 2yx², 7x²y², 4xy², −x²y.

4. Simplifica: (a) 8a³ − 3a³ + 5a³; (b) 4xy − 7xy + 2xy. (c) Ana escribió 3x² + 2x² = 5x⁴. Explica el error y corrígelo.

5. Calcula: (a) (−2x³y)·(6xy²); (b) (5a)·(−a²)·(2a).

6. Calcula: (a) 28x⁷y⁴ ÷ (−7x³y); (b) 15a⁵b² ÷ (5a⁵b).

7. Calcula: (a) (−3a²b)³; (b) (½·x⁴)².

8. Halla el valor numérico de −2x²y³ para x = −3 e y = −1.

9. Un cubo tiene arista 3a. Halla su volumen y el área total de sus seis caras en función de a, y calcula ambos para a = 2.

10. Simplifica (−2x²y)³ · (3xy²) ÷ (−4x⁵y³) e indica el grado del resultado.

Respuestas

Ver soluciones

Ejercicio 1.

(a) coeficiente 9, parte literal x⁴, grado 4.
(b) coeficiente −1, parte literal y, grado 1.
(c) coeficiente 6, parte literal a²b³, grado 2 + 3 = 5.
(d) coeficiente 15, sin parte literal, grado 0.

Ejercicio 2.

Son monomios: 7x³, −√3·ab (el coeficiente −√3 es un número) y 0,5m²n. No son monomios: 4/y (letra en el denominador), 2x + 5 (suma de términos) y x⁻² (exponente negativo).

Ejercicio 3.

Parte literal x²y: 3x²y, 2yx² y −x²y. Suma: 3 + 2 − 1 = 4, es decir, 4x²y.
Parte literal xy²: −5xy² y 4xy². Suma: −5 + 4 = −1, es decir, −xy².
7x²y² no es semejante a ninguno de los otros.

Ejercicio 4.

$$8a^{3}-3a^{3}+5a^{3}=(8-3+5)\,a^{3}=10a^{3}$$

$$4xy-7xy+2xy=(4-7+2)\,xy=-xy$$

Ejercicio 5.

$$(-2x^{3}y)\cdot(6xy^{2})=-12\,x^{4}y^{3}$$

$$(5a)\cdot(-a^{2})\cdot(2a)=-10\,a^{4}$$

Ejercicio 6.

$$\frac{28x^{7}y^{4}}{-7x^{3}y}=-4\,x^{4}y^{3}$$

$$\frac{15a^{5}b^{2}}{5a^{5}b}=3b$$

En (b) los exponentes de a se restan: 5 − 5 = 0, y a⁰ = 1.

Ejercicio 7.

$$(-3a^{2}b)^{3}=(-3)^{3}\,a^{6}b^{3}=-27\,a^{6}b^{3}$$

$$\left(\frac{1}{2}x^{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}\,x^{8}$$

Ejercicio 8.

$$-2\cdot(-3)^{2}\cdot(-1)^{3}=-2\cdot 9\cdot(-1)=18$$

Ejercicio 9.

$$V=(3a)^{3}=27a^{3}$$

$$A=6\cdot(3a)^{2}=6\cdot 9a^{2}=54a^{2}$$

$$a=2:\quad V=27\cdot 8=216\qquad A=54\cdot 4=216$$

(El volumen y el área total coinciden numéricamente para a = 2, aunque tienen unidades distintas: cubos y cuadrados.)

Ejercicio 10.

$$(-2x^{2}y)^{3}=-8x^{6}y^{3}$$

$$-8x^{6}y^{3}\cdot 3xy^{2}=-24\,x^{7}y^{5}$$

$$\frac{-24x^{7}y^{5}}{-4x^{5}y^{3}}=6\,x^{2}y^{2}$$

El resultado es 6x²y², de grado 2 + 2 = 4.

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