resistencia del fluido archivos - LaProfematematiK "Dios es Bueno"

Un balón de fútbol, una jabalina, un clavadista: todos describen una trayectoria curva. Aunque parece un fenómeno complejo, la clave para entender el movimiento de proyectiles consiste en analizarlo como la combinación de dos movimientos simples e independientes: uno horizontal y otro vertical.

En el Paper 2, los proyectiles reparten muchos puntos porque combinan descomposición en componentes, ecuaciones SUVAT y razonamiento. Además, el IB pregunta cómo cambia todo cuando hay resistencia del fluido.

En este post aprenderás a resolver proyectiles por componentes con un método de cinco pasos, a razonar sobre la resistencia del aire y la velocidad terminal, y a practicar con ejemplos y actividades al estilo del examen.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar este post podrás:

Descomponer (resolve) una velocidad inicial en componentes horizontal y vertical.
Calcular (calculate) y determinar (determine) tiempo de vuelo, alcance, altura máxima y velocidad al impacto.
Explicar (explain) por qué los movimientos horizontal y vertical son independientes.
Bosquejar (sketch) y describir (describe) cómo la resistencia del fluido modifica la trayectoria.
Explicar el concepto de velocidad terminal en términos de fuerzas.

1. Conocimientos previos

Antes de empezar, repasa estas ideas:

Vectores y componentes: un vector se descompone con seno y coseno. Pon la calculadora en grados.
Ecuaciones SUVAT (post 1 de la serie): v = u + at, s = ut + ½at², v² = u² + 2as y s = (u + v)t / 2.
Signos: elige un sentido positivo para cada eje; aquí, hacia arriba y hacia la derecha son positivos.
Álgebra: resolver ecuaciones de segundo grado, necesarias cuando el proyectil aterriza a otra altura.

2. Conceptos y definiciones clave

Concepto	Símbolo	Tipo	Unidad SI	Definición
Proyectil	–	–	–	Objeto lanzado que se mueve solo bajo la acción de la gravedad (sin resistencia del aire).
Componente horizontal	ux, vx	vector	m s⁻¹	Parte de la velocidad en la dirección horizontal; es constante sin resistencia.
Componente vertical	uy, vy	vector	m s⁻¹	Parte de la velocidad en la dirección vertical; cambia a razón de g.
Tiempo de vuelo	T	escalar	s	Tiempo desde el lanzamiento hasta que el proyectil llega a la altura final.
Alcance	R	escalar	m	Distancia horizontal recorrida durante el vuelo.
Resistencia del fluido	Fd	vector	N	Fuerza que se opone al movimiento de un objeto en un fluido; crece con la velocidad.
Velocidad terminal	vt	vector	m s⁻¹	Velocidad constante que alcanza un objeto que cae cuando la fuerza resistiva (más el empuje) iguala a su peso.

La idea central: los movimientos horizontal y vertical son independientes. El tiempo es lo único que comparten.

Gráfica de trayectoria parabólica de un proyectil lanzado a 20 m s⁻¹ con un ángulo de 45°, mostrando vectores de velocidad horizontal vx constantes en rojo y vectores de velocidad vertical vy en verde que disminuyen, se anulan en la altura máxima y se invierten en la bajada — Figura 1. Proyectil lanzado a 20 m s⁻¹ con 45°: la componente horizontal vx (rojo) no cambia y la vertical vy (verde) disminuye, se anula en el punto más alto y cambia de sentido.

