Fracción con una raíz cúbica en el denominador que se transforma en una fracción equivalente sin raíces en el denominador

Racionalización: Tres casos para eliminar raíces en el denominador con 14 ejemplos resueltos paso a paso

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¿Alguna vez te has preguntado por qué la racionalización de denominadores es tan importante en los cálculos matemáticos? En muchas operaciones, especialmente cuando aparecen expresiones con radicales en la fracción, se necesita transformar los resultados para que sean más claros y útiles en el análisis numérico.

Fotografía de una pizarra verde con anotaciones matemáticas escritas a mano con tiza blanca, mostrando funciones algebraicas con fracciones y radicales que ilustran la necesidad de simplificar y transformar expresiones matemáticas
Expresiones previas al proceso de racionalización de denominadores

La racionalización no solo cumple un papel esencial en el álgebra, sino también en la vida cotidiana, por ejemplo cuando realizas cálculos que deben ser precisos, estables o más fáciles de interpretar.

En este post encontrarás su definición y sus tres casos principales, que te permitirán simplificar expresiones, resolver operaciones con mayor exactitud y fortalecer tu pensamiento lógico, una habilidad clave tanto en las matemáticas como en situaciones reales donde los números están presentes en cada decisión.

¿Qué es la racionalización?

La racionalización es un proceso algebraico que consiste en eliminar los radicales (raíces) de una fracción. Comúnmente se aplica a los denominadores, pero también puede aplicarse a los numeradores en ciertos casos especiales.

¿Cuándo debo racionalizar el denominador o el numerador?

Cuando observes radicales en el denominador debes racionalizar. Y si las raíces se encuentra en el numerador racionalízalas solo si necesitas simplificar.

Fotografía de una pareja joven con expresión de duda y concentración mientras analizan un complejo ejercicio matemático de racionalización de denominadores en una hoja de papel
Dudas e incertidumbre al decidir cuándo y cómo aplicar la racionalización.

El proceso más común es la racionalización de denominadores ya que permite la suma, resta y facilita la comparación entre fracciones.

Imagina que necesitas comparar dos fracciones con denominadores irracional, por ejemplo:

Fracción 1Fracción 2
$$\frac{2}{\sqrt{2}}$$$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Si la racionalización no se efectúa en esas dos expresiones puede resultar confuso. Sin embargo, al escribirlas como:

Fracción 1 racionalizadaFracción 2 racionalizada
$$\sqrt{2}$$$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Puedes apreciar con facilidad cuál fracción es mayor y trabajar con ellas de manera más intuitiva. Racionalizar permite obtener formas equivalentes más útiles, comparables y elegantes, características esenciales en la resolución de problemas reales.

¿Cómo se racionaliza?

Racionalizar es un proceso sencillo cuando comprendes su propósito.

Este post está enfocado en las racionalizaciones aplicadas al denominador, ya que son las más comunes en los ejercicios algebraicos.

Existen tres casos de racionalización, y para que sea más fácil entenderlos, primero te los mencionaré y luego te los explicaré paso a paso con ejemplos claros.

  • Caso 1: Raíces en forma de factor.
  • Caso 2: Suma algebraica de raíces cuadradas.
  • Caso 3: Suma algebraica de raíces con índice mayor que dos.

Caso 1 — Raíces en forma de factor.

Primero, quiero que veas el índice de la raíz y la cantidad subradical. Después, te guiaré con un ejemplo paso a paso para que todo quede mucho más claro.

Diagrama esquemático que muestra una fracción con una raíz en el denominador, señalando mediante flechas azules las partes de la expresión: el "Indice" y la "Cantidad subradical"
Elementos clave de una expresión radical.

