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¿Qué es el centro de gravedad y por qué una regla se queda en equilibrio sobre tu dedo solo cuando la apoyas en un punto concreto?

Prueba este experimento: apoya una regla larga sobre tus dos dedos índices, bien separados, y júntalos despacio. Por mucho que lo intentes, los dedos siempre se encuentran en el mismo sitio. Ese punto es el centro de gravedad de la regla.

Mano sosteniendo una regla de madera en equilibrio horizontal sobre un único dedo índice, apoyada justo en su punto medio — Una regla homogénea se equilibra solo si la apoyas bajo su centro de gravedad.

Entender dónde está ese punto te permite explicar por qué un camión muy cargado vuelca, por qué un gimnasta puede mantenerse en equilibrio o cómo se diseña una grúa. Es una de las ideas más útiles de la estática.

Conocimientos previos

Concepto de fuerza y de peso (P = m·g, con g ≈ 9,8 m/s²).
Idea de momento de una fuerza (fuerza por distancia) y de equilibrio de rotación.
Cálculo de una media ponderada y operaciones con fracciones.
Trigonometría básica: tangente de un ángulo.

Objetivo de aprendizaje

Al terminar podrás:

Explicar qué es el centro de gravedad y en qué se diferencia del centro de masa y del centroide.
Calcular el centro de gravedad de un sistema de masas y de figuras compuestas.
Predecir si un cuerpo se mantiene en equilibrio o vuelca, y calcular su ángulo de vuelco.
Aplicar estas ideas a vigas, cajas, vehículos y situaciones cotidianas.

¿Qué es el centro de gravedad? Definición

Definición del centro de gravedad

El centro de gravedad (CG) es el punto donde puede considerarse aplicado el peso total de un cuerpo. Aunque la gravedad actúa sobre cada partícula, el efecto de todas ellas equivale a una única fuerza situada en ese punto:

$$P=m\,g$$

Aquí P es el peso, m la masa y g la aceleración de la gravedad. Si sostienes el cuerpo por su CG, queda en equilibrio sin girar.

Diagrama esquemático que muestra una figura poligonal irregular de color azul claro con un punto rojo central denominado "Centro de gravedad (CG)", del cual parte una flecha roja hacia abajo que representa el "Peso P = mg — Representación del centro de gravedad (CG) y la fuerza del peso total actuando en un cuerpo rígido irregular.

Centro de gravedad, centro de masa y centroide

Los tres conceptos se parecen, pero no son idénticos. En problemas de Bachillerato, con g constante, suelen coincidir:

Concepto	Qué es	¿Cuándo coincide con el CG?
Centro de masa	Punto promedio de la distribución de masa	Cuando g es uniforme en todo el cuerpo (casi siempre en la Tierra)
Centroide	Centro geométrico de una figura o volumen	Cuando el cuerpo es homogéneo (densidad constante)
Centro de gravedad	Punto de aplicación del peso total	—

Piensa un momento: ¿puede el CG de un objeto estar en un punto donde no hay material? Lo comprobaremos más adelante.

Cómo calcular el centro de gravedad

Sistema de masas en una recta

Para varias masas colocadas sobre un eje, el CG es la media ponderada de sus posiciones, usando las masas como pesos:

$$x_{CG}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$$

Ejemplo: una masa de 2 kg en x = 0 y otra de 3 kg en x = 5 m. El CG queda más cerca de la masa mayor:

$$x_{CG}=\frac{2\cdot 0+3\cdot 5}{2+3}=\frac{15}{5}=3\ \text{m}$$

Diagrama esquemático que ilustra el centro de gravedad de dos masas (m1 y m2) sobre una barra apoyada en un punto de pivote, acompañado de la fórmula matemática para calcular su posición (x_CG) y el texto explicativo de que el centro de gravedad se encuentra más cerca de la masa mayor — Cálculo de la posición del centro de gravedad para un sistema de dos masas puntuales en una barra rígida.

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Sistema de masas en el plano

Si las masas están repartidas en un plano, se calcula cada coordenada por separado:

$$x_{CG}=\frac{\sum m_i\,x_i}{\sum m_i}$$

$$y_{CG}=\frac{\sum m_i\,y_i}{\sum m_i}$$

Interpretación física del resultado

El CG es el punto respecto al cual los «giros» producidos por los pesos se compensan. Dicho de otro modo, la suma de los momentos de las masas respecto al CG es cero:

$$\sum m_i\,\left(x_i-x_{CG}\right)=0$$

Idea clave

Piensa en un balancín: el CG es el punto de apoyo donde queda horizontal. La masa mayor «tira» del CG hacia ella.