3. Ecuaciones del movimiento de proyectiles

Con el sentido hacia arriba como positivo y sin resistencia del aire, la aceleración es ax = 0 y ay = −g. Primero, las componentes iniciales:

$$u_x=u\cos\theta\qquad u_y=u\sin\theta$$

Eje horizontal (velocidad constante):

$$v_x=u_x\qquad s_x=u_x\,t$$

Eje vertical (aceleración constante −g):

$$v_y=u_y-gt$$

$$s_y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2$$

$$v_y^2=u_y^2-2g\,s_y$$

Cuando el proyectil aterriza a la misma altura de la que salió, se obtienen estos resultados útiles (derívalos; no memorices sin entender):

$$T=\frac{2u_y}{g}\qquad H=\frac{u_y^2}{2g}\qquad R=u_xT=\frac{u^2\sin2\theta}{g}$$

Para la rapidez y la dirección en cualquier instante, combina las componentes:

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\qquad \tan\varphi=\frac{|v_y|}{v_x}$$

En el examen, el data booklet indica g = 9.8 m s⁻² para la superficie terrestre; úsalo en tus cálculos.

Ecuación	Cuándo usarla	En el data booklet
ux = u cos θ; uy = u sen θ	descomponer la velocidad inicial	Sí (sección de vectores de las ecuaciones matemáticas)
sx = ux t	movimiento horizontal (a = 0)	Sí (caso de SUVAT con a = 0)
v = u + at, s = ut + ½at², v² = u² + 2as	movimiento vertical, con a = −g	Sí
T = 2uy / g; H = uy² / (2g); R = u² sen 2θ / g	proyectil que aterriza a su altura inicial	No: derívalas con SUVAT
Fd = 6πηrv	resistencia sobre una esfera pequeña en un fluido viscoso, a baja velocidad	Sí (A.2)

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Resistencia del fluido y velocidad terminal

Cuando hay resistencia del fluido, la fuerza resistiva se opone a la velocidad y aumenta con ella. Por eso la aceleración deja de ser constante y las ecuaciones SUVAT ya no valen para todo el movimiento. En el IB se trabaja de forma cualitativa: la altura y el alcance disminuyen, la trayectoria deja de ser simétrica y el descenso es más empinado.

En una caída vertical, la resistencia crece hasta igualar al peso (más el empuje, si lo hay). Entonces la fuerza neta es 0, la aceleración es 0 y el objeto cae con velocidad terminal constante.

4. Método de cinco pasos

Dibuja la trayectoria, elige los ejes (arriba y derecha positivos) y marca el origen.
Descompón la velocidad inicial: ux = u cos θ y uy = u sen θ.
Escribe dos columnas, una para x (a = 0) y otra para y (a = −g), con datos con signo y unidad.
Usa el tiempo como puente: calcúlalo en el eje donde tengas más datos y úsalo en el otro. No redondees valores intermedios.
Combina y revisa: si piden rapidez o ángulo, usa v = √(vx² + vy²) y tan φ = |vy| / vx; verifica unidades, signo y cifras significativas.

5. Ejemplos resueltos al estilo IB

Intenta cada ejemplo antes de ver la solución. Ignora la resistencia del aire salvo que se indique. El desglose de puntos es orientativo y no es un markscheme oficial. Usa g = 9.8 m s⁻², el valor que da el data booklet.

Ejemplo 1 (lanzamiento horizontal)

Gráfica de la trayectoria parabólica de una pelota lanzada horizontalmente desde un acantilado de 20 metros de altura, mostrando puntos de posición a lo largo de la bajada y una incógnita de alcance horizontal x = ? en la base — Figura 2. Pelota lanzada horizontalmente a 10 m s⁻¹ desde un acantilado de 20 m.Figura 2. Pelota lanzada horizontalmente a 10 m s⁻¹ desde un acantilado de 20 m.