Procedimiento para la racionalización

La siguiente expresión tiene un radical en el denominador, así que es hora de racionalizar.

$$\frac{2}{\sqrt[3]{7}}$$

Desarrollo paso a paso

Fotografía de una estudiante sonriente tomando notas en su cuaderno frente a una computadora portátil, registrando ordenadamente el procedimiento de tres pasos para resolver el Caso 1 de racionalización de denominadores con raíces en forma de factor
Registro del procedimiento.
  • Uno. Construir otro radical con el mismo índice y la misma cantidad subradical, pero con un exponente que complete el índice de la raíz. Ese radical es el siguiente:
$$\sqrt[3]{7^{2}}$$
  • Dos. Colocar el nuevo radical tanto en el numerador como en el denominador, formando una fracción equivalente.
$$\frac{\sqrt[3]{7^{2}}}{\sqrt[3]{7^{2}}}$$
  • Tres. Multiplicar la expresión dada con la fracción equivalente.
$$\frac{2}{\sqrt[3]{7}}=\frac{2}{\sqrt[3]{7}}\cdot \frac{\sqrt[3]{7^{2}}}{\sqrt[3]{7^{2}}}=\frac{2\sqrt[3]{7^{2}}}{\sqrt[\not 3]{7^{\not 3}}}=\frac{2\sqrt[3]{7^{2}}}{7}$$

Observación

El fin de construir otro radical es generar una fracción con denominador racional, es decir, libre de raíz.

4 ejemplos desarrollados paso a paso

Expresión # 1.

$$\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$$

Solución:

Radical construido:

$$\sqrt{5}$$
$$\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{35}}{\sqrt{25}}=\frac{\not5\sqrt{35}}{\not5}=\sqrt{35}$$

Expresión # 2

$$\frac{a}{2\sqrt[7]{a^{2}}}$$

Solución:

Radical construido:

$$\sqrt[7]{a^{5}}$$
$$\frac{a}{2\sqrt[7]{a^{2}}}=\frac{a}{2\sqrt[7]{a^{2}}}\cdot \frac{\sqrt[7]{a^{5}}}{\sqrt[7]{a^{5}}}=\frac{a\sqrt[7]{a^{5}}}{2\sqrt[7]{a^{7}}}=\frac{\not a\sqrt[7]{a^{5}}}{2\not a}=\frac{\sqrt[7]{a^{5}}}{2}$$

Expresión # 3

$$\frac{8\cdot a^{4}b^{2}c^{3}}{\sqrt[7]{300\cdot a^{4}b^{6}c^{2}}}$$

Solución:

Descomponer los números compuestos 8 y 300.

Para que la descomposición de números en factores primos te resulte facilísima y sin confusiones, hemos creado esta herramienta para ti. Clica aquí y descúbrela👉 Descomponer números compuestos

8 = 23

300 = 22.3.52

Radical creado:

$$\sqrt[7]{2^{5}\cdot 3^{6}\cdot 5^{5}\cdot a^{3}bc^{5}}$$
$$\frac{8\cdot a^{4}b^{2}c^{3}}{\sqrt[7]{300\cdot a^{4}b^{6}c^{2}}}=$$
$$=\frac{2^{3}\cdot a^{4}b^{2}c^{3}}{\sqrt[7]{2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}a^{4} b^{6}c^{2}}}\cdot \frac{\sqrt[7]{2^{5}\cdot 3^{6}\cdot 5^{5}\cdot a^{3}bc^{5}}}{\sqrt[7]{2^{5}\cdot 3^{6}\cdot 5^{5}\cdot a^{3}bc^{5}}}=$$
$$=\frac{2^{\not 3}\cdot a^{\not 4}b^{\not 2}c^{\not 3}\cdot \sqrt[7]{2^{5}\cdot 3^{6}\cdot 5^{5}\cdot a^{3}bc^{5}}}{\not 2\cdot 3\cdot 5\not a\not b\not c}=\frac{2^{2}\cdot a^{3}bc^{2}\cdot \sqrt[7]{2^{5}\cdot 3^{6}\cdot 5^{5}\cdot a^{3}bc^{5}}}{15}$$

Expresión # 4.

$$\frac{5a^{2}-5b^{2}}{\sqrt[4]{(a+b)}}$$

Solución:

Radical construido:

$$\sqrt[4]{(a+b)^{3}}$$

Factorizar la expresión:

$$5a^{2}-5b^{2}=5(a+b)(a-b)$$
$$\frac{5a^{2}-5b^{2}}{\sqrt[4]{(a+b)}}=\frac{5(a+b)(a-b)}{\sqrt[4]{(a+b)}}\cdot \frac{\sqrt[4]{(a+b)^{3}}}{\sqrt[4]{(a+b)^{3}}}=\frac{5(a+b)(a-b)\sqrt[4]{(a+b)^{3}}}{a+b}=5(a-b)\sqrt[4]{(a+b)^{3}}$$

Caso 2 — Suma algebraica de raíces cuadradas

Cuando el denominador posee una suma o diferencia con raíces cuadradas (es decir, un binomio irracional), se utiliza el método de la conjugada.