Fotografía de un balancin en un parque infantil donde se encuentran sentados un hombre con mayor masa corporal en el lado izquierdo con la etiqueta "GRANDE" y un hombre delgado en el lado derecho con la etiqueta "PEQUEÑA", ilustrando visualmente el principio del centro de gravedad y el equilibrio de torques — Analogía del balancin en un parque utilizando dos personas con masas diferentes para explicar la posición del centro de gravedad.

Centro de gravedad de figuras homogéneas

Cuando un cuerpo es homogéneo, su CG coincide con el centro geométrico. Estos son los casos más usados:

Figura homogénea	Posición del centro de gravedad
Barra, segmento	En el punto medio
Rectángulo o paralelogramo	En la intersección de las diagonales
Círculo, esfera, aro	En el centro (el aro tiene el CG fuera del material)
Triángulo	En el baricentro: a h/3 de la base (en el cruce de las medianas)
Semicírculo de radio R	A 4R/(3π) del diámetro
Cono o pirámide de altura h	A h/4 de la base

Diagrama técnico que muestra un triángulo homogéneo de color azul claro con sus tres medianas marcadas con líneas discontinuas verdes que se intersecan en un punto rojo central etiquetado como "CG", indicando además mediante acotaciones laterales que se ubica a una altura h/3 desde la base — Determinación analítica del centro de gravedad en un triángulo homogéneo mediante la intersección de sus medianas.

$$y_{CG}=\frac{h}{3}\qquad\qquad y_{CG}=\frac{4R}{3\pi}$$

Centro de gravedad de cuerpos compuestos y con huecos

Si una figura es compleja, divídela en figuras sencillas, localiza el CG de cada una y combínalos con una media ponderada, usando áreas (placas homogéneas de igual espesor) o masas:

$$x_{CG}=\frac{A_1x_1+A_2x_2+\cdots}{A_1+A_2+\cdots}\qquad y_{CG}=\frac{A_1y_1+A_2y_2+\cdots}{A_1+A_2+\cdots}$$

Si la figura tiene un hueco, trátalo como una figura de área negativa:

$$x_{CG}=\frac{A_1x_1-A_2x_2}{A_1-A_2}$$

Método paso a paso

Dibuja un sistema de ejes y divide la figura en rectángulos, triángulos o círculos.
Calcula el área (o masa) de cada parte.
Localiza el CG de cada parte respecto a los ejes.
Aplica la media ponderada para cada coordenada.
Comprueba que el resultado tiene sentido: debe quedar cerca de la parte más grande.

Cómo hallar el centro de gravedad experimentalmente

Para un objeto plano irregular puedes usar el método de la plomada: cuélgalo de un punto, marca la vertical que da una plomada, repite desde otro punto y busca el cruce. Ahí está el CG.

Diagrama técnico que explica el método experimental para hallar el centro de gravedad colgando un objeto poligonal irregular desde dos puntos distintos (A y B), mostrando las líneas verticales trazadas que se cruzan en un punto central rojo etiquetado como "CG" — Determinación experimental del centro de gravedad de una lámina irregular mediante la intersección de líneas de plomada desde dos puntos de suspensión.

Funciona porque un cuerpo colgado de un punto queda en reposo cuando su CG está justo debajo de ese punto, en la misma vertical.

Centro de gravedad, equilibrio y estabilidad

Tipos de equilibrio

Tipo	Qué ocurre al desplazarlo un poco	Ejemplo
Estable	Vuelve a su posición (el CG sube al desplazarlo)	Bola en el fondo de un cuenco
Inestable	Se aleja de la posición (el CG baja al desplazarlo)	Bola sobre una cúpula
Indiferente	Se queda en la nueva posición (el CG no cambia de altura)	Bola sobre una mesa horizontal

Condición de vuelco y base de apoyo

Un cuerpo apoyado no vuelca mientras la vertical que pasa por su CG caiga dentro de la base de apoyo. Si sale de ella, el peso crea un momento que lo hace girar.

Diagrama técnico que muestra tres estados de estabilidad de un bloque rectangular inclinado, ilustrando mediante una línea vertical discontinua desde el punto rojo del centro de gravedad si esta cae dentro o fuera de la base de apoyo, etiquetados como "Estable", "Límite de vuelco" y "Vuelca" — Criterio de estabilidad basado en la posición de la línea vertical del centro de gravedad respecto a la base de sustentación de un cuerpo.

$$\tan\theta=\frac{b/2}{h}\quad\Rightarrow\quad\theta=\arctan\left(\frac{b}{2h}\right)$$

Interpretación: base más ancha o CG más bajo significa mayor ángulo de vuelco y, por tanto, mayor estabilidad.

