Propiedades de la potenciación de números enteros

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Si estás buscando las propiedades de la potenciación de números enteros has llegado al lugar indicado. En nuestra vida cotidiana el uso de estas propiedades se hace con mucha frecuencia. Aunque no lo notes, en este post te darás cuenta lo importante de saber su aplicación. Por ejemplo, al calcular el volumen de una caja.

Si cada lado de la caja mide 10 cm, los pasos para calcular el volumen es el siguiente:

1.Multiplicar la base diez tres veces$$V=10.10.10$$

2.Aplica propiedad de la potenciación$$V=10.10.10=10^{3}$$

3.El volumen de la caja es$$V=10.10.10=10^{3}=1000$$

Es decir$$V=1000cm^{3}$$

¿Qué propiedad de la potenciación de números enteros se aplicó en esta situación?

Contenido del tema

Propiedades de la potenciación de números enteros

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo llamado «base» según lo que exprese el exponente. La potenciación se puede presentar de diversas formas y para poderlas resolver correctamente, es fundamental aplicar las propiedades de la potenciación. A continuación, se detallan cada una de estas propiedades.

Producto de potencias de igual base.
Cociente de potencias de igual base.
Potencia de una potencia.
Potencia de un producto.
Potencia de un cociente.
Exponente cero.
Exponente uno.
Potencia de uno.

Producto de potencias de igual base

En esta propiedad, se escribe la misma base y se suman los exponentes. En este caso las bases (a) son iguales y se multiplican, cada base posee un exponente (m) y (n) y el resultado es la misma base (a) y el exponente resultante es la sumatoria de los exponentes de cada base. Observe su simbolización:$$a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$$

Ejemplo#1: Transforma la siguiente operación en una única potencia y resuelva la potenciación.

$$3^{5}.3^{3}=$$
$$=3^{5+3}$$
$$=3^{8}$$

Para finalizar, se resuelve la potenciación:$$3^{8}=3.3.3.3.3.3.3.3=6561$$

Ejemplo#2: Expresa la siguiente operación en una sola potencia.

$$(-5)^{3}\cdot (-5)^{4}=$$

Solución: Como posee bases iguales se aplica la propiedad de producto de potencias de igual base.
$$=(-5)^{3+4}$$
$$=(-5)^{7}$$

Ejemplo#3: Exprese el siguiente enunciado como una sola potencia.

$$(-8)^{2}\cdot (-8)^{6}\cdot (-8)^{10}\cdot (-8)^{5}=$$

Solución: Son bases iguales se aplica la misma propiedad del ejercicio anterior.
$$=(-8)^{2+6+10+5}$$
$$=(-8)^{23}$$

Cociente de potencias de igual base

El cociente de potencias de igual base es una propiedad que simplifica la división de expresiones exponenciales. Cuando divides dos potencias que tienen la misma base, mantienes la base y restas el exponente del divisor al exponente del dividendo. Su simbolización es:$$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$$

Ejemplo#1: Convierte la siguiente operación en una sola potencia y luego resuélvela.

$$(-9)^{5}\div (-9)^{2}=$$
$$=(-9)^{5-2}$$
$$=(-9)^{3}$$

Se resuelve la potenciación$$=(-9)\cdot(-9)\cdot(-9)=-729 $$

$$\boxed{(-9)^{5}\div (-9)^{2}=-729 }$$

Ejemplo#2: Transforma la siguiente expresión en una sola potencia

$$12^{11}\div 12^{9}=$$
$$=12^{11-9}$$
$$=12^{2}$$

Potencia de una potencia

En este caso la base (a), posee un exponente (m) y a su vez este exponente posee otro exponente (n) el resultado es la base (a) y el exponente resultante es la multiplicación de los exponentes. Observa su simbolización:$$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n }$$

Ejemplo#1: Un programador está diseñando un algoritmo para generar códigos de seguridad.

La primera parte del código puede tener hasta 4³ combinaciones diferentes.
La segunda parte del código se genera elevando el número de combinaciones de la primera parte al cuadrado.

¿Cuántas combinaciones de códigos se pueden generar en total?

Solución:

Se eleva al cuadrado la primera combinación, luego se aplica la propiedad potencia de potencia.

$$(4^{3})^{2}=$$
$$=4^{3\cdot 2 }$$
$$4^{6}=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot=4096$$

Respuesta: Existe 4096 combinaciones de códigos.

Ejemplo#2: Expresar en una sola potencia.

$$\left [ \left ( -5 \right )^{5} \right ]^{3}=$$
$$=\left ( -5 \right )^{5\cdot 3}$$
$$=\left ( -5 \right )^{15}$$

Potencia de un producto

En este caso ambas bases (a y b) se multiplican son diferentes y están elevadas.