Fotografía de una estudiante concentrada escribiendo en su cuaderno frente a una computadora portátil, aplicando paso a paso el Caso 2 de racionalización de denominadores.
Estudiante aplicando el caso 2 de la racionalización.

La conjugada consiste en cambiar el signo que une los términos del binomio: si es una suma, se convierte en resta, y viceversa.

6 ejemplos con procedimiento paso a paso

Expresión # 1

$$\frac{3+\sqrt{7}}{2\sqrt{7}-6}$$

Solución:

Conjugada:

$$2\sqrt{7}+6$$
$$\frac{3+\sqrt{7}}{2\sqrt{7}-6}=\frac{3+\sqrt{7}}{2\sqrt{7}-6}\cdot \frac{2\sqrt{7}+6}{2\sqrt{7}+6}=\frac{6\sqrt{7}+18+2\sqrt{49}+6\sqrt{7}}{4\sqrt{49}-36}=\frac{12\sqrt{7}+32}{28-36}=\frac{4(3\sqrt{7}+8)}{-8}=-\frac{3\sqrt{7}}{2}-4$$

Expresión # 2

$$\frac{3\sqrt{12}}{5\sqrt{5}+4\sqrt{3}}$$

Solución:

Conjugada:

$$5\sqrt{5}-4\sqrt{3}$$
$$\frac{3\sqrt{12}}{5\sqrt{5}+4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{12}}{5\sqrt{5}+4\sqrt{3}}\cdot \frac{5\sqrt{5}-4\sqrt{3}}{5\sqrt{5}-4\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{60}-12\sqrt{36}}{25\sqrt{25}-16\sqrt{9}}=\frac{30\sqrt{15}-72}{125-48}=\frac{30\sqrt{15}-72}{77}$$

Expresión # 3

$$\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2}}$$

Solución:

Conjugada:

$$\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}$$
$$\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2}}=\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2}}\cdot \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}=\frac{(a+1)+\sqrt{(a+1)(a+2)}+\sqrt{(a+2)(a+1)}+(a+2)}{(a+1)-(a+2)}=\frac{2a+3+2\sqrt{(a+1)(a+2)}}{-1}=-2a-3-2\sqrt{(a+1)(a+2)}$$

Expresión # 4

$$\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{4-\sqrt{7}}$$

Solución:

Conjugada:

$$4+\sqrt{7}$$
$$\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{4-\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{4-\sqrt{7}}\cdot \frac{4+\sqrt{7}}{4+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{(3+\sqrt{7})(4+\sqrt{7})^{2}}}{16-7}=\frac{\sqrt{(3+\sqrt{7})(16+8\sqrt{7}+7)}}{9}=\frac{\sqrt{(3+\sqrt{7})(23+8\sqrt{7})}}{9}=\frac{\sqrt{69+24\sqrt{7}+23\sqrt{7}+56}}{9}=\frac{\sqrt{125+47\sqrt{7}}}{9}$$

Expresión # 5

$$\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{7+\sqrt{5}}}$$

Solución:

Conjugada:

$$\sqrt{7-\sqrt{5}}$$
$$\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{7+\sqrt{5}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{7+\sqrt{5}}}\cdot \frac{\sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{(7-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})^{2}}}{\sqrt{49-5}}=\frac{\sqrt{(7-\sqrt{5})(1+2\sqrt{5}+5)}}{\sqrt{44}}=\frac{\sqrt{7+14\sqrt{5}+35-\sqrt{5}-10-5\sqrt{5}}}{\sqrt{44}}=\frac{\sqrt{32+8\sqrt{5}}}{\sqrt{44}}\cdot \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{44}}=\frac{\sqrt{1408+352\sqrt{5}}}{44}$$

Expresión # 6

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-3}=$$

Solución:

Este caso el denominador es un trinomio: se agrupa dos términos y se aplica la conjugada.

$$(\sqrt{2}+\sqrt{5})+3$$
$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-3}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})-3}\cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})+3}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})+3}=\frac{2+\sqrt{10}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}+5+3\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}-9}=\frac{7+2\sqrt{10}+3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{2+2\sqrt{10}+5-9}=\frac{7+2\sqrt{10}+3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{-2+2\sqrt{10}}$$