Una pelota se lanza horizontalmente a 10 m s⁻¹ desde el borde de un acantilado de 20 m de altura. (a) Calculate el tiempo que tarda en llegar al suelo. [2] (b) Determine la distancia horizontal desde la base del acantilado. [1] (c) Determine la rapidez con que llega al suelo. [2] (d) Determine el ángulo bajo la horizontal de su velocidad al llegar. [1] [6 puntos]

Solución: u = 10 m s⁻¹ en x; uy = 0. Toma «hacia abajo» como positivo en el eje vertical.

$$20=0+\frac{1}{2}(9.8)t^2\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\frac{40}{9.8}}=2.02\ \mathrm{s}$$

$$x=u_xt=(10)(2.02)=20.2\ \mathrm{m}$$

$$v_y=gt=(9.8)(2.02)=19.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\qquad v=\sqrt{10^2+19.8^2}=22.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

$$\varphi=\tan^{-1}\left(\frac{19.8}{10}\right)=63.2^{\circ}$$

[1] (a) Usa s = ½gt² con uy = 0. [1] t = 2.02 s.
[1] (b) x = 10 × 2.02 = 20.2 m.
[1] (c) Calcula vy = 19.8 m s⁻¹. [1] v = 22.2 m s⁻¹.
[1] (d) φ = 63.2° bajo la horizontal.

Ejemplo 2 (lanzamiento oblicuo)

Una pelota se golpea desde el suelo con una rapidez de 20 m s⁻¹ y un ángulo de 30° sobre la horizontal. Determine (a) las componentes inicial horizontal y vertical de la velocidad [2], (b) el tiempo de vuelo [2], (c) el alcance [1] y (d) la altura máxima [2]. [7 puntos]

Solución:

$$u_x=20\cos30^{\circ}=17.3\ \mathrm{m\,s^{-1}}\qquad u_y=20\sin30^{\circ}=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

$$T=\frac{2u_y}{g}=\frac{2(10.0)}{9.8}=2.04\ \mathrm{s}$$

$$R=u_xT=(17.3)(2.04)=35.3\ \mathrm{m}$$

$$H=\frac{u_y^2}{2g}=\frac{(10.0)^2}{2(9.8)}=5.10\ \mathrm{m}$$

[1] (a) ux = 17.3 m s⁻¹. [1] uy = 10.0 m s⁻¹.
[1] (b) Usa vy = −uy en el aterrizaje (o s = 0). [1] T = 2.04 s.
[1] (c) R = 35.3 m.
[1] (d) Usa vy = 0 en el punto más alto. [1] H = 5.10 m.

Ejemplo 3 (resistencia del aire, razonamiento)

Gráfica comparativa de trayectorias en un plano cartesiano (y frente a x) de una pelota lanzada a 30 m s⁻¹ a 45°, mostrando una curva simétrica azul para la trayectoria parabólica sin resistencia y una curva asimétrica roja discontinua con menor altura y alcance debido a la resistencia del aire — Figura 3. Pelota lanzada a 30 m s⁻¹ con 45°, sin y con resistencia del aire. La figura es una simulación numérica con resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad y sirve solo como ilustración.

La figura 3 compara dos trayectorias de una pelota lanzada con la misma velocidad inicial. (a) State cuál de las dos corresponde al movimiento con resistencia del aire. [1] (b) Describe dos diferencias entre las trayectorias. [2] (c) Explain por qué, con resistencia del aire, la pelota llega al suelo con un ángulo más empinado. [2] [5 puntos]

Solución:

[1] (a) La curva discontinua, porque tiene menor alcance y menor altura.
[1] (b) Con resistencia, la altura máxima y el alcance son menores.
[1] (b) Con resistencia, la trayectoria no es simétrica: el descenso es más empinado que el ascenso.
[1] (c) La resistencia se opone a la velocidad y reduce la componente horizontal durante todo el vuelo.
[1] (c) La componente vertical sigue aumentando por la gravedad, así que vy / vx aumenta y el ángulo con la horizontal es mayor.

Ejemplo 4 (velocidad terminal)

Gráfica de velocidad frente al tiempo (v–t) de un objeto que cae en un fluido, mostrando una curva que se aproxima asintóticamente a una velocidad terminal de aproximadamente 8.0 m s⁻¹, junto con una línea discontinua roja que representa la tangente en t = 0 cuya pendiente equivale a la aceleración de la gravedad g — Figura 4. Gráfica v–t de un objeto que cae en un fluido, con su tangente en t = 0.