Equilibrio de una viga o balancín

Si apoyas una viga justo bajo su CG, queda en equilibrio. Con dos masas a ambos lados del apoyo, el equilibrio de giro exige que los momentos se igualen:

$$m_1\,d_1=m_2\,d_2$$

Aplicaciones reales del centro de gravedad

Automoción: los coches deportivos tienen el CG muy bajo para no volcar en las curvas; un camión con carga alta vuelca con más facilidad.
Deporte: en el salto de altura con técnica Fosbury, el atleta arquea el cuerpo para que su CG pase por debajo de la varilla aunque el cuerpo la supere.
Construcción: las grúas usan contrapesos para que el CG del conjunto quede dentro de la base de apoyo; la Torre de Pisa se sostiene porque la vertical de su CG aún cae dentro de la base.
Vida cotidiana: una mochila cargada alta te desequilibra más; por eso conviene colocar lo pesado cerca de la espalda y abajo.
Equilibrismo: la barra larga del funambulista le permite mantener el CG sobre la cuerda.

Errores comunes sobre el centro de gravedad

Error típico	Por qué está mal	Lo correcto
El CG siempre está dentro del cuerpo	Un aro o una taza tienen el CG fuera del material	El CG es un punto, que puede estar en el vacío
El CG siempre es el centro geométrico	Solo si el cuerpo es homogéneo	Si hay masa desigual, el CG se desplaza hacia la parte más pesada
Más masa significa más estabilidad	La estabilidad depende de la altura del CG y de la base	CG bajo y base ancha dan mayor estabilidad
El promedio simple de las posiciones es el CG	No se tienen en cuenta las masas	Se usa la media ponderada con las masas
El CG no cambia nunca	Cambia si el cuerpo se deforma o cambia su reparto de masa	Al flexionar el cuerpo, el CG se desplaza
Un cuerpo vuelca cuando se inclina mucho	Vuelca cuando la vertical del CG sale de la base	Depende de la posición del CG, no solo del ángulo

Resumen: lo esencial sobre el centro de gravedad

Centro de gravedad: punto donde se aplica el peso total del cuerpo.

Sistema de masas: media ponderada de las posiciones, con las masas como pesos.

Figuras homogéneas: CG en el centro geométrico (triángulo a h/3 de la base).

Cuerpos compuestos: divide en figuras simples, usa áreas o masas y resta los huecos.

Estabilidad: el cuerpo no vuelca mientras la vertical del CG caiga dentro de la base.Ángulo de vuelco: tan θ = (b/2)/h.

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Predecir antes de ver

Antes de interactuar con el simulador, escribe tu hipótesis y compruébala paso a paso:

Predicción 1: Si colocas una masa de 10 kg a 1 m del punto de apoyo (fulcro), ¿a qué distancia en el lado opuesto debes situar una masa de 5 kg para lograr el equilibrio? Anota tu respuesta.
Predicción 2: Si añades una tercera masa en el lado derecho, ¿hacia dónde se inclinará el balancín y qué ocurre con el centro de masas del sistema?
Comprobación: Experimenta en el simulador y compara los datos reales con tus predicciones.
Análisis: Si tu respuesta no coincide, revisa si aplicaste la fórmula del momento (Masa x Distancia) / media ponderada, o si calculaste un promedio simple de las posiciones.

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Experimenta colocando diferentes objetos y figuras en una barra de equilibrio para descubrir cómo se determina su centro de masa. Visualiza de forma interactiva el punto de balance exacto y pon a prueba tus conocimientos sobre estabilidad.

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Ocho problemas resueltos paso a paso

Nivel 1 · Básico: aplicar la definición

Problema 1. Una masa de 2 kg está en x = 0 y otra de 3 kg en x = 5 m, unidas por una barra de masa despreciable. Halla el centro de gravedad.

Paso 1. Escribe la fórmula de la media ponderada.

$$x_{CG}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$

Paso 2. Sustituye los datos.

$$x_{CG}=\frac{2\cdot 0+3\cdot 5}{2+3}$$

Paso 3. Calcula.

$$x_{CG}=\frac{15}{5}=3\ \text{m}$$

Respuesta: x = 3 m, más cerca de la masa mayor.