Se aplica factor común al denominador:

$$-2(1-\sqrt{10})$$

Conjugada:

$$(1+\sqrt{10})$$

Reemplazar

$$=\frac{7+2\sqrt{10}+3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{-2(1-\sqrt{10})}\cdot \frac{(1+\sqrt{10})}{(1+\sqrt{10})}=\frac{7+7\sqrt{10}+2\sqrt{10}+20+3\sqrt{2}+3\sqrt{20}+3\sqrt{5}+3\sqrt{50}}{-2(1-10)}=\frac{27+9\sqrt{10}+3\sqrt{2}+6\sqrt{5}+3\sqrt{5}+15\sqrt{2}}{18}=\frac{27+9\sqrt{10}+18\sqrt{2}+9\sqrt{5}}{18}$$

Simplificar la expresión aplicando Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Dato fabuloso: Calcula el M.C.D. al instante con nuestra herramienta interactiva ➡️ EduConvert Calculadora de M.C.D. / m.c.m.

$$M.C.D.=9$$

Resultado:

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-3}=\frac{3+\sqrt{10}+2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$$

Caso 3 — Suma algebraica de raíces con índice mayor que dos

Cuando el denominador es una suma o una diferencia de raíces cúbicas, cuartas, quintas o de cualquier índice mayor que dos, el método del Caso 2 ya no alcanza. Te muestro con un intento que parece lógico: multiplicar por la «conjugada de siempre».

$$(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{4}$$

Siguen apareciendo raíces. Con índice 2, al multiplicar por la conjugada se forma una diferencia de cuadrados y los radicales desaparecen. Con índices mayores se necesita otra conjugada, y esta se encuentra en los cocientes notables.

¿De dónde sale la conjugada?

Recuerda este cociente notable, escrito en forma de producto:

$$(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})=x^{4}-y^{4}$$

Si ahora haces los siguientes cambios:

$$x=\sqrt[4]{a}\qquad y=\sqrt[4]{b}$$

la expresión anterior se transforma así:

$$(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{a^{2}b}+\sqrt[4]{ab^{2}}+\sqrt[4]{b^{3}})=a-b$$

¡El resultado ya no tiene raíces! Al segundo factor lo llamaremos E y es la conjugada de la diferencia de radicales del primer factor. Dicho de forma sencilla: la conjugada es el factor que le falta al binomio para que aparezca una resta (o suma) de potencias perfectas.

De la misma manera, con el cociente notable de la suma se obtiene:

$$(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^{3}}-\sqrt[4]{a^{2}b}+\sqrt[4]{ab^{2}}-\sqrt[4]{b^{3}})=a-b$$

La regla general

Para un índice n, la conjugada E se construye así: los exponentes de a bajan desde n − 1 hasta 0, y los exponentes de b suben desde 0 hasta n − 1.

Si el denominador es una resta, todos los términos de E llevan signo más:

$$E=\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^{2}}+\cdots+\sqrt[n]{b^{n-1}}$$
$$(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b})\,E=a-b$$

Si el denominador es una suma, los signos de E se alternan (+, −, +, −…):

$$E=\sqrt[n]{a^{n-1}}-\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^{2}}-\cdots$$

Además, el resultado del producto depende de si el índice es par o impar:

DenominadorSi n es imparSi n es par
Resta de radicalesa − ba − b
Suma de radicalesa + ba − b

¿Por qué cambia? Con índice impar, xⁿ + yⁿ sí es divisible entre (x + y). Con índice par no lo es, pero xⁿ − yⁿ sí, y por eso el producto da a − b.

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Procedimiento

  • Uno. Si los radicales del denominador tienen índices diferentes, reducirlos a un mismo índice.
  • Dos. Identificar el índice n y si el denominador es una suma o una resta.
  • Tres. Construir la conjugada E con la regla anterior.
  • Cuatro. Multiplicar numerador y denominador por E.
  • Cinco. Factorizar el numerador, si es posible, y simplificar.

Observación

Igual que en los casos anteriores, el objetivo es que el denominador quede libre de raíces. Si el numerador se puede factorizar y comparte un factor con el nuevo denominador, la simplificación final es muy limpia.