La figura 4 muestra la gráfica v–t de un objeto que cae desde el reposo en un fluido. (a) Describe el movimiento del objeto. [2] (b) Explain, en términos de fuerzas, por qué la velocidad se vuelve constante. [2] (c) Explain por qué la pendiente inicial de la gráfica es igual a g. [1] [5 puntos]

Solución:

[1] (a) La velocidad aumenta con una pendiente cada vez menor (la aceleración disminuye).
[1] (a) Se aproxima a un valor constante de unos 8.0 m s⁻¹ (velocidad terminal).
[1] (b) La fuerza resistiva aumenta con la velocidad mientras el peso es constante.
[1] (b) Cuando la resistencia (más el empuje) iguala al peso, la fuerza neta es 0 y la aceleración es 0.
[1] (c) Con v = 0 la resistencia es 0, así que la fuerza neta es el peso y a = g.

6. Cifras significativas, unidades e incertidumbre

Da los resultados con 3 cifras significativas, salvo que los datos tengan menos, y con su unidad. No redondees valores intermedios como el tiempo: si usas t redondeado, la última cifra del resultado puede cambiar. Comprueba que la calculadora esté en grados al usar seno y coseno.

En una medición con incertidumbres, las incertidumbres porcentuales se suman al multiplicar o dividir, y la de una magnitud elevada a una potencia se multiplica por esa potencia. Estas reglas figuran en la sección «Uncertainties» del data booklet.

7. Análisis de datos: velocidad de lanzamiento (Paper 1B e IA)

Un estudiante lanza una pelota desde el suelo con la misma rapidez u y distintos ángulos θ, y mide el alcance R en un terreno plano. Los datos son:

θ (°)	10	20	30	40	45
sen 2θ	0.342	0.643	0.866	0.985	1.00
R (m)	2.2	4.2	5.7	6.4	6.5

Gráfica de dispersión en texto plano en un plano cartesiano que muestra el alcance R en metros frente a sen 2θ, con puntos experimentales alineados a lo largo de una recta de ajuste lineal que parte del origen y pasa por los puntos (0.342, 2.2) y (1.00, 6.5) — Figura 5. Alcance R frente a sen 2θ, con una recta que pasa por los puntos (0.342, 2.2) y (1.00, 6.5).

(a) Explain por qué una gráfica de R frente a sen 2θ es una recta que pasa por el origen. [1] (b) Determine u a partir de la pendiente, usando los puntos de la recta de la figura 5. [3] [4 puntos]

Solución: a partir de R = (u² / g) sen 2θ, la pendiente es u² / g.

$$\text{pendiente}=\frac{6.5-2.2}{1.00-0.342}=6.53\ \mathrm{m}$$

$$u=\sqrt{(\text{pendiente})\,g}=\sqrt{(6.53)(9.8)}=8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

[1] (a) R = (u² / g) sen 2θ tiene la forma y = mx, con pendiente u² / g y ordenada en el origen 0.
[1] (b) Calcula la pendiente con un triángulo grande.
[1] (b) pendiente = 6.53 m.
[1] (b) u = √(6.53 × 9.8) = 8.0 m s⁻¹.

8. Errores frecuentes

1. Mezclar las componentes. Error típico: usar uy en una ecuación horizontal. Corrección: trabaja con dos columnas, x e y, y comparte solo el tiempo.

2. Creer que en el punto más alto la aceleración es 0. Corrección: en ese punto solo vy = 0; la aceleración sigue siendo g hacia abajo y la rapidez no es 0 porque vx se mantiene.

3. Equivocar el signo de g. Corrección: si arriba es positivo, ay = −9.8 m s⁻²; si abajo es positivo, ay = +9.8 m s⁻². No mezcles ambos criterios.

4. Usar la calculadora en radianes o confundir seno y coseno. Corrección: pon la calculadora en grados. La componente horizontal usa coseno y la vertical, seno, cuando θ se mide desde la horizontal.