Problema 2. Halla el centro de gravedad de una placa rectangular homogénea de 40 cm × 30 cm.

Paso 1. En una figura homogénea y simétrica, el CG está en el centro geométrico (cruce de las diagonales).

Paso 2. Calcula la mitad de cada lado.

$$x_{CG}=\frac{40}{2}=20\ \text{cm}\qquad y_{CG}=\frac{30}{2}=15\ \text{cm}$$

Respuesta: (20 cm, 15 cm) medidos desde una esquina.

Nivel 2 · Intermedio: varias masas

Problema 3. Tres masas están sobre una recta: 1 kg en x = 0, 2 kg en x = 2 m y 3 kg en x = 4 m. Calcula el centro de gravedad.

Paso 1. Suma los productos masa por posición.

$$\sum m_i\,x_i=1\cdot 0+2\cdot 2+3\cdot 4=16\ \text{kg\,m}$$

Paso 2. Suma las masas.

$$\sum m_i=1+2+3=6\ \text{kg}$$

Paso 3. Divide.

$$x_{CG}=\frac{16}{6}\approx 2{,}67\ \text{m}$$

Respuesta: x ≈ 2,67 m (más cerca de los 4 m, donde está la masa mayor).

Problema 4. Tres masas en el plano: 4 kg en (0, 0), 2 kg en (3, 0) y 2 kg en (0, 4), con las coordenadas en metros. Halla el centro de gravedad.

Paso 1. Calcula la masa total.

$$\sum m_i=4+2+2=8\ \text{kg}$$

Paso 2. Coordenada x.

$$x_{CG}=\frac{4\cdot 0+2\cdot 3+2\cdot 0}{8}=\frac{6}{8}=0{,}75\ \text{m}$$

Paso 3. Coordenada y.

$$y_{CG}=\frac{4\cdot 0+2\cdot 0+2\cdot 4}{8}=\frac{8}{8}=1{,}00\ \text{m}$$

Respuesta: (0,75 m ; 1,00 m).

Nivel 3 · Intermedio-alto: figuras compuestas

Problema 5. Una placa homogénea en forma de L está formada por un rectángulo horizontal de 6 cm × 2 cm (ocupa x de 0 a 6 e y de 0 a 2) y un rectángulo vertical de 2 cm × 4 cm encima, a la izquierda (x de 0 a 2, y de 2 a 6). Halla su centro de gravedad.

Paso 1. Áreas y centros de cada parte.

$$A_1=12\ \text{cm}^2\ \text{en}\ (3,\,1)\qquad A_2=8\ \text{cm}^2\ \text{en}\ (1,\,4)$$

Paso 2. Coordenada x.

$$x_{CG}=\frac{12\cdot 3+8\cdot 1}{12+8}=\frac{44}{20}=2{,}2\ \text{cm}$$

Paso 3. Coordenada y.

$$y_{CG}=\frac{12\cdot 1+8\cdot 4}{12+8}=\frac{44}{20}=2{,}2\ \text{cm}$$

Respuesta: (2,2 cm ; 2,2 cm).

Problema 6. De una placa cuadrada homogénea de 10 cm de lado (centro en (5, 5)) se recorta un hueco cuadrado de 4 cm de lado, centrado en (7, 5). Halla el centro de gravedad de la placa resultante.

Paso 1. Áreas: la placa completa y el hueco.

$$A_1=100\ \text{cm}^2\qquad A_2=16\ \text{cm}^2$$

Paso 2. Trata el hueco como un área negativa en x.

$$x_{CG}=\frac{100\cdot 5-16\cdot 7}{100-16}=\frac{388}{84}\approx 4{,}62\ \text{cm}$$

Paso 3. En y ambos centros están en 5 cm, así que no cambia.

$$y_{CG}=\frac{100\cdot 5-16\cdot 5}{84}=5\ \text{cm}$$

Respuesta: (4,62 cm ; 5 cm): el CG se desplaza hacia el lado opuesto al hueco.

Nivel 4 · Avanzado: vuelco y equilibrio de vigas

Problema 7. Una caja homogénea tiene una base de 0,60 m de ancho y su centro de gravedad está a 0,50 m de altura. ¿A qué ángulo vuelca al inclinarla sobre una arista de la base?