4 ejemplos realizados paso a paso

Expresión # 1

$$\frac{6}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$$

Solución:

Es una resta con índice 3 (a = 5 y b = 2). Conjugada:

$$E=\sqrt[3]{5^{2}}+\sqrt[3]{5\cdot 2}+\sqrt[3]{2^{2}}=\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$$
$$\frac{6}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}=\frac{6}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{E}{E}=\frac{6E}{5-2}=\frac{6E}{3}=2E$$

Resultado:

$$\boxed{2\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}\right)}$$

Expresión # 2

$$\frac{3}{\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{2}}$$

Solución:

Es una suma con índice 4, que es par (a = 7 y b = 2). Los signos de E se alternan. Conjugada:

$$E=\sqrt[4]{7^{3}}-\sqrt[4]{7^{2}\cdot 2}+\sqrt[4]{7\cdot 2^{2}}-\sqrt[4]{2^{3}}=\sqrt[4]{343}-\sqrt[4]{98}+\sqrt[4]{28}-\sqrt[4]{8}$$

Como el índice es par, el producto del denominador por E da a − b, es decir, una resta:

$$\frac{3}{\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{2}}=\frac{3}{\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{E}{E}=\frac{3E}{7-2}=\frac{3E}{5}$$

Resultado:

$$\boxed{\frac{3\left(\sqrt[4]{343}-\sqrt[4]{98}+\sqrt[4]{28}-\sqrt[4]{8}\right)}{5}}$$

Expresión # 3

$$\frac{x^{2}-64}{\sqrt[3]{x}+2}$$

Solución:

Es una suma con índice 3, que es impar. Aquí a = x y b = 8, porque 2 = ∛8. Conjugada:

$$E=\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+4$$

Multiplicar numerador y denominador por E. Como el índice es impar, el denominador se convierte en x + 8:

$$\frac{x^{2}-64}{\sqrt[3]{x}+2}=\frac{x^{2}-64}{\sqrt[3]{x}+2}\cdot \frac{E}{E}=\frac{(x^{2}-64)E}{x+8}$$

Factorizar el numerador para poder simplificar:

$$=\frac{(x-8)(x+8)E}{x+8}=(x-8)E$$

Resultado:

$$\boxed{(x-8)\left(\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+4\right)}$$

Expresión # 4

$$\frac{12}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{3}}$$

Solución:

  • Los índices son 2 y 3, así que primero se lleva al mínimo común índice, que es 6:
$$\sqrt{3}=\sqrt[6]{3^{3}}=\sqrt[6]{27}\qquad \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^{2}}=\sqrt[6]{9}$$
  • Para trabajar con más comodidad, se denomina u a la raíz sexta de 3:
$$u=\sqrt[6]{3}\;\Rightarrow\;\sqrt{3}=u^{3},\quad \sqrt[3]{3}=u^{2},\quad u^{6}=3$$
  • Se saca factor común en el denominador:
$$u^{3}-u^{2}=u^{2}(u-1)$$
  • Se racionaliza cada factor. Para u² se multiplica por u⁴, porque u² · u⁴ = u⁶ = 3. Para (u − 1), que es una resta con índice 6, se usa la conjugada::
$$E=u^{5}+u^{4}+u^{3}+u^{2}+u+1\quad\Rightarrow\quad (u-1)E=u^{6}-1=3-1=2$$
  • Multiplicar numerador y denominador por u⁴E:
$$\frac{12}{u^{2}(u-1)}\cdot \frac{u^{4}E}{u^{4}E}=\frac{12u^{4}E}{u^{6}(u-1)E}=\frac{12u^{4}E}{3\cdot 2}=2u^{4}E$$
  • Se vuelve a los radicales. Como u⁴ es la raíz cúbica de 9:
$$u^{4}=\sqrt[3]{9}\qquad E=\sqrt[6]{243}+\sqrt[3]{9}+\sqrt{3}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[6]{3}+1$$

Resultado:

$$\boxed{2\sqrt[3]{9}\left(\sqrt[6]{243}+\sqrt[3]{9}+\sqrt{3}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[6]{3}+1\right)}$$

Comprobación rápida: con una calculadora, la fracción original vale aproximadamente 41,4, y el resultado final da el mismo valor.