5. Dar la rapidez al impacto con una sola componente. Corrección: combina vx y vy con v = √(vx² + vy²). En el ejemplo 1, la rapidez es 22.2 m s⁻¹, no 19.8 m s⁻¹.

6. Pensar que con resistencia del fluido la trayectoria sigue siendo una parábola simétrica o que, en velocidad terminal, la resistencia es 0. Corrección: sin resistencia la trayectoria es parabólica y simétrica; con resistencia no lo es. En velocidad terminal la resistencia no es 0: iguala al peso y la fuerza neta es 0.

9. Conexión con la vida real y práctica experimental

Los proyectiles aparecen en el deporte (un balón, una jabalina, un clavadista) y en la ingeniería (chorros de agua, trayectorias de objetos lanzados). La resistencia del aire explica por qué una pelota de golf y una de espuma no alcanzan lo mismo, y la velocidad terminal, por qué un paracaidista no se acelera sin límite.

Para experimentar, usa el simulador «Projectile Motion» de PhET, que permite activar o desactivar la resistencia del aire, o graba un lanzamiento con el celular y analízalo con Tracker. Una idea para una investigación (IA): medir cómo varía el alcance de un balín con el ángulo de lanzamiento, comparar con R = u² sen 2θ / g y discutir la altura de lanzamiento y la resistencia del aire como fuentes de error.

10. Resumen final

Los movimientos horizontal (a = 0) y vertical (a = −g) son independientes; el tiempo los une.
Descompón con ux = u cos θ y uy = u sen θ; en el aterrizaje al mismo nivel, T = 2uy / g, H = uy² / (2g) y R = u² sen 2θ / g.
Rapidez al impacto: v = √(vx² + vy²); ángulo: tan φ = |vy| / vx.
Con resistencia del fluido, la aceleración no es constante: alcance y altura menores, trayectoria asimétrica y SUVAT deja de valer.
En velocidad terminal, la resistencia (más el empuje) iguala al peso: fuerza neta 0 y aceleración 0.

Este es solo uno de los temas de laprofematematik.co. Sigue explorando el sitio para repasar física y matemáticas con enfoque IB.

¡Sigue aprendiendo!

¿Quieres seguir aprendiendo sobre el movimiento de proyectiles? Consulta este artículo sobre cinemática para ver el panorama completo del estudio del movimiento. Después, profundiza en los conceptos clave con estos recursos educativos:

Movimiento parabólico: problemas resueltos: practica la trayectoria de un proyectil con ejemplos resueltos paso a paso.
Lanzamiento vertical: explicación fácil, fórmulas y ejemplos: comprende el movimiento vertical, que es la mitad del movimiento de un proyectil.
Caída libre: 10 problemas resueltos paso a paso más simulación: aplica a = g = 9,81 m s⁻² y compruébalo en la simulación.
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): fórmulas y problemas resueltos: repasa la velocidad constante, que describe el movimiento horizontal sin resistencia del aire.
Magnitudes escalares y vectoriales: aprende a trabajar con vectores para descomponer la velocidad inicial en sus componentes.
Fuerza de fricción: estática y cinética, con fórmulas y ejemplos resueltos: descubre cómo actúan las fuerzas que se oponen al movimiento.

En el próximo post de la serie verás las leyes de Newton y los diagramas de cuerpo libre, que explican por qué ocurre todo lo que aquí describimos. Mientras tanto, explora más temas en:
laprofematematik.co

11. Mini-glosario bilingüe

projectile: proyectil
trajectory: trayectoria
horizontal / vertical component: componente horizontal / vertical
time of flight: tiempo de vuelo
range: alcance
maximum height: altura máxima
launch angle: ángulo de lanzamiento
fluid resistance (drag): resistencia del fluido
terminal speed: velocidad terminal
parabola: parábola

12. Mini-quiz de movimiento de proyectiles

Parte I

1. Ignorando la resistencia del aire, ¿cuál es la aceleración horizontal de un proyectil?

2. En el punto más alto de la trayectoria de un proyectil (sin resistencia del aire), ¿cuál afirmación es correcta?

3. Un proyectil se lanza a 20 m s⁻¹ con un ángulo de 30° sobre la horizontal. ¿Cuál es la componente vertical inicial de la velocidad?