Paso 1. En el límite de vuelco, la vertical del CG pasa por la arista. La tangente del ángulo es el semiancho entre la altura del CG.

$$\tan\theta=\frac{b/2}{h}$$

Paso 2. Sustituye los datos.

$$\tan\theta=\frac{0{,}30}{0{,}50}=0{,}6$$

Paso 3. Calcula el ángulo.

$$\theta=\arctan(0{,}6)\approx 31^{\circ}$$

Respuesta: θ ≈ 31°. Si bajas el CG, el ángulo de vuelco aumenta.

Problema 8. Un tablón homogéneo de 4,0 m y 20 kg lleva una caja de 30 kg en un extremo. ¿A qué distancia del extremo libre debe colocarse el apoyo para que quede en equilibrio y qué fuerza ejerce el apoyo? (g = 9,8 m/s².)

Paso 1. El CG del tablón está en su punto medio (2,0 m del extremo libre); la caja está a 4,0 m. Media ponderada:

$$x_{CG}=\frac{20\cdot 2{,}0+30\cdot 4{,}0}{20+30}=\frac{160}{50}=3{,}2\ \text{m}$$

Paso 2. El apoyo debe soportar el peso total.

$$N=(20+30)\cdot 9{,}8=490\ \text{N}$$

Paso 3. Comprobación con momentos respecto al apoyo.

$$196\cdot 1{,}2=235{,}2\ \text{N\,m}\qquad 294\cdot 0{,}8=235{,}2\ \text{N\,m}$$

Respuesta: apoyo a 3,2 m del extremo libre; fuerza del apoyo 490 N.

Mini-quiz de centro de gravedad

Parte I

1. ¿Qué es el centro de gravedad de un cuerpo?

2. ¿Dónde está el centro de gravedad de una barra homogénea de 2,0 m de longitud?

3. Una masa de 1 kg está en x = 0 y otra de 3 kg en x = 4 m. ¿Cuál es la coordenada x del centro de gravedad?

4. En un triángulo homogéneo de altura h, ¿a qué distancia de la base se encuentra el centro de gravedad?

5. ¿Qué combinación hace más estable a una caja apoyada en el suelo?

Parte II

6. Un cuerpo apoyado vuelca cuando:

7. Dos placas homogéneas del mismo material: la de 4 cm² tiene su centro en x = 1 cm y la de 2 cm² en x = 4 cm. ¿Dónde está el centro de gravedad del conjunto?

8. Un anillo homogéneo (aro) tiene su centro de gravedad:

Parte III

9. Una caja homogénea tiene base de 0,40 m de ancho y su centro de gravedad está a 0,50 m de altura. ¿A qué ángulo de inclinación vuelca sobre una arista?

10. Un tablón homogéneo de 4 m y 20 kg lleva una caja de 30 kg en un extremo. ¿A qué distancia del extremo libre debe colocarse el apoyo para quedar en equilibrio?

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Preguntas frecuentes (FAQs)

1. ¿Es lo mismo centro de gravedad que centro de masa? ¿Por qué mi libro usa dos nombres?

Casi siempre dan el mismo punto: coinciden cuando la gravedad es igual en todo el cuerpo, como en cualquier objeto cotidiano. Solo se separan en cuerpos enormes, como un rascacielos o un satélite alargado, donde g cambia con la altura. ¿Dudas? Pregúntate: ¿cambia g de un extremo a otro del objeto? Si no, son el mismo punto.

2. ¿El centro de gravedad siempre está dentro del cuerpo?

No. Es un punto, no una parte del material. Un aro, una taza, un bumerán o una persona agachada tienen el CG fuera del cuerpo. Reto: ¿dónde está el CG de un anillo? En su centro, donde no hay material.

3. Si un objeto es más pesado, ¿es más estable?

No necesariamente. La estabilidad depende de dónde está el CG (altura) y de lo ancha que es la base, no de la masa por sí sola. Una torre de 1 kg con el CG bajo y base ancha es más estable que un cilindro alto de 20 kg apoyado sobre una base pequeña. Compruébalo con el ángulo de vuelco: tan θ = (b/2)/h.

4. ¿El centro de gravedad de mi cuerpo siempre está en el mismo sitio?

No. Cambia con tu postura: al levantar los brazos sube, y al agacharte baja. Por eso un saltador con técnica Fosbury puede pasar por encima de la varilla con el CG pasando por debajo. Prueba a mantenerte de puntillas con los brazos arriba y notarás cómo cuesta más el equilibrio.

Actividades de centro de gravedad

Diez ejercicios progresivos que cubren todo el contenido. Las respuestas completas están al final. ¡Intenta resolverlos antes de mirarlas!