Resumen de los tres casos

CasoDenominadorQué se multiplica
1Un solo radical (raíz en forma de factor)Un radical construido que completa el índice de la raíz
2Binomio con raíces cuadradasLa conjugada: se cambia el signo que une los términos
3Binomio con raíces de índice mayor que dosLa conjugada construida con los cocientes notables

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¿Cuál de los tres casos de racionalización se te hace más difícil: el de las raíces como factor, el de la conjugada o el de los índices mayores que dos? Comparte tu duda o un ejercicio que te haya costado y lo resolvemos juntos. Y si este post te ayudó, compártelo con alguien que esté aprendiendo radicales.

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Mini quiz de racionalización de denominadores

Primera parte

1) ¿Por cuál radical debes multiplicar numerador y denominador para racionalizar la siguiente fracción?

$$\frac{5}{\sqrt[4]{2}}$$

2) Racionaliza:

$$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$$

3) El denominador √2 + √5 − 3 es un trinomio. Si agrupas (√2 + √5), ¿qué conjugada conviene usar?

4) ¿Por qué no basta multiplicar por (∛a + ∛b) para racionalizar 1 / (∛a − ∛b)?

5) ¿Cuál es la conjugada de ∛5 − ∛2?

Segunda parte

6) Halla la expresión racionalizada de:

$$\frac{6}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$$

7) Si E es la conjugada de ⁴√7 + ⁴√2, ¿cuánto vale el producto (⁴√7 + ⁴√2) • E?

8) Considera E como la conjugada de ∛x + 2. ¿Cuánto vale el producto (∛x + 2) • E?

Tercera parte

9) Para racionalizar 4 / (√3 − ∛3), ¿cuál es el primer paso?

10) Simplifica y racionaliza la expresión:

$$\frac{x^{2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}$$

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Preguntas frecuentes de racionalización de denominadores

1. ¿Puedo usar la conjugada de las raíces cuadradas cuando el índice es mayor que dos?

No. Multiplicar (∛a − ∛b) por (∛a + ∛b) da ∛a² − ∛b², que todavía tiene radicales. Con índices mayores que dos hay que construir la conjugada con los cocientes notables: los exponentes de a bajan y los de b suben hasta completar el índice.

2. ¿Por qué en la conjugada de una suma los signos se alternan?

Porque así se forma el cociente notable de la suma de potencias. Si el denominador es una resta, todos los términos de la conjugada son positivos; si es una suma, los signos van +, −, +, −… y la conjugada «compensa» los cruces para que desaparezcan las raíces.

3. ¿El producto de la raíz enésima de a más la raíz enésima de b siempre da a + b?

No. Solo da a + b cuando el índice es impar. Si el índice es par (por ejemplo 4 o 6), el producto con su conjugada da a − b. Revisa siempre la paridad del índice antes de escribir el denominador final.

4. ¿Qué hago si los radicales del denominador tienen índices distintos?

Primero reduce los radicales al mínimo común índice. Por ejemplo, una raíz cuadrada y una raíz cúbica se escriben como raíces sextas. Después identificas si es suma o resta y construyes la conjugada.

Actividades de racionalización de denominadores

Básica

$$\frac{6}{\sqrt[3]{4}}$$
$$\frac{10}{3\sqrt{5}}$$
$$\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$$

Intermedia

$$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$$
$$\frac{2}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{2}}$$
$$\frac{5}{\sqrt[3]{3}+1}$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{3}-1}$$

Avanzada

$$\frac{x-1}{\sqrt[4]{x}-1}$$
$$\frac{x^{2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}$$
$$\frac{6}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}$$

Respuestas

Ver soluciones
$$3\sqrt[3]{2}$$
$$\frac{2\sqrt{5}}{3}$$
$$\sqrt{7}+\sqrt{3}$$
$$9+4\sqrt{5}$$
$$\frac{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{4}}{2}$$
$$\frac{5\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}+1\right)}{4}$$
$$\frac{\sqrt[4]{27}+\sqrt{3}+\sqrt[4]{3}+1}{2}$$
$$\sqrt[4]{x^{3}}+\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+1$$
$$(x-1)\left(\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x}+1\right)$$
$$3\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[6]{32}-\sqrt[3]{4}+\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}+\sqrt[6]{2}-1\right)$$

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📌 Actualizado el 13 noviembre, 2026 por Profesor Yohendy Guzmán

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