4. Dos bolas parten a la vez desde la misma altura: una se deja caer desde el reposo y otra se lanza horizontalmente. Ignorando el aire, ¿cuál llega primero al suelo?

5. Una pelota se lanza horizontalmente a 10 m s⁻¹ desde 20 m de altura. Ignorando el aire, ¿cuánto tarda en llegar al suelo? (g = 9.8 m s⁻²)

Parte II

6. Un proyectil se lanza desde el suelo y aterriza a la misma altura, sin resistencia del aire. ¿Con qué ángulo se logra el mayor alcance para una rapidez inicial dada?

7. Un proyectil tiene una componente horizontal de 12 m s⁻¹ y tarda 3.0 s en llegar al suelo. ¿Cuál es el alcance horizontal? (sin resistencia del aire)

8. Un objeto que cae en un fluido alcanza su velocidad terminal. En ese instante:

9. Comparada con el movimiento sin resistencia del aire, ¿qué ocurre con la trayectoria de una pelota lanzada con resistencia del fluido?

10. Con resistencia del fluido, ¿pueden usarse las ecuaciones SUVAT durante todo el movimiento?

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13. Preguntas frecuentes sobre el movimiento de proyectiles

1. ¿Qué es un proyectil?

Es un objeto lanzado que, una vez en movimiento, solo se ve afectado por la gravedad (si se ignora la resistencia del aire).

2. ¿Por qué los movimientos horizontal y vertical son independientes?

Porque la gravedad actúa solo en vertical. En horizontal no hay fuerza, así que la velocidad horizontal es constante y no afecta al movimiento vertical.

3. ¿Cómo se descompone la velocidad inicial?

Con ux = u cos θ y uy = u sen θ, donde θ es el ángulo sobre la horizontal.

4. ¿Cuál es la aceleración en el punto más alto?

Es g hacia abajo. Solo la componente vertical de la velocidad vale 0 en ese punto.

5. ¿Cómo se calcula el tiempo de vuelo?

Si aterriza a la misma altura, T = 2uy / g. Si aterriza a otra altura, se resuelve s = uy t − ½gt² con el desplazamiento vertical correspondiente.

6. ¿Qué ángulo da el alcance máximo?

45°, si el proyectil aterriza a la misma altura y se ignora la resistencia del aire, porque R = u² sen 2θ / g es máximo cuando sen 2θ = 1.

7. ¿Qué efecto tiene la resistencia del fluido sobre la trayectoria?

Reduce la altura máxima y el alcance, hace la trayectoria asimétrica y el descenso más empinado.

8. ¿Qué es la velocidad terminal?

Es la velocidad constante a la que cae un objeto en un fluido cuando la resistencia (más el empuje) iguala a su peso. La fuerza neta y la aceleración son 0.

9. ¿Valen las ecuaciones SUVAT con resistencia del fluido?

No para todo el movimiento, porque la fuerza resistiva cambia con la velocidad y la aceleración deja de ser constante

14. Actividades por tipo de pregunta

Las actividades siguen los formatos del examen. Los puntos entre corchetes indican el valor orientativo de cada pregunta. Usa g = 9.8 m s⁻² e ignora la resistencia del aire salvo que se indique. Usa valores sin redondear en los pasos intermedios.

Estilo Paper 1A (opción múltiple)

Actividad 1 [1 punto].

Una pelota se lanza horizontalmente desde una mesa. ¿Cuáles son su aceleración horizontal y su aceleración vertical durante el vuelo?