Parte I

Define el centro de gravedad y di dónde está el de una regla homogénea de 30 cm.
Una masa de 3 kg está en x = 0 y otra de 1 kg en x = 2 m. Calcula el centro de gravedad.
Calcula el centro de gravedad de 2 kg en x = 1 m, 4 kg en x = 3 m y 2 kg en x = 5 m.
Calcula el centro de gravedad de 1 kg en (0, 0), 2 kg en (4, 0) y 3 kg en (0, 2), con las coordenadas en metros.
Un triángulo rectángulo homogéneo tiene vértices en (0, 0), (12, 0) y (0, 9) cm. Halla su centro de gravedad y su distancia a la base.

Parte II

Una placa en T está formada por un rectángulo horizontal de 8 cm × 2 cm (x de 0 a 8, y de 4 a 6) sobre un rectángulo vertical de 2 cm × 4 cm (x de 3 a 5, y de 0 a 4). Halla su centro de gravedad.
Un rectángulo homogéneo de 12 cm × 6 cm (centro en (6, 3)) tiene un hueco cuadrado de 2 cm de lado centrado en (9, 3). Halla el centro de gravedad.
Una caja tiene base de 0,50 m y el centro de gravedad a 0,75 m de altura. Calcula el ángulo de vuelco.
Una viga homogénea de 6 m y 30 kg lleva una masa de 10 kg en un extremo. ¿A qué distancia del extremo libre debe estar el apoyo y qué fuerza soporta? (g = 9,8 m/s².)
Un camión tiene una anchura entre ruedas de 2,4 m y el CG a 1,8 m de altura. Calcula su ángulo de vuelco. Si colocas la carga más baja y el CG pasa a 1,2 m, calcula el nuevo ángulo y explica el efecto.

Respuestas

Ver soluciones

1. El centro de gravedad es el punto donde puede considerarse aplicado el peso total del cuerpo. En una regla homogénea de 30 cm está en el punto medio, a 15 cm de cada extremo.

$$x_{CG}=\frac{3\cdot 0+1\cdot 2}{3+1}=\frac{2}{4}=0{,}5\ \text{m}$$

$$x_{CG}=\frac{2\cdot 1+4\cdot 3+2\cdot 5}{2+4+2}=\frac{24}{8}=3\ \text{m}$$

$$x_{CG}=\frac{1\cdot 0+2\cdot 4+3\cdot 0}{6}=\frac{8}{6}\approx 1{,}33\ \text{m}$$

$$y_{CG}=\frac{1\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 2}{6}=\frac{6}{6}=1{,}00\ \text{m}$$

5. El baricentro es el promedio de las coordenadas de los vértices.

$$x_{CG}=\frac{0+12+0}{3}=4\ \text{cm}\qquad y_{CG}=\frac{0+0+9}{3}=3\ \text{cm}$$

El CG es (4 cm ; 3 cm), a 3 cm de la base, es decir, h/3 con h = 9 cm.

6. Rectángulo horizontal: A₁ = 16 cm² con centro en (4, 5). Rectángulo vertical: A₂ = 8 cm² con centro en (4, 2).

$$x_{CG}=\frac{16\cdot 4+8\cdot 4}{24}=4\ \text{cm}$$

$$y_{CG}=\frac{16\cdot 5+8\cdot 2}{24}=\frac{96}{24}=4\ \text{cm}$$

7. Áreas: A₁ = 72 cm² y hueco A₂ = 4 cm².

$$x_{CG}=\frac{72\cdot 6-4\cdot 9}{72-4}=\frac{396}{68}\approx 5{,}82\ \text{cm}$$

$$y_{CG}=\frac{72\cdot 3-4\cdot 3}{68}=3\ \text{cm}$$

$$\tan\theta=\frac{0{,}25}{0{,}75}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad\theta=\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\approx 18{,}4^{\circ}$$

$$x_{CG}=\frac{30\cdot 3+10\cdot 6}{30+10}=\frac{150}{40}=3{,}75\ \text{m}$$

$$N=(30+10)\cdot 9{,}8=392\ \text{N}$$

El apoyo va a 3,75 m del extremo libre y soporta 392 N.

10.

$$\theta_1=\arctan\left(\frac{1{,}2}{1{,}8}\right)=\arctan(0{,}667)\approx 33{,}7^{\circ}$$

$$\theta_2=\arctan\left(\frac{1{,}2}{1{,}2}\right)=\arctan(1)=45^{\circ}$$

Al bajar el CG, el camión puede inclinarse más antes de volcar (45° frente a 33,7°): es más estable.