Para resolverlo debes multiplicar el exponente (m) por el exponente de cada base (a y b), finalmente resuelve ambas potencias y multiplicas ambos resultados. Su simbolización es$$\left ( a\cdot b \right )^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva

$$\left [ \left ( 6 \right )\cdot \left ( -4 \right ) \right ]^{3}=$$
$$=6^{3}\cdot (-4)^{3}$$
$$=216\cdot(-64) $$
$$=-13\, 824$$

Potencia de un cociente

En este caso las bases (a y b) son diferentes se dividen y elevados a un exponente (m), el resultado es que el exponente (m) multiplica con cada exponente de ambas bases. Observa su simbolización$$(a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva y exprese en potencia.

$$\left [ (-20)\div (4) \right ]^{4}=$$
$$=(-20)^{4}\div (4)^{4}$$

Exponente cero

En este caso toda base que esté elevada a la 0 (cero) siempre el resultado es 1 (uno). su simbolización es$$a^{0}=1$$

Ejemplo: Resuelva.

$$\frac{8^{12}}{8^{12}}=$$
$$=8^{12-12}$$
$$=8^{0}=1$$

Exponente uno

Cualquier número (base) que se encuentre elevado a la 1 el resultado siempre es el mismo valor inicial. Su simbolización es$$a^{1}=a$$

Ejemplo:

$$1\, 500^{1}=1\, 500$$

Potencia de uno

Esta propiedad establece que el número uno, elevado a cualquier exponente n, siempre es igual a uno. Esto ocurre porque al multiplicar el 1 por sí mismo, no importa cuántas veces, el resultado nunca cambia. Su simbolización es$$1^{n}=1$$

Ejemplo:

$$1^{1000}=1$$

Ejemplo. Aplique las propiedades de la potenciación y exprese el resultado en una sola potencia

$$\frac{(-2^{3})^{2}\cdot (-2^{4})^{3}\cdot (-2^{9})^{7}}{(-2^{8})^{2}\cdot (-2)}
=$$
$$ =\frac{(-2)^6 \cdot (-2)^{12} \cdot (-2)^{63}}{(-2)^{16}\cdot (-2)}$$
$$= \frac{(-2)^{81}}{(-2)^{17}}$$
$$ \boxed{(-2)^{64}}$$

$$\frac{(3^4)^2 \cdot (3^5)^{-3}}{(3^2)^3 \cdot (3)^{-4}}
=$$
$$ =\frac{3^8 \cdot 3^{-15}}{3^6 \cdot 3^{-4}}$$
$$ =\frac{3^{-7}}{3^2}$$
$$ \boxed{3^{-9}}$$

Actividades

I.Resuelva:

$$2^{3}.2^{2} = $$

$$5^{1}.5^{4}=$$

$$4^{2}.4^{3}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al multiplicar potencias con la misma base?

II.Determinar:

$$\frac{6^{4}}{6^{6}}=$$

$$\frac{10^{5}}{10^{3}}=$$

$$\frac{3^{6}}{3^{3}}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al dividir potencias con la misma base?

III. Calcula

$$(-3^{3})^{4}=$$

$$(102^{3})^{0}=$$

$$(12^{2})^{2}=$$

¿Qué observas sobre los exponentes al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia?

IV.Encuentra el valor de x a partir de las condiciones dadas.

$$4^{x}\cdot 4^{5}=4^{12}$$
$$(-158)^{x}=1$$
$$34^{9}\div 34^{x}=347$$
$$(8^{2})^{x}=64$$
$$(-10)^{x}=-1000$$
$$2^{5}\div 2^{x}=2^{3}$$

V.Responde y justifica tu respuesta.

En la igualdad (-1)ⁿ= -1. ¿El exponente puede ser cero?
Se puede afirmar que (-5)²¿es lo mismo que 5²

VI.Resuelva:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}=$$
$$\frac{((-3)^2)^{-3}\cdot (5^{-1})^4 \cdot (-3)^5}{((-3)^{-4}\cdot 5^3)\cdot (5^{-2})}=$$

Respuesta:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}
= 2^{-2}\cdot 3^{-4}$$

$$\frac{((-3)^2)^{-3}\cdot (5^{-1})^4 \cdot (-3)^5}{((-3)^{-4}\cdot 5^3)\cdot (5^{-2})}
= (-3)^{11}\cdot 5^{-5}$$

VII.Simplifica cada expresión usando las propiedades de la potenciación en números enteros. El objetivo es dejarla como una única potencia (o producto de pocas potencias).

$$\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4}$$
$$\frac{(3^2)^4 \cdot 3^{-5}}{3^3 \cdot (3^{-1})^2}$$
$$\frac{(-2^3)^2 \cdot (-2^4)^{-3} \cdot (-2)^{10}}{(-2^2)^5 \cdot (-2)^{-6}}$$
$$\frac{(5^{-2})^3 \cdot (5^4)^2}{5^{-5}\cdot (5^3)^{-2}}$$

Ahora que ya conoces las propiedades de la potenciación de números enteros es hora de poner manos a la obra, práctica cada uno de los casos y podrás mejorar tus habilidades con este contenido.

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