A) 0; 9.8 m s⁻² hacia abajo B) 9.8 m s⁻² hacia delante; 9.8 m s⁻² hacia abajo C) 0; 0 D) 0; 9.8 m s⁻² hacia arriba

Ver respuesta

A. No hay fuerza horizontal (a = 0) y la gravedad da 9.8 m s⁻² hacia abajo.

Actividad 2 [1 punto].

Una bola se deja caer desde el reposo y otra se lanza horizontalmente en el mismo instante desde la misma altura. ¿Cuál llega primero al suelo?

A) la que cae B) la lanzada horizontalmente C) ambas al mismo tiempo D) depende de la velocidad horizontal

Ver respuesta

C. El movimiento vertical es independiente del horizontal: ambas tienen uy = 0 y la misma aceleración.

Actividad 3 [1 punto].

Un proyectil se lanza a 20 m s⁻¹ con un ángulo de 30° sobre la horizontal. ¿Cuál es su componente horizontal inicial?

A) 10 m s⁻¹ B) 17 m s⁻¹ C) 20 m s⁻¹ D) 23 m s⁻¹

Ver respuesta

B. ux = 20 cos 30° = 17 m s⁻¹. A es 20 sen 30°, la componente vertical, y D resulta de dividir entre cos 30°.

Estilo Paper 1B (datos, gráficas e incertidumbre)

Actividad 4 [5 puntos].

Se registran las posiciones de una pelota cada 0.20 s, tomando el origen en el punto de lanzamiento:

t (s)	0.20	0.40	0.60	0.80
x (m)	2.0	4.0	6.0	8.0
y (m)	1.40	2.42	3.04	3.26

(a) Deduce que la velocidad horizontal es constante. [1] (b) Determine esa velocidad horizontal. [1] (c) Use los datos de t = 0.40 s para determinar la componente vertical inicial de la velocidad. [2] (d) Determine la rapidez inicial. [1]

Ver respuesta

(a) [1] x aumenta lo mismo (2.0 m) en cada intervalo igual de 0.20 s: la velocidad horizontal es constante.

(b) [1] vx = 2.0 / 0.20 = 10 m s⁻¹.

$$u_y=\frac{s_y+\frac{1}{2}gt^2}{t}=\frac{2.42+\frac{1}{2}(9.8)(0.40)^2}{0.40}=8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

$$u=\sqrt{10^2+8.0^2}=12.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

(d) [1] u = 12.8 m s⁻¹.

Actividad 5 [5 puntos].

Una esfera cae desde el reposo en un fluido. Su velocidad se mide en varios instantes:

t (s)	0	0.4	0.8	1.4	2.0	3.0
v (m s⁻¹)	0	2.9	4.4	5.4	5.8	6.0

(a) Estimate la velocidad terminal. [1] (b) Determine la aceleración media en los primeros 0.4 s. [1] (c) Explain por qué es menor que g. [2] (d) State la aceleración de la esfera en t = 3.0 s. [1]

Ver respuesta

(a) [1] La velocidad se aproxima a unos 6.0 m s⁻¹.

$$a=\frac{2.9-0}{0.4}=7.3\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

(b) [1] a ≈ 7.3 m s⁻².

(c) [1] La resistencia aumenta con la velocidad, así que la fuerza neta y la aceleración disminuyen. [1] La aceleración media es menor que g porque la aceleración baja de g (en t = 0) a valores menores en ese intervalo.

(d) [1] Aproximadamente 0, porque ya está en velocidad terminal.

Actividad 6 [4 puntos].

Un estudiante lanza una pelota horizontalmente desde una mesa y mide la distancia horizontal x = 1.20 ± 0.02 m y el tiempo de vuelo t = 0.40 ± 0.02 s. Determine la velocidad horizontal con su incertidumbre absoluta.

Ver respuesta

$$v_x=\frac{x}{t}=\frac{1.20}{0.40}=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

[1] vx = 3.0 m s⁻¹.

$$\frac{\Delta x}{x}=\frac{0.02}{1.20}=1.7\%\qquad \frac{\Delta t}{t}=\frac{0.02}{0.40}=5.0\%$$

[1] Incertidumbre porcentual de x: 1.7 %. [1] Incertidumbre porcentual total = 1.7 % + 5.0 % = 6.7 %.

[1] Δv = 0.067 × 3.0 = 0.2, es decir, vx = 3.0 ± 0.2 m s⁻¹.

Estilo Paper 2 (desarrollo)

Actividad 7 [6 puntos].

Un futbolista patea un balón desde el suelo con una rapidez de 22 m s⁻¹ y un ángulo de 35° sobre la horizontal. Ignorando el aire, determine (a) el tiempo de vuelo [3], (b) el alcance [2] y (c) la altura máxima [1].

Ver respuesta

$$u_x=22\cos35^{\circ}=18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\qquad u_y=22\sin35^{\circ}=12.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

$$T=\frac{2u_y}{g}=\frac{2(12.62)}{9.8}=2.58\ \mathrm{s}$$

(a) [1] uy = 12.6 m s⁻¹. [1] Usa T = 2uy / g. [1] T = 2.58 s.

$$R=u_xT=46.4\ \mathrm{m}$$

(b) [1] ux = 18.0 m s⁻¹. [1] R = 46.4 m (usa valores sin redondear).

$$H=\frac{u_y^2}{2g}=8.12\ \mathrm{m}$$

Actividad 8 [5 puntos].

Desde el borde de un acantilado de 50 m se lanza una piedra con una rapidez de 15 m s⁻¹ y un ángulo de 40° sobre la horizontal. Ignorando el aire, determine (a) el tiempo que tarda en llegar a la base del acantilado [3] y (b) la distancia horizontal recorrida [2].

Ver respuesta

$$u_y=15\sin40^{\circ}=9.64\ \mathrm{m\,s^{-1}}\qquad u_x=15\cos40^{\circ}=11.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

$$-50=9.64t-4.9t^2\ \Rightarrow\ 4.9t^2-9.64t-50=0\ \Rightarrow\ t=4.33\ \mathrm{s}$$

(a) [1] uy = 9.64 m s⁻¹ y s = −50 m. [1] Plantea la ecuación de segundo grado. [1] t = 4.33 s (se descarta la raíz negativa).

$$x=u_xt=(11.49)(4.326)=49.7\ \mathrm{m}$$

(b) [1] Usa x = ux t. [1] x = 49.7 m.

Actividad 9 [5 puntos].

Una gota de lluvia cae desde una nube. (a) Explain por qué su velocidad no aumenta indefinidamente. [3] (b) Sketch la gráfica v–t de la gota desde que empieza a caer. [2]

Ver respuesta

(a) [1] El peso de la gota es constante.

(a) [1] La resistencia del aire aumenta con la velocidad.

(a) [1] Cuando la resistencia iguala al peso, la fuerza neta es 0 y la gota cae con velocidad terminal constante.

(b) [1] Curva que parte del origen con pendiente inicial g y pendiente cada vez menor. [1] Se aproxima a una asíntota horizontal (velocidad terminal).

Actividad 10 [5 puntos].

Una pelota sale horizontalmente de una mesa de 0.80 m de altura y cae a 1.2 m de la base de la mesa. Ignorando el aire, determine (a) la rapidez con que sale de la mesa [3] y (b) su rapidez al llegar al suelo [2].

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$$t=\sqrt{\frac{2(0.80)}{9.8}}=0.404\ \mathrm{s}\qquad v_x=\frac{1.2}{0.404}=2.97\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

(a) [1] Calcula el tiempo de caída con uy = 0. [1] Usa vx = x / t. [1] vx = 2.97 m s⁻¹.

$$v_y=gt=3.96\ \mathrm{m\,s^{-1}}\qquad v=\sqrt{2.97^2+3.96^2}=4.95\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

(b) [1] vy = 3.96 m s⁻¹. [1] v = 4.95 m s⁻¹.